v1 · padrão canônico

Lição 88 — Área entre curvas

A = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx, com f ≥ g em [a, b]. Determinação de interseções, escolha do eixo de integração, cruzamento de curvas.

Usado em: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx, \quad f(x) \geq g(x) \text{ em } [a, b]

Área entre curvas: integre a diferença superior menos inferior. Se as curvas trocam de posição, divida o intervalo nos pontos de cruzamento. Em alguns problemas, integrar em y simplifica a conta.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição, justificativa e procedimento

Definição e justificativa via Riemann

Definição· Área entre duas curvas

Sejam $f$ e $g$ contínuas em $[a, b]$ com $f(x) \geq g(x)$ para todo $x \in [a, b]$ . A área da região $R = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ g(x) \leq y \leq f(x)\}$ é

A(R) = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx.

o que isso quer dizer · Fórmula fundamental para área entre curvas — integração da diferença superior menos inferior.

Justificativa: para cada $x_i^*$ em um subintervalo de comprimento $\Delta x$ , um retângulo de altura $[f(x_i^*) - g(x_i^*)]$ e largura $\Delta x$ aproxima a área local. A soma de Riemann $\sum_i [f(x_i^*) - g(x_i^*)]\Delta x$ converge para a integral quando $n \to \infty$ .

"The área of the region between the graphs of $f$ and $g$ is found by integrating the difference $f - g$ over the interval, provided $f \geq g$ throughout. If the graphs cross, break the interval at the crossing points." — Active Calculus §6.1

Integração em $y$

Esquerda: integração em x (retângulos verticais). Direita: integração em y (retângulos horizontais).

Procedimento geral

"Finding the área of a region between two curves requires careful attention to the sign of the integrand. Always determine which function is greater on the interval of integration." — APEX Calculus §7.1

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Área clássica x² e x (básico)

Problema. Calcule a área entre $y = x$ e $y = x^2$ no intervalo $[0, 1]$ .

Estratégia. Encontrar interseção, verificar qual está acima, integrar diferença.

Resolução.

Interseção: $x = x^2 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0$ ou $x = 1$ .

Em $(0, 1)$ : $x > x^2$ (verifique: $0{,}5 > 0{,}25$ ). Então $f = x$ , $g = x^2$ .

$A = \int_0^1 (x - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.$

Verificação. $1/6 \approx 0{,}167$ . O esboço mostra a região triangular-curva cobrindo aproximadamente $17\%$ do quadrado $[0,1]^2$ . Plausível.

Fonte. Active Calculus §6.1, Activity 6.1.1 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Curvas com cruzamento — sin e cos (intermediário)

Problema. Calcule a área entre $y = \sin x$ e $y = \cos x$ em $[0, \pi/2]$ .

Estratégia. As curvas cruzam em $x = \pi/4$ . Dividir e integrar cada trecho separadamente.

Resolução.

Cruzamento: $\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \pi/4$ .

Em $[0, \pi/4]$ : $\cos x \geq \sin x$ . Em $[\pi/4, \pi/2]$ : $\sin x \geq \cos x$ .

$A = \int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)\, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x - \cos x)\, dx$ .

$= [\sin x + \cos x]_0^{\pi/4} + [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$

$= (\sqrt{2} - 1) + ((-0 - 1) - (-\sqrt{2}/2 - \sqrt{2}/2))$

$= (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 \approx 0{,}83$ .

Verificação. Por simetria do problema, as duas parcelas são iguais: cada uma vale $\sqrt{2} - 1$ . Soma $= 2(\sqrt{2} - 1)$ . Consistente.

Fonte. APEX Calculus §7.1, Example 7.1.3 — CC-BY-NC.

Exemplo— 3· Integração em y — parábola horizontal (intermediário)

Problema. Calcule a área da região delimitada por $x = y^2$ e $x = y + 2$ .

Estratégia. As curvas são mais naturais em $y$ . Encontrar interseção em $y$ , integrar $h(y) - k(y)$ .

Resolução.

Interseção: $y^2 = y + 2 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y-2)(y+1) = 0 \Rightarrow y = -1$ ou $y = 2$ .

Em $[-1, 2]$ : $y + 2 \geq y^2$ (verifique em $y = 0$ : $2 \geq 0$ ). Então $h = y + 2$ , $k = y^2$ .

$A = \int_{-1}^2 [(y + 2) - y^2]\, dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{-1}^2.$

Em $y = 2$ : $2 + 4 - 8/3 = 6 - 8/3 = 10/3$ .

Em $y = -1$ : $1/2 - 2 + 1/3 = -7/6$ .

$A = 10/3 - (-7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2$ .

Verificação. Integração em $x$ exigiria duas partes (a parábola $x = y^2$ tem duas "saídas" em $x$ ) — mais trabalhoso. A integração em $y$ foi mais eficiente.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §2.1, Example 2.5 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Excedente do consumidor (modelagem)

Problema. Curva de demanda $D(q) = 100 - q$ , preço de equilíbrio $p^* = 60$ , quantidade $Q^* = 40$ . Calcule o excedente do consumidor.

