v1 · padrão canônico

Lição 7 — Teorema do Valor Intermediário (TVI)

O TVI garante a existência de zeros e de valores intermediários para funções contínuas em intervalos fechados. Demonstração, aplicações em localização de raízes (bisseção), e interpretações em engenharia.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 1 · USP MAC0105 · ITA MA-011

f \text{ contínua em } [a,b],\; f(a) \neq f(b) \;\Longrightarrow\; \forall\, d \text{ entre } f(a) \text{ e } f(b),\;\exists\, c \in (a,b): f(c)=d

O TVI afirma que uma função contínua em $[a,b]$ assume todos os valores entre $f(a)$ e $f(b)$ . Em particular, se $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, existe pelo menos um zero de $f$ em $(a,b)$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Teorema do Valor Intermediário

Ideia da demonstração (por completude de $\mathbb{R}$ ):

Suponha $f(a) < d < f(b)$ . Defina $S = \{x \in [a,b] : f(x) \leq d\}$ .

$S$ não é vazio ( $a \in S$ ) e é limitado superiormente por $b$ .
Pelo axioma da completude, $c = \sup S$ existe.
Por continuidade de $f$ em $c$ : $f(c) = \lim_{x \to c^-} f(x) \leq d$ e $f(c) = \lim_{x \to c^+} f(x) \geq d$ .
Logo $f(c) = d$ . $\blacksquare$

Exemplos resolvidos

Example— 4· Ex. 4 — Bisseção para raiz de equação transcendental

Use a bisseção para aproximar com erro $< 0.1$ a solução de $\ln x = 2 - x$ em $[1, 3]$ .

Reescreva: $f(x) = \ln x - 2 + x = 0$ .

$n$	$a$	$b$	$m$	$f(m)$
0	1	3	2	$\ln 2 + 2 - 2 = 0.693 > 0$
1	1	2	1.5	$\ln 1.5 + 1.5 - 2 = -0.094 < 0$
2	1.5	2	1.75	$\ln 1.75 - 0.25 = 0.308 > 0$
3	1.5	1.75	1.625	$\ln 1.625 - 0.375 = 0.109 > 0$
4	1.5	1.625	1.5625	$f \approx 0.006 > 0$

Erro $= (b-a)/2^4 = 2/16 = 0.125 < 0.1$ após 4 iterações, com $c \approx 1.56$ .

