v1 · padrão canônico

Lição 5 — Limites no infinito e assíntotas

Comportamento de f(x) quando x→±∞ e quando f(x)→±∞. Definição ε-M, assíntotas horizontais, verticais e oblíquas. Técnica do grau dominante para racionais e radicais.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 1 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\lim_{x\to+\infty}f(x)=L \;\iff\; \forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,M>0:\;x>M\;\Rightarrow\;|f(x)-L|<\varepsilon

A assíntota horizontal $y=L$ existe quando $f(x)$ se aproxima de $L$ à medida que $x$ cresce sem limite. A condição $x>M$ substitui o $0<|x-a|<\delta$ da definição usual: agora o "raio de controle" é um limiar $M$ , não uma vizinhança de ponto finito.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Limites no infinito — definições formais

Example— 1· Limite racional no infinito — grau dominante

Problema: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 5}{2x^2 + 7x - 3}$

Estratégia: dividir numerador e denominador por $x^2$ (maior grau).

$\frac{3x^2 - x + 5}{2x^2 + 7x - 3} = \frac{3 - 1/x + 5/x^2}{2 + 7/x - 3/x^2}$

Quando $x \to \infty$ : todos os termos $1/x^k \to 0$ .

$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 - x + 5}{2x^2 + 7x - 3} = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{3}{2}$

A reta $y = 3/2$ é assíntota horizontal.

Fonte. Stewart — Cálculo, §2.6, Exemplo 1. Cengage, 8ª ed.

Example— 2· Limite com radical — cuidado com o sinal

Problema: $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{2x + 1}$

Para $x \to +\infty$ : $\sqrt{4x^2+1} = x\sqrt{4 + 1/x^2}$ (pois $x > 0$ ).

$\frac{x\sqrt{4+1/x^2}}{2x+1} = \frac{\sqrt{4+1/x^2}}{2+1/x} \xrightarrow{x\to+\infty} \frac{2}{2} = 1$

Para $x \to -\infty$ : $\sqrt{4x^2+1} = |x|\sqrt{4+1/x^2} = -x\sqrt{4+1/x^2}$ (pois $x < 0$ ).

$\frac{-x\sqrt{4+1/x^2}}{2x+1} = \frac{-\sqrt{4+1/x^2}}{2+1/x} \xrightarrow{x\to-\infty} \frac{-2}{2} = -1$

Duas assíntotas horizontais: $y = 1$ (para $x \to +\infty$ ) e $y = -1$ (para $x \to -\infty$ ).

Fonte. Stewart — Cálculo, §2.6, Exemplos 3–4. Cengage, 8ª ed.

Example— 3· Assíntota oblíqua via divisão polinomial

Problema: Encontre as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ .

Passo 1 — vertical: $\lim_{x\to 1} \dfrac{x^2+1}{x-1}$ . Numerador $= 2 \neq 0$ , denominador $\to 0$ . Logo $x = 1$ é assíntota vertical.

Passo 2 — oblíqua: como $\deg(\text{num}) = \deg(\text{den}) + 1$ , divida:

$x^2 + 1 = (x-1)(x+1) + 2 \implies f(x) = x + 1 + \frac{2}{x-1}$

Como $2/(x-1) \to 0$ quando $x \to \pm\infty$ :

$\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x) - (x+1)\right] = 0$

A reta $y = x + 1$ é assíntota oblíqua.

Fonte. Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1, §2.5. LTC, 5ª ed.

Example— 4· Limite por conjugado — diferença de radicais

Problema: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left[x - \sqrt{x^2 - x}\right]$

Estratégia: multiplicar por $\dfrac{x + \sqrt{x^2-x}}{x + \sqrt{x^2-x}}$ .

$x - \sqrt{x^2-x} = \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}} = \frac{x}{x + \sqrt{x^2-x}}$

Dividindo numerador e denominador por $x$ ( $x > 0$ ):

$\frac{x}{x + x\sqrt{1-1/x}} = \frac{1}{1 + \sqrt{1 - 1/x}} \xrightarrow{x\to\infty} \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Fonte. Stewart — Cálculo, §2.6, Exercício 65. Cengage, 8ª ed.