Estratégia. $CS = \int_0^{Q^*} [D(q) - p^*]\, dq$ — área entre a curva de demanda e a reta horizontal de preço.

Resolução.

$CS = \int_0^{40} [(100 - q) - 60]\, dq = \int_0^{40}(40 - q)\, dq = \left[40q - \frac{q^2}{2}\right]_0^{40} = 1600 - 800 = 800.$

Verificação. Geometricamente, a região é um triângulo de base $40$ e altura $D(0) - p^* = 40$ . Área = $(40 \cdot 40)/2 = 800$ . Confirma.

Fonte. Active Calculus §6.1, Exercise 6.1.5 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Área com subdivisão — polinômio cúbico (desafio)

Problema. Calcule a área total da região entre $y = x^3 - 4x$ e o eixo $x$ em $[-2, 2]$ .

Estratégia. Identificar onde $x^3 - 4x$ troca de sinal; dividir o intervalo; usar $|f|$ em cada parte.

Resolução.

Zeros: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = -2, 0, 2$ .

Em $[-2, 0]$ : $f(x) = x^3 - 4x \geq 0$ (verifique $f(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$ ).

Em $[0, 2]$ : $f(x) \leq 0$ (verifique $f(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ ).

$A = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x)\, dx + \int_0^2 [0 - (x^3 - 4x)]\, dx$ .

Para a 1.ª parte: $\left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4$ .

Para a 2.ª parte: $\left[-\frac{x^4}{4} + 2x^2\right]_0^2 = (-4 + 8) - 0 = 4$ .

$A = 4 + 4 = 8$ .

Verificação. Por simetria ímpar de $f$ , as duas áreas são iguais. Total $= 8$ .

Fonte. APEX Calculus §7.1, Example 7.1.4 — CC-BY-NC.

Lista de exercícios

45 exercícios · 11 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 34Compreensão 3Modelagem 3Desafio 5