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 9

Ex. 7.1Application
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ e classifique o tipo de descontinuidade.
Select the correct option
$x = 0$ (descontinuidade infinita)Contínua em todo $\mathbb{R}$ $x = 1$ (descontinuidade removível) $x = -1$ (descontinuidade de salto)
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 131
Show solution
A função $f(x) = 1/x$ não está definida em $x = 0$ e $\lim_{x \to 0^\pm} 1/x = \pm\infty$ , portanto há uma descontinuidade infinita em $x = 0$ . Em todos os outros pontos, $f$ é contínua.
Ex. 7.2ApplicationAnswer key
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{2}{x^2+1}$ e classifique o tipo.
Select the correct option
Contínua em todo $\mathbb{R}$ $x = 0$ (descontinuidade removível) $x = \pm 1$ (descontinuidades infinitas) $x = 2$ (descontinuidade de salto)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 132
Show solution
$f(x) = \dfrac{2}{x^2+1}$ : o denominador $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ , portanto $f$ é uma função racional sem zeros no denominador. Logo $f$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ .
Ex. 7.3Application
Determine os pontos de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{x}{x^2-x}$ e classifique cada um.
Select the correct option
$x = 0$ e $x = 1$ (infinita e removível, respectivamente) $x = 0$ (descontinuidade de salto)Contínua em $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ sem descontinuidade removível $x = -1$ e $x = 0$ (ambas infinitas)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 133
Show solution
$f(x) = \dfrac{x}{x^2-x} = \dfrac{x}{x(x-1)} = \dfrac{1}{x-1}$ para $x \neq 0$ . Em $x = 0$ : não definida, e $\lim_{x\to 0} f = -1$ (finito, descontinuidade removível). Em $x = 1$ : não definida, e $\lim_{x \to 1} f = \pm\infty$ (descontinuidade infinita).
Show step-by-step (with the why)
1. Fatore: $x^2 - x = x(x-1)$ .
2. Simplique: $f(x) = 1/(x-1)$ para $x \neq 0$ .
3. Em $x=0$ : $\lim f = 1/(0-1) = -1$ — limite existe mas $f(0)$ não está definido: descontinuidade removível.
4. Em $x=1$ : $f(x) \to \pm\infty$ — descontinuidade infinita.
Ex. 7.4Application
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade de $g(t) = t^{-1} + 1$ e classifique.
Select the correct option
$t = 0$ (descontinuidade infinita)Contínua em $\mathbb{R}^+$ $t = 1$ (descontinuidade de salto) $t = -1$ (descontinuidade removível)
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 134
Show solution
$g(t) = t^{-1} + 1 = 1/t + 1$ . O denominador $t = 0$ faz $g$ não-definida lá. Como $1/t \to \pm\infty$ quando $t \to 0^\pm$ , temos descontinuidade infinita em $t = 0$ . Para $t \neq 0$ , $g$ é contínua.
Ex. 7.5Application
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{5}{e^x - 2}$ e classifique.
Select the correct option
$x = \ln 2$ (descontinuidade infinita)Contínua em todo $\mathbb{R}$ $x = 0$ (descontinuidade removível) $x = 2$ (descontinuidade de salto)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 135
Show solution
$f(x) = \dfrac{5}{e^x - 2}$ : o denominador anula-se quando $e^x = 2$ , i.e., $x = \ln 2$ . Como $5 \neq 0$ no numerador, temos $f(x) \to \pm\infty$ ao se aproximar de $\ln 2$ : descontinuidade infinita. Para $x \neq \ln 2$ , $f$ é contínua.
Ex. 7.6Application
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{|x-2|}{x-2}$ e classifique.
Select the correct option
$x = 2$ (descontinuidade de salto) $x = 0$ (descontinuidade removível) $x = 2$ (descontinuidade infinita)Contínua em todo $\mathbb{R}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 136
Show solution
$f(x) = \dfrac{|x-2|}{x-2}$ : para $x > 2$ , $f = 1$ ; para $x < 2$ , $f = -1$ . Os limites laterais diferem: $\lim_{x\to 2^+} f = 1 \neq -1 = \lim_{x\to 2^-} f$ . Portanto $x = 2$ é descontinuidade de salto.
Show step-by-step (with the why)
1. Para $x > 2$ : $|x-2| = x-2$ , então $f = 1$ .
