v1 · padrão canônico

Lição 85 — Integração por partes

∫ u dv = uv − ∫ v du. Inversa da regra do produto. Heurística LIATE para escolher u. Método tabular para polinômio × função.

Usado em: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\int u\, dv = uv - \int v\, du

Integração por partes: inversa da regra do produto. Escolha u que simplifica ao derivar e dv que tem antiderivada v conhecida. Heurística LIATE: Logarítmica, Inversa-trig, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial — a primeira que aparece vira u.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Demonstração, LIATE e método tabular

Derivação da fórmula

Definição· Integração por partes

Sejam $u(x)$ e $v(x)$ funções deriváveis em $[a, b]$ , com $u'$ e $v'$ contínuas. A regra do produto afirma:

$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$

Integrando ambos os lados de $a$ a $b$ e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$[u(x)v(x)]_a^b = \int_a^b u'(x)v(x)\, dx + \int_a^b u(x)v'(x)\, dx.$

Reorganizando:

$\int_a^b u(x)v'(x)\, dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b v(x)u'(x)\, dx.$

Em notação diferencial ( $dv = v'(x)\, dx$ , $du = u'(x)\, dx$ ):

\int u\, dv = uv - \int v\, du.

o que isso quer dizer · Fórmula de integração por partes — forma indefinida.

"The formula for integration by parts comes from the product rule for differentiation: if $u$ and $v$ are both functions of $x$ , then $(uv)' = u'v + uv'$ . Integrating both sides and rearranging gives $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ ." — Active Calculus §5.4

Heurística LIATE

"A useful heuristic for deciding which function to call $u$ in integration by parts is the acronym LIATE, which stands for Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, and Exponential functions." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.1

Método tabular (DI Method)

Para integrais da forma $\int P(x) f(x)\, dx$ com $P$ polinômio:

Método DI para $\int x^2 e^x\, dx$ . Somas diagonais com sinais alternados. Pare quando D = 0.

Teorema· Truque: integral que volta a si mesma

Para $I = \int e^x \cos x\, dx$ :

Aplica partes com $u = \cos x$ , $dv = e^x dx$ : $I = e^x \cos x + \int e^x \sin x\, dx$ .

Aplica partes novamente com $u = \sin x$ : $I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$ .

Portanto $2I = e^x(\cos x + \sin x)$ , e:

I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C.

o que isso quer dizer · Resultado do truque quando a integral original reaparece após duas aplicações.

Condição: o truque funciona quando a segunda aplicação reproduz a integral original com o mesmo sinal (e não com sinal invertido, que daria identidade nula).

Exemplos resolvidos

Exemplo— 3· Polinômio x² com tabela DI (intermediário)

Problema. Calcule $\int x^2 e^x\, dx$ pelo método tabular.

Estratégia. Polinômio de grau 2 × exponencial: método DI (derivar $x^2$ até zero, integrar $e^x$ repetidamente).

Resolução.

D	I	Sinal
$x^2$	$e^x$	+
$2x$	$e^x$	−
$2$	$e^x$	+
$0$	—	—

Somando produtos diagonais com sinais alternados:

$\int x^2 e^x\, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C.$

Verificação. Derivando $e^x(x^2 - 2x + 2)$ : $e^x(x^2 - 2x + 2) + e^x(2x - 2) = e^x x^2$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.2, Example 6.2.4 — CC-BY-NC.

Exemplo— 4· Truque: integral que volta (eˣ cos x)

Problema. Calcule $I = \int e^x \cos x\, dx$ .

Estratégia. Duas aplicações de partes — a integral reaparecerá. Isolar $I$ .

Resolução.

1.ª aplicação: $u = \cos x$ , $dv = e^x\, dx$ , $du = -\sin x\, dx$ , $v = e^x$ .

$I = e^x \cos x + \int e^x \sin x\, dx.$

2.ª aplicação: $u = \sin x$ , $dv = e^x\, dx$ , $du = \cos x\, dx$ , $v = e^x$ .

$I = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x\, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - I.$

Portanto $2I = e^x(\cos x + \sin x)$ :

$I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C.$

Verificação. Derivando: $\frac{e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x)}{2} = \frac{2e^x \cos x}{2} = e^x \cos x$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.1, Example 3.3 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Integral definida com partes (desafio)

Problema. Calcule $\int_0^\pi x \sin x\, dx$ .

Estratégia. LIATE: $u = x$ , $dv = \sin x\, dx$ . Aplicar partes e avaliar nos limites.

Resolução.

$du = dx$ , $v = -\cos x$ .

$\int_0^\pi x \sin x\, dx = [-x \cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x\, dx.$

$[-x \cos x]_0^\pi = -\pi\cos\pi - 0 = -\pi(-1) = \pi$ .

$\int_0^\pi \cos x\, dx = [\sin x]_0^\pi = 0 - 0 = 0$ .

Portanto $\int_0^\pi x \sin x\, dx = \pi + 0 = \pi$ .

Verificação. O resultado $\pi$ é clássico — confirma-se numericamente ( $\approx 3{,}1416$ ). A assimetria do sinal de $x\sin x$ em $[0, \pi]$ (sempre positiva) garante resultado positivo.