Example— 5· Prova pela definição ε-M

Afirmação: $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ .

Prova: dado $\varepsilon > 0$ , queremos $|1/x - 0| < \varepsilon$ , i.e., $1/x < \varepsilon$ , i.e., $x > 1/\varepsilon$ .

Tome $M = 1/\varepsilon$ . Se $x > M$ , então $x > 1/\varepsilon$ , logo $1/x < \varepsilon = \varepsilon$ . $\square$

Variante: prove $\lim_{x\to\infty}(2x+3)/(x-1) = 2$ . Escrevemos: $\left|\frac{2x+3}{x-1} - 2\right| = \left|\frac{5}{x-1}\right| = \frac{5}{x-1} \quad (x > 1)$

Para que isso seja $< \varepsilon$ : $x - 1 > 5/\varepsilon$ , i.e., $x > 1 + 5/\varepsilon$ . Tome $M = 1 + 5/\varepsilon$ . $\square$

Fonte. Apostol — Calculus, vol. I, §3.1. Wiley, 2ª ed.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 10Understanding 10 10

Ex. 1
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{4x + 7}{2x - 1}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 3
Show solution
Dividir por $x$ : $\frac{4+7/x}{2-1/x}\to \frac{4}{2}=2$ .
Ex. 2
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + x - 3}$ .
Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 5
Show solution
Dividir por $x^2$ : $\frac{3-5/x+1/x^2}{2+1/x-3/x^2}\to \frac{3}{2}$ .
Ex. 3
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.5, ex. 1
Show solution
O grau do numerador ( $3$ ) é maior que o do denominador ( $2$ ), e o coeficiente líder do numerador é positivo. Logo $r(x)\to+\infty$ .
Ex. 4Answer key
Calcule $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x^3 - 3}{x^3 + 5}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 7
Show solution
Dividir por $x^3$ : $\frac{2-3/x^3}{1+5/x^3}\to 2$ . O sinal de $x\to-\infty$ não altera o limite pois os graus são iguais.
Ex. 5
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 4x}}{x}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 15
Show solution
Para $x>0$ : $\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+4/x}$ . Dividindo por $x$ : $\frac{x\sqrt{1+4/x}}{x}=\sqrt{1+4/x}\to 1$ .
Ex. 6
Calcule $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 4x}}{x}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 17
Show solution
Para $x<0$ : $\sqrt{x^2+4x}=|x|\sqrt{1+4/x}=-x\sqrt{1+4/x}$ . Dividindo por $x$ : $-\sqrt{1+4/x}\to -1$ .
Ex. 7Answer key
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin(3x)}{5x}$ .
Solve online OpenStax — Calculus, Volume 1 · §4.6, ex. 211
Show solution
Confronto: $|\frac{\sin(3x)}{5x}|\leq \frac{1}{5|x|}\to 0$ . Logo o limite é 0.
Ex. 8
Calcule $\lim_{x \to \infty} x \cdot e^{-x^2}$ .
Solve online Active Calculus · §1.7, ex. 1.7.3
Show solution
Confronto: $0\leq xe^{-x^2}\leq e^{-x}$ para $x\geq 1$ . Como $e^{-x}\to 0$ , o Confronto dá limite 0.
Ex. 9
Calcule $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^x$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.5, ex. 11
Show solution
Escreva $\left(1+\frac{2}{x}\right)^x = \left[\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x/2}\right]^2$ . Fazendo $u=x/2\to\infty$ , o colchete tende a $e$ . Logo o limite é $e^2$ .
Ex. 10Answer key
Calcule $\lim_{x \to \infty} e^{-x}$ .
Solve online OpenStax — Calculus, Volume 1 · §4.6, ex. 213
Show solution
Para $x>0$ grande: $0<e^{-x}<1/x$ . Pelo Confronto, $e^{-x}\to 0$ .
Ex. 11ApplicationAnswer key
Encontre todas as assíntotas de $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 29