2. Para $x < 2$ : $|x-2| = -(x-2)$ , então $f = -1$ .
3. Limite pela direita: 1. Limite pela esquerda: -1. Limites diferentes: salto de tamanho 2.
Ex. 7.7Application
Determine os pontos de descontinuidade de $H(x) = \tan(2x)$ e classifique-os.
Select the correct option
$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ (descontinuidades infinitas) $x = k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ (descontinuidades de salto)Contínua em todo $\mathbb{R}$ $x = \pi/4 + k\pi/2$ (descontinuidades removíveis)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 137
Show solution
$H(x) = \tan(2x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$ . O denominador anula-se quando $2x = \pi/2 + k\pi$ , i.e., $x = \pi/4 + k\pi/2$ . Em cada um desses pontos, $\sin(2x) \neq 0$ , portanto são descontinuidades infinitas. Há infinitos desses pontos, espaçados de $\pi/2$ .
Ex. 7.8Application
Determine os pontos de descontinuidade de $f(t) = \dfrac{t+3}{t^2+5t+6}$ e classifique cada um.
Select the correct option
$t = -2$ (descontinuidade removível) $t = -3$ e $t = -2$ (ambas infinitas) $t = -3$ (descontinuidade de salto)Contínua em todo $\mathbb{R}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 138
Show solution
Fatore: $t^2 + 5t + 6 = (t+2)(t+3)$ . Então $f(t) = \dfrac{t+3}{(t+2)(t+3)}$ . Para $t \neq -3$ : $f(t) = 1/(t+2)$ . Em $t = -3$ : o numerador e denominador se cancelam; $\lim_{t\to-3} f = 1/(-3+2) = -1$ (finito) — descontinuidade removível. Em $t = -2$ : $f \to \pm\infty$ — descontinuidade infinita.
Ex. 7.9ApplicationAnswer key
Classifique a descontinuidade (se houver) de $f(x) = \dfrac{2x^2 - 5x + 3}{x - 1}$ em $x = 1$ .
Select the correct option
Descontinuidade removível em $x = 1$ Contínua em $x = 1$ Descontinuidade de salto em $x = 1$ Descontinuidade infinita em $x = 1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 139
Show solution
Fatore: $2x^2 - 5x + 3 = (2x-3)(x-1)$ . Então $f(x) = \dfrac{(2x-3)(x-1)}{x-1} = 2x-3$ para $x \neq 1$ . O limite em $x=1$ é $2(1)-3 = -1$ , mas $f(1)$ não está definida (denominador zero). Descontinuidade removível.
Ex. 7.10Application
Classifique a descontinuidade (se houver) de $h(\theta) = \dfrac{\sin\theta - \cos\theta}{\tan\theta}$ em $\theta = \pi$ .
Select the correct option
Descontinuidade infinita em $\theta = \pi$ Contínua em $\theta = \pi$ Descontinuidade removível em $\theta = \pi$ Descontinuidade de salto em $\theta = \pi$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 140
Show solution
$h(\theta) = \dfrac{\sin\theta - \cos\theta}{\tan\theta}$ . Em $\theta = \pi$ : $\tan\pi = 0$ , numerador $= \sin\pi - \cos\pi = 0 + 1 = 1 \neq 0$ . Logo $h(\pi)$ não definida e $h(\theta) \to \pm\infty$ : descontinuidade infinita.
Ex. 7.11Application
A função é $g(u) = \dfrac{6u^2+u-2}{2u-1}$ para $u \neq 1/2$ e $g(1/2) = 7/2$ . Determine se $g$ é contínua em $u = 1/2$ .
Select the correct option
Contínua em $u = 1/2$ Descontinuidade removível em $u = 1/2$ Descontinuidade de salto em $u = 1/2$ Descontinuidade infinita em $u = 1/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 141
Show solution
Para $u \neq 1/2$ : $\dfrac{6u^2+u-2}{2u-1} = \dfrac{(2u-1)(3u+2)}{2u-1} = 3u+2$ . O limite em $u = 1/2$ é $3(1/2)+2 = 7/2$ . Como $g(1/2) = 7/2$ está definido e igual ao limite, $g$ é contínua em $u = 1/2$ .
Ex. 7.12ApplicationAnswer key
Classifique a descontinuidade (se houver) de $f(y) = \dfrac{\sin(\pi y)}{\tan(\pi y)}$ em $y = 1$ .
Select the correct option
Descontinuidade removível em $y = 1$ Contínua em $y = 1$ Descontinuidade de salto em $y = 1$ Descontinuidade infinita em $y = 1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 142
Show solution
$f(y) = \dfrac{\sin(\pi y)}{\tan(\pi y)}$ . Em $y=1$ : $\tan(\pi) = 0$ e $\sin(\pi) = 0$ . Simplifique: $f = \cos(\pi y)$ onde definida. O limite em $y=1$ é $\cos(\pi) = -1$ , mas $f(1)$ não está definida. Descontinuidade removível.
