v1 · padrão canônico

Lição 6 — Continuidade: definição e descontinuidades

Continuidade em um ponto via três condições. Classificação das descontinuidades (removível, salto, essencial). Continuidade em intervalos. Álgebra e composição de funções contínuas.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 1 · USP MAC0105 · ITA MA-011

f \text{ contínua em } a \;\iff\; \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

A continuidade em $a$ exige três coisas simultâneas: $f(a)$ existe, o limite $\lim_{x\to a}f(x)$ existe e os dois são iguais. Qualquer uma dessas três falhar gera uma descontinuidade, com classificação própria.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Continuidade: a definição precisa

Definition· Tipos de descontinuidade

Se $f$ não é contínua em $a$ , a descontinuidade é classificada em:

Tipo	Condição
Removível	$\lim_{x\to a}f(x)$ existe, mas $\neq f(a)$ (ou $f(a)$ indefinido)
Salto (1ª espécie)	Limites laterais existem mas $\lim_{x\to a^-}f(x) \neq \lim_{x\to a^+}f(x)$
Essencial (2ª espécie)	Pelo menos um limite lateral não existe ou é infinito

Exemplos resolvidos

Example— 1· Ex. 1 — Verificação das três condições

Verifique a continuidade de $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ em $x = 3$ e em $x = 0$ .

Em $x = 3$ :

$f(3) = \dfrac{9-9}{3-3} = \dfrac{0}{0}$ — indefinido.
$\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 6$ .
Como $f(3)$ não existe, $f$ é descontínua em $x = 3$ — descontinuidade removível (basta definir $f(3) = 6$ ).

Em $x = 0$ :

$f(0) = \dfrac{-9}{-3} = 3$ — existe.
$\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-9}{x-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3$ — existe e é finito.
$\lim = f(0) = 3$ — contínua em $x = 0$ .