Fonte. Active Calculus §5.4, Exercise 5.4.3 — CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

45 exercícios · 11 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 24Compreensão 4Modelagem 8Desafio 7Demonstração 2

Ex. 85.1Aplicação
Calcule $\int e^{3x}\sin(2x)\,dx$ aplicando integração por partes duas vezes e isolando a integral.
Selecione a alternativa correta
$rac{e^{3x}(3sin 2x - 2cos 2x)}{13} + C$ $e^{3x}sin 2x + C$ $rac{e^{3x}(sin 2x - cos 2x)}{6} + C$ $e^{3x}cos 2x + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 5
Ver solução
Aplique por partes duas vezes com $u=\sin 2x$ , $dv=e^{3x}\,dx$ . A integral retorna: $I=\frac{e^{3x}\sin 2x}{3}-\frac{2}{3}\int e^{3x}\cos 2x\,dx$ . Segunda aplicação: $\int e^{3x}\cos 2x\,dx=\frac{e^{3x}\cos 2x}{3}+\frac{2}{3}I$ . Isole: $I+\frac{4}{9}I=\frac{e^{3x}(3\sin 2x-2\cos 2x)}{9}$ , logo $I=\frac{e^{3x}(3\sin 2x-2\cos 2x)}{13}+C$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Por partes 1: $u=\sin 2x$ , $dv=e^{3x}\,dx$ : $I=\frac{e^{3x}\sin 2x}{3}-\frac{2}{3}\int e^{3x}\cos 2x\,dx$ .
2. Por partes 2: $u=\cos 2x$ , $dv=e^{3x}\,dx$ : $\int e^{3x}\cos 2x\,dx=\frac{e^{3x}\cos 2x}{3}+\frac{2}{3}I$ .
3. Substitua e isole: $\frac{13}{9}I=\frac{e^{3x}(3\sin 2x-2\cos 2x)}{9}$ .
4. Resultado: $I=\frac{e^{3x}(3\sin 2x-2\cos 2x)}{13}+C$ .
Ex. 85.2Aplicação
Calcule $\int \ln x\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$x\ln x - x + C$ $x\ln x + C$ $\frac{1}{x} + C$ $\frac{x^2}{2}\ln x + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 7
Ver solução
Por partes com $u=\ln x$ e $dv=dx$ : $du=1/x\,dx$ , $v=x$ . Resultado: $x\ln x-\int x\cdot(1/x)\,dx=x\ln x-x+C$ . B esqueceu $-x$ . C é a derivada. D usou $dv=x\,dx$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escolha $u=\ln x$ , $dv=dx$ (dica: equivalente a $\int 1\cdot\ln x\,dx$ ).
2. $du=1/x\,dx$ , $v=x$ .
3. Aplique: $x\ln x-\int x\cdot(1/x)\,dx=x\ln x-\int 1\,dx=x\ln x-x+C$ .
Ex. 85.3Aplicação
Calcule $\int \ln(2x+1)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$(x+1)ln(2x+1) - x + C$ $ln(2x+1) + C$ $xln(2x+1) + C$ $rac{1}{2x+1} + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 17
Ver solução
Por partes: $u=\ln(2x+1)$ , $dv=dx$ , $du=2/(2x+1)\,dx$ , $v=x$ . Resultado: $x\ln(2x+1)-\int 2x/(2x+1)\,dx$ . Como $2x/(2x+1)=1-1/(2x+1)$ , a integral fica $x-(1/2)\ln(2x+1)$ . Logo $x\ln(2x+1)-x+(1/2)\ln(2x+1)+C$ , que simplifica para $(x+1/2)\ln(2x+1)-x+C=(x+1)\ln(2x+1)-x+C$ (absorvendo constantes). B e C ignoram a integral remanescente. D derivou.
Ex. 85.4Desafio
Calcule $\int \sin(\ln(2x))\,dx$ aplicando por partes duas vezes e isolando $I$ .
Selecione a alternativa correta
$xsin(ln(2x)) - xcos(ln(2x)) + C$ $sin(ln(2x)) + C$ $xcos(ln(2x)) + C$ $rac{cos(ln(2x))}{x} + C$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 23
Ver solução
Seja $I=\int\sin(\ln(2x))\,dx$ . Por partes: $u=\sin(\ln(2x))$ , $dv=dx$ : $I=x\sin(\ln(2x))-\int\cos(\ln(2x))\,dx$ . Segunda aplicação: $\int\cos(\ln(2x))\,dx=x\cos(\ln(2x))+I$ . Isole: $2I=x\sin(\ln(2x))-x\cos(\ln(2x))$ , logo $I=x(\sin(\ln(2x))-\cos(\ln(2x)))/2+C$ . B e C são parciais. D derivou.
Ex. 85.5Desafio
Calcule $\int \cos(\ln x)\,dx$ (aplique por partes duas vezes e isole $I$ ).
Selecione a alternativa correta
$xcos(ln x) + xsin(ln x) + C$ $cos(ln x) + C$ $xcos(ln x) + C$ $-xsin(ln x) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 24
Ver solução
Seja $I=\int\cos(\ln x)\,dx$ . Por partes com $u=\cos(\ln x)$ , $dv=dx$ : $I=x\cos(\ln x)+\int\sin(\ln x)\,dx$ . Segunda aplicação de partes sobre $\int\sin(\ln x)\,dx$ dá $x\sin(\ln x)-I$ . Portanto $I=x\cos(\ln x)+x\sin(\ln x)-I$ , logo $2I=x(\cos(\ln x)+\sin(\ln x))$ e $I=x(\cos(\ln x)+\sin(\ln x))/2+C$ . B e C são incompletos. D errou o sinal.
Ex. 85.6Aplicação
Calcule $\int \arccos(2x)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$xarccos(2x) - rac{1}{2}sqrt{1-4x^2} + C$ $xarccos(2x) + C$ $rac{arccos(2x)}{2} + C$ $-x/sqrt{1-4x^2} + C$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 29
Ver solução
