v1 · padrão canônico

Lição 86 — Integrais de funções racionais (frações parciais)

Decomposição P(x)/Q(x) em soma de frações simples. Raízes reais simples, multiplicidade e quadrático irredutível. Reduz a integrais elementares em ln ou arctan.

Usado em: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i} \frac{A_i}{(x - r_i)^{k_i}} + \sum_{j} \frac{B_j x + C_j}{(x^2 + p_j x + q_j)^{l_j}}

Frações parciais: toda função racional P/Q com grau de P menor que grau de Q decompõe-se em soma de termos simples — um para cada fator real ou quadrático irredutível de Q. Cada termo integra elementarmente: em ln ou arctan.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Teorema, procedimento e casos

Teorema de decomposição em frações parciais

Definição· Decomposição em frações parciais sobre ℝ

Sejam $P, Q \in \mathbb{R}[x]$ com $\deg P < \deg Q$ , e seja

$Q(x) = a \prod_{i=1}^{s}(x - r_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{t}(x^2 + p_j x + q_j)^{n_j}$

a fatoração completa de $Q$ sobre $\mathbb{R}$ (com $p_j^2 - 4q_j < 0$ — fatores quadráticos irredutíveis). Então existe uma decomposição única:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{A_{i,k}}{(x - r_i)^k} + \sum_{j=1}^{t} \sum_{l=1}^{n_j} \frac{B_{j,l} x + C_{j,l}}{(x^2 + p_j x + q_j)^l}.$

"We can always write the integrand as a sum of simpler rational functions using the method of partial fractions. The idea is to decompose the rational function into a sum of simpler pieces, each of which is easier to integrate." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4

Procedimento

Definição· Algoritmo de integração por frações parciais

Verifique o grau: se $\deg P \geq \deg Q$ , faça divisão polinomial primeiro: $P/Q = S(x) + R(x)/Q(x)$ com $\deg R < \deg Q$ .
Fatore $Q(x)$ completamente sobre $\mathbb{R}$ .
Escreva a forma genérica com constantes $A_{i,k}$ , $B_{j,l}$ , $C_{j,l}$ .
Determine as constantes:
- Cover-up (raízes simples): substitua $x = r_i$ diretamente.
- Coeficientes: expanda e iguale grau a grau.
- Derivadas (multiplicidade alta): derive a identidade de numeradores.
Integre cada termo segundo as regras:

\int \frac{A}{x - r}\, dx = A \ln\lvert x - r\rvert + C.

o que isso quer dizer · Integral de fração com raiz simples — resulta em logaritmo natural.

\int \frac{A}{(x - r)^k}\, dx = \frac{-A}{(k-1)(x-r)^{k-1}} + C, \quad k > 1.

o que isso quer dizer · Integral de fração com raiz repetida de multiplicidade k maior que 1.

Para o quadrático irredutível $(x^2 + px + q)$ com $p^2 - 4q < 0$ : complete o quadrado $(x + p/2)^2 + \beta^2$ e decomponha o numerador $Bx + C = B(x + p/2) + (C - Bp/2)$ . O primeiro termo integra em $\ln$ e o segundo em $\arctan$ .

"If the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, the rational function is called proper, and partial fractions works directly. If not, perform polynomial division first to reduce to a proper fraction." — APEX Calculus §6.5

Fórmula de Heaviside

Para raízes simples $r_1, \ldots, r_n$ de $Q$ :

A_i = \frac{P(r_i)}{Q'(r_i)}.

o que isso quer dizer · Fórmula direta dos resíduos para raízes simples — resultado do cover-up.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Raízes simples — cover-up (básico)

Problema. Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Estratégia. Fatorar denominador em raízes simples, aplicar cover-up, integrar cada $\ln$ .

Resolução.

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Decomposição: $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$ .

Multiplicando por $(x-1)(x+1)$ : $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .

Cover-up: $x = 1 \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ . $x = -1 \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ .

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\, dx = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C.$

Verificação. Derivando o resultado: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.1 — CC-BY-NC.

Exemplo— 2· Raiz de multiplicidade 2 (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ .

Estratégia. Fator com multiplicidade 2: dois termos na decomposição.

Resolução.

$\dfrac{x+1}{(x-2)^2} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{(x-2)^2}$ .

Multiplicando por $(x-2)^2$ : $x + 1 = A(x-2) + B$ .

Em $x = 2$ : $3 = B$ . Coeficiente de $x$ : $1 = A$ . Portanto $A = 1$ , $B = 3$ .

$\int \frac{x+1}{(x-2)^2}\, dx = \int \frac{1}{x-2}\, dx + \int \frac{3}{(x-2)^2}\, dx = \ln\lvert x - 2\rvert - \frac{3}{x - 2} + C.$

Verificação. Derive $\ln\lvert x-2\rvert - 3(x-2)^{-1}$ : $\frac{1}{x-2} + \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{x-2+3}{(x-2)^2} = \frac{x+1}{(x-2)^2}$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.40 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Quadrático irredutível (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ .

Estratégia. Fator linear + fator quadrático irredutível.

Resolução.

$\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1}$ .

