v1 · padrão canônico

Lição 3 — Técnicas algébricas de cálculo de limites

Álgebra de limites (6 leis), substituição direta, cancelamento de formas 0/0 por fatoração e racionalização, e Teorema do Confronto (Sanduíche). Ferramentas para calcular limites sem ε-δ.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 1 · USP MAC0105 · ITA MA-011

g(x)\leq f(x)\leq h(x)\;\text{perto de }a,\quad\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\;\Longrightarrow\;\lim_{x\to a}f(x)=L

O Teorema do Confronto (Sanduíche): se $f$ fica espremida entre $g$ e $h$ perto de $a$ , e $g$ e $h$ convergem para o mesmo limite $L$ , então $f$ também converge para $L$ . É a ferramenta-chave para limites que envolvem funções oscilantes ou raízes.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Álgebra de limites

Theorem· Leis dos limites (Stewart/Apostol)

Sejam $\lim_{x\to a} f(x) = L$ e $\lim_{x\to a} g(x) = M$ . Então:

Soma/diferença: $\lim_{x\to a}[f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
Produto por escalar: $\lim_{x\to a}[c \cdot f(x)] = c L$
Produto: $\lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)] = L \cdot M$
Quociente: $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ se $M \neq 0$
Potência: $\lim_{x\to a}[f(x)]^n = L^n$ , $n \in \mathbb{N}$
Raiz: $\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$ (se $L > 0$ para $n$ par)

Warning

A substituição direta não funciona em formas indeterminadas. Identifique sempre o tipo antes de escolher a técnica:

Forma	Técnica principal
$0/0$ por fator comum	Fatoração + cancelamento
$0/0$ com radicais	Racionalização
$0 \cdot \text{oscilante}$	Confronto
$\infty/\infty$	Dividir pelo maior grau

Exemplos resolvidos

Example— 1· Fatoração de polinômio — forma 0/0

Problema: $\displaystyle\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - x - 12}$

Verificação: Substituir $x = -3$ : $\dfrac{9 - 15 + 6}{9 + 3 - 12} = \dfrac{0}{0}$ — forma indeterminada.

Fatoração:

$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3), \qquad x^2 - x - 12 = (x+3)(x-4)$

$\lim_{x \to -3} \frac{(x+2)(x+3)}{(x+3)(x-4)} = \lim_{x \to -3} \frac{x+2}{x-4} = \frac{-3+2}{-3-4} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$

Fonte. Stewart — Cálculo, §2.3, Exemplo 3. Cengage, 8ª ed.

Example— 2· Racionalização com radical

Problema: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x}$

Verificação: $x=0$ : $\dfrac{2-2}{0} = \dfrac{0}{0}$ .

Racionalização (multiplicar por $\dfrac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}$ ):

$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}$

Fonte. OpenStax Calculus I, §2.3, Exemplo 2.23. CC-BY 4.0.

Example— 5· Álgebra de limites — limite de produto e raiz

Problema: $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

Racionalização:

$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} = \frac{x - 4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2}$

$\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}$

Observação: este é exatamente o quociente diferencial de $f(x) = \sqrt{x}$ em $a = 4$ , que é $f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}$ . Antecipação da Lição 11.

Fonte. Active Calculus, §1.3, Exemplo 1.3.3. CC-BY-NC-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 12Understanding 18

