v1 · padrão canônico

Lição 4 — Limites fundamentais

Os três limites fundamentais: lim sin(x)/x = 1, lim (eˣ−1)/x = 1 e lim(1+1/n)ⁿ = e. Provas geométrica e analítica, limites notáveis derivados e aplicações em engenharia.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 1 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{n \to \infty} \!\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\!n} = e

Os três limites fundamentais do Cálculo. O primeiro é a base para as derivadas de funções trigonométricas. O segundo define a exponencial natural e conecta $e$ às taxas de crescimento. O terceiro é a definição de $e \approx 2{,}71828$ como limite de uma sequência — o mesmo $e$ que aparece em juros compostos contínuos, decaimento radioativo e circuitos RC.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Limite fundamental trigonométrico

Theorem· lim sin(x)/x = 1 quando x → 0

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Prova geométrica (via Confronto): Para $0 < x < \pi/2$ , a desigualdade de áreas no círculo unitário dá:

$\frac{1}{2}\sin x \cos x \leq \frac{x}{2} \leq \frac{1}{2}\tan x$

Dividindo por $\frac{1}{2}\sin x > 0$ :

$\cos x \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}$

Tomando recíprocos (ordem inverte):

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{\cos x}$

Como $\lim_{x\to 0}\cos x = 1$ e $\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$ , pelo Confronto: $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ . Por paridade ( $\sin x / x$ é par), o limite vale também para $x \to 0^-$ . $\square$

Limite fundamental exponencial

Limites notáveis derivados

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{x} = a, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \quad(b\neq 0)$

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \ln a \quad(a > 0)$

$\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x} = e, \qquad \lim_{x\to\infty}\!\left(1 + \frac{a}{x}\right)^{\!x} = e^a$

Exemplos resolvidos

Example— 1· Prova geométrica: lim sin(x)/x = 1

Configuração: No círculo unitário, seja $x \in (0, \pi/2)$ (em radianos). Comparamos três áreas:

Triângulo $OAB$ inscrito: área $= \frac{1}{2}|OA||OB|\sin x = \frac{1}{2}\sin x$
Setor $OAB$ : área $= \frac{x}{2}$ (ângulo central $x$ , raio $1$ )
Triângulo $OAT$ circunscrito (com $T$ na tangente em $A$ ): área $= \frac{1}{2}\tan x$

Desigualdade de áreas: $\dfrac{\sin x}{2} \leq \dfrac{x}{2} \leq \dfrac{\tan x}{2}$ .

Dividindo por $\dfrac{\sin x}{2} > 0$ e tomando recíprocos:

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{\cos x}$

Como $\cos x \to 1$ quando $x\to 0^+$ , pelo Confronto: $\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ .

Por simetria ( $\sin(-x)/(-x) = \sin(x)/x$ ): $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ . $\square$

Fonte. Stewart — Cálculo, §3.3, Teorema 3. Cengage, 8ª ed. / Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1, §2.3. LTC, 5ª ed.

Example— 2· Limite derivado: lim sin(3x)/(5x)

Problema: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$

Estratégia: Ajustar para ter $\sin(3x)/(3x)$ .

$\frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}$

Como $3x \to 0$ quando $x \to 0$ , e $\lim_{u\to 0}\sin(u)/u = 1$ :

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5}\cdot\lim_{3x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = \frac{3}{5}\cdot 1 = \frac{3}{5}$

Fonte. Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1, §2.3, Exemplo 6. LTC, 5ª ed.

Example— 3· Limite derivado: lim (1 − cos x)/x²

Problema: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

Técnica: Multiplicar por $\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}$ (conjugado):

$\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x} = \frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}$

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x} = 1^2\cdot\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Fonte. Stewart — Cálculo, §3.3, Exemplo 5. Cengage, 8ª ed.

Example— 4· O número e como limite de sequência

Afirmação: A sequência $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ é crescente e limitada.

Crescimento (Desigualdade de Bernoulli generalizada): Para $n \geq 1$ :

$a_{n+1} = \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} > \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = a_n$

(Prova via Desigualdade de MA-MG: a média geométrica de $n+1$ termos é menor que a aritmética.)

Limitação: Por indução usando $(1+1/n)^n < 3$ (verificável via binômio de Newton para termos finitos).

Conclusão: Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass (sequência monótona limitada converge), $e = \lim a_n$ existe.

Valor numérico:

$n$	$a_n = (1+1/n)^n$
$1$	$2{,}000000$
$10$	$2{,}593742$
$100$	$2{,}704814$
$1\,000$	$2{,}716924$
$\infty$	$e \approx 2{,}718282$

Fonte. Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1, §1.3, Definição de $e$ . LTC, 5ª ed.