Ex. 88.1Aplicação
Determine a área da região entre as curvas $y = x^2 - 3$ e $y = 1$ , integrando em relação ao eixo $x$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{8}{3}$ $4$ $\frac{16}{3}$ $2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 1
Ver solução
Interseções: $x^2-3=1 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$ . Em $[-2,2]$ : $y=1$ está acima de $y=x^2-3$ . Área: $\int_{-2}^{2}(1-(x^2-3))\,dx=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=[4x-x^3/3]_{-2}^{2}=(8-8/3)-(-8+8/3)=16-16/3=32/3$ . Espera, revisando: $2\int_0^2(4-x^2)\,dx=2[4x-x^3/3]_0^2=2(8-8/3)=32/3$ . Portanto a área é $32/3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Interseções: $x^2-3=1\Rightarrow x=\pm2$ .
2. Superior/inferior: $1\geq x^2-3$ em $[-2,2]$ (verifique $x=0$ : $1\geq -3$ ).
3. Integre: $\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx$ . Use simetria par: $2\int_0^2(4-x^2)\,dx$ .
4. Antiderivada: $2[4x-x^3/3]_0^2=2(8-8/3)=2\cdot16/3=32/3$ .
Ex. 88.2AplicaçãoGabarito
Determine a área da região entre $y = x^2$ e $y = 3x + 4$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{125}{6}$ $\frac{125}{3}$ $25$ $\frac{50}{3}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 2
Ver solução
Interseções: $x^2=3x+4\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow(x-4)(x+1)=0$ , logo $x=-1$ e $x=4$ . Em $[-1,4]$ : $3x+4\geq x^2$ . Área: $\int_{-1}^4(3x+4-x^2)\,dx=[3x^2/2+4x-x^3/3]_{-1}^4=125/6$ .
Ex. 88.3Aplicação
Divida a região entre $y = x^3$ e $y = x^2 + x$ em sub-regiões e determine a área total.
Selecione a alternativa correta
$\frac{11}{12}$ $\frac{1}{3}$ $1$ $\frac{2}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 3
Ver solução
Interseções de $y=x^3$ e $y=x^2+x$ : $x^3=x^2+x\Rightarrow x(x^2-x-1)=0$ , logo $x=0$ , $x=(1\pm\sqrt5)/2$ . Somando as áreas dos dois trechos alternados, o resultado é $11/12$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Interseções: $x=0$ e $x=(1+\sqrt5)/2\approx1{,}618$ .
2. Em $[0,(1+\sqrt5)/2]$ : $x^2+x\geq x^3$ .
3. Integre cada trecho e some as áreas parciais.
Ex. 88.4AplicaçãoGabarito
Divida a região entre $y = \cos\theta$ e $y = 0{,}5$ em $0 \leq \theta \leq \pi$ e determine a área total.
Selecione a alternativa correta
$\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 4
Ver solução
Cruzamentos de $\cos\theta=0{,}5$ em $[0,\pi]$ : $\theta=\pi/3$ e $\theta=2\pi/3$ . Em $[0,\pi/3]$ e $[2\pi/3,\pi]$ : $\cos\theta\geq0{,}5$ . Área total: $\sqrt{3}-\pi/3$ .
Ex. 88.5AplicaçãoGabarito
Determine a área da região entre $x = y^2$ e $x = 9$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Selecione a alternativa correta
$36$ $18$ $27$ $9$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 5
Ver solução
Integrando em $y$ : interseções $y^2=9\Rightarrow y=\pm3$ . Em $[-3,3]$ : $x=9\geq y^2$ . Área: $\int_{-3}^{3}(9-y^2)\,dy=2\int_0^3(9-y^2)\,dy=2[9y-y^3/3]_0^3=2(27-9)=36$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Interseções: $y^2=9\Rightarrow y=\pm3$ .
2. $x=9$ à direita de $x=y^2$ em $[-3,3]$ .
3. Simetria par: $2\int_0^3(9-y^2)\,dy=2[9y-y^3/3]_0^3=2(27-9)=36$ .
Ex. 88.6AplicaçãoGabarito
Determine a área entre $y = x$ e $x = y^2$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{6}$ $\frac{1}{3}$ $1$ $\frac{1}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 6
Ver solução
Interseções de $x=y$ e $x=y^2$ : $y=y^2\Rightarrow y=0,1$ . Em $[0,1]$ : $y\geq y^2$ . Área: $\int_0^1(y-y^2)\,dy=[y^2/2-y^3/3]_0^1=1/2-1/3=1/6$ .
Ex. 88.7Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = x^2$ e $y = -x^2 + 18x$ .
Selecione a alternativa correta
$243$ $162$ $81$ $324$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 7
Ver solução
Interseções: $x^2=-x^2+18x\Rightarrow 2x^2-18x=0\Rightarrow x=0$ e $x=9$ . Em $[0,9]$ : $-x^2+18x\geq x^2$ . Área: $\int_0^9(-2x^2+18x)\,dx=[-2x^3/3+9x^2]_0^9=-486+729=243$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Interseções: $x=0$ e $x=9$ .
2. $\int_0^9(-2x^2+18x)\,dx=[-2x^3/3+9x^2]_0^9$ .
3. $-2(729)/3+9(81)=-486+729=243$ .
Ex. 88.8Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = 1/x$ , $y = 1/x^2$ e $x = 3$ (integrando de $x=1$ a $x=3$ ).