Show solution
$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-3}=0$ (horiz. $y=0$ ). $\lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty$ (vert. $x=3$ ).
Ex. 12Application
Encontre todas as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 33
Show solution
Grau num < grau den: $\lim_{x\to\pm\infty}x/(x^2-1)=0$ . Zeros do denominador: $x=\pm 1$ , e numerador $\neq 0$ lá.
Ex. 13Application
Encontre todas as assíntotas de $f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 9}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.5, ex. 5
Show solution
Dividir por $x^2$ : limite $=2$ . Denominador $x^2-9=0$ em $x=\pm 3$ , numerador $2(\pm 3)^2+1=19\neq 0$ .
Ex. 14ApplicationAnswer key
Encontre as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 43
Show solution
Divisão: $x^2+1=(x-1)(x+1)+2$ , logo $f(x)=x+1+\frac{2}{x-1}$ . O resto tende a 0, dando oblíqua $y=x+1$ . Vert. em $x=1$ .
Ex. 15Application
Calcule $\lim_{x \to 2^+} \dfrac{x + 1}{x - 2}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.2, ex. 27
Show solution
Numerador $\to 3>0$ , denominador $x-2\to 0^+$ . Logo $(x+1)/(x-2)\to+\infty$ .
Ex. 16Application
Calcule $\lim_{x \to (-1)^-} \dfrac{x - 1}{x + 1}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.5, ex. 15
Show solution
$x-1\to -2<0$ e $x+1\to 0^-$ (pela esquerda). Logo $(x-1)/(x+1)\to (-2)/(0^-)=+\infty$ .
Ex. 17Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} \left(x - \sqrt{x^2 - x}\right)$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 65
Show solution
Conjugado: $x-\sqrt{x^2-x}=\frac{x}{x+\sqrt{x^2-x}}=\frac{1}{1+\sqrt{1-1/x}}\to \frac{1}{2}$ .
Ex. 18Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x} - x\right)$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.5, ex. 9
Show solution
Conjugado: $\sqrt{x^2+2x}-x=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\frac{2}{\sqrt{1+2/x}+1}\to\frac{2}{2}=1$ .
Ex. 19Application
Encontre as assíntotas horizontais de $f(x) = \arctan(x)$ .
Solve online OpenStax — Calculus, Volume 1 · §4.6, ex. 193
Show solution
$\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\pi/2$ e $\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\pi/2$ . Sem assíntota vertical (arctangente é definida em todo $\mathbb{R}$ ).
Ex. 20Application
Encontre as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$ .
Solve online Stewart — Cálculo · §2.6, ex. 45
Show solution
Divisão: $x^3+1=(x^2-1)\cdot x + x+1$ , logo $f(x)=x+\frac{x+1}{x^2-1}=x+\frac{1}{x-1}$ (para $x\neq-1$ ). Oblíqua: $y=x$ . Verticais em zeros de $x^2-1$ .
Ex. 21Understanding
Prove que $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$ usando a definição ε-M.
Apostol — Calculus, vol. I · §3.1, ex. 3
Show solution
Dado $\varepsilon>0$ , tome $M=1/\sqrt{\varepsilon}$ . Se $x>M$ , então $x^2>M^2=1/\varepsilon$ , logo $|1/x^2-0|=1/x^2<\varepsilon$ . $\square$
Ex. 22Understanding
Prove que $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 3}{x - 1} = 2$ usando a definição ε-M.
Stewart — Cálculo · §2.6, Nota de Prova
Show solution
$\left|\frac{2x+3}{x-1}-2\right|=\frac{5}{x-1}$ (para $x>1$ ). Queremos $<\varepsilon$ : tome $M=1+5/\varepsilon$ . Se $x>M$ , então $x-1>5/\varepsilon$ , logo $5/(x-1)<\varepsilon$ . $\square$
Ex. 23UnderstandingAnswer key
