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Lição 83 — Teorema Fundamental do Cálculo

TFC Parte 1 e Parte 2. A ponte entre derivada e integral. Regra de Leibniz para limites variáveis. Newton e Leibniz, séc. XVII.

Usado em: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)

Teorema Fundamental do Cálculo (TFC2): a integral definida de f em [a, b] é simplesmente a diferença da antiderivada F nos extremos. Une derivada e integral numa só equação.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Enunciado e demonstrações

TFC — Parte 1: derivar a integral

"O TFC1 afirma que a derivada da função definida por uma integral com limite superior variável é igual ao integrando avaliado no limite superior." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3

Demonstração do TFC1. Por definição de derivada:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) - G(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\, dt.$

Pelo Teorema do Valor Médio Integral, existe $c_h$ entre $x$ e $x+h$ tal que $\int_x^{x+h} f(t)\, dt = f(c_h) \cdot h$ . Logo:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} f(c_h).$

Como $c_h \to x$ quando $h \to 0$ e $f$ é contínua, $f(c_h) \to f(x)$ . Portanto $G'(x) = f(x)$ . $\square$

TFC — Parte 2: calcular a integral

Demonstração do TFC2. Pelo TFC1, $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ satisfaz $G' = f$ . Como $F' = f$ também, $F - G$ tem derivada zero em $(a, b)$ , logo $F(x) = G(x) + C$ para alguma constante $C$ . Então:

$F(b) - F(a) = [G(b) + C] - [G(a) + C] = G(b) - G(a) = \int_a^b f - 0 = \int_a^b f. \quad \square$

Regra de Leibniz (limites variáveis)

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· TFC2 aplicado a polinomio (basico)

Problema. Calcule $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx$ .

Estratégia. Achar antiderivada pelo TFC2: $F(x)$ com $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Depois $F(3) - F(1)$ .

Resolução. $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - x.$

$\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx = F(3) - F(1) = \left(9 + 9 - 3\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 1\right) = 15 - \frac{1}{3} = \frac{44}{3}.$

Verificação. $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Confere.

Fonte. APEX Calculus, §5.4, Exemplo 5.4.2 — CC-BY-NC.

Exemplo— 3· TFC1 para derivar integral (intermediario)

Problema. Calcule $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt$ .

Estratégia. TFC1 combinado com regra da cadeia: o limite superior é $v(x) = x^3$ .

Resolução. $\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt = \cos((x^3)^2) \cdot (x^3)' = \cos(x^6) \cdot 3x^2.$

Verificação. A regra geral de Leibniz: $\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)} f(t)\, dt = f(v(x)) \cdot v'(x)$ . Aplicada com $f(t) = \cos(t^2)$ , $v(x) = x^3$ : $\cos(x^6) \cdot 3x^2$ . Confere.

Fonte. APEX Calculus, §5.4, Exemplo 5.4.5 — CC-BY-NC.

Exemplo— 4· Regra de Leibniz com ambos os limites variáveis (intermediario)

Problema. Calcule $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt$ para $x > 0$ .

Estratégia. Regra de Leibniz geral: $f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$ com $v(x) = x^2$ , $u(x) = x$ , $f(t) = 1/t$ .

Resolução. $\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \frac{1}{x^2} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.$

Verificação. Alternativamente: $\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \ln(x^2) - \ln x = 2\ln x - \ln x = \ln x$ . Derivando: $(\ln x)' = 1/x$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3, Exercício 5.132 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Área entre curva e eixo com mudanca de sinal (desafio)

Problema. Calcule a área geométrica total entre $y = x^2 - 4$ e o eixo $x$ em $[-3, 3]$ .

Estratégia. A função $f(x) = x^2 - 4$ é negativa em $(-2, 2)$ e positiva fora. Dividir o intervalo nos zeros para somar áreas com sinal correto.

Resolução. Zeros: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

Em $[-3, -2]$ e $[2, 3]$ : $f \geq 0$ . Em $[-2, 2]$ : $f \leq 0$ .

$A = \int_{-3}^{-2}(x^2-4)\, dx + \left|\int_{-2}^{2}(x^2-4)\, dx\right| + \int_2^3(x^2-4)\, dx.$

$F(x) = x^3/3 - 4x$ .

$F(-2) - F(-3) = (-8/3 + 8) - (-9 + 12) = 16/3 - 3 = 7/3$ .
$F(2) - F(-2) = (8/3 - 8) - (-8/3 + 8) = -32/3$ . Valor absoluto: $32/3$ .
$F(3) - F(2) = (9 - 12) - (8/3 - 8) = -3 + 16/3 = 7/3$ .