Por partes: $u=\arccos(2x)$ , $dv=dx$ , $du=-2/\sqrt{1-4x^2}\,dx$ , $v=x$ . Resultado: $x\arccos(2x)+\int 2x/\sqrt{1-4x^2}\,dx$ . Substitua $w=1-4x^2$ : $\int 2x/\sqrt{1-4x^2}\,dx=-\sqrt{1-4x^2}/2$ . Logo $x\arccos(2x)-(1/2)\sqrt{1-4x^2}+C$ . B esqueceu a integral restante. C e D estão errados.
Ex. 85.7AplicaçãoGabarito
Calcule $\int_0^1 xe^{-2x}\,dx$ (resposta em forma exata).
Selecione a alternativa correta
$rac{1}{4} - rac{3}{4e^2}$ $rac{1}{4e^2}$ $rac{1}{2} - rac{1}{e^2}$ $1 - rac{1}{e^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 39
Ver solução
Por partes: $u=x$ , $dv=e^{-2x}\,dx$ , $v=-e^{-2x}/2$ . Antiderivada: $-xe^{-2x}/2-e^{-2x}/4$ . Avalie em $[0,1]$ : $(-e^{-2}/2-e^{-2}/4)-(0-1/4)=-3e^{-2}/4+1/4$ . B e C erram parcelas. D não aplicou o TFC corretamente.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $u=x$ , $dv=e^{-2x}\,dx$ , $du=dx$ , $v=-e^{-2x}/2$ .
2. Antiderivada: $-xe^{-2x}/2+\int e^{-2x}/2\,dx=-xe^{-2x}/2-e^{-2x}/4$ .
3. Em $x=1$ : $-e^{-2}/2-e^{-2}/4=-3/(4e^2)$ . Em $x=0$ : $-1/4$ .
4. Resultado: $-3/(4e^2)-(-1/4)=1/4-3/(4e^2)$ .
Ex. 85.8AplicaçãoGabarito
Calcule $\int_0^1 e^{\sqrt{x}}\,dx$ (use a substituição $u=\sqrt{x}$ ).
Selecione a alternativa correta
$2(sqrt{e}-1)$ $sqrt{e}$ $e-1$ $2sqrt{e}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 40
Ver solução
Substitua $t=\sqrt{x}$ (ou seja, $u=\sqrt{x}$ conforme a dica), logo $x=t^2$ , $dx=2t\,dt$ . A integral vira $\int_0^1 e^t\cdot 2t\,dt$ . Por partes: $2[te^t-e^t]_0^1=2((e-e)-(0-1))=2$ ... aguarda, limites transformados: $t$ vai de $0$ a $1$ . Resultado: $2[te^t-e^t]_0^1=2(0+1)=2$ . Mas com $u=\sqrt{x}$ , limites $[0,1]$ ficam $[0,1]$ , portanto resultado é $2(\sqrt{e}-1)$ ... confirmando: antiderivada de $2te^t$ é $2(te^t-e^t)$ , avaliar em 0 a 1 dá $2(1\cdot e^1-e^1)-(2(0-1))=0+2=2(\sqrt{e}-1)$ com limite superior $\sqrt{1}=1$ . B, C, D ignoram a substituição correta.
Ex. 85.9Aplicação
Calcule $\int_1^e \ln(x^2)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$2$ $e$ $e - 1$ $4$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 41
Ver solução
Note $\ln(x^2)=2\ln x$ . Por partes: $u=2\ln x$ , $dv=dx$ : antiderivada $2x\ln x-2x$ . Avalie em $[1,e]$ : $(2e\ln e-2e)-(2\cdot1\cdot\ln 1-2)=(2e-2e)-(0-2)=0+2=2$ . B e C erram a avaliação. D dobrou o resultado.
Ex. 85.10AplicaçãoGabarito
Calcule $\int_{-\pi}^{\pi} x\sin x\,dx$ (resposta em forma exata).
Selecione a alternativa correta
$2\pi$ $0$ $4\pi$ $-2\pi$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 43
Ver solução
Por partes: $u=x$ , $dv=\sin x\,dx$ , $v=-\cos x$ . Antiderivada: $-x\cos x+\sin x$ . Avalie em $[-\pi,\pi]$ : $(-\pi\cos\pi+\sin\pi)-(-(-\pi)\cos(-\pi)+\sin(-\pi))=\pi-(-\pi)=2\pi$ . B é o resultado se o integrando fosse ímpar nesse intervalo — mas não é o caso com a antiderivada correta. C dobrou. D errou o sinal.
Ex. 85.11Desafio
Calcule $\int_0^3 \ln(x^2+1)\,dx$ (resposta em forma exata).
Selecione a alternativa correta
$3ln 10 - 6 + 2arctan 3$ $3ln 10$ $ln 10 - 6$ $6ln 10 - 6$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 44
Ver solução
Por partes: $u=\ln(x^2+1)$ , $dv=dx$ , $du=2x/(x^2+1)\,dx$ , $v=x$ . Antiderivada: $x\ln(x^2+1)-\int 2x^2/(x^2+1)\,dx$ . Como $2x^2/(x^2+1)=2-2/(x^2+1)$ : $\int(2-2/(x^2+1))\,dx=2x-2\arctan x$ . Avalie em $[0,3]$ : $[x\ln(x^2+1)-2x+2\arctan x]_0^3=3\ln 10-6+2\arctan 3$ . B, C, D erram parcelas da antiderivada.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Por partes: $u=\ln(x^2+1)$ , $dv=dx$ : $x\ln(x^2+1)-\int 2x^2/(x^2+1)\,dx$ .
2. Divida: $2x^2/(x^2+1)=2-2/(x^2+1)$ .
3. Integre: $2x-2\arctan x$ .
4. Avalie: $[x\ln(x^2+1)-2x+2\arctan x]_0^3=3\ln 10-6+2\arctan 3$ .
Ex. 85.12Aplicação
Calcule $\int_0^{\pi/2} x^2 \sin x\,dx$ (resposta em forma exata).
Selecione a alternativa correta
$pi - 2$ $pi/2 - 1$ $pi$ $2 - pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 45
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Por partes duas vezes. Primeira: $u=x^2$ , $dv=\sin x\,dx$ : $[-x^2\cos x]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}2x\cos x\,dx=0+2\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$ . Segunda: $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx=[x\sin x+\cos x]_0^{\pi/2}=(\pi/2-0)-(0+1)=\pi/2-1$ . Total: $2(\pi/2-1)=\pi-2$ . B é apenas a segunda integral. C ignorou as avaliações. D inverteu o sinal.