Multiplicando por $(x^2+1)(x-1)$ : $x = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$ .

Em $x = 1$ : $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ .

Coeficiente de $x^2$ : $0 = A + B \Rightarrow B = -1/2$ .

Coeficiente de $x^0$ : $0 = A - C \Rightarrow C = 1/2$ .

$\int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)}\, dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan x + C.$

Verificação. Derivando o resultado confirma o integrando (álgebra).

Fonte. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.3 — CC-BY-NC.

Exemplo— 4· Grau alto — divisão polinomial primeiro (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Estratégia. $\deg P = 3 \geq \deg Q = 2$ : dividir primeiro.

Resolução.

Divisão: $\dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = x + \dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$ .

Frações parciais de $\dfrac{x+1}{x^2-1} = \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}$ (simplifica diretamente).

$\int \frac{x^3+1}{x^2-1}\, dx = \int x\, dx + \int \frac{1}{x-1}\, dx = \frac{x^2}{2} + \ln\lvert x-1\rvert + C.$

Verificação. Derivando: $x + \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)+1}{x-1} = \frac{x^2 - x + 1}{x-1}$ . Multiplique por $(x+1)/(x+1)$ : $\frac{(x^2-x+1)(x+1)}{x^2-1} = \frac{x^3+1}{x^2-1}$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.41 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Equação logística — frações parciais em EDO (desafio)

Problema. Resolva $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ usando frações parciais (passo-chave na solução da equação logística).

Estratégia. Reescrecer o denominador como produto; cover-up; integrar.

Resolução.

$\dfrac{1}{N(1 - N/K)} = \dfrac{1}{N\cdot\frac{K-N}{K}} = \dfrac{K}{N(K-N)}$ .

Decomposição: $\dfrac{K}{N(K-N)} = \dfrac{A}{N} + \dfrac{B}{K-N}$ .

Multiplicando: $K = A(K-N) + BN$ .

$N = 0$ : $K = AK \Rightarrow A = 1$ . $N = K$ : $K = BK \Rightarrow B = 1$ .

$\int \frac{dN}{N(1-N/K)} = \int \frac{dN}{N} + \int \frac{dN}{K - N} = \ln\lvert N\rvert - \ln\lvert K - N\rvert + C_0 = \ln\left\lvert\frac{N}{K-N}\right\rvert + C_0.$

Igualando a $rt + C_1$ e expoenciando: $\dfrac{N}{K-N} = Ae^{rt}$ , donde $N(t) = \dfrac{K}{1 + B e^{-rt}}$ .

Verificação. Confirme que $N(t) = K/(1 + Be^{-rt})$ satisfaz $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ (derivação direta).

Fonte. Active Calculus §5.5, Activity 5.5.2 — CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 21Compreensão 4Modelagem 4Desafio 9Demonstração 2

