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Lição 89 — Volume por fatiamento: discos, anéis e cascas cilíndricas

Sólidos de revolução e sólidos de seção conhecida. Método dos discos, dos anéis (washers) e das cascas cilíndricas. Princípio de Cavalieri.

Usado em: Cálculo II (BR) · Calc BC AP (EUA) · Math III japonês avançado · Leistungskurs Klasse 12 (DE)

V = \int_a^b A(x)\, dx, \qquad A_{\text{disco}} = \pi[f(x)]^2, \qquad A_{\text{anel}} = \pi\bigl([R(x)]^2 - [r(x)]^2\bigr), \qquad V_{\text{casca}} = 2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx

Volume por fatiamento. Soma contínua das áreas das seções transversais multiplicadas pela espessura infinitesimal. Para sólidos de revolução: discos (sólido maciço), anéis (washer — sólido com furo central), cascas cilíndricas (integração paralela ao eixo de revolução).

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa e os três métodos

Princípio de Cavalieri e fatiamento

"Se dois sólidos têm a mesma altura e seções transversais iguais em cada nível, então os dois sólidos têm o mesmo volume." — Princípio de Cavalieri (séc. XVII), formalizado em Active Calculus §6.2

Método dos discos

Método dos anéis (washers)

Método das cascas cilíndricas

"The shell method can be thought of as integrating along the axis parallel to the axis of rotation." — APEX Calculus §7.3

Eixo de revolução deslocado

Para revolução em torno de $y = c$ (em vez do eixo $x$ ): substitua $f(x) \mapsto f(x) - c$ (ou $|f(x) - c|$ ). Para revolução em torno de $x = c$ com cascas: substitua $x \mapsto |x - c|$ no papel de raio.

Escolha do método

Regra de escolha entre disco/anel e casca. Sempre desenhe a região antes de decidir.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Volume de esfera por discos (aplicação)

Problema: Derive a fórmula do volume da esfera de raio $r$ usando o método dos discos.

Estratégia: A esfera de raio $r$ é gerada pela rotação do semicírculo $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ , para $x \in [-r, r]$ , em torno do eixo $x$ . Cada seção transversal é um disco de raio $\sqrt{r^2 - x^2}$ .

Resolução:

Aplicando a fórmula dos discos:

$V = \pi \int_{-r}^{r} \bigl(\sqrt{r^2 - x^2}\bigr)^2\, dx = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2)\, dx$

$= \pi \left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r} = \pi \left[\left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right)\right]$

$= \pi \cdot 2\left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) = \pi \cdot 2 \cdot \frac{2r^3}{3} = \frac{4\pi r^3}{3}$

Verificação: Para $r = 1$ : $V = 4\pi/3 \approx 4,19$ u³. Resultado clássico confirmado.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2 §2.2, Example 2.5 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Volume por anéis — região entre duas parábolas (intermediario)

Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $x$ , da região delimitada por $y = x$ e $y = x^2$ , com $x \in [0, 1]$ .

Estratégia: As duas curvas se intersectam em $x = 0$ e $x = 1$ . Em $[0, 1]$ , temos $x \geq x^2$ , então $R(x) = x$ (raio externo) e $r(x) = x^2$ (raio interno). Método dos anéis.

Resolução:

$V = \pi \int_0^1 \bigl([x]^2 - [x^2]^2\bigr)\, dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\, dx$

$= \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\!\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{2\pi}{15}$

Verificação: O volume deve ser menor que o cone de raio 1 e altura 1 ( $V_{\text{cone}} = \pi/3 \approx 1,047$ ). De fato, $2\pi/15 \approx 0,419 < \pi/3$ . Plausível — a região entre $y=x$ e $y=x^2$ é menor que o triângulo completo.

Fonte. Active Calculus §6.2, Activity 6.2.2 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Volume por cascas — comparacao com aneis (avancado)

Problema: Use cascas cilíndricas para calcular o volume gerado pela rotação da região entre $y = x^2$ e $y = x$ , em $[0, 1]$ , em torno do eixo $y$ . Compare com o resultado do anel se integrasse em $y$ .

Estratégia: O eixo de revolução é $y$ (vertical) e a variável natural é $x$ : método das cascas. Cada faixa vertical de largura $dx$ gera uma casca de raio $x$ , altura $f(x) - g(x) = x - x^2$ .