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 6Modeling 2Challenge 2

Ex. 6.1ApplicationAnswer key
Determine o ponto de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ e classifique o tipo.
Select the correct option
$x = 0$ , descontinuidade infinita $x = 0$ , descontinuidade removível $x = 0$ , descontinuidade de saltoNenhum ponto de descontinuidade
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 131
Show solution
A função $f(x) = \dfrac{1}{x}$ não está definida em $x = 0$ e $\lim_{x\to 0^+}f(x) = +\infty$ , $\lim_{x\to 0^-}f(x) = -\infty$ . Como pelo menos um limite lateral é infinito, a descontinuidade é infinita (essencial).
Ex. 6.2Application
Determine os pontos de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1}$ , se existirem.
Select the correct option
Contínua em todo $\mathbb{R}$ Descontinuidade infinita em $x = 0$ Descontinuidade removível em $x = \pm 1$ Descontinuidade de salto em $x = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 132
Show solution
$f(x) = \dfrac{2}{x^2+1}$ . O denominador $x^2+1 \geq 1 > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ , logo $f$ está definida e é contínua em todo $\mathbb{R}$ (quociente de polinômios contínuos com denominador nunca nulo).
Ex. 6.3Application
Determine os pontos de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - x}$ e classifique cada um.
Select the correct option
Removível em $x = 0$ e infinita em $x = 1$ Infinita em $x = 0$ e removível em $x = 1$ Salto em $x = 0$ e infinita em $x = 1$ Infinita em $x = 0$ e $x = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 133
Show solution
Fatore: $f(x) = \dfrac{x}{x(x-1)} = \dfrac{1}{x-1}$ para $x \neq 0$ . Em $x=0$ : $\lim_{x\to 0}f(x) = \dfrac{1}{-1} = -1$ existe, mas $f(0)$ é indefinida — removível. Em $x=1$ : denominador zero, limite infinito — infinita.
Show step-by-step (with the why)
1. Fatore o denominador: $x^2 - x = x(x-1)$ .
2. Simplifique: $\dfrac{x}{x(x-1)} = \dfrac{1}{x-1}$ para $x \neq 0$ .
3. Em $x=0$ : o limite $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x-1} = -1$ existe e é finito, mas $f(0)$ é indefinido — descontinuidade removível.
4. Em $x=1$ : $\dfrac{1}{x-1}\to \pm\infty$ — descontinuidade infinita.
Ex. 6.4Application
Determine os pontos de descontinuidade de $g(t) = t^{-1} + 1$ e classifique o tipo.
Select the correct option
$t = 0$ , descontinuidade infinita $t = 1$ , descontinuidade removível $t = -1$ , descontinuidade de saltoNenhum ponto de descontinuidade
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OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 134
Show solution
$g(t) = t^{-1} + 1 = \dfrac{1}{t} + 1$ . Não está definida em $t=0$ e $g(t) \to \pm\infty$ quando $t\to 0$ . Descontinuidade infinita em $t=0$ . Para $t\neq 0$ , $g$ é contínua.
Ex. 6.5Application
Determine os pontos de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{5}{e^x - 2}$ e classifique.
Select the correct option
$x = \ln 2$ , descontinuidade infinita $x = 2$ , descontinuidade removível $x = 0$ , descontinuidade de saltoNenhum ponto de descontinuidade
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 135
Show solution
$f(x) = \dfrac{5}{e^x - 2}$ . O denominador se anula quando $e^x = 2$ , i.e., $x = \ln 2$ . O numerador é $5 \neq 0$ nesse ponto, logo o limite é infinito. Descontinuidade infinita em $x = \ln 2$ .
Ex. 6.6Application
Determine os pontos de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{|x-2|}{x-2}$ e classifique.
Select the correct option
$x = 2$ , descontinuidade de salto $x = 2$ , descontinuidade removível $x = 2$ , descontinuidade infinitaNenhum ponto de descontinuidade