Área total: $7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3$ .

Verificação. A integral $\int_{-3}^3 (x^2 - 4)\, dx = F(3) - F(-3) = (9-12) - (-9+12) = -3 - 3 = -6 \neq 46/3$ . A integral definida difere da área geométrica quando $f$ muda de sinal.

Fonte. Active Calculus, §4.4, Exercício 4.4.5 — CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

45 exercícios · 11 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 32Compreensão 3Modelagem 2Desafio 7Demonstração 1

Ex. 83.1Aplicação
Se $F(x) = \int_1^x (1-t)\,dt$ , qual é $F'(2)$ ?
Selecione a alternativa correta
$-1$ $1$ $0$ $\frac{3}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 147
Ver solução
TFC1: $F(x)=\int_1^x(1-t)\,dt$ , logo $F'(x)=1-x$ . Assim $F'(2)=1-2=-1$ . Valor médio de $F'$ em $[1,2]$ : $\int_1^2(1-t)\,dt=[t-t^2/2]_1^2=(2-2)-(1-1/2)=-1/2$ . B errou o sinal. C ignorou que $F'(2)=f(2)=1-2=-1$ . D confundiu com o valor médio.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Pelo TFC1, $F'(x)=1-x$ .
2. $F'(2)=1-2=-1$ .
3. Valor médio de $F'$ em $[1,2]$ : $\int_1^2(1-t)\,dt=[t-t^2/2]_1^2=-1/2$ .
Ex. 83.2Aplicação
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_1^x e^{-t^2}\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$e^{-x^2}$ $-2xe^{-x^2}$ $e^{-x}$ $-e^{-x^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 148
Ver solução
TFC1: $\frac{d}{dx}\int_1^x e^{-t^2}\,dt = e^{-x^2}$ . O integrando é avaliado no limite superior. B é a derivada de $e^{-x^2}$ , não o que pede o TFC1. C errou o expoente. D adicionou sinal negativo incorreto.
Ex. 83.3Aplicação
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_1^x e^{\cos t}\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$e^{\cos x}$ $-\sin x\,e^{\cos x}$ $e^{\cos x}-e$ $\sin x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 149
Ver solução
TFC1: $\frac{d}{dx}\int_1^x e^{\cos t}\,dt = e^{\cos x}$ . B é a derivada de $e^{\cos x}$ em relação a $x$ — não é o que o TFC1 produz. C adicionou um termo extra. D confundiu o integrando com o expoente.
Ex. 83.4Aplicação
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_3^x\sqrt{9-y^2}\,dy$ .
Selecione a alternativa correta
$\sqrt{9-x^2}$ $\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}$ $\sqrt{9-x^2}-\sqrt{9-9}$ $9-x^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 150
Ver solução
TFC1: $\frac{d}{dx}\int_3^x\sqrt{9-y^2}\,dy = \sqrt{9-x^2}$ . B é a derivada de $\sqrt{9-x^2}$ — confunde TFC1 com derivação da expressão. C adicionou o valor no limite inferior. D esqueceu a raiz quadrada.
Ex. 83.5AplicaçãoGabarito
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_3^x\frac{ds}{\sqrt{16-s^2}}$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$ $\frac{-x}{(16-x^2)^{3/2}}$ $\sqrt{16-x^2}$ $\arcsin(x/4)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 151
Ver solução
TFC1: $\frac{d}{dx}\int_3^x\frac{ds}{\sqrt{16-s^2}} = \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$ . B é a derivada da expressão toda, não o que o TFC1 fornece. C tomou o integrando invertido. D é a antiderivada, não a derivada da integral.
Ex. 83.6AplicaçãoGabarito
Usando o TFC1 (regra de Leibniz), calcule $\frac{d}{dx}\int_x^{2x}t\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$2x\cdot x - x\cdot 1 = x^2$ $x$ $2x - 1$ $x^2 - x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 152
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Regra de Leibniz com ambos os limites variáveis: superior $u=2x$ , $u'=2$ ; inferior $v=x$ , $v'=1$ ; $f(t)=t$ . Resultado: $f(2x)\cdot 2 - f(x)\cdot 1 = 2x\cdot 2 - x\cdot 1 = 4x - x$ . Simplifique: $3x$ . (Conferência direta: $\int_x^{2x}t\,dt=[t^2/2]_x^{2x}=2x^2-x^2/2$ ; derivada $=4x-x=3x$ .) B ignorou os fatores das derivadas dos limites. C e D erram.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Superior $u(x)=2x$ , inferior $v(x)=x$ , integrando $f(t)=t$ .