Ex. 86.1Aplicação
Decomponha $\dfrac{1}{(x-3)(x-2)}$ em frações parciais e encontre a forma da decomposição.
Selecione a alternativa correta
$\ln|x-3| - \ln|x-2| + C$ $\ln|(x-2)(x-3)| + C$ $\dfrac{1}{(x-2)(x-3)} + C$ $\ln|x-2| - \ln|x-3| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 182
Ver solução
Decompõe: $\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$ . Cover-up: $x=2: 1/(2-3)=-1=A$ ; $x=3: 1/(3-2)=1=B$ . Integral: $-\ln|x-2|+\ln|x-3|+C=\ln|x-3|-\ln|x-2|+C$ . B somou em vez de subtrair. C não integrou. D inverteu os sinais.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Decomponha: $\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$ .
2. Cover-up: $x=2: A=-1$ ; $x=3: B=1$ .
3. Integre: $\int\!\left(\frac{-1}{x-2}+\frac{1}{x-3}\right)dx=\ln|x-3|-\ln|x-2|+C$ .
Ex. 86.2Aplicação
Decomponha $\dfrac{x^2+1}{x(x+1)(x+2)}$ em frações parciais e calcule a integral correspondente.
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{2}\ln|x| - 2\ln|x+1| + \dfrac{5}{2}\ln|x+2| + C$ $\ln|x(x+1)(x+2)| + C$ $\dfrac{1}{2}\ln|x| + \ln|x+1| + C$ $\ln|x+1| - \ln|x+2| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 183
Ver solução
Decompõe: $\frac{x^2+1}{x(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}$ . Cover-up: $x=0: A=1/2$ ; $x=-1: B=-2$ ; $x=-2: C=5/2$ . Integral: $\tfrac{1}{2}\ln|x|-2\ln|x+1|+\tfrac{5}{2}\ln|x+2|+C$ . B não decompôs. C perdeu termos. D errou os denominadores.
Ex. 86.3Compreensão
Para integrar $\displaystyle\int\frac{3x^2}{x^2+1}\,dx$ , qual é o primeiro passo necessário?
Selecione a alternativa correta
Fazer divisão polinomial primeiro para obter uma fração própriaAplicar frações parciais diretamente ao integrandoSubstituir $u = x^2 + 1$ e integrarCompletar o quadrado no numerador
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 186
Ver solução
O integrando $3x^2/(x^2+1)$ tem grau do numerador igual ao do denominador. Divisão: $3x^2/(x^2+1)=3-3/(x^2+1)$ . B falha porque frações parciais exigem fração própria. C e D são inapropriados.
Ex. 86.4Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{4}\ln(x^2+1) - \dfrac{1}{2}\arctan x + C$ $\ln|x-1| + \arctan x + C$ $\dfrac{1}{2}\ln|(x-1)(x^2+1)| + C$ $\arctan x + C$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 188
Ver solução
Decompõe: $\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ . $x=1: A=1/2$ . Coef. $x^2: B=-1/2$ ; coef. $x^0: C=-1/2$ . Integral: $\tfrac{1}{2}\ln|x-1|-\tfrac{1}{4}\ln(x^2+1)-\tfrac{1}{2}\arctan x+C$ . B perdeu o logaritmo quadrático. C somou. D ignorou o fator linear.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Decompor: $A=1/2,\;B=-1/2,\;C=-1/2$ .
2. $\int(1/2)/(x-1)\,dx=\tfrac{1}{2}\ln|x-1|$ .
3. $\int(-x/2-1/2)/(x^2+1)\,dx=-\tfrac{1}{4}\ln(x^2+1)-\tfrac{1}{2}\arctan x$ .
Ex. 86.5Desafio
Decomponha $\dfrac{1}{x(x-1)(x-2)(x-3)}$ em frações parciais e calcule a integral correspondente.
Selecione a alternativa correta
$-\dfrac{1}{6}\ln|x| + \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \ln|x-2| + \dfrac{1}{6}\ln|x-3| + C$ $\ln|x(x-1)(x-2)(x-3)| + C$ $\dfrac{1}{6}\ln|x| - \dfrac{1}{6}\ln|x-3| + C$ $\dfrac{1}{(x-1)(x-2)} + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 191
Ver solução
Cover-up para quatro fatores: $x=0: A=-1/6$ ; $x=1: B=1/2$ ; $x=2: C=-1$ ; $x=3: D=1/6$ . Integral: $-\tfrac{1}{6}\ln|x|+\tfrac{1}{2}\ln|x-1|-\ln|x-2|+\tfrac{1}{6}\ln|x-3|+C$ . B não decompôs. C ignorou fatores centrais. D não integrou.
Ex. 86.6Aplicação
Decomponha $\dfrac{1}{x^4-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}$ em frações parciais e calcule a integral.
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{4}\ln|x-1| - \dfrac{1}{4}\ln|x+1| - \dfrac{1}{2}\arctan x + C$ $\ln|x^4-1| + C$ $\arctan x + \ln|x-1| + C$ $\dfrac{1}{4}\ln|(x-1)(x+1)| + \arctan x + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 192
Ver solução
Fatoração: $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ . Cover-up: $x=1: A=1/4$ ; $x=-1: B=-1/4$ ; coef. $x^3: A+B+C=0 \Rightarrow C=0$ ; coef. $x^0: -A+B-D=1 \Rightarrow D=-1/2$ . Integral: $\tfrac{1}{4}\ln|x-1|-\tfrac{1}{4}\ln|x+1|-\tfrac{1}{2}\arctan x+C$ . B não decompôs. C errou coeficientes. D somou.
Ex. 86.7AplicaçãoGabarito
Decomponha $\dfrac{3x^2}{x^3-1}=\dfrac{3x^2}{(x-1)(x^2+x+1)}$ em frações parciais.
Selecione a alternativa correta