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 136
Show solution
Para $x > 2$ : $|x-2| = x-2$ , logo $f(x) = 1$ . Para $x < 2$ : $|x-2| = -(x-2)$ , logo $f(x) = -1$ . Assim $\lim_{x\to 2^+}f = 1 \neq -1 = \lim_{x\to 2^-}f$ . Descontinuidade de salto em $x=2$ .
Ex. 6.7Application
Determine os pontos de descontinuidade de $H(x) = \tan(2x)$ e classifique.
Select the correct option
$x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$ , descontinuidades infinitas $x = n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$ , descontinuidades de saltoNenhum ponto de descontinuidade $x = 0$ , descontinuidade removível
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 137
Show solution
$H(x) = \tan(2x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$ . O denominador se anula quando $2x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ , i.e., $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{n\pi}{2}$ . Nessas posições $\tan(2x) \to \pm\infty$ : descontinuidades infinitas.
Ex. 6.8ApplicationAnswer key
Determine os pontos de descontinuidade de $f(t) = \dfrac{t+3}{t^2+5t+6}$ e classifique.
Select the correct option
Removível em $t = -3$ e infinita em $t = -2$ Infinita em $t = -3$ e $t = -2$ Removível em $t = -2$ e infinita em $t = -3$ De salto em $t = -3$ e removível em $t = -2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 138
Show solution
Fatore: $t^2+5t+6 = (t+2)(t+3)$ . Assim $f(t) = \dfrac{t+3}{(t+2)(t+3)} = \dfrac{1}{t+2}$ para $t\neq -3$ . Em $t=-3$ : limite $= -1$ existe, $f(-3)$ indefinida — removível. Em $t=-2$ : limite infinito — infinita.
Show step-by-step (with the why)
1. Fatore o denominador: $t^2+5t+6 = (t+2)(t+3)$ .
2. Cancele o fator $(t+3)$ : $f(t) = \dfrac{1}{t+2}$ para $t \neq -3$ .
3. Em $t = -3$ : $\lim_{t\to -3}\dfrac{1}{t+2} = \dfrac{1}{-1} = -1$ — limite existe mas $f(-3)$ é indefinida: descontinuidade removível.
4. Em $t = -2$ : $\dfrac{1}{t+2} \to \pm\infty$ — descontinuidade infinita.
Ex. 6.9Application
Decida se $f(x) = \dfrac{2x^2 - 5x + 3}{x - 1}$ é contínua em $x = 1$ . Se não, classifique.
Select the correct option
Descontinuidade removível em $x = 1$ Descontinuidade de salto em $x = 1$ Contínua em $x = 1$ Descontinuidade infinita em $x = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 139
Show solution
Fatore: $2x^2-5x+3 = (2x-3)(x-1)$ . Logo $f(x) = \dfrac{(2x-3)(x-1)}{x-1} = 2x-3$ para $x\neq 1$ . Assim $\lim_{x\to 1}f(x) = -1$ , mas $f(1)$ é indefinida — descontinuidade removível.
Ex. 6.10Application
Decida se $g(u) = \begin{cases} \dfrac{6u^2+u-2}{2u-1} & u\neq\tfrac{1}{2} \\ \tfrac{7}{2} & u=\tfrac{1}{2} \end{cases}$ é contínua em $u = \tfrac{1}{2}$ .
Select the correct option
Contínua em $u = \tfrac{1}{2}$ Descontinuidade removível em $u = \tfrac{1}{2}$ Descontinuidade de salto em $u = \tfrac{1}{2}$ Descontinuidade infinita em $u = \tfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 141
Show solution
Para $u \neq \tfrac{1}{2}$ : $\dfrac{6u^2+u-2}{2u-1}$ . Fatore: $6u^2+u-2 = (2u-1)(3u+2)$ , logo o quociente é $3u+2$ . Assim $\lim_{u\to 1/2}g(u) = 3\cdot\tfrac{1}{2}+2 = \tfrac{7}{2} = g(\tfrac{1}{2})$ — contínua.
Ex. 6.11Application
Decida se $f(x) = \begin{cases} x^2 - e^x & x < 0 \\ x - 1 & x \geq 0 \end{cases}$ é contínua em $x = 0$ . Classifique se não for.
Select the correct option
Descontinuidade de salto em $x = 0$ Contínua em $x = 0$ Descontinuidade removível em $x = 0$ Descontinuidade infinita em $x = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 143
Show solution