Ex. 7.13Application
A função é definida como $f(x) = x^2 - e^x$ para $x < 0$ e $f(x) = x - 1$ para $x \geq 0$ . Classifique a descontinuidade (se houver) em $x = 0$ .
Select the correct option
Descontinuidade de salto em $x = 0$ Contínua em $x = 0$ Descontinuidade removível em $x = 0$ Descontinuidade infinita em $x = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 143
Show solution
Para $x < 0$ : $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0^2 - e^0 = -1$ . Para $x \geq 0$ : $f(0) = 0 - 1 = -1$ . Portanto $\lim_{x\to 0^-} f = 0^2 - e^0 = -1$ e $\lim_{x \to 0^+} f = 0 - 1 = -1$ . Como os limites são iguais e $f(0) = -1$ , a função é contínua em $x = 0$ . (Observação: resposta correta é contínua — seleção alternada para esta questão.)
Ex. 7.14Application
A função é $f(x) = x\sin x$ para $x \leq \pi$ e $f(x) = x\tan x$ para $x > \pi$ . Classifique a descontinuidade (se houver) em $x = \pi$ .
Select the correct option
Contínua em $x = \pi$ Descontinuidade de salto em $x = \pi$ Descontinuidade removível em $x = \pi$ Descontinuidade infinita em $x = \pi$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 144
Show solution
Para $x \leq \pi$ : $\lim_{x\to\pi^-} f = \pi \sin\pi = 0$ . Para $x > \pi$ : $\lim_{x\to\pi^+} f = \pi\tan\pi = 0$ . Ambos limites valem 0 e $f(\pi) = \pi\sin\pi = 0$ . A função é contínua em $x = \pi$ .
Ex. 7.15Application
Encontre o valor de $k$ que torna $f(x) = 3x + 2$ para $x < k$ e $f(x) = 2x - 3$ para $k \leq x \leq 8$ contínua em todo o seu domínio.
Select the correct option
$k = 5$ $k = 1$ $k = -1$ $k = 3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 145
Show solution
Continuidade em $x = k$ exige $3k + 2 = 2k - 3$ (os dois ramos devem concordar). Resolvendo: $k = -5$ . Mas o intervalo dado é $k \leq x \leq 8$ , então verificamos: em $x = k$ queremos $3k+2 = 2k-3 \Rightarrow k = -5$ . Contudo, a opção correta segundo o gabarito canônico do OpenStax é $k = 5$ (o enunciado usa um intervalo diferente em algumas edições — considere a versão com $3x+2$ para $x < k$ e $2x-3$ para $k \leq x \leq 8$ : $3k+2 = 2k-3 \Rightarrow k = -5$ ). Resposta: $k = -5$ .
Ex. 7.16Application
Encontre $k$ tal que $f(\theta) = \sin\theta$ para $0 \leq \theta < \pi/2$ e $f(\theta) = \cos(\theta + k)$ para $\pi/2 \leq \theta \leq \pi$ seja contínua em $\theta = \pi/2$ .
Select the correct option
$k = -\pi/2$ $k = \pi/2$ $k = \pi$ $k = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 146
Show solution
Continuidade em $\theta = \pi/2$ : o limite pela esquerda é $\sin(\pi/2) = 1$ . O limite pela direita é $\cos(\pi/2 + k) = \cos k \cdot 0 - \sin k \cdot 1 = -\sin k$ ... Usando a fórmula de adição: $\cos(\pi/2 + k) = -\sin k$ . Exigindo $-\sin k = 1$ : $k = -\pi/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Limite pela esquerda em $\theta = \pi/2$ : $\sin(\pi/2) = 1$ .
2. Limite pela direita: $\cos(\pi/2 + k)$ .
3. Fórmula de adição: $\cos(\pi/2 + k) = -\sin k$ .
4. Igualando: $-\sin k = 1 \Rightarrow k = -\pi/2$ .
Ex. 7.17Application
Encontre $k$ tal que $f(x) = \dfrac{x^2+3x+2}{x+2}$ para $x \neq -2$ e $f(-2) = k$ seja contínua em $x = -2$ .
Select the correct option
$k = -1$ $k = 0$ $k = 1$ $k = 2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 147
Show solution
Para $x \neq -2$ : fatore $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$ , logo $f(x) = x+1$ . O limite em $x=-2$ é $-2+1 = -1$ . Para continuidade, $k = -1$ .
Ex. 7.18Application
Encontre $k$ tal que $f(x) = e^{kx}$ para $0 \leq x < 4$ e $f(x) = x+3$ para $4 \leq x \leq 8$ seja contínua em $x = 4$ .
Select the correct option
$k = \dfrac{\ln 7}{4}$ $k = \ln 7$ $k = 7/4$ $k = 4\ln 7$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 148
Show solution
Continuidade em $x = 4$ : $e^{k \cdot 4} = 4 + 3 = 7$ . Logo $4k = \ln 7$ , portanto $k = \dfrac{\ln 7}{4}$ .
Ex. 7.19Application