Example— 5· Juro composto contínuo: lim (1 + r/n)^n = eʳ

Problema: Prove que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\!\left(1+\frac{r}{n}\right)^n = e^r$ para $r \in \mathbb{R}$ .

Substitução: Seja $m = n/r$ (para $r > 0$ ). Quando $n\to\infty$ , $m\to\infty$ e:

$\left(1+\frac{r}{n}\right)^n = \left(1+\frac{1}{m}\right)^{mr} = \left[\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right]^r \to e^r$

(usando continuidade da potência e o limite fundamental $\lim_{m\to\infty}(1+1/m)^m = e$ ).

Aplicação: Capital $C_0$ aplicado à taxa $r$ ao ano com capitalização contínua:

$C(t) = C_0 \cdot e^{rt}$

Fonte. Stewart — Cálculo, §3.6, Exemplo 5 (aplicação a juros). Cengage, 8ª ed.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 13

Ex. 1Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(7x)}{x}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 1
Show solution
$\frac{\sin(7x)}{x} = 7\cdot\frac{\sin(7x)}{7x}\to 7\cdot 1=7$ .
Ex. 2Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x)}{\sin(3x)}$ .
Stewart — Cálculo · §3.3, ex. 1
Show solution
$\frac{\sin(4x)}{\sin(3x)} = \frac{4x}{3x}\cdot\frac{\sin(4x)/(4x)}{\sin(3x)/(3x)}\to\frac{4}{3}\cdot 1=\frac{4}{3}$ .
Ex. 3Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §3.5, ex. 162
Show solution
$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\to 1\cdot 1=1$ .
Ex. 4Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 3
Show solution
$\frac{1-\cos x}{x} = x\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}\to 0\cdot\frac{1}{2}=0$ .
Ex. 5ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §3.3, Exemplo 5
Show solution
Multiplicar por conjugado: $\frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}\to 1\cdot\frac{1}{2}$ .
Ex. 6ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\sin x}$ .
Solve online REAMAT — Cálculo I · cap. 2, ex. 2.3.1
Show solution
$\frac{\sin(5x)}{\sin x}=\frac{\sin(5x)}{5x}\cdot\frac{x}{\sin x}\cdot 5\to 1\cdot 1\cdot 5=5$ .
Ex. 7Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{\tan(2x)}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 7
Show solution
$\frac{\sin(3x)}{\tan(2x)} = \frac{\sin(3x)}{3x}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\cdot\frac{3}{2}\to 1\cdot 1\cdot 1\cdot\frac{3}{2}$ .
Ex. 8Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x^2}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §3.5, ex. 165
Show solution
$\frac{1-\cos(2x)}{x^2}=\frac{1-\cos(2x)}{(2x)^2/4}\cdot 4\cdot\frac{1}{4}= \frac{4}{4}\cdot\frac{1-\cos(2x)}{(2x)^2/4}$ . Ajustar: $\frac{1-\cos(2x)}{x^2} = 4\cdot\frac{1-\cos(2x)}{(2x)^2}\to 4\cdot\frac{1}{2}=2$ .
Ex. 9Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)\sin(bx)}{x^2}$ , onde $a, b \in \mathbb{R}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §3.3, ex. 3
Show solution
$\frac{\sin(ax)\cdot bx}{\sin(bx)\cdot ax}\cdot\frac{ax\cdot bx}{1}\to 1\cdot 1\cdot ab$ . Correto: $\frac{\sin(ax)\sin(bx)}{x^2}=a\frac{\sin(ax)}{ax}\cdot b\frac{\sin(bx)}{bx}\to ab$ .
Ex. 10Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x}$ .
Solve online REAMAT — Cálculo I · cap. 2
Show solution
$\frac{\sin^2 x}{x} = x\cdot\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\to 0\cdot 1=0$ .
Ex. 11Application
Calcule $\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta°}{\theta}$ , onde $\theta°$ significa $\theta$ em graus.
(Esse é o motivo pelo qual calculamos derivadas com ângulos em radianos!)
Solve online Stewart — Cálculo · §3.3, Nota — limite em graus
Show solution
Converter: se $\theta$ está em graus, $\sin\theta°=\sin(\pi\theta/180)$ . Logo $\frac{\sin\theta°}{\theta}=\frac{\sin(\pi\theta/180)}{\theta}=\frac{\pi}{180}\cdot\frac{\sin(\pi\theta/180)}{\pi\theta/180}\to\frac{\pi}{180}$ .
Ex. 12Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - 1}{x^2}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 11
Show solution
$\frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1-\cos x}{x^2}\to -\frac{1}{2}$ .
Ex. 13ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 13
Show solution
Limite fundamental: $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ .
Ex. 14Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §3.6, ex. 3
Show solution
$\frac{e^{3x}-1}{x}=3\cdot\frac{e^{3x}-1}{3x}\to 3\cdot 1=3$ .
Ex. 15Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §3.9, ex. 326
Show solution
$\frac{\ln(1+x)}{x}\to 1$ (limite fundamental do logaritmo).