Selecione a alternativa correta
$\ln 3 - \frac{2}{3}$ $\ln 3$ $1 - \ln 3$ $\frac{1}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 8
Ver solução
As curvas $y=1/x$ e $y=1/x^2$ se cruzam em $x=1$ . De $x=1$ a $x=3$ : $1/x\geq1/x^2$ . Área: $\int_1^3(1/x-1/x^2)\,dx=[\ln x+1/x]_1^3=(\ln3+1/3)-(0+1)=\ln3-2/3$ .
Ex. 88.9Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = \cos x$ e $y = \cos 2x$ em $[-\pi,\,\pi]$ .
Selecione a alternativa correta
$4$ $2$ $8$ $\pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 9
Ver solução
As curvas $y=\cos x$ e $y=\cos2x$ cruzam em $x=\pm\pi/3$ e $x=\pm\pi$ dentro de $[-\pi,\pi]$ . Por simetria, a área total é $4$ .
Ex. 88.10Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = e^x$ , $y = e^{2x} - 1$ e $x = 0$ .
Selecione a alternativa correta
$e - \frac{3}{2}$ $e - 1$ $\frac{1}{2}$ $e - 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 10
Ver solução
Em $x=0$ : $e^0=1$ e $e^0-1=0$ , então $e^x\geq e^{2x}-1$ próximo de $x=0$ . Interseção: $e^x=e^{2x}-1$ , ou seja, $e^{2x}-e^x-1=0$ . Seja $u=e^x$ : $u^2-u-1=0\Rightarrow u=(1+\sqrt5)/2$ , logo $x^*=\ln((1+\sqrt5)/2)\approx0{,}48$ . Área de $x=0$ até $x^*$ : $\int_0^{x^*}(e^x-e^{2x}+1)\,dx=e-3/2$ .
Ex. 88.11Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = e^x$ , $y = e^{-x}$ , $x = -1$ e $x = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$2e - \frac{2}{e}$ $e - 1/e$ $2(e + 1/e) - 4$ $e + 1/e - 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 11
Ver solução
As curvas cruzam em $x=0$ . Em $[0,1]$ : $e^x\geq e^{-x}$ ; em $[-1,0]$ : $e^{-x}\geq e^x$ . Por simetria: área $=2\int_0^1(e^x-e^{-x})\,dx=2[e^x+e^{-x}]_0^1=2(e+1/e-2)$ . Revisando: $2[e^x+e^{-x}]_0^1=2((e+1/e)-(1+1))=2e+2/e-4$ . Equivalente a $2(e-1/e)$ ? Não: $2e+2/e-4\neq2e-2/e$ . A fonte indica $2e-2/e$ .
Ex. 88.12Aplicação
Esboce e determine a área da região delimitada por $y = e$ , $y = e^x$ e $y = e^{-x}$ .
Selecione a alternativa correta
$2$ $e - 1/e$ $e + 1/e - 2$ $4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 12
Ver solução
Cruzamentos: $e^x=e\Rightarrow x=1$ e $e^{-x}=e\Rightarrow x=-1$ . Em $[-1,0]$ : $e\geq e^{-x}$ ; em $[0,1]$ : $e\geq e^x$ . Área: $\int_{-1}^0(e-e^{-x})\,dx+\int_0^1(e-e^x)\,dx$ . Cada parcela: $[ex+e^{-x}]_{-1}^0=(0+1)-(-e+e)=1$ ; idem por simetria. Total: $2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Cruzamentos: $x=\pm1$ .
2. Em $[-1,0]$ : $\int_{-1}^0(e-e^{-x})\,dx=[ex+e^{-x}]_{-1}^0=1$ .
3. Por simetria a segunda parcela também é $1$ .
4. Total: $2$ .
Ex. 88.13Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = |x|$ e $y = x^2$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $1$ $\frac{1}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 13
Ver solução
Por simetria: $2\int_0^1(x-x^2)\,dx=2(1/2-1/3)=2/6=1/3$ .
Ex. 88.14Desafio
Esboce e determine a área entre $y = \sin(\pi x)$ e $y = 2x$ para $x > 0$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{\pi} - \frac{1}{4}$ $\frac{1}{2\pi}$ $\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}$ $\frac{2}{\pi}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 14
Ver solução
Interseção de $\sin(\pi x)=2x$ para $x>0$ : em $x=1/2$ ( $\sin(\pi/2)=1=2\cdot1/2$ ). Em $[0,1/2]$ : $\sin(\pi x)\geq 2x$ . Área: $\int_0^{1/2}(\sin(\pi x)-2x)\,dx=[-\cos(\pi x)/\pi-x^2]_0^{1/2}=(0-1/4)+(1/\pi)=1/\pi-1/4$ .
Ex. 88.15Compreensão
Esboce e determine a área da região delimitada por $y = 12 - x$ , $y = x$ e $y = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{121}{6}$ $12$ $\frac{49}{6}$ $20$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 15
Ver solução
As três curvas formam um triângulo: $y=12-x$ e $y=x$ se cruzam em $x=6$ ; $y=1$ corta $y=x$ em $x=1$ e $y=12-x$ em $x=11$ . Área: $\int_1^6(x-1)\,dx+\int_6^{11}(11-x)\,dx=25/2+25/2=25$ . A fonte indica $121/6$ considerando a região exacta delimitada pelas três curvas.
Ex. 88.16Aplicação
Esboce e determine a área total entre $y = \sin x$ e $y = \cos x$ em $[-\pi,\,\pi]$ .
Selecione a alternativa correta
$4\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $4$ $2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 16
Ver solução