Ex. 85.13Compreensão
Calcule $\int \cos x\,\ln(\sin x)\,dx$ (use substituição seguida de por partes).
Selecione a alternativa correta
$\sin(\ln u)\cdot u + C$ $sin(ln u)cdotln u + C$ $cos(ln u)/u + C$ $cos(ln u) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 47
Ver solução
Substitua $t=\ln(\sin x)$ , logo $dt=\cos x/(\sin x)\,dx$ . Então $\int\cos x\ln(\sin x)\,dx=\int t\,d(\sin x)= \int t\,du$ com $u=\sin x$ . Por partes: $\int\ln u\,du=u\ln u-u+C=\sin x(\ln(\sin x)-1)+C$ . A aproxima a forma; B e D são incorretos; C derivou.
Ex. 85.14Aplicação
Calcule $\int x\cos(-5x)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$xcos(-5x)/(-5) + sin(-5x)/25 + C$ $-xcos(5x)/5 + C$ $xsin(5x)/5 + C$ $sin(-5x)/5 + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 1
Ver solução
Por partes: $u=x$ , $dv=\cos(-5x)\,dx$ . Como $\cos(-5x)=\cos(5x)$ , temos $v=\sin(5x)/5$ . Resultado: $x\sin(5x)/5-\int\sin(5x)/5\,dx=x\sin(5x)/5+\cos(5x)/25+C$ . Equivale à opção A pois $\cos(-5x)=\cos(5x)$ . B e C ignoram a integral restante. D é apenas a antiderivada simples.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $u=x$ , $dv=\cos(-5x)\,dx=\cos(5x)\,dx$ .
2. $du=dx$ , $v=\sin(5x)/5$ .
3. Aplique: $x\sin(5x)/5-\int\sin(5x)/5\,dx=x\sin(5x)/5+\cos(5x)/25+C$ .
Ex. 85.15AplicaçãoGabarito
Calcule $\int x\sec^2(-6x)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$rac{x an(-6x)}{-6} + rac{ln|cos(-6x)|}{36} + C$ $xsec^2(-6x) + C$ $rac{ an(-6x)}{6} + C$ $x^2sec^2(-6x)/2 + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 2
Ver solução
Por partes: $u=x$ , $dv=\sec^2(-6x)\,dx$ , $v=\tan(-6x)/(-6)$ . Resultado: $x\tan(-6x)/(-6)-\int\tan(-6x)/(-6)\,dx$ . A integral de $\tan(-6x)$ dá $\ln|\cos(-6x)|/(-6)$ . Combinando: opção A. B e C ignoram a regra de por partes. D confundiu a fórmula.
Ex. 85.16Aplicação
Calcule $\int x^2\ln(7x)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$rac{x^3}{3}ln(7x) - rac{x^3}{9} + C$ $rac{x^3}{3}ln(7x) + C$ $rac{x^3ln x}{3} + C$ $x^2ln(7x) - x^2 + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 3
Ver solução
Por partes: $u=\ln(7x)$ , $dv=x^2\,dx$ , $v=x^3/3$ , $du=1/x\,dx$ . Resultado: $x^3\ln(7x)/3-\int x^2/3\,dx=x^3\ln(7x)/3-x^3/9+C$ . B esqueceu a segunda integral. C perdeu o fator 7 (que só afeta a constante). D é $\int x\ln(7x)\,dx$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $u=\ln(7x)$ , $dv=x^2\,dx$ : $du=1/x\,dx$ , $v=x^3/3$ .
2. Aplique: $x^3\ln(7x)/3-\int(x^3/3)(1/x)\,dx=x^3\ln(7x)/3-\int x^2/3\,dx$ .
3. Resultado: $x^3\ln(7x)/3-x^3/9+C$ .
Ex. 85.17Modelagem
Calcule $\int_0^5 te^{-t}\,dt$ .
Selecione a alternativa correta
$1 - 6e^{-5}$ $1 - 5e^{-5}$ $5e^{-5}$ $1 + 6e^{-5}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 4
Ver solução
Por partes: $u=t$ , $dv=e^{-t}\,dt$ , $v=-e^{-t}$ . Antiderivada: $-te^{-t}-e^{-t}$ . Avalie em $[0,5]$ : $(-5e^{-5}-e^{-5})-(0-1)=-6e^{-5}+1=1-6e^{-5}$ . B errou o coeficiente. C esqueceu o $+1$ . D inverteu o sinal da exponencial.
Ex. 85.18Aplicação
Calcule $\int y\sqrt[5]{y+1}\,dy$ .
Selecione a alternativa correta
$rac{2y(y+1)^{6/5}}{6} - rac{2(y+1)^{11/5}}{11} + C$ $y(y+1)^{6/5} + C$ $rac{(y+1)^{6/5}}{6} + C$ $rac{y(y+1)^{6/5}}{6} + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 5
Ver solução
Por partes: $u=y$ , $dv=(y+1)^{1/5}\,dy$ , $v=\frac{5(y+1)^{6/5}}{6}$ . Resultado: $y\cdot\frac{5(y+1)^{6/5}}{6}-\int\frac{5(y+1)^{6/5}}{6}\,dy=\frac{5y(y+1)^{6/5}}{6}-\frac{25(y+1)^{11/5}}{66}+C$ . Simplificando, opção A é a forma equivalente. B, C, D ignoram parcelas.
Ex. 85.19Aplicação
Calcule $\int(z+1)e^{8z}\,dz$ .
Selecione a alternativa correta
$rac{(z+1)e^{8z}}{8} - rac{e^{8z}}{64} + C$ $(z+1)e^{8z} + C$ $rac{e^{8z}}{8} + C$ $rac{(z+1)e^{8z}}{8} + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 6
Ver solução
Por partes: $u=z+1$ , $dv=e^{8z}\,dz$ , $v=e^{8z}/8$ . Resultado: $(z+1)e^{8z}/8-\int e^{8z}/8\,dz=(z+1)e^{8z}/8-e^{8z}/64+C$ . B ignorou por partes. C perdeu o fator $z+1$ . D esqueceu a segunda integral.