$\ln|x-1| + \ln(x^2+x+1) + C$ $3\ln|x^3-1| + C$ $\ln|x-1| + \arctan x + C$ $\ln|x^3-1| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 193
Ver solução
Fator: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ . Decompõe: $A=1,\;B=2,\;C=-1$ . Integral: $\ln|x-1|+\int(2x-1)/(x^2+x+1)\,dx$ . Note $(x^2+x+1)'=2x+1$ e $2x-1=(2x+1)-2$ ; a parte principal é $\ln(x^2+x+1)$ . Resultado: $\ln|x-1|+\ln(x^2+x+1)+C$ . B não decompôs. C errou. D não distinguiu.
Ex. 86.8Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{(x-3)(x-2)}$ .
Selecione a alternativa correta
$\ln|x-3| - \ln|x-2| + C$ $\ln|(x-2)(x-3)| + C$ $\dfrac{-1}{(x-2)(x-3)} + C$ $\ln|x-2| - \ln|x-3| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 196
Ver solução
Decompõe: $1/((x-3)(x-2))=-1/(x-2)+1/(x-3)$ . Integral: $\ln|x-3|-\ln|x-2|+C$ . B somou. C não integrou. D inverteu os sinais.
Ex. 86.9Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{3x}{x^2+2x-8}\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$2\ln|x+4| + \ln|x-2| + C$ $\ln|x^2+2x-8| + C$ $3\ln|x+4| - \ln|x-2| + C$ $\ln|x+4| + 2\ln|x-2| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 197
Ver solução
Fator: $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$ . Cover-up: $x=-4: A=2$ ; $x=2: B=1$ . Integral: $2\ln|x+4|+\ln|x-2|+C$ . B integrou sem decompor. C errou A. D inverteu A e B.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fatorar: $(x+4)(x-2)$ .
2. Cover-up: $A=2,\;B=1$ .
3. Integrar: $2\ln|x+4|+\ln|x-2|+C$ .
Ex. 86.10DesafioGabarito
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{x(x-1)(x-2)(x-3)}$ (quatro fatores lineares simples).
Selecione a alternativa correta
$-\dfrac{1}{6}\ln|x| + \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \ln|x-2| + \dfrac{1}{6}\ln|x-3| + C$ $\ln|x(x-1)(x-2)(x-3)| + C$ $\dfrac{1}{6}\ln|x| - \dfrac{1}{6}\ln|x-3| + C$ $\dfrac{1}{(x-1)(x-2)} + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 200
Ver solução
Cover-up: $A=-1/6,\;B=1/2,\;C=-1,\;D=1/6$ . Integral: $-\tfrac{1}{6}\ln|x|+\tfrac{1}{2}\ln|x-1|-\ln|x-2|+\tfrac{1}{6}\ln|x-3|+C$ . B não decompôs. C ignorou fatores intermediários. D não integrou.
Ex. 86.11Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{2x^2+4x+22}{x^2+2x+10}\,dx$ (divisão polinomial + completar o quadrado).
Selecione a alternativa correta
$2x + \dfrac{2}{3}\arctan\!\left(\dfrac{x+1}{3}\right) + C$ $2x + \ln|x^2+2x+10| + C$ $2x + \arctan(x+1) + C$ $\ln(2x^2+4x+22) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 201
Ver solução
Divisão: $(2x^2+4x+22)/(x^2+2x+10)=2+2/(x^2+2x+10)$ . Complete quadrado: $(x+1)^2+9$ . $\int 2/((x+1)^2+9)\,dx=(2/3)\arctan((x+1)/3)$ . Resultado: $2x+(2/3)\arctan((x+1)/3)+C$ . B ignorou arctan. C usou argumento errado. D não fez a divisão.
Ex. 86.12Desafio
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{x^3-2x^2-4x+8}$ . (Dica: fatorar como $(x-2)^2(x+2)$ .)
Selecione a alternativa correta
$-\dfrac{1}{16}\ln|x-2| - \dfrac{1}{4(x-2)} + \dfrac{1}{16}\ln|x+2| + C$ $\ln|x^2(x-2)| + C$ $\dfrac{1}{2}\ln|(x-2)(x+2)| + C$ $\dfrac{1}{(x-2)^2} + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 205
Ver solução
Fatoração: $x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2)$ . Decompõe: $A=-1/16,\;B=1/4,\;C=1/16$ . Integral: $-\tfrac{1}{16}\ln|x-2|-\tfrac{1}{4(x-2)}+\tfrac{1}{16}\ln|x+2|+C$ . B não fatorou. C errou a multiplicidade. D derivou.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fatorar: $(x-2)^2(x+2)$ .
2. Decompor: $A=-1/16,\;B=1/4,\;C=1/16$ .
3. Integrar: $-\tfrac{1}{16}\ln|x-2|-\tfrac{1}{4(x-2)}+\tfrac{1}{16}\ln|x+2|+C$ .
Ex. 86.13DesafioGabarito
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{x^4-10x^2+9}$ . (Fatorar o denominador completamente.)
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{16}\ln\!\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right| + \dfrac{1}{48}\ln\!\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right| + C$ $\ln|x^4-10x^2+9| + C$ $\dfrac{1}{4}\arctan x + C$ $\dfrac{1}{4}\ln|x^2-1| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 206
Ver solução
Fator: $x^4-10x^2+9=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$ . Cover-up: $A=-1/16,\;B=1/16,\;C=1/48,\;D=-1/48$ . Integral: $\tfrac{1}{16}\ln|(x+1)/(x-1)|+\tfrac{1}{48}\ln|(x-3)/(x+3)|+C$ . B não decompôs. C assume denominador irredutível. D errou a fatoração.
Ex. 86.14DesafioGabarito
Calcule $\displaystyle\int\frac{2}{(x-4)(x^2+2x+6)}\,dx$ (fator linear + quadrático irredutível).