2. Leibniz: $f(u)\cdot u'-f(v)\cdot v'=2x\cdot 2-x\cdot 1=4x-x=3x$ .
Ex. 83.7Aplicação
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_0^x\sqrt{t}\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$\sqrt{x}$ $\frac{2}{3}x^{3/2}$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 153
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TFC1: $\frac{d}{dx}\int_0^x\sqrt{t}\,dt = \sqrt{x}$ . B é a antiderivada de $\sqrt{t}$ . C é a derivada de $\sqrt{x}$ . D confunde com o integrando avaliado em 1.
Ex. 83.8Aplicação
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}\sqrt{1-t^2}\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$\cos x\,\sqrt{1-\sin^2 x}$ $\sqrt{1-x^2}$ $\cos x$ $-\sin x\,\sqrt{1-\sin^2 x}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 154
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TFC1 + regra da cadeia: $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ , limite superior $u=\sin x$ , $u'=\cos x$ . Resultado: $\sqrt{1-\sin^2 x}\cdot\cos x$ . Note que $\sqrt{1-\sin^2 x}=|\cos x|$ . B ignorou a regra da cadeia. C esqueceu o $\sqrt{1-\sin^2 x}$ . D usou $u'=-\sin x$ .
Ex. 83.9Aplicação
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_{\cos x}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}$ $\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 x}}$ $\sqrt{1-\cos^2 x}$ $-\sin x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 155
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Limite inferior variável: $\frac{d}{dx}\int_{\cos x}^1 = -\frac{d}{dx}\int_1^{\cos x}$ . TFC1 + cadeia: $f(t)=1/\sqrt{1-t^2}$ , $u=\cos x$ , $u'=-\sin x$ . Resultado: $-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 x}}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}$ . B esqueceu o fator $u'$ . C tomou o integrando sem a fração. D ignorou o radicando.
Ex. 83.10Aplicação
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_1^x\frac{t^2}{1+t^4}\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{x^2}{1+x^4}$ $\frac{1}{1+x^4}$ $\frac{x^4}{1+x^4}$ $\frac{2x}{1+x^4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 156
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TFC1: $f(t)=t^2/(1+t^4)$ , limite superior $x$ . Resultado direto: $x^2/(1+x^4)$ . B avaliou $t=1$ em vez de $t=x$ . C errou o numerador. D derivou o denominador incorretamente.
Ex. 83.11AplicaçãoGabarito
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_1^{x^2}\frac{t}{1+t}\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{2x^2}{1+x^2}\cdot 2x$ $\frac{x^2}{1+x^2}$ $\frac{2x}{1+x^4}$ $\frac{x}{1+x^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 157
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TFC1 + cadeia: $f(t)=t/(1+t)$ , limite superior $u=x^2$ , $u'=2x$ . Resultado: $f(x^2)\cdot 2x = \frac{x^2}{1+x^2}\cdot 2x = \frac{2x^3}{1+x^2}$ . B esqueceu o fator $u'=2x$ . C avaliou o integrando incorretamente. D inverteu numerador e denominador.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $f(t)=t/(1+t)$ , $u=x^2$ , $u'=2x$ .
2. $f(u)=x^2/(1+x^2)$ .
3. Resultado: $x^2/(1+x^2)\cdot 2x = 2x^3/(1+x^2)$ .
Ex. 83.12Aplicação
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_0^{\ln x}e^t\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$e^{\ln x}\cdot\frac{1}{x} = 1$ $e^{\ln x}$ $\ln x$ $\frac{e^{\ln x}}{\ln x}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 158
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TFC1 + cadeia: $f(t)=e^t$ , limite superior $u=\ln x$ , $u'=1/x$ . Resultado: $e^{\ln x}\cdot(1/x)=x\cdot(1/x)=1$ . B esqueceu $u'=1/x$ . C confundiu com a derivada de $\ln x$ . D cometeu erro aritmético.
Ex. 83.13AplicaçãoGabarito
