v1 · padrão canônico

Lição 2 — Limite de função: definição ε-δ

Definição rigorosa de limite de função segundo Cauchy-Weierstrass. Unicidade do limite, limites laterais e exemplos com prova formal.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 1 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall\,\varepsilon > 0,\; \exists\,\delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon

A definição ε-δ de Cauchy-Weierstrass: o limite de $f(x)$ quando $x \to a$ é $L$ se, para todo $\varepsilon > 0$ (tolerância no eixo $y$ ), existe $\delta > 0$ (raio no eixo $x$ ) tal que toda vez que $x$ está a menos de $\delta$ de $a$ (mas $x \neq a$ ), $f(x)$ está a menos de $\varepsilon$ de $L$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Definição de Cauchy-Weierstrass

Unicidade do limite

Theorem· O limite, quando existe, é único

Se $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} f(x) = M$ , então $L = M$ .

Demonstração. Suponha $L \neq M$ . Tome $\varepsilon = |L - M|/2 > 0$ . Existem $\delta_1, \delta_2 > 0$ tais que

$0 < |x - a| < \delta_1 \implies |f(x) - L| < \varepsilon$ $0 < |x - a| < \delta_2 \implies |f(x) - M| < \varepsilon.$

Para $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ e $0 < |x - a| < \delta$ :

$|L - M| \leq |L - f(x)| + |f(x) - M| < 2\varepsilon = |L - M|.$

Contradição. Logo $L = M$ . $\blacksquare$

Limites laterais

Limites no infinito

Exemplos resolvidos

Example— 1· Prova ε-δ para função linear

Problema: Prove usando a definição ε-δ que $\lim_{x \to 4} (3x - 2) = 10$ .

Análise preliminar:

$|(3x-2) - 10| = |3x - 12| = 3|x - 4|$

Para ter $3|x-4| < \varepsilon$ , basta $|x - 4| < \varepsilon/3$ . Tome $\delta = \varepsilon/3$ .

Prova formal:

Dado $\varepsilon > 0$ , seja $\delta = \varepsilon/3 > 0$ .

Se $0 < |x - 4| < \delta$ , então:

$|(3x-2) - 10| = 3|x-4| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \quad \square$

Fonte. Stewart — Cálculo, §2.4, Exemplo 6 · Cengage, 8a ed.

Example— 2· Limite com forma indeterminada 0/0

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - x - 6}$ .

Resolução:

Substituição direta: $\dfrac{4 - 10 + 6}{4 + 2 - 6} = \dfrac{0}{0}$ — forma indeterminada.

Fatorar:

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - x - 6} = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-3)} = \frac{x+3}{x-3} \quad (x \neq -2)$

$\lim_{x \to -2} \frac{x+3}{x-3} = \frac{-2+3}{-2-3} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$

Fonte. OpenStax Calculus I, §2.3, Exemplo 2.17 · CC-BY 4.0.

Example— 5· Prova ε-δ para função quadrática (avançado)

Problema: Prove que $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$ usando a definição ε-δ.

Análise preliminar:

$|x^2 - 4| = |x-2||x+2|$

Restringindo $\delta \leq 1$ (convenção), temos $|x - 2| < 1 \implies 1 < x < 3 \implies |x+2| < 5$ .

Logo $|x^2 - 4| < 5|x - 2| < 5\delta$ . Para ter $< \varepsilon$ : $\delta \leq \varepsilon/5$ .

Prova formal:

Dado $\varepsilon > 0$ , seja $\delta = \min(1, \varepsilon/5) > 0$ .

Se $0 < |x-2| < \delta \leq 1$ : $|x + 2| \leq |x - 2| + 4 < 1 + 4 = 5$ .

Portanto: $|x^2 - 4| = |x - 2||x + 2| < \delta \cdot 5 \leq \frac{\varepsilon}{5} \cdot 5 = \varepsilon$ . $\square$

Fonte. Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1, §2.1, Exemplo 6 · LTC, 5a ed.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 12Understanding 10Challenge 3Proof 5