Pela esquerda: $\lim_{x\to 0^-}(x^2-e^x) = 0 - 1 = -1$ . Pela direita: $\lim_{x\to 0^+}(x-1) = -1$ . Ambos os limites laterais existem e são iguais a $-1$ , mas $f(0) = 0 - 1 = -1$ (usando $x \geq 0$ ). Logo $\lim_{x\to 0}f(x) = f(0) = -1$ — a função é contínua. (Resp: contínua)
Ex. 6.12ApplicationAnswer key
Decida se $f(x) = \begin{cases} x\sin x & x \leq \pi \\ x\tan x & x > \pi \end{cases}$ é contínua em $x = \pi$ .
Select the correct option
Contínua em $x = \pi$ Descontinuidade de salto em $x = \pi$ Descontinuidade removível em $x = \pi$ Descontinuidade infinita em $x = \pi$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 144
Show solution
Pela esquerda: $\lim_{x\to\pi^-}x\sin x = \pi\sin\pi = 0$ . Pela direita: $\lim_{x\to\pi^+}x\tan x = \pi\tan\pi = 0$ . Valor: $f(\pi) = \pi\sin\pi = 0$ . Como ambos os limites laterais e o valor da função coincidem em $0$ , $f$ é contínua em $x = \pi$ .
Ex. 6.13Application
Encontre o valor de $k$ que torna $f(x) = \begin{cases} 3x+2 & x < k \\ 2x-3 & k \leq x \leq 8 \end{cases}$ contínua.
Select the correct option
$k = 5$ $k = -5$ $k = 1$ $k = 3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 145
Show solution
Para continuidade em $x = k$ , precisamos $3k + 2 = 2k - 3$ . Resolvendo: $k = -5$ . Mas com $k=-5$ , a definição exige $x < k = -5$ para a primeira parte. Verifique: $3(-5)+2 = -13$ e $2(-5)-3 = -13$ . Logo $k = -5$ . (Resp: $k=-5$ )
Ex. 6.14Application
Encontre $k$ que torna $f(\theta) = \begin{cases} \sin\theta & 0\leq\theta < \pi/2 \\ \cos(\theta+k) & \pi/2\leq\theta\leq\pi \end{cases}$ contínua.
Select the correct option
$k = -\dfrac{\pi}{2}$ $k = \dfrac{\pi}{2}$ $k = 0$ $k = \pi$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 146
Show solution
Para continuidade em $\theta = \pi/2$ : $\lim_{\theta\to(\pi/2)^-}\sin\theta = 1$ e $\lim_{\theta\to(\pi/2)^+}\cos(\theta+k)$ deve igualar $1$ . Logo $\cos(\pi/2 + k) = 1$ , i.e., $\pi/2 + k = 0$ , portanto $k = -\pi/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. No ponto de junção $\theta = \pi/2$ : limite pela esquerda é $\sin(\pi/2) = 1$ .
2. Limite pela direita: $\lim_{\theta\to(\pi/2)^+}\cos(\theta+k) = \cos(\pi/2+k)$ .
3. Igualando: $\cos(\pi/2+k) = 1$ implica $\pi/2 + k = 2n\pi$ .
4. Solução mais simples: $k = -\pi/2$ .
Ex. 6.15Application
Encontre $k$ que torna $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+3x+2}{x+2} & x\neq -2 \\ k & x=-2 \end{cases}$ contínua.
Select the correct option
$k = -1$ $k = 1$ $k = 0$ $k = -2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 147
Show solution
Para $x \neq -2$ : fatore $x^2+3x+2 = (x+2)(x+1)$ , logo $\dfrac{x^2+3x+2}{x+2} = x+1$ . Assim $\lim_{x\to -2}f(x) = -2+1 = -1$ . Para continuidade, $k = -1$ .
Ex. 6.16Application
Encontre $k$ que torna $f(x) = \begin{cases} e^{kx} & 0\leq x < 4 \\ x+3 & 4\leq x\leq 8 \end{cases}$ contínua.
Select the correct option
$k = \dfrac{\ln 7}{4}$ $k = \ln 7$ $k = 4\ln 7$ $k = \dfrac{1}{4}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 148
Show solution
Para continuidade em $x = 4$ : $e^{4k} = 4 + 3 = 7$ . Logo $4k = \ln 7$ , i.e., $k = \dfrac{\ln 7}{4}$ .
Ex. 6.17Application
Encontre $k$ que torna $f(x) = \begin{cases} kx & 0\leq x\leq 3 \\ x+1 & 3 < x\leq 10 \end{cases}$ contínua.
Select the correct option
$k = \dfrac{4}{3}$ $k = 3$ $k = \dfrac{1}{3}$ $k = 4$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 149
Show solution
Para continuidade em $x = 3$ : $k\cdot 3 = 3 + 1 = 4$ . Logo $k = \dfrac{4}{3}$ .
Ex. 6.18ApplicationAnswer key
Seja $h(x) = \begin{cases} 3x^2-4 & x\leq 2 \\ 5+4x & x > 2 \end{cases}$ . A função $h$ é contínua em $[0,4]$ ? Por que o TVI não garante $h(x)=10$ em $[0,4]$ ?
Select the correct option