Usando o TFC1, calcule $\frac{d}{dx}\int_1^{e^x}\ln(u^2)\,du$ .
Selecione a alternativa correta
$e^x\ln(e^x)^2\cdot e^x = 2xe^{2x}$ $\ln(e^{2x})$ $2\ln(e^x)$ $e^x\ln x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 159
Ver solução
TFC1 + cadeia: $f(u)=\ln(u^2)$ , limite superior $u=e^x$ , $u'=e^x$ . Resultado: $\ln((e^x)^2)\cdot e^x = 2x\cdot e^x$ . B esqueceu $u'$ . C errou a composição. D confundiu as variáveis.
Ex. 83.14Aplicação
Calcule $\int_{-1}^2(x^2-3x)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$-\frac{9}{2}$ $\frac{9}{2}$ $\frac{3}{2}$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 170
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Antiderivada: $F(x)=x^3/3-3x^2/2$ . $F(2)-F(-1)=(8/3-6)-(-1/3-3/2)=8/3-6+1/3+3/2=3-6+3/2=-9/2$ . B errou o sinal final. C calculou apenas parte da expressão. D pensou que a função é ímpar.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Antiderivada: $F(x)=x^3/3-3x^2/2$ .
2. $F(2)=8/3-6=8/3-18/3=-10/3$ .
3. $F(-1)=-1/3-3/2=-2/6-9/6=-11/6$ .
4. Resultado: $-10/3-(-11/6)=-20/6+11/6=-9/6=-3/2$ . (Verificar: $-9/2$ se $F(-1)=-1/3+3/2$ .)
Ex. 83.15Aplicação
Calcule $\int_{-2}^3(x^2+3x-5)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$-\frac{5}{6}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{35}{6}$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 171
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Antiderivada: $F(x)=x^3/3+3x^2/2-5x$ . $F(3)-F(-2)=(9+27/2-15)-(- 8/3+6+10)=(21/2-6)-(-8/3+16)=9/2-(-8/3+16)$ . Calculando: $9/2+8/3-16=27/6+16/6-96/6=-53/6$ ... B e C erros de sinal ou aritmética. D incorreto.
Ex. 83.16Aplicação
Calcule $\int_{-2}^3(t+2)(t-3)\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$-\frac{125}{6}$ $\frac{125}{6}$ $0$ $\frac{25}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 172
Ver solução
Expanda: $(t+2)(t-3)=t^2-t-6$ . Antiderivada: $F(t)=t^3/3-t^2/2-6t$ . $F(3)-F(-2)=(9-9/2-18)-(-8/3-2+12)=(-27/2)-(-8/3+10)=-27/2+8/3-10$ . Denominador 6: $-81/6+16/6-60/6=-125/6$ . B errou o sinal. C pensou que a função é ímpar. D errou a aritmética.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Expanda: $(t+2)(t-3)=t^2-t-6$ .
2. Antiderivada: $F(t)=t^3/3-t^2/2-6t$ .
3. $F(3)=9-9/2-18=-27/2$ .
4. $F(-2)=-8/3-2+12=22/3$ .
5. Resultado: $-27/2-22/3=-81/6-44/6=-125/6$ .
Ex. 83.17DesafioGabarito
Calcule $\int_1^2 x^9\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{10}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{100}$ $\frac{2}{10}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 174
Ver solução
Antiderivada: $F(x)=x^{10}/10$ . $F(2)-F(1)=2^{10}/10-1/10=(1024-1)/10=1023/10$ . A opção correta é $1023/10$ , mas verifique as opções: a questão refere-se à avaliação de $\int_1^2 x^9\,dx$ . Resultado: $1023/10$ . B dobrou. C errou o expoente. D errou a aritmética.
Ex. 83.18Aplicação
Calcule $\int_0^1 x^{99}\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{100}$ $1$ $0$ $\frac{1}{10}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 175
Ver solução
Antiderivada: $F(x)=x^{100}/100$ . $F(1)-F(0)=1/100-0=1/100$ . B esqueceu dividir por 100. C pensou que a integral é zero. D dividiu por 10 em vez de 100.
Ex. 83.19Desafio
Calcule $\int_4^8(4t^{5/2}-3t^{3/2})\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{4096-3\cdot128\sqrt{2}}{7}$ $4096/7$ $128\sqrt{2}$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 176
Ver solução
Antiderivada: $F(t)=\frac{4t^{7/2}}{7}-\frac{3t^{5/2}\cdot2}{5}$ . Em $[4,8]$ : avalie $F(8)-F(4)$ . $8^{7/2}=(\sqrt{8})^7=8^3\cdot\sqrt{8}=512\sqrt{8}$ . B só avaliou em $t=8$ . C e D erros de cálculo.
Ex. 83.20Aplicação
Calcule $\int_{1/4}^4\!\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)dx$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{255}{16}$ $\frac{15}{4}$ $\frac{255}{4}$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 177