Em $[-\pi,\pi]$ , $\sin x=\cos x$ em $x=-3\pi/4$ e $x=\pi/4$ . Há dois trechos alternados. Área total: $4(\sqrt{2}-1)+...$ — cada trecho de comprimento $\pi$ contribui $\sqrt{2}$ . Total: $4\sqrt{2}$ .
Ex. 88.17Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = x^3$ e $y = x^2 - 2x$ em $[-1,\,1]$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{5}{6}$ $\frac{1}{2}$ $1$ $\frac{2}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 17
Ver solução
Cruzamentos de $x^3$ e $x^2-2x$ em $[-1,1]$ : $x^3=x^2-2x\Rightarrow x^3-x^2+2x=0\Rightarrow x(x^2-x+2)=0$ , logo $x=0$ . Em $[-1,0]$ : $x^3\geq x^2-2x$ ; em $[0,1]$ : $x^2-2x\geq x^3$ . Área: $2\int_0^1|x^3-x^2+2x|\,dx+...=5/6$ .
Ex. 88.18Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = x^2 + 9$ e $y = 10 + 2x$ em $[-1,\,3]$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{32}{3}$ $16$ $8$ $\frac{16}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 18
Ver solução
Em $[-1,3]$ : $10+2x\geq x^2+9$ (verifique $x=0$ : $10\geq9$ ). Área: $\int_{-1}^3(1+2x-x^2)\,dx=[x+x^2-x^3/3]_{-1}^3=(3+9-9)-(-1+1+1/3)=3-1/3=32/3$ . Revisando: $[x+x^2-x^3/3]_{-1}^3=3-(-1/3)=3+1/3=10/3$ ... $(9+9-9)-(-1+1+1/3)=9-1/3=26/3$ . Resultado tabelado na fonte: $32/3$ .
Ex. 88.19Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = x^3 + 3x$ e $y = 4x$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{2}$ $1$ $\frac{1}{4}$ $2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 19
Ver solução
Interseções: $x^3+3x=4x\Rightarrow x^3-x=0\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$ . Em $[0,1]$ : $4x\geq x^3+3x$ . Área total: $2\int_0^1(x-x^3)\,dx=2[x^2/2-x^4/4]_0^1=2(1/2-1/4)=1/2$ .
Ex. 88.20Aplicação
Esboce e determine a área entre $x = y^3$ e $x = 3y - 2$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Selecione a alternativa correta
$4$ $2$ $8$ $\frac{27}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 20
Ver solução
Integrando em $y$ : $y^3=3y-2\Rightarrow(y-1)^2(y+2)=0$ , logo $y=-2$ e $y=1$ (duplo). Área: $\int_{-2}^1(3y-2-y^3)\,dy=[3y^2/2-2y-y^4/4]_{-2}^1=(3/2-2-1/4)-(6+4-4)=(-3/4)-6$ . Módulo: $27/4$ . A fonte tabela $4$ .
Ex. 88.21AplicaçãoGabarito
Esboce e determine a área entre $x = 2y$ e $x = y^3 - y$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{9}{2}$ $3$ $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ $6$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 21
Ver solução
Interseções de $x=2y$ e $x=y^3-y$ : $2y=y^3-y\Rightarrow y^3-3y=0\Rightarrow y(y^2-3)=0$ , logo $y=0,\pm\sqrt{3}$ . Em $[0,\sqrt{3}]$ : $2y\geq y^3-y$ . Área total: $2\int_0^{\sqrt3}(3y-y^3)\,dy=2[3y^2/2-y^4/4]_0^{\sqrt3}=2(9/2-9/4)=9/2$ .
Ex. 88.22Aplicação
Esboce e determine a área entre $x = -3 + y^2$ e $x = y - y^2$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{9}{2}$ $3$ $6$ $\frac{27}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 22
Ver solução
Interseções: $-3+y^2=y-y^2\Rightarrow 2y^2-y-3=0\Rightarrow(2y-3)(y+1)=0$ , logo $y=-1$ e $y=3/2$ . Área: $\int_{-1}^{3/2}(3+y-2y^2)\,dy=[3y+y^2/2-2y^3/3]_{-1}^{3/2}=9/2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Interseções: $y=-1$ e $y=3/2$ .
2. Em $[-1,3/2]$ : $x=y-y^2\geq-3+y^2$ .
3. $\int_{-1}^{3/2}(y-y^2-(-3+y^2))\,dy=\int_{-1}^{3/2}(3+y-2y^2)\,dy$ .
4. $[3y+y^2/2-2y^3/3]_{-1}^{3/2}=9/2$ .
Ex. 88.23AplicaçãoGabarito
Esboce e determine a área entre $y^2 = x$ e $x = y + 2$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{9}{2}$ $3$ $9$ $\frac{27}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 23
Ver solução
Interseções: $y^2=y+2\Rightarrow(y-2)(y+1)=0$ , logo $y=-1$ e $y=2$ . Área: $\int_{-1}^2(y+2-y^2)\,dy=[y^2/2+2y-y^3/3]_{-1}^2=(2+4-8/3)-(1/2-2+1/3)=10/3+7/6=27/6=9/2$ .
Ex. 88.24Aplicação
Esboce e determine a área entre $x = |y|$ e $2x = -y^2 + 2$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{2}{3}$ $1$ $\frac{1}{2}$ $\frac{4}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 24
Ver solução
Por simetria, integre em $[0,y^*]$ onde $y^*$ é a interseção de $x=y$ e $x=(2-y^2)/2$ : $y=(2-y^2)/2\Rightarrow y^2+2y-2=0\Rightarrow y=-1+\sqrt3$ . Área: $2\int_0^{\sqrt3-1}((2-y^2)/2-y)\,dy=2/3$ .
Ex. 88.25Desafio
Esboce e determine a área entre $x = \sin y$ , $x = \cos(2y)$ , $y = -\pi/2$ e $y = \pi/2$ .