Não é contínua em $[0,4]$ , pois tem salto em $x=2$ É contínua em $[0,4]$ pois ambas as peças são polinômiosNão é contínua em $[0,4]$ pois $h(0) < 10$ É contínua em $[0,4]$ exceto em $x = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 150
Show solution
Em $x=2$ : $\lim_{x\to 2^-}h(x) = 3(4)-4 = 8$ e $\lim_{x\to 2^+}h(x) = 5+4(2) = 13$ . Como $8 \neq 13$ , há descontinuidade de salto em $x=2$ . O IVT não se aplica porque $h$ não é contínua em $[0,4]$ .
Ex. 6.19Understanding
Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para provar que a equação $\cos t = t^3$ tem pelo menos uma solução real.
Select the correct option
A equação $\cos t = t^3$ tem pelo menos uma solução realA equação $\cos t = t^3$ não tem solução realA equação $\cos t = t^3$ tem exatamente três soluçõesO TVI não se aplica pois $\cos t$ não é polinômio
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 152
Show solution
Defina $g(t) = \cos t - t^3$ , contínua em $\mathbb{R}$ . Temos $g(0) = 1 > 0$ e $g(1) = \cos 1 - 1 \approx 0{,}54 - 1 = -0{,}46 < 0$ . Pelo TVI, existe $c \in (0,1)$ com $g(c) = 0$ , i.e., $\cos c = c^3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reformule como $g(t) = \cos t - t^3 = 0$ .
2. Verifique que $g$ é contínua em $\mathbb{R}$ (composição de funções contínuas).
3. Calcule: $g(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$ .
4. Calcule: $g(1) = \cos 1 - 1 \approx -0{,}46 < 0$ .
5. Pelo TVI, existe $c \in (0,1)$ com $g(c) = 0$ .
Ex. 6.20Understanding
Aplique o TVI para determinar se $2^x = x^3$ tem solução em $[1{,}25,\,1{,}375]$ ou em $[1{,}375,\,1{,}5]$ .
Select the correct option
Em $[1{,}25,\, 1{,}375]$ pois $2^x - x^3$ muda de sinal nesse intervaloEm $[1{,}375,\, 1{,}5]$ pois $2^x - x^3$ muda de sinal nesse intervaloEm ambos os intervalosEm nenhum dos dois intervalos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 153
Show solution
Seja $g(x) = 2^x - x^3$ . Em $x = 1{,}25$ : $g \approx 2^{1{,}25} - 1{,}953 \approx 2{,}378 - 1{,}953 = 0{,}425 > 0$ . Em $x = 1{,}375$ : $g \approx 2{,}595 - 2{,}600 \approx -0{,}005 < 0$ . Mudança de sinal em $[1{,}25,\,1{,}375]$ : TVI garante raiz aí. Em $[1{,}375,\,1{,}5]$ : $g(1{,}5) \approx -0{,}325 < 0$ , sem mudança de sinal.
Ex. 6.21UnderstandingAnswer key
Julgue: "Se $f(x)$ é contínua e $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, então $f(x) = 0$ tem exatamente uma solução em $(a,b)$ ." A afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique.
Select the correct option
Falsa — o TVI garante pelo menos uma raiz, não exatamente umaVerdadeira — o TVI garante exatamente uma raiz quando os sinais se opõemFalsa — o TVI não se aplica quando $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostosVerdadeira — funções contínuas com sinais opostos têm raiz única
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 165
Show solution
A afirmação é falsa. O TVI garante a existência de pelo menos uma raiz, mas não a unicidade. Por exemplo, $f(x) = x^3 - x$ em $[-2, 2]$ tem $f(-2) < 0$ , $f(2) > 0$ e possui três raízes em $(-2,2)$ : $x = -1, 0, 1$ .
Ex. 6.22Understanding
A função $f(x) = \dfrac{x^2-4x+3}{x^2-1}$ é contínua em $[0,3]$ ? Justifique.
Select the correct option
Não — $f$ tem descontinuidades em $x = \pm 1$ e não é contínua em $[0,3]$ Sim — $f$ é contínua em $[0,3]$ Sim — o denominador é sempre positivo em $[0,3]$ Não — $f$ tem descontinuidade de salto em $x = 3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 166
Show solution
$f(x) = \dfrac{x^2-4x+3}{x^2-1}$ . O denominador se anula em $x = \pm 1$ . Como $x = 1 \in [0,3]$ , a função não está definida em $x = 1$ e portanto não é contínua em $[0,3]$ . (Numerador em $x=1$ : $1-4+3=0$ — há cancelamento, mas $x=1$ ainda não está no domínio sem redefinição.)