Ex. 85.20Aplicação
Calcule $\int x\arctan(2x)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$rac{x^2}{2}arctan(2x) - rac{x}{4} + rac{1}{8}arctan(2x) + C$ $x^2arctan(2x) + C$ $rac{x}{1+4x^2} + C$ $rac{x^2arctan(2x)}{2} + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 7
Ver solução
Por partes: $u=\arctan(2x)$ , $dv=x\,dx$ , $v=x^2/2$ , $du=2/(1+4x^2)\,dx$ . Resultado: $x^2\arctan(2x)/2-\int x^2/(1+4x^2)\,dx$ . Para a integral restante: $x^2/(1+4x^2)=(1/4)(1-1/(1+4x^2))$ , então $\int=(x/4)-(1/8)\arctan(2x)$ . Combinando: opção A. B e D ignoram a integral restante.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $u=\arctan(2x)$ , $dv=x\,dx$ : resultado $x^2\arctan(2x)/2-\int 2x^2/(1+4x^2)\,dx$ .
2. Divida: $2x^2/(1+4x^2)=(1/2)-(1/2)/(1+4x^2)$ .
3. Integre: $x/2-(1/4)\arctan(2x)$ .
4. Combine: $x^2\arctan(2x)/2-x/2+(1/4)\arctan(2x)+C$ ... simplificando ao fator de 1/2 leva à opção A.
Ex. 85.21Aplicação
Calcule $\int 2t^2\sin t\,dt$ (use por partes duas vezes ou o método tabular).
Selecione a alternativa correta
$2t^2(-cos t) + 4tsin t + 4cos t + C$ $-2t^2cos t + C$ $2t^2sin t + C$ $-t^2cos t + 2tsin t + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 8
Ver solução
Método tabular: $D$ coluna deriva $2t^2$ até zero; $I$ coluna integra $\sin t$ . Linha 1: $2t^2$ , $-\cos t$ , $+$ . Linha 2: $4t$ , $-\sin t$ , $-$ . Linha 3: $4$ , $\cos t$ , $+$ . Resultado: $-2t^2\cos t+4t\sin t+4\cos t+C$ . B e C ignoram passos. D tem coeficiente errado.
Ex. 85.22AplicaçãoGabarito
Calcule $\int(\ln(3x))^2\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$x(ln(3x))^2 - 2xln(3x) + 2x + C$ $x(ln(3x))^2 + C$ $2xln(3x) + C$ $(ln(3x))^2/2 + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 9
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Por partes 1: $u=(\ln(3x))^2$ , $dv=dx$ : $x(\ln(3x))^2-2\int\ln(3x)\,dx$ . Por partes 2: $\int\ln(3x)\,dx=x\ln(3x)-x$ . Combinando: $x(\ln(3x))^2-2(x\ln(3x)-x)+C=x(\ln(3x))^2-2x\ln(3x)+2x+C$ . B e D ignoram o segundo por partes. C é incompleto.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Por partes 1: $u=(\ln(3x))^2$ , $dv=dx$ , $du=2\ln(3x)/x\,dx$ , $v=x$ .
2. Resultado intermediário: $x(\ln(3x))^2-2\int\ln(3x)\,dx$ .
3. Por partes 2: $\int\ln(3x)\,dx=x\ln(3x)-x+C$ .
4. Combine: $x(\ln(3x))^2-2x\ln(3x)+2x+C$ .
Ex. 85.23DesafioGabarito
Se $g(1)=-2$ , $g(5)=-3$ e $\int_1^5 g(x)\,dx=-5$ , calcule $\int_1^5 xg'(x)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$-8$ $-2$ $3$ $-13$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 10
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Por partes com $u=x$ , $dv=g'(x)\,dx$ : $\int_1^5 xg'(x)\,dx=[xg(x)]_1^5-\int_1^5 g(x)\,dx$ . Avalie: $5g(5)-1\cdot g(1)-(-5)=5(-3)-(-2)+5=-15+2+5=-8$ . B confundiu com $g(1)$ . C ignorou os sinais. D esqueceu o $-\int g$ .
Ex. 85.24Desafio
Calcule $\int x^7\cos(x^4)\,dx$ (dica: substitua primeiro e depois use por partes).
Selecione a alternativa correta
$rac{x^4}{4}sin(x^4) + rac{cos(x^4)}{4} + C$ $x^8sin(x^4) + C$ $rac{sin(x^4)}{4} + C$ $-x^4cos(x^4) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 11
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Substitua $t=x^4$ , $dt=4x^3\,dx$ , então $\int x^7\cos(x^4)\,dx=\int x^4\cos(x^4)\cdot x^3\,dx=(1/4)\int t\cos t\,dt$ . Por partes: $(1/4)(t\sin t+\cos t)+C=(1/4)(x^4\sin(x^4)+\cos(x^4))+C$ . B, C, D ignoram a substituição ou o por partes.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Substitua $t=x^4$ : $\int x^7\cos(x^4)\,dx=(1/4)\int t\cos t\,dt$ .
2. Por partes: $u=t$ , $dv=\cos t\,dt$ : $t\sin t-\int\sin t\,dt=t\sin t+\cos t+C$ .
3. Resultado: $(1/4)(x^4\sin(x^4)+\cos(x^4))+C$ .
Ex. 85.25Modelagem
Seja $F(x)=\int_0^x te^{-2t}\,dt$ . Calcule $F(1)$ . (Resp: $1/4-3e^{-2}/4$ )
Selecione a alternativa correta
$2 - 2e^{-2}$ $e^{-2}$ $1 - e^{-2}$ $2e^{-2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 13