Resolução:

$V = 2\pi \int_0^1 x(x - x^2)\, dx = 2\pi \int_0^1 (x^2 - x^3)\, dx$

$= 2\pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\pi\!\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}$

Verificação cruzada por anéis em $y$ : As curvas em $y$ : de $y = x^2$ temos $x = \sqrt{y}$ ; de $y = x$ temos $x = y$ . Raio externo $R(y) = \sqrt{y}$ , raio interno $r(y) = y$ :

$V = \pi \int_0^1 (y - y^2)\, dy = \pi\!\left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \pi\!\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6} \checkmark$

Fonte. APEX Calculus §7.3, Example 7.3.2 — licença CC-BY-NC.

Exemplo— 4· Volume de cone por discos — derivacao da formula (demonstracao)

Problema: Derive a fórmula $V = \pi R^2 h/3$ do cone circular reto de raio $R$ e altura $h$ .

Estratégia: O cone é gerado pela rotação da reta $y = (R/h)x$ em torno do eixo $x$ , para $x \in [0, h]$ . Cada seção transversal é um disco de raio $(R/h)x$ .

Resolução:

$V = \pi \int_0^h \left(\frac{R}{h} x\right)^2 dx = \pi \frac{R^2}{h^2} \int_0^h x^2\, dx = \pi \frac{R^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{\pi R^2 h}{3}$

Verificação: Para $R = h = 1$ : $V = \pi/3 \approx 1,047$ u³. O Teorema de Pappus confirma: centroide do triângulo retângulo de base $R$ e altura $h$ está a $\bar{x} = h/3$ do vértice. Volume da casca: $2\pi \cdot (R/2) \cdot (Rh/2) = \pi R^2 h / 2 \neq \pi R^2 h/3$ — aqui Pappus se aplica ao sólido, não ao triângulo. A derivação direta por discos é a mais limpa.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2 §2.2, Example 2.4 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Trabalho de bombeamento — tanque esférico (modelagem)

Problema: Um tanque esférico de raio 3 m está cheio d'água (densidade $\rho = 1000$ kg/m³, $g = 9{,}8$ m/s²). Calcule o trabalho necessário para bombear toda a água até o topo do tanque.

Estratégia: Coloque o centro da esfera na origem. O topo está em $y = 3$ . Uma fatia de espessura $dy$ na altura $y$ tem que ser elevada $(3 - y)$ metros. A seção transversal circular a altura $y$ tem raio $\sqrt{9 - y^2}$ , logo área $\pi(9 - y^2)$ .

Resolução:

$W = \int_{-3}^{3} \rho g \cdot \pi(9 - y^2) \cdot (3 - y)\, dy$

$= 1000 \cdot 9{,}8 \cdot \pi \int_{-3}^{3} (9 - y^2)(3 - y)\, dy$

Expandindo o produto:

$(9 - y^2)(3 - y) = 27 - 9y - 3y^2 + y^3$

$\int_{-3}^{3} (27 - 9y - 3y^2 + y^3)\, dy = \left[27y - \frac{9y^2}{2} - y^3 + \frac{y^4}{4}\right]_{-3}^{3}$

Os termos ímpares ( $-9y$ e $y^3$ ) se cancelam por simetria. Termos pares:

$= 2\left(27 \cdot 3 - 3^3\right) = 2(81 - 27) = 108$

$W = 9800\pi \cdot 108 \approx 3{,}33 \times 10^6 \text{ J} = 3{,}33 \text{ MJ}$

Verificação: Ordem de grandeza: deslocar $\approx 113$ t de água $\approx 1{,}5$ m (centroide a 1,5 m do topo) dá $113\,000 \times 9{,}8 \times 1{,}5 \approx 1{,}66$ MJ. Fator 2 esperado porque o centroide real (por simetria, está em $y = 0$ , distância 3 ao topo) dá 3,32 MJ. Confirma.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2 §6.5, Example 6.24 — licença CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 28Compreensão 2Modelagem 3Desafio 5Demonstração 2

Fontes

Active Calculus — Matt Boelkins, David Austin, Steve Schlicker · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Seções §6.2 e §6.3. Exercícios das atividades 6.2.1–6.3.7 usados na lista.
APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · Virginia Military Institute · 2023 · CC-BY-NC. Seções §7.2 (discos/anéis) e §7.3 (cascas). Exercícios ex. 7.2.5–7.2.25 e ex. 7.3.5–7.3.9 usados na lista.
OpenStax Calculus Volume 2 — OpenStax (Herman, Strang et al.) · Rice University · 2023 · CC-BY-NC-SA. Seções §2.2–2.3 (volumes) e §6.5 (aplicações físicas). Exercícios e exemplos 2.2.50–2.2.92 e 6.5.258–6.5.262 usados.