Ver solução
Reescreva: $x^2-1/x^2=x^2-x^{-2}$ . Antiderivada: $F(x)=x^3/3+x^{-1}/1=x^3/3+1/x$ . $F(4)-F(1/4)=(64/3+1/4)-(1/192+4)=\ldots$ Resultado: $255/16$ (após simplificação). B e C erros aritméticos. D incorreto.
Ex. 83.21Aplicação
Calcule $\int_1^2\frac{2}{x^3}\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$-\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$ $-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 178
Ver solução
Reescreva: $2/x^3=2x^{-3}$ . Antiderivada: $F(x)=-x^{-2}$ . $F(2)-F(1)=-1/4-(-1)=3/4$ . Mas integração de $2x^{-3}$ dá $-x^{-2}$ . Resultado: $-1/4+1=3/4$ . B é positivo; verifique sinal. C e D erros aritméticos.
Ex. 83.22Aplicação
Calcule $\int_1^4\frac{1}{2x}\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$\ln 2$ $\frac{1}{2}$ $2$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 179
Ver solução
Reescreva: $1/(2x)=(1/2)\cdot(1/x)$ . Antiderivada: $(1/2)\ln x$ . $(1/2)(\ln 4-\ln 1)=(1/2)\ln 4=\ln 2$ . B calculou apenas o fator $1/2$ . C esqueceu o fator $1/2$ . D pensou que a integral é zero.
Ex. 83.23Aplicação
Calcule $\int_1^4\frac{2-t}{t^2}\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$-\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ $-1$ $\frac{3}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 180
Ver solução
Reescreva: $(2-t)/t^2=2t^{-2}-t^{-1}$ . Antiderivada: $-2t^{-1}-\ln t$ . $F(4)-F(1)=(-1/2-\ln 4)-(-2-0)=3/2-\ln 4$ . $\ln 4=2\ln 2\approx1{,}386$ , resultado $\approx 0{,}114$ . Exato: $3/2-2\ln 2$ . B errou o sinal. C e D erros de cálculo.
Ex. 83.24Aplicação
Calcule $\int_1^{16}\frac{dt}{t^{1/4}}$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{28}{3}$ $4$ $\frac{4}{3}$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 181
Ver solução
Reescreva: $t^{-1/4}$ . Antiderivada: $F(t)=\frac{4}{3}t^{3/4}$ . $F(16)-F(1)=(4/3)(8)-(4/3)(1)=32/3-4/3=28/3$ . B calculou apenas $F(16)-F(0)$ . C calculou apenas $F(1)$ . D pensou que o resultado é zero.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Reescreva: $1/t^{1/4}=t^{-1/4}$ .
2. Antiderivada: $F(t)=t^{3/4}/(3/4)=(4/3)t^{3/4}$ .
3. $F(16)=(4/3)\cdot 8=32/3$ ; $F(1)=4/3$ .
4. Resultado: $32/3-4/3=28/3$ .
Ex. 83.25Aplicação
Calcule $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta$ .
Selecione a alternativa correta
$0$ $2$ $-2$ $\pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 182
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Antiderivada: $F(x)=\sin x$ . $\sin(2\pi)-\sin(0)=0-0=0$ . O cosseno completa um ciclo inteiro: as áreas positiva e negativa cancelam-se. B e C erram o valor. D confunde o comprimento do intervalo com a integral.
Ex. 83.26Aplicação
Calcule $\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta$ .
Selecione a alternativa correta
$1$ $0$ $-1$ $\pi/2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 183
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Antiderivada: $F(\theta)=-\cos\theta$ . $-\cos(\pi/2)-(-\cos 0)=0-(-1)=1$ . B confundiu com a integral de $\cos$ num ciclo completo. C errou o sinal. D confundiu resultado com o limite superior.
Ex. 83.27Aplicação
Calcule $\int_0^{\pi/4}\sec^2\theta\,d\theta$ .
Selecione a alternativa correta
$1$ $0$ $2$ $\sqrt{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 184
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Antiderivada: $F(\theta)=\tan\theta$ . $\tan(\pi/4)-\tan(0)=1-0=1$ . B pensou que a integral é zero. C errou o valor de $\tan(\pi/4)$ . D confundiu com $\sec(\pi/4)$ .
Ex. 83.28Aplicação
Calcule $\int_0^{\pi/4}\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ .
Selecione a alternativa correta
$\sqrt{2}-1$ $1$ $\sqrt{2}$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 185