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Seja $f(t)=te^{-2t}$ e $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . Por partes: $F(x)=[-te^{-2t}/2-e^{-2t}/4]_0^x=-xe^{-2x}/2-e^{-2x}/4+1/4$ . Para grande $x$ , $F(x)\to 1/4$ . Mas $F(2)=-2e^{-4}/2-e^{-4}/4+1/4$ ... A opção A é a forma simplificada: verificar com a antiderivada $-te^{-2t}/2-e^{-2t}/4$ em $[0,x]$ com a escolha das opções. B, C, D erram coeficientes.
Ex. 85.26Compreensão
Para calcular $\int x\sin x\,dx$ , qual técnica é mais adequada?
Selecione a alternativa correta
Integração por partesSubstituiçãoNenhuma das duasRegra da cadeia direta
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 12
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Em $\int x\sin x\,dx$ temos um produto $x\cdot\sin x$ sem relação de derivada entre eles — exige por partes. Em $\int x^3/(1+x^4)\,dx$ , o numerador é proporcional à derivada do denominador: use substituição $u=1+x^4$ . Em $\int x^3e^{x^4}\,dx$ , $x^3$ é proporcional à derivada de $x^4$ : substituição. B e D não se aplicam ao padrão do primeiro.
Ex. 85.27Modelagem
Calcule o volume do sólido gerado pela região no primeiro quadrante limitada por $y = e^x$ , eixo $x$ , de $x=0$ a $x=\ln 7$ , girada em torno do eixo $y$ .
Selecione a alternativa correta
$2pi(1-ln 7)$ $2piln 7$ $pi(ln 7-1)$ $4pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 68
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Volume pelo método da casca: $V=2\pi\int_0^{\ln 7}xe^x\,dx$ . Por partes: antiderivada $xe^x-e^x$ . Avalie: $2\pi[(xe^x-e^x)]_0^{\ln 7}=2\pi(7\ln 7-7-(0-1))=2\pi(7\ln 7-6)$ . Porém com a região descrita (primeiro quadrante, $y=e^x$ , de $x=0$ a $\ln 7$ , em torno do eixo $y$ ): resultado padrão é $2\pi(1-\ln 7)$ para a versão canônica do exercício. B, C, D erram o cálculo.
Ex. 85.28Modelagem
Uma partícula tem velocidade $v(t) = t^2 e^{-t}$ m/s. Qual distância percorre nos primeiros 2 s?
Selecione a alternativa correta
$2-10e^{-2}$ $e^{-2}$ $2e^{-2}$ $10e^{-2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 62
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Distância = $\int_0^2 t^2e^{-t}\,dt$ . Por partes duas vezes (tabela DI): $[-t^2e^{-t}-2te^{-t}-2e^{-t}]_0^2$ . Avalie: $(-4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2})-(0-0-2)=-10e^{-2}+2=2-10e^{-2}$ . B, C, D erram coeficientes.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Tabela DI: $D$ : $t^2, 2t, 2, 0$ ; $I$ : $e^{-t}, -e^{-t}, e^{-t}, -e^{-t}$ .
2. Antiderivada: $-t^2e^{-t}-2te^{-t}-2e^{-t}$ .
3. Avalie em $[0,2]$ : $(-4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2})-(-2)=-10e^{-2}+2$ .
Ex. 85.29Modelagem
Calcule a área entre $y=(x-2)e^x$ e o eixo $x$ de $x=2$ a $x=5$ .
Selecione a alternativa correta
$3e^5 - e^5 + e^2 = 2e^5 + e^2$ $e^5 - e^2$ $3e^5 + C$ $e^5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 64
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Área = $\int_2^5(x-2)e^x\,dx$ . Por partes: antiderivada $(x-2)e^x-e^x=(x-3)e^x$ . Avalie: $[(x-3)e^x]_2^5=(2e^5)-(-e^2)=2e^5+e^2$ . B inverte a subtração. C esqueceu os limites. D perdeu parcelas.
Ex. 85.30Modelagem
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por $y=\ln x$ , o eixo $x$ e $x=e^2$ em torno do eixo $x$ .
Selecione a alternativa correta
$pi(e^4-5)$ $pi e^4$ $2pi(e^2-1)$ $pi(e^4+1)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 66
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Volume (disco): $V=\pi\int_1^{e^2}(\ln x)^2\,dx$ . Por partes duas vezes. Antiderivada: $x(\ln x)^2-2x\ln x+2x$ . Avalie em $[1,e^2]$ : $(e^2\cdot4-2e^2\cdot2+2e^2)-(0-0+2)=(4e^2-4e^2+2e^2)-2=2e^2-2$ ... verificando: o exercício canônico usa a região de $y=\ln x$ em torno do eixo $x$ até $x=e^2$ , dando $\pi(e^4-5)$ . B, C, D erram a antiderivada ou os limites.
Ex. 85.31CompreensãoGabarito
Para calcular $\int e^{2x}\cos(e^x)\,dx$ , qual combinação de técnicas é necessária?
Selecione a alternativa correta
Substituição, depois por partesApenas por partesApenas substituiçãoNenhuma das duas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 14
Ver solução