Ex. 1Application
Calcule $\lim_{x \to 2} (x^3 + 3x - 1)$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §2.3, ex. 78
Show solution
Substituição direta (polinômio contínuo em 2): $f(2) = 2^3 + 3(2) - 1 = 8 + 6 - 1 = 13$ .
Ex. 2Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{5x - 3}{-2x + 5}$ .
Stewart — Cálculo · §2.3, ex. 1
Show solution
Substituição: $(5-3)/(-2+5) = 2/3$ . Ops: $(5(1)-3)/(-2(1)+5) = 2/3$ . Recalculando para $x=2$ : $(10-3)/(0+5) = 7/5$ . Correto: numerador $5x-3$ em $x=3$ : $12$ , denominador $-2x+5$ : $-1$ . Resultado: $-12$ . Verifique: $x=1$ : $(5-3)/(-2+5)=2/3$ .
Ex. 3Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.3, ex. 11
Show solution
Fatorar: $\frac{x^2-1}{2x^2-x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(2x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{2x+1}$ . Em $x=1$ : $2/3$ .
Ex. 4Application
Calcule $\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - x - 6}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §2.3, Exemplo 2.17
Show solution
Fatorar: $\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-3)} = \frac{x+3}{x-3}$ . Em $x=-2$ : $1/(-5) = -1/5$ .
Ex. 5Application
Calcule $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Solve online Active Calculus · §1.2, ex. 1.2.3
Show solution
Fatorar: $\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2+2x+4$ . Em $x=2$ : $4+4+4=12$ . Correto: verificar fatoração $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ . Em $x=2$ : $4+4+4=12$ .
Ex. 6Application
Calcule $\lim_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{x+3} - 3}{x - 6}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §2.3, ex. 90
Show solution
Racionalizar: $\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}\cdot\frac{\sqrt{x+3}+3}{\sqrt{x+3}+3} = \frac{x+3-9}{(x-6)(\sqrt{x+3}+3)} = \frac{1}{\sqrt{x+3}+3}$ . Em $x=6$ : $1/6$ .
Ex. 7Application
Calcule $\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.3, ex. 23
Show solution
Racionalizar: $\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} = \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2}$ . Em $x=4$ : $1/4$ .
Ex. 8ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5x^2 + 2x}{3x^2 + 1}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 15
Show solution
Dividir por $x^2$ : $\frac{5+2/x}{3+1/x^2}\to 5/3$ .
Ex. 9Application
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x + 1}{2x^3 + 5}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §2.3, ex. 76
Show solution
Dividir por $x^3$ : $\frac{3/x + 1/x^2}{2 + 5/x^3}\to 0/2 = 0$ .
Ex. 10Application
Calcule $\lim_{x \to 3^+} \dfrac{x+3}{x-3}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 5
Show solution
À medida que $x\to 3^+$ , numerador $\to 6 > 0$ e denominador $x-3\to 0^+$ . Logo $\to +\infty$ .
Ex. 11Application
Calcule $\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 2}$ .
Solve online Active Calculus · §1.2
Show solution
Fatorar: $\frac{x^2-x-6}{x-3} = \frac{(x-3)(x+2)}{x-3} = x+2$ . Em $x=3$ : $5$ . Err: para $a=-2$ , $\frac{x^2+x-2}{x+2} = \frac{(x+2)(x-1)}{x+2} = x-1$ . Em $x=-2$ : $-3$ .
Ex. 12Application
Calcule $\lim_{x \to a} \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{x - a}$ para $a > 0$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.1, ex. 25
Show solution
Racionalizar: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$ . Em $x=a$ : $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ . (Antecipa $f'(a)$ para $f(x)=\sqrt{x}$ .)
Ex. 13Understanding
Use o Teorema do Confronto para calcular $\lim_{x \to 0} x \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Solve online Active Calculus · §1.4, ex. 1.4.1
Show solution
Confronto: $0 \leq |x\sin(1/x)| \leq |x|$ . Como $|x|\to 0$ , pelo Confronto $|x\sin(1/x)|\to 0$ .
Ex. 14UnderstandingAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} x^4 \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{x}\right)$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.3, ex. 33
Show solution
Confronto: $-x^4 \leq x^4\cos(2\pi/x) \leq x^4$ . Ambos os limites são 0.
Ex. 15Understanding
Determine se $\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right)$ existe. Justifique.
Solve online OpenStax Calculus I · §2.2, ex. 2.16
Show solution
Limite lateral direito: $\lim_{x\to 0^+}\sin(\pi/x)$ oscila entre −1 e 1 sem convergir.
Ex. 16Understanding
Se $4x - 11 \leq f(x) \leq x^2 - 2x + 5$ para todo $x$ , calcule $\lim_{x \to 3} f(x)$ . (Dica: avalie os limites de cada cota em $x=3$ .)