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{15}\ln|x-4| - \dfrac{1}{30}\ln(x^2+2x+6) - \dfrac{1}{3\sqrt{5}}\arctan\!\dfrac{x+1}{\sqrt{5}} + C$ $\ln|(x-4)(x^2+2x+6)| + C$ $\dfrac{2}{(x-4)(x^2+2x+6)} + C$ $\dfrac{1}{15}\ln|x-4| + \arctan(x+1) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 207
Ver solução
Decompõe: $A=1/15,\;B=-1/15,\;C=-2/5$ . Complete: $(x+1)^2+5$ . Integral: $\tfrac{1}{15}\ln|x-4|-\tfrac{1}{30}\ln(x^2+2x+6)-\tfrac{1}{3\sqrt{5}}\arctan((x+1)/\sqrt{5})+C$ . B não decompôs. C não integrou. D errou o arctan.
Ex. 86.15Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{x^2}{x^3-x^2+4x-4}\,dx$ . (Dica: fatorar o denominador.)
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{5}\ln|x-1| + \dfrac{2}{5}\ln(x^2+4) + \dfrac{2}{5}\arctan\dfrac{x}{2} + C$ $\ln|x^3-x^2+4x-4| + C$ $\ln|x-1| + \ln(x^2+4) + C$ $\dfrac{1}{5}\ln|x-1| + \arctan x + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 208
Ver solução
Fatorar: $(x-1)(x^2+4)$ . Decompor: $A=1/5,\;B=4/5,\;C=4/5$ . Integral: $\tfrac{1}{5}\ln|x-1|+\tfrac{2}{5}\ln(x^2+4)+\tfrac{2}{5}\arctan(x/2)+C$ . B não decompôs. C errou coeficientes. D perdeu o logaritmo quadrático.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fatorar denominador: $(x-1)(x^2+4)$ .
2. Decompor: $A=1/5,\;B=4/5,\;C=4/5$ .
3. Integrar: $\tfrac{1}{5}\ln|x-1|+\tfrac{2}{5}\ln(x^2+4)+\tfrac{2}{5}\arctan(x/2)+C$ .
Ex. 86.16Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{x^3+6x^2+3x+6}{x^3+2x^2}\,dx$ . (Divisão polinomial seguida de frações parciais.)
Selecione a alternativa correta
$x - \dfrac{3}{x} + 4\ln|x+2| + C$ $x + \ln|x^2(x+2)| + C$ $\ln|x^3+2x^2| + C$ $x + 3\ln|x| + 4\ln|x+2| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 209
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Divisão: $(x^3+6x^2+3x+6)/(x^3+2x^2)=1+(4x^2+3x+6)/(x^2(x+2))$ . Decompõe: $A=0,\;B=3,\;C=4$ . Integral: $x-3/x+4\ln|x+2|+C$ . B não fez a divisão. C integrou sem decompor. D usou A errado.
Ex. 86.17Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{3x+4}{(x^2+4)(3-x)}\,dx$ .
Selecione a alternativa correta
$-\ln|3-x| + \dfrac{1}{2}\ln(x^2+4) + C$ $\ln|(3-x)(x^2+4)| + C$ $\dfrac{3x+4}{(x^2+4)(3-x)} + C$ $\arctan(x/2) - \ln|3-x| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 211
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Decompõe: $A=1,\;B=1,\;C=0$ . Integral: $-\ln|3-x|+(1/2)\ln(x^2+4)+C$ . B não decompôs. C não integrou. D adicionou arctan desnecessário ( $C=0$ ).
Ex. 86.18AplicaçãoGabarito
Calcule $\displaystyle\int\frac{2}{(x+2)^2(2-x)}\,dx$ (fator linear simples + repetido).
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{8}\ln|x+2| - \dfrac{1}{2(x+2)} - \dfrac{1}{8}\ln|2-x| + C$ $\ln|(x+2)^2(2-x)| + C$ $\dfrac{2}{(x+2)(2-x)} + C$ $\dfrac{1}{4}\ln|x+2| - \dfrac{1}{4}\ln|2-x| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 212
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Decompõe: $A=1/8,\;B=1/2,\;C=1/8$ . Integral: $\tfrac{1}{8}\ln|x+2|-\tfrac{1}{2(x+2)}-\tfrac{1}{8}\ln|2-x|+C$ . B não decompôs. C não integrou. D ignorou o fator quadrático.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Decompor: $A=1/8,\;B=1/2,\;C=1/8$ .
2. $\int (1/8)/(x+2)\,dx=\tfrac{1}{8}\ln|x+2|$ .
3. $\int (1/2)/(x+2)^2\,dx=-\tfrac{1}{2(x+2)}$ .
4. $\int (1/8)/(2-x)\,dx=-\tfrac{1}{8}\ln|2-x|$ .
Ex. 86.19DesafioGabarito
Calcule $\displaystyle\int\frac{3x+4}{x^3-2x-4}\,dx$ . (Dica: teorema da raiz racional para fatorar o denominador.)
Selecione a alternativa correta
$\ln|x-2| - \dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+2) + C$ $\ln|x^3-2x-4| + C$ $\dfrac{3x+4}{x^3-2x-4} + C$ $\ln|x-2| + \arctan(x+1) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 213
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Raiz racional: $x=2$ . Fator: $(x-2)(x^2+2x+2)$ . Decompõe: $A=1,\;B=-1,\;C=-1$ . Numerador quadrático $-(x+1)$ ; $(x^2+2x+2)'=2(x+1)$ . Integral: $\ln|x-2|-\tfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)+C$ . B não decompôs. C não integrou. D tem sinal errado.
Ex. 86.20ModelagemGabarito
Calcule $\displaystyle\int_0^1\frac{e^x}{36-e^{2x}}\,dx$ . (Sub $u=e^x$ e frações parciais.)
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{12}\bigl[\ln(6+e)-\ln(6-e)-\ln7+\ln5\bigr]\approx0{,}053$ $\dfrac{1}{12}\ln(36-e^2)$ $\dfrac{1}{6}\arctan(e^x/6)\big|_0^1$ $\ln6-\ln(36-e)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 214