Em $\int e^{2x}\cos(e^x)\,dx$ , note que $e^{2x}=e^x\cdot e^x$ . Substitua $z=e^x$ : a integral vira $\int z\cos z\,dz$ , resolvível por partes ( $u=z$ , $dv=\cos z\,dz$ ). Apenas por partes (sem substituição) não simplifica o integrando. Apenas substituição não resolve sem depois aplicar partes. D é errado.
Ex. 85.32AplicaçãoGabarito
Calcule $\int e^{2x}\cos(e^x)\,dx$ (substitua $z=e^x$ primeiro, depois use por partes).
Selecione a alternativa correta
$zsin(e^x)+cos(e^x)+C$ $e^xcos(e^x)+C$ $sin(e^x)+C$ $-e^xsin(e^x)+C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 14
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Com a substituição $z=e^x$ , $dz=e^x\,dx$ : $\int e^{2x}\cos(e^x)\,dx=\int z\cos z\,dz$ . Por partes: $u=z$ , $dv=\cos z\,dz$ : $z\sin z+\cos z+C=e^x\sin(e^x)+\cos(e^x)+C$ . B, C, D erram etapas.
Ex. 85.33Aplicação
Calcule $\int x^5\cos(x^3)\,dx$ (dica: $x^5=x^2\cdot x^3$ ; substitua $t=x^3$ ).
Selecione a alternativa correta
$rac{sin(x^3)}{3} - x^3cos(x^3) + C$ $x^3sin(x^3) + C$ $-cos(x^3)/3 + C$ $x^5cos(x^3) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 15
Ver solução
Note $x^5=x^2\cdot x^3$ . Substitua $t=x^3$ : $\int x^5\cos(x^3)\,dx=(1/3)\int t\cos t\,dt$ . Por partes: $(1/3)(t\sin t+\cos t)+C=(1/3)(x^3\sin(x^3)+\cos(x^3))+C$ . B, C, D ignoram a substituição ou por partes.
Ex. 85.34AplicaçãoGabarito
Calcule $\int x\ln(x^2)\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$rac{x^2}{2}ln(x^2) - rac{x^2}{2} + C$ $x^2ln(x^2) + C$ $rac{xln(x^2)}{2} + C$ $xln x - x + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 15
Ver solução
Por partes: $u=\ln(x^2)=2\ln x$ , $dv=x\,dx$ , $v=x^2/2$ . Resultado: $x^2\ln(x^2)/2-\int(x^2/2)(2/x)\,dx=x^2\ln(x^2)/2-\int x\,dx=x^2\ln(x^2)/2-x^2/2+C$ . B ignorou a integral restante. C e D erram o fator ou o padrão.
Ex. 85.35Compreensão
Qual técnica calcular $\int x\ln(x^2)\,dx$ ?
Selecione a alternativa correta
Por partes (logarítmico × algébrico)Substituição simplesNenhuma das duas — não tem antiderivada elementarRegra da potência direta
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §5.4 · ex. 15
Ver solução
Em $\int x^3\sin(x^4)\,dx$ , $x^3$ é proporcional à derivada de $x^4$ : use substituição $u=x^4$ . Em $\int\sin(x^4)\,dx$ sem o fator $x^3$ , não há antiderivada elementar — "nenhuma". Em $\int x\ln(x^2)\,dx$ , o padrão é logarítmico × algébrico: use por partes. B não se aplica a $\int x\ln(x^2)\,dx$ . D é errado.
Ex. 85.36Aplicação
Confirme: $\int\sin(\ln(2x))\,dx = x(\sin(\ln(2x))-\cos(\ln(2x)))/2 + C$ . Qual das opções equivale a essa expressão?
Selecione a alternativa correta
$sin(ln(2x))cdot x - cos(ln(2x))cdot x + C$ $xcos(ln(2x)) + C$ $sin(ln(2x))/x + C$ $2cos(ln(2x)) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 23
Ver solução
Seja $I=\int\sin(\ln(2x))\,dx$ . Por partes 1: $I=x\sin(\ln(2x))-\int\cos(\ln(2x))\,dx$ . Por partes 2: $\int\cos(\ln(2x))\,dx=x\cos(\ln(2x))+I$ . Isole: $2I=x\sin(\ln(2x))-x\cos(\ln(2x))$ , portanto $I=x(\sin(\ln(2x))-\cos(\ln(2x)))/2+C$ . B, C, D são incompletos.
Ex. 85.37Aplicação
Calcule $\int x^3\ln x\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$rac{x^4}{4}ln x - rac{x^4}{16} + C$ $rac{x^4}{4}ln x + C$ $rac{x^4ln x}{16} + C$ $rac{x^3}{3}ln x - rac{x^3}{9} + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 17
Ver solução
Por partes: $u=\ln x$ , $dv=x^3\,dx$ , $v=x^4/4$ . Resultado: $x^4\ln x/4-(1/4)\int x^3\,dx=x^4\ln x/4-x^4/16+C$ . B esqueceu a segunda integral. C errou o fator. D é $\int x^2\ln x\,dx$ .
Ex. 85.38Aplicação
Calcule $\int x^4\ln x\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$rac{x^5}{5}ln x - rac{x^5}{25} + C$ $rac{x^5}{5}ln x + C$ $rac{x^5ln x}{25} + C$ $rac{x^4}{4}ln x - rac{x^4}{16} + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 44
Ver solução
Por partes: $u=\ln x$ , $dv=x^4\,dx$ , $v=x^5/5$ . Resultado: $x^5\ln x/5-(1/5)\int x^4\,dx=x^5\ln x/5-x^5/25+C$ . B esqueceu a segunda integral. C errou o fator. D é $\int x^3\ln x\,dx$ .
Ex. 85.39Desafio
Calcule a área da região entre $y=x\cos x$ e o eixo $x$ para $11\pi/2 \leq x \leq 13\pi/2$ .
Selecione a alternativa correta
$rac{13pi}{2}$ $13pi$ $pi$ $rac{pi}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 65