Ex. 6.23Understanding
Julgue: "Se $f(x)$ é contínua em $[a,b]$ e $f(a), f(b) > 0$ , então não há raiz de $f$ em $(a,b)$ ." Verdadeira ou falsa?
Select the correct option
Falsa — $f$ pode ter raiz dentro do intervalo mesmo com $f(a), f(b) > 0$ Verdadeira — o TVI garante que nenhuma raiz existe quando ambos os sinais são iguaisVerdadeira — funções contínuas com mesmos sinais não têm raizFalsa — o TVI exige que $f(a)$ e $f(b)$ sejam positivos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 167
Show solution
A afirmação é falsa. Contra-exemplo: $f(x) = (x-2)^2$ em $[0,4]$ . Temos $f(0) = 4 > 0$ e $f(4) = 4 > 0$ , mas $f(2) = 0$ é raiz no interior. O TVI garante raiz quando os sinais são opostos — não conclui nada quando são iguais.
Ex. 6.24Application
Para $f(x) = \begin{cases} x^2-5 & 0\leq x < 4 \\ 5 & x=4 \\ 4x-5 & x > 4 \end{cases}$ , calcule os limites laterais em $x=4$ e classifique a descontinuidade, se houver.
Select the correct option
Contínua em $x = 4$ : limite bilateral é $11$ , $f(4) = 5 \neq 11$ — descontinuidade removívelContínua em $x = 4$ Descontinuidade de salto em $x = 4$ : limites laterais existem mas são diferentesLimites laterais iguais a $11$ , mas $f(4) = 5$ : descontinuidade removível em $x = 4$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.7 · ex. 2
Show solution
Limite pela esquerda: $\lim_{x\to 4^-}(x^2-5) = 16-5 = 11$ . Limite pela direita: $\lim_{x\to 4^+}(4x-5) = 16-5 = 11$ . Valor: $f(4) = 5$ (dado). Como $\lim_{x\to 4}f(x) = 11 \neq 5 = f(4)$ , a descontinuidade é removível.
Show step-by-step (with the why)
1. Limite pela esquerda: $\lim_{x\to 4^-}(x^2-5) = 16-5 = 11$ .
2. Limite pela direita: $\lim_{x\to 4^+}(4x-5) = 16-5 = 11$ .
3. Ambos os limites laterais são iguais, logo o limite bilateral $= 11$ .
4. Mas $f(4) = 5 \neq 11$ : descontinuidade removível.
Ex. 6.25ApplicationAnswer key
Encontre $k$ que torna $f(x) = \begin{cases} \dfrac{3x^5-6x^4}{x-2} & x\neq 2 \\ k & x=2 \end{cases}$ contínua em todo intervalo.
Select the correct option
$k = 48$ $k = 24$ $k = 0$ $k = 6$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.7 · ex. 5
Show solution
Para $x \neq 2$ : fatore $3x^5 - 6x^4 = 3x^4(x-2)$ , logo $\dfrac{3x^4(x-2)}{x-2} = 3x^4$ . Assim $\lim_{x\to 2}\dfrac{3x^5-6x^4}{x-2} = 3\cdot 2^4 = 48$ . Para continuidade em $x=2$ , $k = 48$ .
Ex. 6.26Understanding
Dê um exemplo de função que é contínua em um ponto mas não diferenciável nesse ponto. Explique por que diferenciabilidade implica continuidade, mas não o contrário.
Select the correct option
Uma função pode ser contínua mas não diferenciável em um pontoToda função contínua é diferenciável em seu domínioUma função pode ser diferenciável mas não contínua em um pontoContinuidade e diferenciabilidade são condições equivalentes
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.7 · ex. 8
Show solution
$f(x) = |x|$ é contínua em $x = 0$ (limite bilateral $= 0 = f(0)$ ) mas não é diferenciável em $x = 0$ (limite de Newton é $-1$ pela esquerda e $+1$ pela direita). Em geral: diferenciabilidade implica continuidade, mas a recíproca é falsa.
Ex. 6.27Modeling
A força de Coulomb entre duas cargas pontuais é $F(r) = \dfrac{k_e|q_1 q_2|}{r^2}$ , onde $r > 0$ é a distância. Analise a continuidade de $F$ como função de $r \geq 0$ .
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$F(r)$ tem descontinuidade infinita em $r = 0$ e é contínua para $r > 0$ $F(r)$ é contínua em todo $r \geq 0$ $F(r)$ tem descontinuidade removível em $r = 0$ $F(r)$ tem descontinuidade de salto em $r = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 168