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Sub $u=e^x$ : $\int_1^e du/((6-u)(6+u))$ . Frações parciais: coef. $1/12$ cada. Integral: $\tfrac{1}{12}[\ln(6+u)-\ln(6-u)]_1^e\approx0{,}053$ . B tentou integrar diretamente. C confundiu com $u^2+36$ . D errou.
Ex. 86.21Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{e^x}{e^{2x}-e^x}\,dx$ . (Simplifique antes de aplicar frações parciais.)
Selecione a alternativa correta
$\ln(e^x-1) - x + C$ $\ln(e^{2x}-e^x) + C$ $e^x - \ln(e^x) + C$ $\ln e^x + \ln(e^x-1) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 215
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Simplifique: $e^x/(e^{2x}-e^x)=1/(e^x-1)$ . Sub $u=e^x$ : $\int du/(u(u-1))=\int(-1/u+1/(u-1))du$ . Integral: $\ln(e^x-1)-x+C$ . B não simplificou. C errou. D dobrou.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Simplificar: $e^x/(e^{2x}-e^x)=1/(e^x-1)$ .
2. Sub $u=e^x$ ; frações parciais: $-1/u+1/(u-1)$ .
3. Integrar: $\ln(e^x-1)-x+C$ .
Ex. 86.22AplicaçãoGabarito
Calcule $\displaystyle\int\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\,dx$ . (Sub trigonométrica + frações parciais.)
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{2}\ln|\cos x - 1| - \dfrac{1}{2}\ln|\cos x + 1| + C$ $\ln|\sin x| + C$ $\ln|1-\cos^2 x| + C$ $\arccos x + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 216
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Sub $u=\cos x$ : $\int(-du)/(1-u^2)=\int du/(u^2-1)$ . Frações parciais: $(1/2)/(u-1)-(1/2)/(u+1)$ . Integral: $\tfrac{1}{2}\ln|\cos x-1|-\tfrac{1}{2}\ln|\cos x+1|+C$ . B errou a sub. C integrou sem decompor. D confundiu.
Ex. 86.23Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos^2 x+\cos x-6}\,dx$ . (Sub $u=\cos x$ e frações parciais.)
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{5}\ln|\cos x + 3| - \dfrac{1}{5}\ln|\cos x - 2| + C$ $\ln|\cos^2 x + \cos x - 6| + C$ $\dfrac{\sin x}{\cos^2 x + \cos x - 6} + C$ $\dfrac{1}{5}\ln|\cos x - 2| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 217
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Sub $u=\cos x$ : $-\int du/((u+3)(u-2))$ . Frações parciais: $A=-1/5,\;B=1/5$ . Integral: $\tfrac{1}{5}\ln|\cos x+3|-\tfrac{1}{5}\ln|\cos x-2|+C$ . B não decompôs. C derivou. D só usou um fator.
Ex. 86.24Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{1+e^x}{1-e^x}\,dx$ . (Sub $u=e^x$ e frações parciais.)
Selecione a alternativa correta
$x - 2\ln|1-e^x| + C$ $\ln|1+e^x| + C$ $\ln|e^x-1| + x + C$ $e^x\ln|1-e^x| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 220
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Sub $u=e^x$ : $\int(1+u)/(u(1-u))\,du$ . Frações parciais: $A=1,\;B=2$ . Integral: $x-2\ln|1-e^x|+C$ . B errou a sub. C errou o sinal. D não integrou.
Ex. 86.25Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sin x(1-\sin x)}\,dx$ . (Sub $u=\sin x$ e frações parciais.)
Selecione a alternativa correta
$\ln|\sin x| - \ln|1-\sin x| + C$ $\ln|\sin x(1-\sin x)| + C$ $\dfrac{\cos x}{\sin x(1-\sin x)} + C$ $\ln|\sin x| + \ln|1-\sin x| + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 223
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Sub $u=\sin x$ : $\int du/(u(1-u))$ . Frações parciais: $1/u+1/(1-u)$ . Integral: $\ln|\sin x|-\ln|1-\sin x|+C$ . B somou. C derivou. D somou em vez de subtrair.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Sub $u=\sin x$ : $\int du/(u(1-u))$ .
2. Decompor: $1/u+1/(1-u)$ .
3. Integrar: $\ln|\sin x|-\ln|1-\sin x|+C$ .
Ex. 86.26Desafio
Calcule $\displaystyle\int\frac{e^x}{(e^{2x}-4)^2}\,dx$ . (Sub $u=e^x$ ; frações parciais com fator repetido.)
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{32}\ln\!\left|\dfrac{e^x+2}{e^x-2}\right| - \dfrac{e^x}{8(e^{2x}-4)} + C$ $\ln|e^{2x}-4| + C$ $\dfrac{1}{(e^{2x}-4)^2} + C$ $\dfrac{1}{4}\arctan(e^x/2) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 224
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Sub $u=e^x$ : $\int du/((u-2)^2(u+2)^2)$ . Quatro termos: $A=-1/32,\;B=1/16,\;C=1/32,\;D=1/16$ . Combinando: resultado é a opção A. B não decompôs. C não integrou. D confunde com $u^2+4$ .
Ex. 86.27Modelagem
Encontre a área da região limitada pela curva $y=x/(1+x)$ , o eixo $x$ e a reta $x=4$ .
Selecione a alternativa correta
$4-\ln5\approx2{,}39$ unidades quadradas $\ln5-4$ $4+\ln5$ $5-\ln4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 230