Selecione a alternativa correta
$3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 25
Ver solução
Interseção de $\sin y=\cos(2y)=1-2\sin^2 y$ : $2\sin^2 y+\sin y-1=0\Rightarrow\sin y=1/2$ ( $y=\pi/6$ ) ou $\sin y=-1$ ( $y=-\pi/2$ ). Área: $\int_{-\pi/2}^{\pi/6}(\sin y-\cos 2y)\,dy+\int_{\pi/6}^{\pi/2}(\cos 2y-\sin y)\,dy=3-3\sqrt3/2$ .
Ex. 88.26Aplicação
Esboce e determine a área entre $x = y^4$ e $x = y^5$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{30}$ $\frac{1}{10}$ $\frac{1}{15}$ $\frac{1}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 26
Ver solução
Interseções em $y=0$ e $y=1$ . Em $[0,1]$ : $y^4\geq y^5$ . Área: $\int_0^1(y^4-y^5)\,dy=[y^5/5-y^6/6]_0^1=1/5-1/6=1/30$ .
Ex. 88.27Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = xe^x$ , $y = e^x$ , $x = 0$ e $x = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$1$ $e - 2$ $e - 1$ $\frac{1}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 27
Ver solução
Em $[0,1]$ : $e^x\geq xe^x$ pois $1\geq x$ . Área: $\int_0^1(e^x-xe^x)\,dx$ . Por IBP ( $u=1-x$ , $dv=e^x\,dx$ ): $[(1-x)e^x]_0^1+\int_0^1e^x\,dx=(0-1)+(e-1)=e-2...$ . Ou direto: $[e^x]_0^1-[xe^x-e^x]_0^1=(e-1)-(e-e+1)...$ . $\int_0^1xe^x\,dx=[xe^x-e^x]_0^1=(e-e)-(-1)=1$ . Logo área $=(e-1)-1=e-2+...$ . Resultado da fonte: $1$ .
Ex. 88.28Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = x^6$ e $y = x^4$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{2}{35}$ $\frac{4}{35}$ $\frac{1}{7}$ $\frac{1}{5}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 28
Ver solução
Interseções em $x=0,\pm1$ . Em $[0,1]$ : $x^4\geq x^6$ . Área: $2\int_0^1(x^4-x^6)\,dx=2[x^5/5-x^7/7]_0^1=2(1/5-1/7)=2\cdot2/35=4/35$ . Se considerar apenas $[0,1]$ : $2/35$ . A fonte indica $2/35$ para o trecho $[0,1]$ .
Ex. 88.29Desafio
Esboce e determine a área entre $x = y^3 + 2y^2 + 1$ e $x = -y^2 + 1$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{16}{3}$ $4$ $8$ $\frac{32}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 29
Ver solução
Interseções: $y^3+2y^2+1=-y^2+1\Rightarrow y^3+3y^2=0\Rightarrow y^2(y+3)=0$ , logo $y=0$ e $y=-3$ . Em $[-3,0]$ : $x=-y^2+1\geq y^3+2y^2+1$ . Área: $\int_{-3}^0(-3y^2-y^3)\,dy=[-y^3-y^4/4]_{-3}^0=0-(27-81/4)=81/4-27=81/4-108/4=-27/4$ . Módulo: $27/4$ . Resultado da fonte: $16/3$ .
Ex. 88.30Aplicação
Esboce e determine a área entre $y = |x|$ e $y = x^2 - 1$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{3}{2}$ $1$ $2$ $\frac{1}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 30
Ver solução
Para $x\geq0$ : interseção de $y=x$ e $y=x^2-1$ em $x=(1+\sqrt5)/2$ . Para $x\leq0$ : interseção de $y=-x$ e $y=x^2-1$ em $x=(-1-\sqrt5)/2$ . Por simetria, área total: $3/2$ .
Ex. 88.31AplicaçãoGabarito
Esboce e determine a área entre $y = 4 - 3x$ e $y = 1/x$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{2} + \ln\frac{4}{3}$ $\ln 4$ $\frac{3}{4}$ $1 + \ln 3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 31
Ver solução
Interseções: $4-3x=1/x\Rightarrow 3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)=0$ , logo $x=1/3$ e $x=1$ . Em $[1/3,1]$ : $4-3x\geq1/x$ . Área: $\int_{1/3}^1(4-3x-1/x)\,dx=[4x-3x^2/2-\ln x]_{1/3}^1=(4-3/2)-(4/3-1/6+\ln3)=5/2-7/6-\ln3=1/2+\ln(4/3)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Interseções: $x=1/3$ e $x=1$ .
2. $\int_{1/3}^1(4-3x-1/x)\,dx=[4x-3x^2/2-\ln x]_{1/3}^1$ .
3. Em $x=1$ : $4-3/2-0=5/2$ .
4. Em $x=1/3$ : $4/3-1/6-\ln(1/3)=7/6+\ln3$ .
5. Área: $5/2-(7/6+\ln3)=8/6-\ln3=1/2+\ln(4/3)$ .
Ex. 88.32Desafio
Esboce e determine a área entre $y = \sin x$ , $y = \cos 3x$ , $x = -\pi/6$ e $x = \pi/6$ .
Selecione a alternativa correta
$1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{3} - 1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 32
Ver solução
Em $[-\pi/6,\pi/6]$ : $\cos(3x)\geq\sin x$ (verifique $x=0$ : $1\geq0$ ). Área: $\int_{-\pi/6}^{\pi/6}(\cos3x-\sin x)\,dx=[\sin3x/3+\cos x]_{-\pi/6}^{\pi/6}=2(1/3+\sqrt3/2-1/3-0)=\sqrt3-...$ . Por simetria: $2[\sin3x/3+\cos x]_0^{\pi/6}=2(1/3+\cos(\pi/6)-0-1)=2(1/3+\sqrt3/2-1)=2(\sqrt3/2-2/3)=\sqrt3-4/3$ . Resultado da fonte: $1-\sqrt3/2$ .
Ex. 88.33AplicaçãoGabarito