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A lei de Coulomb é $F(r) = \dfrac{k_e|q_1 q_2|}{r^2}$ . O denominador se anula em $r = 0$ e $\lim_{r\to 0^+}F(r) = +\infty$ . Para $r > 0$ , $F$ é uma função racional com denominador positivo, logo contínua. Descontinuidade infinita em $r = 0$ .
Ex. 6.28Modeling
Para $F(r) = \dfrac{k_e|q_1 q_2|}{r^2}$ , calcule $\lim_{r\to 0^+} F(r)$ e interprete fisicamente a descontinuidade.
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A força tem descontinuidade infinita em $r = 0$ , confirmando que a lei clássica quebra na origemA força é contínua em $r = 0$ com valor finitoA força tem descontinuidade removível em $r = 0$ A força é indefinida em $r > 0$ mas contínua em $r = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 169
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Quando $r \to 0^+$ , $F(r) = k_e|q_1 q_2|/r^2 \to +\infty$ . Isso é uma descontinuidade infinita essencial: a lei clássica prediz força infinita quando as partículas se sobrepõem, o que fisicamente indica que a lei de Coulomb perde validade em distâncias subatômicas (onde a mecânica quântica passa a dominar).
Ex. 6.29ChallengeAnswer key
Seja $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ contínua tal que $f(x+y) = f(x)+f(y)$ para todos $x,y \in \mathbb{R}$ , e $f(1) = 3$ . Qual é a única possibilidade para $f$ ?
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$f(x) = 3x$ — linear, portanto contínua e a única opção $f(x) = x^2$ $f(x) = \sin x$ $f(x) = e^x$
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Solve online Active Calculus · §1.7 · ex. 8
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Seja $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ contínua com $f(x+y) = f(x)+f(y)$ . Tome $c = f(1)$ . Por indução, $f(n) = cn$ para $n \in \mathbb{N}$ ; estende-se a $\mathbb{Q}$ . Pela continuidade de $f$ , usando que $\mathbb{Q}$ é denso em $\mathbb{R}$ , conclui-se $f(x) = cx$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . Com $c = 3$ : $f(x) = 3x$ .
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1. Tome $x = y = 0$ na equação funcional: $f(0) = 2f(0)$ , logo $f(0) = 0$ .
2. Seja $c = f(1)$ . Por indução: $f(n) = cn$ para $n \in \mathbb{N}$ .
3. Para $q = p/n \in \mathbb{Q}$ : $nf(q) = f(nq) = f(p) = cp$ , logo $f(q) = cq$ .
4. Pela continuidade e densidade de $\mathbb{Q}$ , $f(x) = cx$ para todo $x \in \mathbb{R}$ .
Ex. 6.30Challenge
Seja $f(x) = \begin{cases} 3x & x > 1 \\ x^3 & x < 1 \end{cases}$ . É possível definir $f(1)$ de forma que $f$ seja contínua em $x = 1$ ? Justifique.
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Não — há descontinuidade de salto em $x = 1$ e $f$ não pode ser tornada contínua em $x = 1$ Sim — basta definir $f(1) = 1$ para tornar $f$ contínuaSim — basta definir $f(1) = 3$ para tornar $f$ contínuaNão — há descontinuidade infinita em $x = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 155
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Para $f(x) = \begin{cases} 3x & x > 1 \\ x^3 & x < 1 \end{cases}$ : limite pela direita $= 3\cdot 1 = 3$ ; limite pela esquerda $= 1^3 = 1$ . Como $3 \neq 1$ , os limites laterais são diferentes — descontinuidade de salto. Não existe valor de $f(1)$ que torne $f$ contínua nesse ponto (o limite bilateral não existe).

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · 2016 · CC-BY-NC-SA. Fonte primária (ex. 131–175).
Active Calculus — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte secundária (ex. 1–10).