Calcule $\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right)$ .
Solve online REAMAT — Cálculo I (USP) · cap. 2
Show solution
Fazendo $t=\pi/x$ (logo $t\to 0^+$ quando $x\to+\infty$ ): $x\sin(\pi/x)=\frac{\pi}{t}\sin(t)=\pi\cdot\frac{\sin t}{t}\to\pi\cdot 1=\pi$ .
Ex. 24Understanding
Calcule $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{a}{x}\right)^x$ para $a \in \mathbb{R}$ fixo.
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · §2.5, ex. 13
Show solution
Escreva $(1+a/x)^x=[(1+a/x)^{x/a}]^a$ . Fazendo $u=x/a\to\infty$ , o colchete é $(1+1/u)^u\to e$ . Logo o limite é $e^a$ .
Ex. 25Understanding
Estude o comportamento de $f(x) = x e^{1/x}$ quando $x \to 0^+$ e quando $x \to +\infty$ .
Solve online Active Calculus · §1.7, ex. 1.7.5
Show solution
$\lim_{x\to 0^+}xe^{1/x}$ : faça $t=1/x\to+\infty$ : $(1/t)e^t=e^t/t\to+\infty$ . E $\lim_{x\to+\infty}xe^{1/x}=xe^{1/x}\to+\infty\cdot 1=+\infty$ . Sem assíntota horizontal.
Ex. 26Understanding
O ganho de um filtro passa-baixa é $H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}}$ . Calcule $\lim_{\omega\to 0} H(\omega)$ e $\lim_{\omega\to\infty} H(\omega)$ .
Solve online ITA MA-011 — Estilo de aplicação · filtros analógicos
Show solution
$\lim_{\omega\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1$ . $\lim_{\omega\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}}\approx\frac{\omega_0}{\omega}\to 0$ . Assíntota horizontal $y=0$ (frequências altas atenuadas).
Ex. 27UnderstandingAnswer key
Prove: se $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ e $\lim_{x\to\infty} g(x) = M$ , então $\lim_{x\to\infty}[f(x)+g(x)] = L + M$ .
Apostol — Calculus, vol. I · §3.2
Show solution
Sejam $|f(x)-L|<\varepsilon/2$ para $x>M_1$ e $|g(x)-M|<\varepsilon/2$ para $x>M_2$ . Tome $M=\max(M_1,M_2)$ . Para $x>M$ : $|(f+g)(x)-(L+M)|\leq|f(x)-L|+|g(x)-M|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$ . $\square$
Ex. 28Understanding
Encontre todas as assíntotas de $f(x) = \dfrac{e^x}{e^x - 1}$ .
Solve online Guidorizzi — Um Curso de Cálculo, vol. 1 · Lista I
Show solution
$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{e^x-1}=\lim\frac{1}{1-e^{-x}}=1$ . $\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{e^x-1}\approx\frac{0}{0-1}=0$ . Em $x=0$ : denominador $e^0-1=0$ , numerador $1\neq 0$ : assíntota vertical.
Ex. 29Understanding
Estude o comportamento assintótico de $f(x) = (x+1)\arctan(x)$ quando $x \to \pm\infty$ . Existe assíntota?
Solve online REAMAT — Cálculo I (USP) · cap. 2
Show solution
$\lim_{x\to+\infty}(x+1)\arctan(x)=(+\infty)(\pi/2)=+\infty$ . $\lim_{x\to-\infty}(x+1)\arctan(x)=(-\infty)(-\pi/2)=+\infty$ . A função não tem assíntota horizontal mas tem assíntota oblíqua: $y=\frac{\pi}{2}x$ (ambos lados). Divisão: $(x+1)\arctan x - \frac{\pi}{2}x = x(\arctan x - \pi/2)+\arctan x\to 0$ .
Ex. 30Understanding
O modelo logístico de crescimento é $P(t) = \dfrac{K}{1 + A e^{-rt}}$ com $K, A, r > 0$ . Calcule $\lim_{t\to+\infty} P(t)$ e $\lim_{t\to-\infty} P(t)$ . Interprete as assíntotas.
Solve online Active Calculus · §1.7, ex. 1.7.11
Show solution
$\lim_{t\to\infty}\frac{K}{1+Ae^{-rt}}$ : quando $t\to+\infty$ , $e^{-rt}\to 0$ (pois $r>0$ ), logo $P\to K/(1+0)=K$ . Quando $t\to-\infty$ , $Ae^{-rt}\to+\infty$ , logo $P\to 0$ . Assíntotas horizontais: $y=K$ e $y=0$ .