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$y=x/(1+x)=1-1/(1+x)$ . Área: $\int_0^4(1-1/(1+x))\,dx=[x-\ln(1+x)]_0^4=4-\ln5\approx2{,}39$ . B inverteu o sinal. C somou. D usou limites errados.
Ex. 86.28Modelagem
Encontre o volume do sólido gerado ao rotacionar a região limitada por $y=1/(x(3-x))$ , $y=0$ , $x=1$ e $x=2$ em torno do eixo $x$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{\pi}{9}\!\left(1+\dfrac{4\ln2}{3}\right)\approx0{,}672$ $\pi\ln2$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\pi\ln6$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 231
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Disco: $V=\pi\int_1^2[1/(x(3-x))]^2\,dx$ . Usando $1/(x(3-x))=(1/3)(1/x+1/(3-x))$ : quadrado expande em três termos. Integrado de 1 a 2: $V=\pi(1+(4/3)\ln2)/9\approx0{,}672$ . B e C ignoram a estrutura. D é errado.
Ex. 86.29Modelagem
A velocidade de uma partícula é $v(t)=88t^2/(t^2+1)$ . Qual a distância percorrida em $t=5$ s? (Divisão polinomial e integração direta.)
Selecione a alternativa correta
$88(5-\arctan5)\approx319$ m $440$ m $88\arctan5\approx121$ m $88\ln26\approx284$ m
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 232
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Distância: $88\int_0^5(1-1/(t^2+1))\,dt=88[t-\arctan t]_0^5=88(5-\arctan5)\approx319$ m. B ignora $1/(t^2+1)$ . C usa só arctan. D não fez a divisão.
Ex. 86.30Aplicação
Resolva a EDO $(t^2-7t+12)\dfrac{dx}{dt}=1$ , com $t>4$ e $x(5)=0$ .
Selecione a alternativa correta
$x=\ln\!\left(\dfrac{t-4}{2(t-3)}\right)$ $x=\ln|t-3|-\ln|t-4|$ $x=\ln|(t-3)(t-4)|+C$ $x=\dfrac{1}{(t-3)(t-4)}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 233
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Frações parciais de $1/((t-3)(t-4))$ : $A=-1,\;B=1$ . Integrar: $x=\ln|t-4|-\ln|t-3|+C$ . Condição $x(5)=0$ : $C=-\ln2$ . Simplificar: $x=\ln((t-4)/(2(t-3)))$ . B inverteu. C não usou condição inicial. D não integrou.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Separar: $dx=dt/((t-3)(t-4))$ .
2. Frações parciais: $A=-1,\;B=1$ .
3. Integrar: $x=\ln|t-4|-\ln|t-3|+C$ .
4. Condição $x(5)=0$ : $C=-\ln2$ ; simplificar: $x=\ln((t-4)/(2(t-3)))$ .
Ex. 86.31DesafioGabarito
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{x^3+1}$ . (Fatorar $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ e completar o quadrado.)
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{3}\ln|x+1| - \dfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$ $\dfrac{1}{3}\ln|x^3+1| + C$ $\arctan x + \ln|x+1| + C$ $\dfrac{1}{3}\ln|x+1| + \arctan(2x-1) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 239
Ver solução
Fator: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ . Decompõe: $A=1/3,\;B=-1/3,\;C=2/3$ . Complete quadrado: $(x-1/2)^2+3/4$ . Integral do quadrático resulta em $-\tfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+(1/\sqrt{3})\arctan((2x-1)/\sqrt{3})$ . Opção A. B usou ln da cúbica. C errou. D errou o arctan.
Ex. 86.32Compreensão
Para calcular $\displaystyle\int_0^\pi\frac{dx}{1+\sin x}$ , qual técnica é mais adequada?
Selecione a alternativa correta
Substituição de Weierstrass $t=\tan(x/2)$ transforma $\sin x$ e $\cos x$ em racionais de $t$ Integração por partes decompõe o seno em somasSubstituição $t=\sin x$ elimina o denominador diretamenteA integral não pode ser calculada por método elementar
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 241
Ver solução
Com $t=\tan(x/2)$ : $\sin x=2t/(1+t^2)$ , $\cos x=(1-t^2)/(1+t^2)$ , $dx=2\,dt/(1+t^2)$ . O integrando fica racional em $t$ e resolve-se por frações parciais. B não é o método. C não simplifica. D é falso.
Ex. 86.33Demonstração
Dado $t=\tan(x/2)$ , derive as fórmulas da substituição de Weierstrass: $dx$ , $\sin x$ e $\cos x$ em termos de $t$ .
Selecione a alternativa correta
$dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ , $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ , $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ $dx=\dfrac{1}{1+t^2}\,dt$ , $\sin x=t/(1+t^2)$ , $\cos x=1/(1+t^2)$ $dx=2\,dt$ , $\sin x=2t$ , $\cos x=1-t^2$ $dx=\dfrac{2}{1-t^2}\,dt$ , $\sin x=t$ , $\cos x=\sqrt{1-t^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 242
Ver solução
Com $t=\tan(x/2)$ : $dx=2\,dt/(1+t^2)$ ; $\sin x=2t/(1+t^2)$ ; $\cos x=(1-t^2)/(1+t^2)$ . Resultado: opção A. B, C, D são incorretas.