Ex. 1Application
Calcule $\lim_{x \to 1} (3x^2 + 4x)$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §2.2
Show solution
Substituição direta (f contínua em 1): $f(1) = 3(1)^2 + 4(1) = 7$ .
Ex. 2Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}$ .
Stewart — Cálculo · §2.3
Show solution
Fatorar: $\frac{x^2-1}{2x^2-x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(2x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{2x+1}$ . Limite em $x=1$ : $\frac{2}{3}$ . Ops — revise: $\frac{1+1}{2(1)+1}=\frac{2}{3}$ . Resposta: $2/3$ .
Ex. 3Application
Calcule $\lim_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{x+3} - 3}{x - 6}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §2.3
Show solution
Racionalizar: multiplicar por $(\sqrt{x+3}+3)/(\sqrt{x+3}+3)$ . Simplifica para $1/(\sqrt{x+3}+3)$ . Em $x=6$ : $1/6$ .
Ex. 4Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x}$ .
Solve online Active Calculus · §1.2
Show solution
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 3$ .
Ex. 5ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ .
Solve online Guidorizzi — Cálculo · §2.3
Show solution
$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ (limite fundamental).
Ex. 6Application
Calcule $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6
Show solution
À medida que $x\to 0^+$ , $1/x\to +\infty$ .
Ex. 7ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{x^2}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §2.2
Ex. 8Application
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 2x}{5x^2 + 1}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 15
Show solution
Dividir numerador e denominador por $x^2$ : $\frac{3+2/x}{5+1/x^2}\to 3/5$ .
Ex. 9Application
Calcule $\lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$ .
Solve online Active Calculus · §1.2
Ex. 10Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ .
Solve online Guidorizzi — Cálculo · §2.1
Show solution
Lateral direito = 1, lateral esquerdo = −1. Limites diferentes → limite bilateral não existe.
Ex. 11Application
Calcule $\lim_{x \to 0} x^2 \cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.3
Show solution
Confronto: $-x^2 \leq x^2\cos(1/x) \leq x^2$ . Ambos vão a 0.
Ex. 12ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^x$ .
Solve online Guidorizzi — Cálculo · §2.3
Show solution
$\lim_{x\to\infty}(1+2/x)^x = e^2$ via $\lim_{t\to 0}(1+2t)^{1/t}=e^2$ .
Ex. 13UnderstandingAnswer key
$\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right)$ é:
Select the correct option
01não existeinfinito
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus I · §2.2
Show solution
Lateral direito: $\lim_{x\to 0^+}\sin(\pi/x)$ oscila entre −1 e 1 infinitamente — não converge.
Ex. 14Understanding
Seja $f(x) =$ , $x+1 & x < 2$ , $x-1 & x \geq 2$ . Calcule os limites laterais em $x=2$ e diga se o limite bilateral existe.
Solve online Active Calculus · §1.2
Ex. 15UnderstandingAnswer key
Prove pela definição ε-δ que $\lim_{x \to 2} (2x - 1) = 3$ .
Stewart — Cálculo · §2.4
Show solution
Dado $\varepsilon>0$ , tome $\delta=\varepsilon/2$ . Então $|2x-1-3|=2|x-2|<2\delta=\varepsilon$ .
Ex. 16Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x(1 + \sqrt{1-x^2})}$ .
Solve online Guidorizzi — Cálculo · §2.2
Ex. 17Understanding
Prove que $\lim_{x \to 3} \sqrt{x} = \sqrt{3}$ . (Dica: use $|\sqrt{x} - \sqrt{3}| = \frac{|x-3|}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$ .)
Stewart — Cálculo · §2.4, Exercício 39
Ex. 18Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x)}{\sin(4x)}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §2.3
Ex. 19Understanding
Prove pelo Teorema do Confronto que $\lim_{x \to 0} x \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0$ .
Active Calculus · §1.4
Show solution
Confronto: $0 \leq |x\sin(1/x)| \leq |x| \to 0$ .
Ex. 20Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}$ .
Solve online Guidorizzi — Cálculo · §2.3
Ex. 21Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0^+} \ln x$ e $\lim_{x \to 0^-} \ln x$ . O limite bilateral existe?
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6
Ex. 22UnderstandingAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ . (Dica: multiplique por $(1+\cos x)/(1+\cos x)$ e use o limite fundamental de $\sin x / x$ .)
Solve online OpenStax Calculus I · §2.3
Ex. 23Proof
Prove que $\lim_{x \to 1} (x^2 + x) = 2$ usando a definição ε-δ.
Stewart — Cálculo · §2.4, Exercício 19
Show solution
Análise: $|x^2+x-2|=|x+2||x-1|$ . Restringindo $\delta\leq 1$ : $|x+2|\leq 4$ . Tome $\delta=\min(1,\varepsilon/4)$ .
Ex. 24Proof
Prove que se $\lim_{x \to a} f(x) = L > 0$ , então existe $\delta > 0$ tal que $f(x) > 0$ para todo $x$ com $0 < |x-a| < \delta$ . (Teorema de permanência do sinal.)
Apostol — Calculus I · §3.3
Ex. 25Proof
Prove que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ se e somente se $\lim_{h \to 0} f(a+h) = L$ .
Guidorizzi — Cálculo · §2.1, Exercício 5
Ex. 26ChallengeAnswer key
Determine $a$ e $b$ para que $f(x) =$ , $ax + b & x \leq 1$ , $x^2 & x > 1$ seja tal que $\lim_{x \to 1} f(x)$ exista e valha $1$ , e $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ .
Solve online ITA — Prova de Matemática 2019
Show solution
Para o limite existir, os laterais devem ser iguais. Em $x=1$ : $a+b = 1$ . O valor em $x=2$ deve coincidir: $2a+b=3$ . Sistema: $a=2, b=-1$ .
Ex. 27Challenge
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^{1/x} - e}{x}$ . (Dica: expanda $(1+x)^{1/x}$ usando logaritmo e série de Taylor de $\ln$ .)
Solve online Guidorizzi — Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 12
Ex. 28Challenge
Calcule $\lim_{x \to +\infty} x \sin\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right)$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 69
Ex. 29Proof
Prove que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ implica $\lim_{x \to a} |f(x)| = |L|$ . Mostre com um exemplo que a recíproca é falsa.
Apostol — Calculus I · §3.2
Ex. 30Proof
Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $|f(x) - f(y)| \leq k|x-y|$ para todo $x, y$ e alguma constante $k > 0$ (função Lipschitz). Prove diretamente pela definição ε-δ que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ para todo $a$ .
Solve online Guidorizzi — Cálculo, vol. 1 · §2.1

Fontes

Stewart — Cálculo — James Stewart · Cengage, 8a ed. (2016) · §2.2–2.6.
Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 — H. L. Guidorizzi · LTC, 5a ed. (2001) · §2.1–2.3.
Apostol — Calculus I — T. Apostol · Wiley, 2a ed. · §3.1–3.5.
OpenStax Calculus I · CC-BY 4.0 · §2.2–2.5.
Active Calculus — Boelkins · CC-BY-NC-SA · §1.1–1.2.
REAMAT — USP · CC-BY-SA · cap. 2.