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Lição 1 — Números reais: supremo, ínfimo e completude

Estrutura dos números reais: Axioma da Completude (Dedekind), supremo e ínfimo de conjuntos, Axioma de Arquimedes e densidade de ℚ em ℝ. Fundação rigorosa para toda a análise do Cálculo.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 1 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\sup A = s \iff \bigl[\forall\,a\in A,\;a\leq s\bigr]\;\text{ e }\;\bigl[\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,a_0\in A:\; a_0 > s-\varepsilon\bigr]

O supremo de $A\subset\mathbb{R}$ é o menor real que majora todos os elementos de $A$ . A primeira condição garante que $s$ é cota superior; a segunda garante que nenhum valor estritamente abaixo de $s$ majora $A$ — ou seja, $s$ é a menor das cotas superiores.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

ℝ como corpo ordenado completo

Os números reais $\mathbb{R}$ formam um corpo ordenado completo: satisfazem os axiomas de corpo (soma e produto), os axiomas de ordem total e o Axioma da Completude, que os distingue de $\mathbb{Q}$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· sup e inf de {1 − 1/n : n ∈ ℕ*}

Conjunto: $A = \left\{1 - \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^*\right\} = \left\{0,\;\tfrac{1}{2},\;\tfrac{2}{3},\;\tfrac{3}{4},\;\ldots\right\}$

Ínfimo: Para $n=1$ : $a_1 = 1 - 1 = 0 \in A$ . Como $1/n > 0$ , temos $1 - 1/n > 0 - 1 = -1$ ; de fato $0 \leq a_n$ para todo $n$ . Portanto $\inf A = 0$ (atingido em $n=1$ ; é mínimo).

Supremo: Afirmo $\sup A = 1$ .

Cota superior: $1/n > 0 \Rightarrow 1 - 1/n < 1$ para todo $n$ .
Menor cota: Dado $\varepsilon > 0$ , pelo Axioma de Arquimedes existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ com $1/n_0 < \varepsilon$ . Então $a_0 = 1 - 1/n_0 \in A$ satisfaz $a_0 = 1 - 1/n_0 > 1 - \varepsilon$ .

Logo $\sup A = 1$ , não atingido (pois $1 \notin A$ ). $\square$

Fonte. Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1, §1.2, Exemplo 3. LTC, 5ª ed.

Example— 4· Axioma de Arquimedes: ∀x > 0, ∃n ∈ ℕ* com 1/n < x

Prova a partir da Completude: Suponha por contradição que existe $x_0 > 0$ tal que $1/n \geq x_0$ para todo $n \in \mathbb{N}^*$ , ou seja, $n \leq 1/x_0$ para todo $n$ . Então $\mathbb{N}^*$ é limitado superiormente.

Pelo Axioma da Completude, $s = \sup \mathbb{N}^* \in \mathbb{R}$ existe. Como $s - 1$ não é cota superior, existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ com $n_0 > s - 1$ , logo $n_0 + 1 > s$ . Mas $n_0 + 1 \in \mathbb{N}^*$ , contradizendo $s = \sup \mathbb{N}^*$ . $\square$

Fonte. Apostol — Calculus, vol. I, §I.3.6, Teorema I.29. Wiley, 2ª ed.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 11Understanding 19