Ex. 16Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{x}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 15
Show solution
$\frac{2^x-1}{x}\to\ln 2$ (limite fundamental: $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ ).
Ex. 17Application
Calcule $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §3.6, ex. 7
Show solution
$(1+x)^{1/x}\to e$ (forma contínua do limite fundamental).
Ex. 18ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{5}{x}\right)^x$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 17
Show solution
$\left(1+\frac{5}{x}\right)^x=\left[\left(1+\frac{1}{x/5}\right)^{x/5}\right]^5\to e^5$ .
Ex. 19Understanding
Calcule $\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n+2}{n}\right)^n$ .
Solve online REAMAT — Cálculo I · cap. 2, ex. 2.4.3
Show solution
Reescrever: $\left(\frac{n+2}{n}\right)^n = \left(1+\frac{2}{n}\right)^n\to e^2$ .
Ex. 20Understanding
Calcule $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §3.6, ex. 9
Show solution
$\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \left(\frac{n-1}{n}\right)^n$ . Escreva $=\left[\left(1+\frac{-1}{n}\right)^n\right]\to e^{-1}$ .
Ex. 21Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$ .
(Dica: escreva $e^x = 1 + x + x^2/2 + \cdots$ e simplifique.)
Solve online OpenStax Calculus I · §3.9, ex. 330
Show solution
$\frac{e^x - 1 - x}{x^2}\to\frac{1}{2}$ (pelo desenvolvimento de Taylor: $e^x = 1+x+x^2/2+\cdots$ ).
Ex. 22UnderstandingAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{3^x - 2^x}{x}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 19
Show solution
$\frac{3^x-2^x}{x}=\frac{3^x-1}{x}-\frac{2^x-1}{x}\to\ln 3-\ln 2=\ln(3/2)$ .
Ex. 23UnderstandingAnswer key
Prove rigorosamente, usando a desigualdade de áreas no círculo unitário, que
$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{\cos x} \quad \text{para } 0 < x < \frac{\pi}{2}.$
Conclua $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ .
Stewart — Cálculo · §3.3, Prova geométrica
Ex. 24Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3}$ .
(Use a expansão $\sin x = x - x^3/6 + O(x^5)$ ou L'Hôpital três vezes.)
Solve online REAMAT — Cálculo I · cap. 2
Show solution
$\frac{x-\sin x}{x^3} = \frac{1-(\sin x/x)}{x^2}\to\frac{1-1}{0}$ — forma imediata não resolve. Usar Taylor: $\sin x = x-x^3/6+\cdots$ , logo $(x-\sin x)/x^3 = 1/6 - \cdots\to 1/6$ .
Ex. 25Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)\cos x}{x}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.3, ex. 21
Show solution
$\frac{\sin(5x)}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{1}=5\cdot\frac{\sin(5x)/5x}{\sin x/x}\cdot\cos x\to 5\cdot 1\cdot 1=5$ . Mas $\cos x\to 1$ .
Ex. 26Understanding
Calcule $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{2n}\right)^n$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §3.6, ex. 13
Show solution
Reescrever expoente: $n\ln\left(1-\frac{1}{2n}\right)=n\cdot\left(-\frac{1}{2n}+O(1/n^2)\right)\to -\frac{1}{2}$ . Logo o limite é $e^{-1/2}$ .
Ex. 27UnderstandingAnswer key
Prove que a sequência $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ é crescente, usando a Desigualdade de Bernoulli ou a desigualdade MA-MG.
(Basta mostrar $a_{n+1}/a_n > 1$ .)
Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.3, definição de $e$
Ex. 28Understanding
Prove que $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n < 3$ para todo $n \geq 1$ .
(Use o Binômio de Newton: $(1+1/n)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}/n^k \leq \sum_{k=0}^n 1/k! < e < 3$ .)
Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §1.3, limitação de $(1+1/n)^n$
Ex. 29Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ .
Solve online OpenStax Calculus I · §3.5, ex. 170
Show solution
Racionalizar + confronto: $\frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\to 1$ (com substituição $u=\sqrt{x}\to 0$ ).
Ex. 30Understanding
Calcule $\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(a+h) - \sin a}{h}$ para $a$ constante.
(Este é exatamente a derivada de $\sin x$ em $x=a$ — antecipa a Lição 14.)
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §3.1, derivada do seno
Show solution
Fórmula de adição: $\frac{\sin(a+h)-\sin a}{h}=\frac{\sin a\cos h+\cos a\sin h-\sin a}{h}=\sin a\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos a\cdot\frac{\sin h}{h}$ . Quando $h\to 0$ : $\sin a\cdot 0+\cos a\cdot 1=\cos a$ .