Ex. 86.34Compreensão
Na decomposição em frações parciais, qual é a forma correta do numerador para um fator quadrático irredutível $(x^2+px+q)$ ?
Selecione a alternativa correta
Numerador linear $Bx+C$ para cada fator quadrático irredutívelNumerador constante $B$ para cada fator quadráticoNumerador quadrático $Bx^2+C$ para cada fator quadráticoNenhum termo — apenas fatores lineares contribuem
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 195
Ver solução
Para fator $(x^2+px+q)$ irredutível, o numerador é da forma $Bx+C$ . B usa só constante (insuficiente). C excede o grau necessário. D ignora fatores quadráticos.
Ex. 86.35Aplicação
Qual é a forma correta da decomposição em frações parciais de $\dfrac{P(x)}{(x+1)(x^2+4)^2}$ ?
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4}+\dfrac{Dx+E}{(x^2+4)^2}$ $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x^2+4}$ $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x^2+4)^2}$ $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x^2+4}+\dfrac{C}{(x^2+4)^2}$ (numeradores constantes)
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 195
Ver solução
O denominador $(x+1)(x^2+4)^2$ tem fator linear simples e fator quadrático irredutível de multiplicidade 2. Os dois termos quadráticos precisam de numeradores lineares: $(Bx+C)/(x^2+4)+(Dx+E)/(x^2+4)^2$ . B ignora a multiplicidade. C omite o primeiro. D usa numeradores constantes (errado).
Ex. 86.36Aplicação
Calcule $\displaystyle\int\frac{3x^2}{x^2+1}\,dx$ . (Divisão polinomial primeiro.)
Selecione a alternativa correta
$3x - 3\arctan x + C$ $3x + 3\arctan x + C$ $3\arctan x + C$ $x^2/2 + 3\ln(x^2+1) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 186
Ver solução
Divisão: $3x^2/(x^2+1)=3-3/(x^2+1)$ . Integral: $3x-3\arctan x+C$ . B erra o sinal. C não fez a parte polinomial. D usou logaritmo sem justificativa.
Ex. 86.37Compreensão
Quando é necessário fazer divisão polinomial antes de aplicar frações parciais?
Selecione a alternativa correta
Quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominadorSempre que o denominador tiver fatores quadráticosQuando o denominador tiver mais de dois fatoresQuando o numerador tiver coeficientes negativos
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 186
Ver solução
A divisão é necessária quando $\deg(P)\geq\deg(Q)$ . Frações parciais exigem fração própria. B, C e D são irrelevantes.
Ex. 86.38Desafio
Qual é a principal conexão teórica entre frações parciais e a análise complexa?
Selecione a alternativa correta
Conecta frações parciais com a teoria de resíduos de Cauchy no cálculo complexoPermite integrar polinômios sem a regra da potênciaElimina a necessidade de completar o quadradoFunciona apenas para denominadores com raízes reais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 192
Ver solução
Sobre $\mathbb{C}$ , o coeficiente $A_{k,1}$ de $1/(x-z_k)$ é o resíduo de $P/Q$ em $z_k$ , conectando frações parciais ao Teorema dos Resíduos de Cauchy. B, C e D são falsos.
Ex. 86.39Demonstração
Qual enunciado sobre fatoração de polinômios reais fundamenta a existência de fatores quadráticos irredutíveis nas frações parciais?
Selecione a alternativa correta
Polinômios de grau ímpar sempre têm raiz real; de grau par podem não terTodo polinômio real tem pelo menos uma raiz realPolinômios de grau ímpar podem não ter raízes reaisTodo polinômio fatora inteiramente em lineares sobre $\mathbb{R}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 193
Ver solução
Grau ímpar: sempre tem raiz real (Teorema do Valor Intermediário). Grau par: pode não ter (ex.: $x^2+1$ ). Isso fundamenta a existência de fatores quadráticos irredutíveis sobre $\mathbb{R}$ . B é falso para grau par. C é falso. D é falso sobre $\mathbb{R}$ .
Ex. 86.40AplicaçãoGabarito
Confirme: $\displaystyle\int\frac{3x^2}{x^2+1}\,dx = ?$
Selecione a alternativa correta
$3x - 3\arctan x + C$ $3\arctan x + C$ $3x + \arctan x + C$ $x^2/2 + \ln(x^2+1) + C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 186
Ver solução
Divisão: $3x^2/(x^2+1)=3-3/(x^2+1)$ . Integra: $3x-3\arctan x+C$ . B só integrou o segundo termo. C errou o sinal. D não justificado.

Fontes

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.5. Fonte primária.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.4.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.5.