Ex. 1ApplicationAnswer key
Determine $\sup A$ e $\inf A$ de $A = \{x \in \mathbb{R} : |x| < 3\}$ , indicando se são atingidos.
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2, ex. 1
Show solution
O conjunto é o intervalo aberto $(-3, 3)$ . Cota sup: $|x|<3 \Rightarrow x<3$ . Menor cota: dado $\varepsilon>0$ , tome $a_0 = 3 - \varepsilon/2 \in A$ .
Ex. 2Application
Determine $\sup A$ e $\inf A$ de $A = \left\{1 - \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^*\right\}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2, ex. 3
Show solution
Termos: $a_1=0$ , $a_2=1/2$ , $a_3=2/3,\ldots$ Sequência crescente tendendo a 1. Mínimo em $n=1$ ; 1 é sup não atingido.
Ex. 3Application
Determine $\sup A$ e $\inf A$ de $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \leq 4\}$ .
Solve online Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 4a
Show solution
O conjunto é $[-2, 2]$ . Ambos os extremos são atingidos: $2^2=4\leq 4$ e $(-2)^2=4\leq 4$ .
Ex. 4Application
Determine $\sup A$ e $\inf A$ de $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 < 2\}$ .
Solve online Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 4b
Ex. 5Application
Determine $\sup A$ e $\inf A$ de $A = \left\{\dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^*\right\}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2, ex. 5
Show solution
Para $n=1$ : $1/1=1$ (máximo atingido). Para $n\to\infty$ : $1/n\to 0$ , ínfimo não atingido.
Ex. 6Application
Determine $\sup A$ e $\inf A$ de $A = \left\{\dfrac{(-1)^n}{n} : n \in \mathbb{N}^*\right\}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2, ex. 7
Show solution
Termos: $-1,\,1/2,\,-1/3,\,1/4,\,-1/5,\ldots$ . Positivos (índice par) decrescem para 0; negativos (índice ímpar) crescem para 0. Máx em $n=2$ , mín em $n=1$ .
Ex. 7Application
Determine $\sup A$ e $\inf A$ de $A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| < 2\}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2, ex. 2
Show solution
O conjunto é o intervalo aberto $(1, 5)$ (pois $|x-3|<2 \iff 1<x<5$ ).
Ex. 8Application
Determine $\sup A$ e $\inf A$ de $A = \left\{\dfrac{n}{n+1} : n \in \mathbb{N}^*\right\}$ .
Solve online Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 4c
Show solution
Para $n=1$ : $1/2$ (mínimo). A sequência $n/(n+1)$ cresce para 1 (não atingido).
Ex. 9Application
Determine $\sup A$ para $A = \{x \in \mathbb{Q} : x < \pi\}$ .
Solve online Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 4d
Show solution
$\pi$ é cota superior. Para qualquer $M<\pi$ , pela densidade de $\mathbb{Q}$ existe $q\in\mathbb{Q}$ com $M<q<\pi$ , logo $q\in A$ e $q>M$ .
Ex. 10ApplicationAnswer key
A sequência $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ é crescente e satisfaz $2 \leq a_n < 3$ para todo $n$ .
Determine $\sup A$ e $\inf A$ para $A = \{a_n : n \in \mathbb{N}^*\}$ , justificando brevemente.
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.3, ex. 1
Ex. 11Application
Para $A = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1\}$ , qual alternativa está correta?
Select the correct option
$\sup A = 0,\;\inf A = -1$ $\sup A = 1,\;\inf A = 0$ $\sup A = 2,\;\inf A = -2$ $A$ não tem supremo
Select an option first
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2
Show solution
O conjunto é $(0, 1)$ . $\sup = 1$ (não atingido), $\inf = 0$ (não atingido).
Ex. 12Understanding
Determine $\sup A$ e $\inf A$ de $A = \{x \in \mathbb{R} : x > 0,\; x^2 < 3\}$ .
Solve online Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 4e
Show solution
O conjunto é $\{x>0: x^2<3\} = (0, \sqrt{3})$ .
Ex. 13UnderstandingAnswer key
Prove: se $A \subseteq B$ e $B$ é limitado superiormente, então $A$ é limitado superiormente e $\sup A \leq \sup B$ .
Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2, Proposição 1.8
Show solution
Se $M = \sup B$ , todo $a \in A \subseteq B$ satisfaz $a \leq M$ . Logo $M$ é cota superior de $A$ e, pela minimalidade do supremo, $\sup A \leq M = \sup B$ .
Ex. 14Understanding
Prove: se $c > 0$ e $A$ é limitado superiormente, então $\sup(cA) = c \cdot \sup A$ , onde $cA = \{ca : a \in A\}$ .
Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 7
Show solution
Seja $s = \sup A$ , $c > 0$ . Para $ca \in cA$ : $ca \leq cs$ , logo $cs$ é cota. Dado $\varepsilon > 0$ , existe $a_0 \in A$ com $a_0 > s - \varepsilon/c$ , então $ca_0 > cs - \varepsilon$ . Logo $\sup(cA) = cs$ .
Ex. 15UnderstandingAnswer key
Prove: se $A$ e $B$ são não vazios e limitados superiormente, então
$\sup(A \cup B) = \max(\sup A,\; \sup B).$
Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 8