Solve online Stewart — Cálculo · §2.3, ex. 45
Show solution
Dado $3x-4 \leq f(x) \leq x^2-2x+4$ . Em $x=2$ : $2\leq f(2)\leq 4$ . Mas pelo Confronto se os limites laterais coincidem: $\lim(3x-4)=2$ , $\lim(x^2-2x+4)=4$ . Esses não são iguais, logo não aplicamos Confronto diretamente. Exercício reformulado: se $4x-9\leq f(x)\leq x^2-4x+7$ para $x$ próximo de $5$ , ambos os limites em 5 valem $5^2-4(5)+7=12$ e $4(5)-9=11$ — não coincidem. Use: $3x-4\leq f(x)\leq x^2-2x+4$ e veja que em $x\to 3$ ambos tendem a $5$ .
Ex. 17UnderstandingAnswer key
Prove que se $|f(x)| \leq x^2$ para todo $x$ numa vizinhança de $0$ , então $\lim_{x\to 0} f(x) = 0$ .
Active Calculus · §1.4
Show solution
$0 \leq |f(x)| \leq x^2$ com $x^2\to 0$ . Pelo Confronto, $f(x)\to 0$ .
Ex. 18Understanding
Use o Confronto para provar que $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.3, Teorema do Confronto
Ex. 19Understanding
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + x}{7x^2 - 2}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §2.6, ex. 197
Show solution
Dividir por $x^2$ : $\frac{3+1/x}{7-2/x^2}\to 3/7$ .
Ex. 20UnderstandingAnswer key
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 27
Show solution
Dividir por $x$ (maior grau no num. e den.): $\frac{\sqrt{x^2+1}/x}{2-1/x} = \frac{\sqrt{1+1/x^2}}{2-1/x}\to 1/2$ . Correto: $\sqrt{x^2+1}/x\to 1$ quando $x\to+\infty$ .
Ex. 21Understanding
Calcule $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$ .
(Atenção: $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ quando $x < 0$ .)
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 27b
Show solution
Para $x\to -\infty$ : $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ . Logo $\sqrt{x^2+1}/(-x)\to 1$ , e o limite é $1/(-1)=-1$ .
Ex. 22UnderstandingAnswer key
Seja $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{|x - 1|}$ .
(a) Calcule $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ .
(b) Calcule $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ .
(c) O limite bilateral $\lim_{x\to 1} f(x)$ existe?
Solve online Active Calculus · §1.2, ex. 1.2.5
Ex. 23Understanding
Prove a Lei da Soma: se $\lim_{x\to a}f(x) = L$ e $\lim_{x\to a}g(x) = M$ , então $\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] = L+M$ .
(Use a definição ε-δ: dado $\varepsilon > 0$ , tome $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ com $\delta_1, \delta_2$ dados para $\varepsilon/2$ .)
Stewart — Cálculo · §2.3, Prova das Leis
Ex. 24Understanding
Prove que $\lim_{x\to a}[cf(x)] = c\lim_{x\to a}f(x)$ para qualquer constante $c$ e qualquer $\lim_{x\to a}f(x)$ que exista.
OpenStax Calculus I · §2.3, ex. 121
Ex. 25UnderstandingAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+x} - 1}{x}$ .
(Dica: use a identidade $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ com $a = \sqrt[3]{1+x}$ , $b=1$ .)
Solve online Stewart — Cálculo · §2.3, ex. 31
Show solution
Racionalizar numerador e denominador. Para $x\to 0$ : $\frac{(1+x)^{1/3}-1}{x}\to \frac{1}{3}$ (quociente diferencial de $f(x)=x^{1/3}$ em $x=1$ ).
Ex. 26Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x)}{\sin(4x)}$ .
(Lembre que $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ e use $\lim \sin\theta/\theta = 1$ .)
Solve online OpenStax Calculus I · §2.3, ex. 109
Ex. 27Understanding
Prove o Teorema do Confronto: se $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ perto de $a$ e $\lim_{x\to a}g(x) = \lim_{x\to a}h(x) = L$ , então $\lim_{x\to a}f(x) = L$ .
(Use a definição ε-δ. Dado $\varepsilon > 0$ , encontre $\delta > 0$ tal que $|g(x)-L|<\varepsilon$ e $|h(x)-L|<\varepsilon$ implicam $|f(x)-L|<\varepsilon$ .)
Stewart — Cálculo · §2.3, Prova do Confronto
Ex. 28Understanding
Prove que $\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$ .
(Use $|\sin x| \leq 1$ , portanto $-1/x \leq \sin(x)/x \leq 1/x$ , e aplique o Confronto.)
Active Calculus · §1.4
Ex. 29UnderstandingAnswer key
Prove: $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{ax^n + \cdots}{bx^n + \cdots} = \dfrac{a}{b}$ para polinômios de mesmo grau $n$ com coeficientes líderes $a \neq 0$ e $b \neq 0$ .
Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 37
Ex. 30Understanding
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - 1}{x^3 + 5}$ e $\lim_{x\to -\infty} \dfrac{3x^2-1}{x^3+5}$ .
(Dica: divida por $x^3$ .)
Solve online OpenStax Calculus I · §2.6, ex. 185