v1 · padrão canônico

Lição 87 — Integrais trigonométricas e substituição trigonométrica

∫ sinⁿcos^m via identidades e sub u. Substituição trigonométrica para radicais √(a²±x²) e √(x²−a²). Fórmulas de redução de potências.

Usado em: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\int \sin^n x \cos^m x\, dx \quad \bigg| \quad x = a\sin\theta,\; x = a\tan\theta,\; x = a\sec\theta

Integrais trig: identidades reduzem potências de seno e cosseno a formas integráveis. Substituição trigonométrica elimina radicais: x = a sin θ para √(a² − x²); x = a tan θ para √(a² + x²); x = a sec θ para √(x² − a²).

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Identidades, padrões e substituições

Identidades fundamentais

Padrões para $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$

Definição· Estratégia segundo paridade dos expoentes

Situação	Estratégia
$n$ ímpar	Reserve $\sin x\, dx$ ; converta $\sin^{n-1}$ via $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ; substitua $u = \cos x$
$m$ ímpar	Reserve $\cos x\, dx$ ; converta $\cos^{m-1}$ via $\cos^2 = 1 - \sin^2$ ; substitua $u = \sin x$
Ambos pares	Use half-angle repetidamente

Para $\int \tan^n x \sec^m x\, dx$ :

Situação	Estratégia
$m$ par	Reserve $\sec^2 x\, dx$ ; converta via $\sec^2 = 1 + \tan^2$ ; sub $u = \tan x$
$n$ ímpar	Reserve $\sec x \tan x\, dx$ ; converta via $\tan^2 = \sec^2 - 1$ ; sub $u = \sec x$

"The strategy for integrating a product of powers of sine and cosine depends on the parities of the exponents involved. When one of the exponents is odd, we 'peel off' one factor and use the Pythagorean identity to convert the remaining even power." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2

Substituição trigonométrica

"The idea behind trigonometric substitution is to replace an expression involving a square root with a trigonometric expression, which is easier to integrate." — APEX Calculus §6.4

Fórmulas de redução

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Potência ímpar de seno (básico)

Problema. Calcule $\int \sin^3 x\, dx$ .

Estratégia. Expoente ímpar: reserve $\sin x\, dx$ , converta $\sin^2 = 1 - \cos^2$ , substitua $u = \cos x$ .

Resolução.

$\int \sin^3 x\, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\, dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\, dx$ .

Sub $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ :

$-\int (1 - u^2)\, du = -u + u^3/3 + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ .

Verificação. Derivando: $\sin x - \cos^2 x\sin x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin^3 x$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.3, Example 6.3.1 — CC-BY-NC.

Exemplo— 2· Expoentes pares — half-angle (básico)

Problema. Calcule $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .

Estratégia. Ambos pares: use $\sin x\cos x = \sin(2x)/2$ e depois half-angle.

Resolução.

$\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$ .

$\int \sin^2 x\cos^2 x\, dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C.$

Verificação. Derivando: $1/8 - \cos(4x)/8 = (1 - \cos 4x)/8 = \sin^2(2x)/4 = \sin^2 x\cos^2 x$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2, Example 3.12 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Substituição x = a sin θ para √(a² − x²) (intermediário)

Problema. Calcule $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .

Estratégia. Radical $\sqrt{a^2 - x^2}$ com $a = 2$ : sub $x = 2\sin\theta$ .

Resolução.

$dx = 2\cos\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ (com $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ ).

$\int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\, d\theta = 4\int\cos^2\theta\, d\theta = 4\cdot\frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$ .

Triângulo de referência ( $\sin\theta = x/2$ , hipotenusa 2, cateto adjacente $\sqrt{4-x^2}$ ):

$\theta = \arcsin(x/2)$ ; $\cos\theta = \sqrt{4-x^2}/2$ .

Resultado: $2\arcsin(x/2) + 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin(x/2) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$ .

Verificação. Derivando (regra da cadeia): $\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{\sqrt{4-x^2} - x^2/\sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{4 - 2x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2}$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.4, Example 6.4.2 — CC-BY-NC.

Exemplo— 4· Substituição x = a tan θ para √(a² + x²) (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .

Estratégia. Radical $\sqrt{a^2 + x^2}$ com $a = 1$ : sub $x = \tan\theta$ .

Resolução.

$dx = \sec^2\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$ .

$\int \frac{\sec^2\theta}{\sec\theta}\, d\theta = \int \sec\theta\, d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C$ .

Triângulo ( $\tan\theta = x$ , hipotenusa $\sqrt{1+x^2}$ ): $\sec\theta = \sqrt{1+x^2}$ , $\tan\theta = x$ .

Resultado: $\ln\lvert x + \sqrt{1+x^2}\rvert + C$ (equivalente a $\text{arcsinh}(x) + C$ ).

Verificação. Derivando $\ln(x + \sqrt{1+x^2})$ : $\frac{1 + x/\sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} = \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)/\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.3, Example 3.15 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Fórmula de redução e aplicação (desafio)

Problema. Derive a fórmula de redução $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ e use-a para calcular $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx$ .

Estratégia. Derivar por partes; aplicar para $n = 4$ e $n = 2$ .

Resolução.

Derivação: $u = \sin^{n-1}x$ , $dv = \sin x\, dx$ . $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\, dx$ , $v = -\cos x$ .

$\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\, dx$ .

Substitua $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$(n-1)\int(1 - \sin^2 x)\sin^{n-2}x\, dx = (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx - (n-1)\int\sin^n x\, dx$ .

Reorganize: $n\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx$ . Divida por $n$ .

Aplicação: $n = 4$ : $\int\sin^4 x\, dx = -\frac{\sin^3 x\cos x}{4} + \frac{3}{4}\int\sin^2 x\, dx$ .

$\int\sin^2 x\, dx = x/2 - \sin(2x)/4$ .

Avaliando em $[0, \pi/2]$ : $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = 0 + \frac{3}{4}\left[\frac{\pi}{4} - 0\right] = \frac{3\pi}{16}$ .

Verificação. Fórmula de Wallis: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = \frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ . Confirma.

Fonte. APEX Calculus §6.3, Theorem 6.3.1 — CC-BY-NC.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 23Compreensão 6Modelagem 7Desafio 3Demonstração 1

Fontes

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.3–6.4. Fonte primária.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.2–3.3.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4–5.5.

Identidades, padrões e substituições

Identidades fundamentais

Padrões para ∫sin⁡nxcos⁡mx dx\int \sin^n x \cos^m x\, dx∫sinnxcosmxdx

Substituição trigonométrica

Fórmulas de redução

Exemplos resolvidos

Fontes

Padrões para $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$