Ex. 16Understanding
Prove: $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$ , onde $A + B = \{a + b : a \in A,\; b \in B\}$ .
Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2, ex. 9
Ex. 17Understanding
Prove: $\inf(-A) = -\sup A$ , onde $-A = \{-a : a \in A\}$ .
Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 10
Show solution
Seja $s = \sup A$ . Para todo $a \in A$ : $-a \geq -s$ , logo $-s$ é cota inferior de $-A$ . Dado $\varepsilon > 0$ , existe $a_0 \in A$ com $a_0 > s - \varepsilon$ , então $-a_0 < -s + \varepsilon$ . Logo $\inf(-A) = -s = -\sup A$ .
Ex. 18Understanding
Prove: $\sup A \in A$ se e somente se $A$ tem máximo e $\max A = \sup A$ .
Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2, ex. 11
Ex. 19Understanding
Prove ou forneça contraexemplo: se $A \cap B \neq \emptyset$ , então $\sup(A \cap B) \leq \min(\sup A, \sup B)$ .
Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 5
Show solution
Verdadeiro. Todo $a \in A \cap B$ satisfaz $a \leq \sup A$ e $a \leq \sup B$ , logo $a \leq \min(\sup A, \sup B)$ . Portanto $\sup(A \cap B) \leq \min(\sup A, \sup B)$ .
Ex. 20Understanding
Prove: se $c < 0$ , então $\sup(cA) = c \cdot \inf A$ .
Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 7b
Show solution
Se $c < 0$ , então $ca \geq cm$ quando $a \leq m$ . Portanto $c\cdot\inf A$ é cota superior de $cA$ e, pela caracterização via $\varepsilon$ , $\sup(cA) = c\cdot\inf A$ .
Ex. 21Understanding
Prove: se $A$ é não vazio, limitado superiormente e $\sup A \notin A$ , então para todo $\varepsilon > 0$ o conjunto $A \cap (\sup A - \varepsilon,\; \sup A)$ é não vazio.
Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.5, ex. 12
Ex. 22Understanding
Sejam $A$ e $B$ subconjuntos não vazios e limitados de $\mathbb{R}$ . Prove ou refute:
$\sup(A \cdot B) = \sup A \cdot \sup B, \quad \text{onde } A \cdot B = \{ab : a \in A,\; b \in B\}.$
(Dica: considere $A = B = [-1, 1]$ .)
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.2, ex. 13
Ex. 23UnderstandingAnswer key
Prove: para todo $x > 0$ , existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tal que $n_0 - 1 \leq 1/x < n_0$ .
Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.6, ex. 1
Show solution
Dado $x>0$ , pelo Axioma de Arquimedes existe $n_0\in\mathbb{N}^*$ com $1/n_0 < x$ , i.e., $n_0 > 1/x$ . Tome o menor tal $n_0$ ; então $n_0 - 1 \leq 1/x < n_0$ .
Ex. 24Understanding
Prove: para todo $x > 0$ , existe $n \in \mathbb{N}^*$ com $\dfrac{1}{n} < x$ .
Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.3, ex. 1
Show solution
Dado $x > 0$ , pelo Axioma de Arquimedes existe $n \in \mathbb{N}^*$ com $n > 1/x$ , logo $1/n < x$ .
Ex. 25Understanding
Prove: entre quaisquer dois reais distintos $a < b$ , existe um número irracional $r$ com $a < r < b$ .
(Dica: aplique a densidade de $\mathbb{Q}$ ao intervalo $(a/\sqrt{2},\; b/\sqrt{2})$ .)
Apostol — Calculus, vol. I · §I.4.4, ex. 1
Ex. 26Understanding
Prove que $\sqrt{2}$ é irracional.
Apostol — Calculus, vol. I · §I.4.2, ex. 3
Show solution
Suponha $\sqrt{2} = p/q$ com $\gcd(p,q)=1$ . Então $p^2=2q^2$ , logo $p$ é par: $p=2k$ . Substituindo: $4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2$ , logo $q$ é par. Contradição com $\gcd(p,q)=1$ .
Ex. 27Understanding
Prove que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ é irracional.
(Dica: suponha $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r \in \mathbb{Q}$ ; isole $\sqrt{3} = r - \sqrt{2}$ e eleve ao quadrado.)
Apostol — Calculus, vol. I · §I.4.4, ex. 4
Ex. 28Understanding
Prove que $\mathbb{N}$ não é limitado superiormente em $\mathbb{R}$ , usando o Axioma da Completude (sem assumir Arquimedes diretamente).
Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.3, ex. 4
Ex. 29UnderstandingAnswer key
Seja $N \in \mathbb{N}^*$ . Prove: para todo $x \in [0, 1]$ , existe $k \in \{0, 1, \ldots, N\}$ tal que $\left|x - \dfrac{k}{N}\right| \leq \dfrac{1}{N}$ .
Solve online Apostol — Calculus, vol. I · §I.3.6, ex. 4
Show solution
Para $x\in[0,1]$ , tome $k = \lfloor Nx \rfloor$ . Então $k/N \leq x < (k+1)/N$ , logo $|x - k/N| \leq 1/N$ .
Ex. 30UnderstandingAnswer key
Desigualdade de Bernoulli. Para $h > -1$ e $n \in \mathbb{N}^*$ , prove por indução que $(1 + h)^n \geq 1 + nh$ .
(Usado para mostrar que $a_n = (1+1/n)^n \geq 2$ para todo $n$ , logo $e = \lim a_n \geq 2$ .)
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.3, ex. 7
Show solution
Indução: para $n=1$ , $1+h\geq 1+h$ . Passo: $(1+h)^{n+1} = (1+h)^n(1+h) \geq (1+nh)(1+h) = 1+(n+1)h+nh^2 \geq 1+(n+1)h$ .