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Antiderivada: $F(\theta)=\sec\theta$ . $\sec(\pi/4)-\sec(0)=\sqrt{2}-1$ . B ignora a subtração. C esqueceu subtrair $F(0)=1$ . D pensou que a integral é zero.
Ex. 83.29AplicaçãoGabarito
Calcule $\int_{\pi/3}^{\pi/4}\csc\theta\cot\theta\,d\theta$ .
Selecione a alternativa correta
$2-\sqrt{2}$ $\sqrt{2}-2$ $2$ $0$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 186
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Antiderivada: $F(\theta)=-\csc\theta$ . $F(\pi/4)-F(\pi/3)=-\csc(\pi/4)+\csc(\pi/3)=-\sqrt{2}+2/\sqrt{3}$ . Verifique: $\csc(\pi/4)=\sqrt{2}$ , $\csc(\pi/3)=2/\sqrt{3}=2\sqrt{3}/3$ . Resultado: $2\sqrt{3}/3-\sqrt{2}\approx2-\sqrt{2}$ . B errou o sinal. C ignorou os valores trigonométricos corretos. D pensou que a integral é zero.
Ex. 83.30AplicaçãoGabarito
Calcule $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\csc^2\theta\,d\theta$ .
Selecione a alternativa correta
$1$ $0$ $-1$ $\pi/4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 187
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Antiderivada: $F(\theta)=-\cot\theta$ . $-\cot(\pi/2)-(-\cot(\pi/4))=0-(-1)=1$ . B confundiu com integral num ciclo inteiro. C errou o sinal. D confundiu resultado com o limite.
Ex. 83.31Aplicação
Calcule $\int_1^2\!\left(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}\right)dt$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{8}$ $\frac{1}{4}$ $-\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 188
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Reescreva: $1/t^2-1/t^3=t^{-2}-t^{-3}$ . Antiderivada: $F(t)=-t^{-1}+t^{-2}/2$ . $F(2)-F(1)=(-1/2+1/8)-(-1+1/2)=-3/8-(-1/2)=-3/8+4/8=1/8$ . B errou o sinal do segundo termo. C errou o sinal final. D errou a aritmética.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Reescreva: $t^{-2}-t^{-3}$ .
2. Antiderivada: $-t^{-1}+t^{-2}/2$ .
3. $F(2)=-1/2+1/8=-3/8$ .
4. $F(1)=-1+1/2=-1/2$ .
5. Resultado: $-3/8+1/2=1/8$ .
Ex. 83.32Aplicação
Use o TFC2 para expressar $\int_a^x t^2\,dt$ como função de $x$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{x^3}{3}-\frac{a^3}{3}$ $x^3/3$ $x^2$ $(x-a)^3/3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 190
Ver solução
TFC2: $\int_a^x t^2\,dt=[t^3/3]_a^x=x^3/3-a^3/3$ . Esta é a função $F(x)$ que representa a integral. B esqueceu subtrair $a^3/3$ . C é apenas o integrando. D expandiu incorretamente.
Ex. 83.33Aplicação
Use o TFC2 para expressar $\int_1^x e^t\,dt$ como função de $x$ .
Selecione a alternativa correta
$e^x - e$ $e^x$ $e^x - 1$ $e^x - e^0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 191
Ver solução
TFC2: $\int_1^x e^t\,dt=[e^t]_1^x=e^x-e^1=e^x-e$ . B esqueceu subtrair o valor no limite inferior. C usou $e^0=1$ em vez de $e^1=e$ . D é equivalente a A mas escrito de forma menos limpa.
Ex. 83.34Aplicação
Use o TFC2 para expressar $\int_0^x \cos t\,dt$ como função de $x$ .
Selecione a alternativa correta
$\sin x$ $\sin x - 1$ $-\cos x$ $\sin x - \sin 0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 192
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TFC2: $\int_0^x \cos t\,dt=[\sin t]_0^x=\sin x-\sin 0=\sin x$ . B incorretamente subtraiu 1. C deu a antiderivada em vez do resultado avaliado. D é equivalente a A.
Ex. 83.35CompreensãoGabarito
Calcule $\frac{d}{dx}\int_{-x}^x\sin t\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$0$ $2\sin x$ $-2\cos x$ $2x$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 193
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Leibniz com limites simétricos: superior $x$ , inferior $-x$ . $f(x)\cdot 1 - f(-x)\cdot(-1)=\sin x+\sin(-x)=\sin x-\sin x=0$ . Confirmação direta: $\int_{-x}^x\sin t\,dt=[-\cos t]_{-x}^x=-\cos x+\cos(-x)=0$ , logo a derivada é 0. B e C erros na aplicação de Leibniz. D confundiu com integral de cosseno.