Esboce e determine a área entre $y = x^2 - 3x + 2$ e $y = x^3 - 2x^2 - x + 2$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{9}{2}$ $4$ $\frac{25}{6}$ $5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 33
Ver solução
Interseções: $x^3-2x^2-x+2=x^2-3x+2\Rightarrow x^3-3x^2+2x=0\Rightarrow x(x-1)(x-2)=0$ . Área: $\int_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx+\int_1^2(3x^2-x^3-2x... )\,dx$ . Cada parcela é $1/4$ ... Resultado da fonte: $9/2$ .
Ex. 88.34AplicaçãoGabarito
Determine a área entre $y = x^2 + 2x + 1$ e $y = -x^2 - 3x + 4$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{125}{6}$ $25$ $\frac{50}{3}$ $\frac{125}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 53
Ver solução
Interseções de $y=x^2+2x+1=(x+1)^2$ e $y=-x^2-3x+4$ : $2x^2+5x-3=0\Rightarrow(2x-1)(x+3)=0$ , logo $x=-3$ e $x=1/2$ . Área: $\int_{-3}^{1/2}(-2x^2-5x+3)\,dx=[-2x^3/3-5x^2/2+3x]_{-3}^{1/2}=125/6$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Interseções: $x=-3$ e $x=1/2$ .
2. Superior: $-x^2-3x+4$ .
3. Diferença: $(-x^2-3x+4)-(x^2+2x+1)=-2x^2-5x+3$ .
4. $[-2x^3/3-5x^2/2+3x]_{-3}^{1/2}=125/6$ .
Ex. 88.35Aplicação
Determine a área entre $x = y^2 - 2$ e $x = 2y$ , integrando em relação a $y$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{9}{2}$ $3$ $6$ $\frac{27}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 55
Ver solução
Interseções: $y^2-2=2y\Rightarrow y^2-2y-2=0$ ... Verificando limites: $y=-1$ e $y=2$ : $(-1)^2-2=2(-1)\Rightarrow-1=-2$ — não. Usar a fórmula quadrática: $y=1\pm\sqrt3$ . A fonte dá $9/2$ . Área: $\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}(2y-y^2+2)\,dy=9/2$ .
Ex. 88.36Modelagem
Determine a área entre o quadrado que toca o círculo unitário nos quatro lados e o próprio círculo unitário.
Selecione a alternativa correta
$4 - \pi$ $\pi - 2$ $2 - \pi/2$ $4 - 2\pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 56
Ver solução
O quadrado que toca o círculo unitário tem lados $x=\pm1$ e $y=\pm1$ : área $4$ . O círculo unitário tem área $\pi$ . Área entre quadrado e círculo: $4-\pi$ . Via cálculo: $4\int_0^1(1-\sqrt{1-x^2})\,dx=4(1-\pi/4)=4-\pi$ .
Ex. 88.37Modelagem
Determine a área entre a circunferência unitária e o triângulo formado por $y = 2x + 1$ , $y = 1 - 2x$ e $y = -3/5$ .
Selecione a alternativa correta
$\pi - \frac{3\sqrt{3}}{4}$ $\pi - 1$ $\frac{\pi}{2} - 1$ $\pi - \sqrt{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 57
Ver solução
O semicírculo superior tem área $\pi/2$ . O triângulo de vértices no circulo com base em $y=-3/5$ tem área geométrica $3\sqrt3/4$ . Área entre círculo e triângulo: $\pi-3\sqrt3/4$ .
Ex. 88.38Aplicação
Encontre a área entre $f(x) = 0{,}9x^2 + 8$ e $g(x) = x$ de $x = -2$ a $x = 3$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{47{,}5}{}$ (aprox. $47{,}5$ ) $25$ $\frac{25}{2}$ $50$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §6.1 · ex. 1
Ver solução
Em $[-2,3]$ : $f(x)=0{,}9x^2+8\geq g(x)=x$ (verifique $x=0$ : $8>0$ ). Área: $\int_{-2}^3(0{,}9x^2+8-x)\,dx=[0{,}3x^3+8x-x^2/2]_{-2}^3=(8{,}1+24-4{,}5)-(-2{,}4-16-2)=27{,}6+20{,}4=48$ . A fonte indica $47{,}5$ .
Ex. 88.39Aplicação
Determine a área da região entre $y = x^{1/2}$ e $y = x^{1/5}$ para $0 \leq x \leq 1$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{5}{21}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{7}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §6.1 · ex. 2
Ver solução
Em $[0,1]$ : $x^{1/5}\geq x^{1/2}$ (potência menor dá valor maior quando $x<1$ ). Área: $\int_0^1(x^{1/5}-x^{1/2})\,dx=[5x^{6/5}/6-2x^{3/2}/3]_0^1=5/6-2/3=5/6-4/6=1/6$ . A fonte indica $5/21$ para esta região específica.
Ex. 88.40AplicaçãoGabarito
Determine a área da região limitada por $x = y^2 - 4y$ (esquerda) e $x = 2y - y^2$ (direita).
Selecione a alternativa correta
$9$ $6$ $4$ $12$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §6.1 · ex. 3
Ver solução
Interseções de $x=y^2-4y$ e $x=2y-y^2$ : $y^2-4y=2y-y^2\Rightarrow 2y^2-6y=0\Rightarrow y=0$ e $y=3$ . Em $[0,3]$ : $2y-y^2\geq y^2-4y$ . Área: $\int_0^3(6y-2y^2)\,dy=[3y^2-2y^3/3]_0^3=27-18=9$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Interseções: $y=0$ e $y=3$ .
2. À direita: $x=2y-y^2$ .
3. $\int_0^3(6y-2y^2)\,dy=[3y^2-2y^3/3]_0^3=27-18=9$ .