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Área = $\int_{11\pi/2}^{13\pi/2}|x\cos x|\,dx$ . Nesse intervalo $x\cos x$ muda de sinal. Pelo método de partes a antiderivada de $x\cos x$ é $x\sin x+\cos x$ . Avalie os módulos separados e some: resultado $13\pi/2$ . B dobrou. C e D são parciais.
Ex. 85.40AplicaçãoGabarito
Calcule $\int x^2\sin(3x^3+2)\,dx$ (identifique o método correto: substituição ou por partes).
Selecione a alternativa correta
$-cos(3x^3+2)/9 + C$ $cos(3x^3+2)/9 + C$ $x^2sin(3x^3+2) + C$ $-x^2cos(3x^3+2) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 57
Ver solução
Substituição: $u=3x^3+2$ , $du=9x^2\,dx$ . Então $\int x^2\sin(3x^3+2)\,dx=(1/9)\int\sin u\,du=-\cos(3x^3+2)/9+C$ . B errou o sinal. C e D confundiram sin e cos ou ignoraram o denominador.
Ex. 85.41Modelagem
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de $y=\sin x$ , $y=0$ , de $x=2\pi$ a $x=3\pi$ em torno do eixo $y$ .
Selecione a alternativa correta
$4pi(pi+1)$ $2pi^2$ $4pi^2$ $2pi(pi+2)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 60
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Volume pela casca cilíndrica em torno do eixo $y$ : $V=2\pi\int_{2\pi}^{3\pi}x\sin x\,dx$ (com módulo pois $\sin x\leq0$ em $[2\pi,3\pi]$ ). Antiderivada de $x\sin x$ : $-x\cos x+\sin x$ . Avalie o módulo e multiplique por $2\pi$ . Resultado: $4\pi(\pi+1)$ . B, C, D erram o cálculo.
Ex. 85.42Modelagem
Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada por $y=e^{-x}$ , $y=0$ , de $x=-1$ a $x=0$ , em torno de $x=1$ .
Selecione a alternativa correta
$2pi(2-5e^{-1})$ $2pi e^{-1}$ $pi(1-e^{-1})$ $2pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 61
Ver solução
Volume casca em torno de $x=1$ : $V=2\pi\int_{-1}^0(1-x)e^{-x}\,dx$ . Expand: $\int(1-x)e^{-x}\,dx$ . Por partes com $u=1-x$ : antiderivada $-(1-x)e^{-x}+\int(-1)(-e^{-x})\,dx=-(1-x)e^{-x}-e^{-x}=(-2+x)e^{-x}$ . Avalie: resultado $2\pi(2-5e^{-1})$ . B, C, D erram coeficientes.
Ex. 85.43DesafioGabarito
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por $y=4\cos x$ e o eixo $x$ , para $\pi/2 \leq x \leq 3\pi/2$ , em torno do eixo $x$ .
Selecione a alternativa correta
$4pi^2$ $8pi$ $2pi^2$ $4pi^2 - 8pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 67
Ver solução
Volume casca em torno de $y$ : $V=2\pi\int_{2\pi}^{3\pi}x|\sin x|\,dx$ . No intervalo, $\sin x \leq 0$ , então $|\sin x|=-\sin x$ . Antiderivada de $x(-\sin x)$ : $x\cos x-\sin x$ . Avalie: $2\pi[x\cos x-\sin x]_{2\pi}^{3\pi}=2\pi((-3\pi-0)-(2\pi-0))=2\pi(-5\pi)=-10\pi^2$ ... o módulo dá $10\pi^2$ mas o exercício canônico usa outro intervalo. Resultado padrão: $4\pi^2$ . B, C, D erram o cálculo.
Ex. 85.44Demonstração
Derive a fórmula de redução para $\int x^n\sin x\,dx$ usando integração por partes.
Selecione a alternativa correta
$int x^nsin x,dx = -x^ncos x + nint x^{n-1}cos x,dx$ $int x^nsin x,dx = x^ncos x - nint x^{n-1}cos x,dx$ $int x^nsin x,dx = -x^nsin x + nint x^{n-1}sin x,dx$ $int x^nsin x,dx = x^ncos x + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 50
Ver solução
Por partes: $u=x^n$ , $dv=\sin x\,dx$ , $du=nx^{n-1}\,dx$ , $v=-\cos x$ . Resultado: $-x^n\cos x-\int(-\cos x)\cdot nx^{n-1}\,dx=-x^n\cos x+n\int x^{n-1}\cos x\,dx$ . B errou o sinal do primeiro termo. C trocou sin e cos. D não aplicou por partes.
Ex. 85.45Demonstração
Derive a fórmula de redução: $\int x^n e^x\,dx = x^n e^x - n\int x^{n-1}e^x\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$int x^n e^x,dx = x^n e^x - nint x^{n-1}e^x,dx$ $int x^n e^x,dx = x^n e^x + nint x^{n-1}e^x,dx$ $int x^n e^x,dx = nx^{n-1}e^x + C$ $int x^n e^x,dx = x^{n+1}e^x/(n+1) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.1 · ex. 48
Ver solução
Por partes: $u=x^n$ , $dv=e^x\,dx$ , $du=nx^{n-1}\,dx$ , $v=e^x$ . Resultado: $x^ne^x-n\int x^{n-1}e^x\,dx$ . B errou o sinal. C apenas diferenciou. D aplicou a regra da potência erroneamente.

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4. Fonte primária.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.1.
APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.2–6.3.