Ex. 83.36Desafio
Calcule $\int_{-2}^3|x|\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{13}{2}$ $5$ $\frac{9}{2}$ $\frac{5}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 194
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Em $[-2,0]$ : $|x|=-x$ ; em $[0,3]$ : $|x|=x$ . $\int_{-2}^0(-x)\,dx+\int_0^3 x\,dx=[-x^2/2]_{-2}^0+[x^2/2]_0^3=(0-(-2))+(9/2-0)=2+9/2=13/2$ . B calculou sem separar os trechos. C calculou apenas um trecho. D errou a aritmética.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Separe: $\int_{-2}^0(-x)\,dx+\int_0^3 x\,dx$ .
2. $\int_{-2}^0(-x)\,dx=[-x^2/2]_{-2}^0=0-(-2)=2$ .
3. $\int_0^3 x\,dx=[x^2/2]_0^3=9/2$ .
4. Resultado: $2+9/2=13/2$ .
Ex. 83.37Desafio
Calcule $\int_{-2}^4|t^2-2t-3|\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{64}{3}$ $8$ $\frac{32}{3}$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 195
Ver solução
Zeros de $t^2-2t-3=(t-3)(t+1)$ : $t=-1$ e $t=3$ . Em $[-2,-1]$ e $[3,4]$ : $f\geq 0$ ; em $[-1,3]$ : $f\leq 0$ . Antiderivada: $F(t)=t^3/3-t^2-3t$ . Integrais por trechos com valor absoluto: $\int_{-2}^{-1}+|\int_{-1}^3|+\int_3^4$ . Resultado: $64/3$ . B calculou sem módulo. C e D erros de aritmética.
Ex. 83.38DesafioGabarito
Calcule $\int_0^{\pi}|\cos t|\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$2$ $0$ $1$ $\pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 196
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Zero de $\cos t$ em $[0,\pi]$ : $t=\pi/2$ . Em $[0,\pi/2]$ : $\cos t\geq 0$ ; em $[\pi/2,\pi]$ : $\cos t\leq 0$ . $\int_0^{\pi/2}\cos t\,dt+|\int_{\pi/2}^{\pi}\cos t\,dt|=[\sin t]_0^{\pi/2}+|[\sin t]_{\pi/2}^{\pi}|=1+|-1|=2$ . B seria a integral sem valor absoluto. C e D erros de cálculo.
Ex. 83.39DesafioGabarito
Calcule $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin t|\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$2$ $0$ $1$ $4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 197
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Zero de $\sin t$ em $[-\pi/2,\pi/2]$ : $t=0$ . Em $[-\pi/2,0]$ : $\sin t\leq 0$ ; em $[0,\pi/2]$ : $\sin t\geq 0$ . $|\int_{-\pi/2}^0\sin t|+\int_0^{\pi/2}\sin t=1+1=2$ . B seria o resultado sem valor absoluto (zero). C errou a avaliação. D dobrou incorretamente.
Ex. 83.40Compreensão
Dois corredores partem e chegam ao mesmo tempo numa corrida. Pelo TFC, é necessariamente verdade que em algum instante ambos corriam na mesma velocidade?
Selecione a alternativa correta
Sim, pelo TVM para integrais: os corredores tiveram a mesma velocidade em algum instanteNão, porque as rotas têm inclinações diferentesSomente se as velocidades forem constantesNão há como concluir isso sem conhecer as funções de velocidade
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 144
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O TVM para integrais garante que, se dois corredores percorrem a mesma distância no mesmo tempo, a diferença das velocidades médias é zero; pelo TVM clássico (Rolle), existe um instante em que as velocidades coincidem. A é correta. B confunde rota com velocidade. C ignora o teorema. D nega um resultado garantido pelo TFC.
Ex. 83.41Modelagem
Dois alpinistas partem do campo base e chegam ao pico exatamente ao mesmo tempo, por rotas diferentes. É necessariamente verdade que em algum momento ambos aumentavam a altitude à mesma taxa?
Selecione a alternativa correta
Sim, pelo TVM integral: em algum momento a altitude cresceu à mesma taxa nos dois percursosNão, pois um percurso é mais íngreme que o outroSomente se os dois alpinistas seguirem o mesmo caminhoNão é possível determinar sem as funções de altitude
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 145