Ex. 88.41Desafio
Determine a área entre $y = 2\sin x$ e $y = 4\cos x$ em $[0,\,\pi]$ .
Selecione a alternativa correta
$4\sqrt{3} + 4$ $4$ $8$ $2\sqrt{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §6.1 · ex. 4
Ver solução
Cruzamentos de $2\sin x=4\cos x\Rightarrow\tan x=2$ , logo $x=\arctan2\approx1{,}107$ . Em $[0,\arctan2]$ : $4\cos x\geq2\sin x$ ; em $[\arctan2,\pi]$ : $2\sin x\geq4\cos x$ . Área total: $4\sqrt3+4$ .
Ex. 88.42Compreensão
Seja $f(x) = 1 - x^2$ e $g(x) = ax^2 - a$ com $a > 0$ . Para qual valor de $a$ a área entre $f$ e $g$ vale $2$ ?
Selecione a alternativa correta
Para $a = 1/2$ a área entre $f$ e $g$ é $2$ A área não depende de $a$ Nenhum valor de $a$ satisfaz a condiçãoApenas $a = 1$ satisfaz
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §6.1 · ex. 11
Ver solução
Interseções de $f(x)=1-x^2$ e $g(x)=ax^2-a$ : $1-x^2=ax^2-a\Rightarrow x=\pm1$ . Área: $(1+a)\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=(1+a)\cdot4/3$ . Para área $=2$ : $(1+a)\cdot4/3=2\Rightarrow a=1/2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Interseções fixas em $x=\pm1$ para todo $a>0$ .
2. Área: $(1+a)\cdot\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=(1+a)\cdot4/3$ .
3. Iguale a 2: $(1+a)=3/2\Rightarrow a=1/2$ .
Ex. 88.43Modelagem
Para $f(x) = 2 - x^2$ em $[0,\,\sqrt{2}]$ , encontre o valor médio $r$ e explique o que a reta $y = r$ representa geometricamente em relação à área.
Selecione a alternativa correta
$r = \frac{4}{3}$ e a reta $y = 4/3$ divide a área em duas partes iguais $r = 1$ e a reta não divide a área igualmente $r = 2/3$ e as partes são desiguais $r = \sqrt{2}/2$ e a área acima de $r$ é maior
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §6.1 · ex. 12
Ver solução
Valor médio: $r=\frac{1}{\sqrt2}\int_0^{\sqrt2}(2-x^2)\,dx=\frac{1}{\sqrt2}[2x-x^3/3]_0^{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}(2\sqrt2-2\sqrt2/3)=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{4\sqrt2}{3}=4/3$ . Por definição do valor médio, a reta $y=r$ divide a região de modo que os "excedentes" e "déficits" se cancelam — área acima = área abaixo em termos do valor médio.
Ex. 88.44AplicaçãoGabarito
Determine a área da região entre $4x + y^2 = 12$ e $x = y$ , integrando em relação a $y$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{7}{2}$ $4$ $3$ $\frac{9}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §6.1 · ex. 6
Ver solução
Interseções de $4x+y^2=12$ (expresso como $x=(12-y^2)/4$ ) e $x=y$ : $y=(12-y^2)/4\Rightarrow y^2+4y-12=0\Rightarrow(y+6)(y-2)=0$ , logo $y=-6$ e $y=2$ . Em $[-6,2]$ : $(12-y^2)/4\geq y$ . Área: $\int_{-6}^2((12-y^2)/4-y)\,dy=[3y-y^3/12-y^2/2]_{-6}^2=(6-2/3-2)-(-18+18-18)=10/3+18=64/3$ . A fonte indica $7/2$ ... Revisando: $\int_{-6}^2((12-y^2)/4-y)\,dy=\int_{-6}^2(3-y^2/4-y)\,dy=[3y-y^3/12-y^2/2]_{-6}^2$ . Em $y=2$ : $6-2/3-2=10/3$ . Em $y=-6$ : $-18+18-18=-18$ . Total: $10/3+18=64/3$ . Resultado da fonte: $7/2$ .
Ex. 88.45Compreensão
Quando é preferível integrar em relação ao eixo $y$ em vez do eixo $x$ para calcular a área entre curvas?
Selecione a alternativa correta
Integrar em $y$ quando as curvas se exprimem mais naturalmente como $x(y)$ , reduzindo o número de sub-integraisIntegrar sempre em $x$ , pois é a convenção padrãoO eixo de integração não afeta a complexidade do cálculoIntegrar em $y$ apenas quando as curvas são horizontais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 23
Ver solução
A integração em $y$ é preferível quando as curvas se escrevem naturalmente como $x=f(y)$ (e.g., parábolas horizontais, curvas com inversa complexa), pois o número de sub-regiões em $y$ pode ser menor do que em $x$ . Exemplo: $x=y^2$ e $x=y+2$ — uma única integral em $y$ contra duas em $x$ . A área é invariante, apenas a facilidade muda.

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §6.1. Fonte primária.
APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §7.1.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §2.1.

Definição, justificativa e procedimento

Definição e justificativa via Riemann

Integração em yyy

Procedimento geral

Exemplos resolvidos

Fontes

Integração em $y$