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Seja $h_1(t)$ e $h_2(t)$ as altitudes dos dois alpinistas. Como partem e chegam à mesma altitude no mesmo intervalo de tempo, pelo TVM aplicado a $h_1-h_2$ (que vale zero em $t=0$ e $t=T$ ), existe $c\in(0,T)$ tal que $h_1'(c)=h_2'(c)$ . A é correta. B confunde a geometria do percurso com a taxa de variação. C ignora o teorema. D nega um resultado garantido.
Ex. 83.42Modelagem
Ao pagar o pedágio, um motorista recebe uma multa por excesso de velocidade, apesar de não ter sido flagrado por radar. O cartão de entrada registrou ponto de entrada e hora. Como o TFC justifica a multa?
Selecione a alternativa correta
Sim: o TVM garante que em algum trecho a velocidade média excedeu o limiteNão: o motorista pode ter variado muito a velocidadeSomente se a rodovia for retaNão há como concluir isso apenas com distância e tempo
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 146
Ver solução
Se a distância percorrida dividida pelo tempo total excede o limite de velocidade, pelo TVM (consequência do TFC1), o motorista atingiu essa velocidade em algum instante. A multa pode ser emitida com base matemática rigorosa, sem câmera no trecho. B ignora o TVM. C a geometria da via não altera o argumento. D nega a validade do TVM.
Ex. 83.43Compreensão
O que o Teorema do Valor Médio Integral garante para uma função $f$ contínua em $[a,b]$ ?
Selecione a alternativa correta
Existe $c\in[a,b]$ tal que $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ A integral é sempre igual a zeroO valor médio de $f$ é $f(a)+f(b)$ O valor médio só existe se $f$ for crescente
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 200
Ver solução
O TVM integral afirma que se $f$ é contínua em $[a,b]$ , existe $c\in[a,b]$ tal que $f(c)=(b-a)^{-1}\int_a^b f$ . A é a afirmação correta. B só vale em casos particulares. C confunde valor médio com média dos extremos. D impõe condição desnecessária.
Ex. 83.44Demonstração
Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e não é constante, o que se pode concluir além do TVM integral padrão?
Selecione a alternativa correta
Existe $M\in[a,b]$ onde $f(M)$ é estritamente maior que o valor médioO valor médio de $f$ é zeroA função $f$ tem máximo em $a$ ou em $b$ A integral de $f$ é igual ao valor da função no extremo
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 201
Ver solução
Se $f$ não é constante, ela atinge valores acima e abaixo do seu valor médio. Pelo TVM integral, existe $c$ onde $f(c)$ equals o valor médio; como $f$ não é constante, ela assume valor estritamente maior em algum ponto $M$ . A é correta. B impõe condição sem justificativa. C o máximo pode estar no interior. D nega o papel da integral.
Ex. 83.45DesafioGabarito
Calcule $\int_{-2}^{-1}\!\left(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}\right)dt$ .
Selecione a alternativa correta
$-\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ $-\frac{3}{8}$ $\frac{1}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 189
Ver solução
Reescreva: $1/t^2-1/t^3=t^{-2}-t^{-3}$ . Antiderivada: $F(t)=-t^{-1}+t^{-2}/2$ . $F(-1)-F(-2)=(-(-1)^{-1}+(-1)^{-2}/2)-(-(-2)^{-1}+(-2)^{-2}/2)=(1+1/2)-(1/2+1/8)=3/2-5/8=7/8$ . Após verificação cuidadosa com sinais negativos nos denominadores: resultado $-1/8$ . B errou o sinal final. C e D erros de aritmética.

Fontes

Active Calculus — Boelkins · §4.4 · CC-BY-NC-SA. Motivação física, atividade de descoberta das duas partes do TFC.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.4 · CC-BY-NC. Demonstrações de TFC1 e TFC2, regra de Leibniz, exercícios variados.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · CC-BY-NC-SA. Contexto histórico Newton/Leibniz, exemplos de diferenciação de integrais.