Encontre $k$ tal que $f(x) = kx$ para $0 \leq x \leq 3$ e $f(x) = x+1$ para $3 < x \leq 10$ seja contínua em $x = 3$ .
Select the correct option
$k = 4/3$ $k = 3/4$ $k = 4$ $k = 1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 149
Show solution
Continuidade em $x = 3$ : $k \cdot 3 = 3 + 1 = 4$ , logo $k = 4/3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Os dois ramos se encontram em $x = 3$ .
2. Ramo esquerdo: $kx$ avaliado em $x=3$ dá $3k$ .
3. Ramo direito: $x+1$ avaliado em $x=3$ dá $4$ .
4. Igualdade: $3k = 4 \Rightarrow k = 4/3$ .
Ex. 7.20Understanding
Seja $h(x) = 3x^2-4$ para $x \leq 2$ e $h(x) = 5+4x$ para $x > 2$ . No intervalo $[0,4]$ , temos $h(0) < 10 < h(4)$ , mas não há $x$ com $h(x) = 10$ . Por que isso não contradiz o TVI?
Select the correct option
Porque $h$ é descontínua em $x = 2$ , onde $h(2^-) = 8$ e $h(2^+) = 13$ , então o TVI não se aplica no intervalo $[0,4]$ Porque $h(0) > 10$ e $h(4) < 10$ Porque $h$ é contínua mas $10$ não está entre $h(0)$ e $h(4)$ Porque o TVI garante apenas valores inteiros
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 150
Show solution
A função $h(x)$ é definida por partes: $3x^2-4$ para $x \leq 2$ e $5+4x$ para $x > 2$ . Em $x=2$ : $h(2^-) = 3(4)-4 = 8$ e $h(2^+) = 5+8 = 13$ . Os limites laterais diferem: $h$ tem descontinuidade de salto em $x=2$ . O TVI exige continuidade em $[0,4]$ , que não ocorre. Daí, o TVI não garante a existência de $x$ com $h(x)=10$ .
Ex. 7.21Understanding
Uma partícula tem posição contínua $s(t)$ com $s(2)=5$ e $s(5)=2$ . Defina $h(t) = s(t) - t$ . Explique por que existe $c \in (2,5)$ com $h(c) = 0$ .
Select the correct option
Porque $h(2) = 3 > 0$ e $h(5) = -3 < 0$ , e $h = s(t) - t$ é contínua, então pelo TVI existe $c \in (2,5)$ com $h(c) = 0$ Porque $s(t)$ é uma função linearPorque $h(t)$ não é contínua e o TVI não precisa ser aplicadoPorque $s(2) - 2 = s(5) - 5 = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 151
Show solution
Defina $h(t) = s(t) - t$ . Como $s(t)$ é contínua, $h$ também é. Calcule: $h(2) = s(2) - 2 = 5 - 2 = 3 > 0$ e $h(5) = s(5) - 5 = 2 - 5 = -3 < 0$ . Como $h(2) > 0 > h(5)$ e $h$ é contínua, pelo TVI existe $c \in (2,5)$ com $h(c) = 0$ , i.e., $s(c) = c$ .
Ex. 7.22Understanding
A equação "o cosseno de $t$ é igual ao cubo de $t$ " tem pelo menos uma solução real? Use o TVI para justificar.
Select the correct option
Sim, porque $\cos(0) - 0 = 1 > 0$ e $\cos(1) - 1 < 0$ , logo pelo TVI existe solução em $(0,1)$ Não, porque $\cos t$ não é polinômioSim, mas apenas para $t$ irracionalNão há solução real pois $t^3 < 0$ para $t < 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 152
Show solution
A equação é $f(t) = \cos t - t^3 = 0$ . Como $f$ é contínua, aplicamos o TVI: $f(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$ e $f(1) = \cos 1 - 1 \approx 0.54 - 1 = -0.46 < 0$ . Como $f$ muda de sinal em $[0,1]$ , existe pelo menos uma solução em $(0,1)$ .
Ex. 7.23UnderstandingAnswer key
Aplique o TVI para determinar em qual dos intervalos $[1{,}25, 1{,}375]$ ou $[1{,}375, 1{,}5]$ a equação $2^x = x^3$ tem solução.
Select the correct option
Em $[1{,}375, 1{,}5]$ : $f(1{,}375) < 0$ e $f(1{,}5) > 0$ , logo o TVI garante solução nesse intervaloEm $[1{,}25, 1{,}375]$ : $f(1{,}25) < 0$ e $f(1{,}375) > 0$ Nos dois intervalos simultaneamenteEm nenhum dos intervalos pois $2^x$ e $x^3$ não se intersectam
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 153
Show solution
Defina $f(x) = 2^x - x^3$ . Calcule: $f(1{,}25) = 2^{1.25} - 1{,}25^3 \approx 2{,}38 - 1{,}95 = 0{,}43 > 0$ . $f(1{,}375) \approx 2^{1.375} - 1{,}375^3 \approx 2{,}59 - 2{,}60 = -0{,}01 < 0$ . $f(1{,}5) = 2^{1.5} - 1{,}5^3 \approx 2{,}83 - 3{,}375 < 0$ ... Na verdade $f(1{,}5) = 2{,}828 - 3{,}375 < 0$ , logo sinal muda entre $[1{,}25, 1{,}375]$ .
Ex. 7.24UnderstandingAnswer key
Avalie a afirmação: "A função $f(t) = 2e^t - e^{-t}$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ ." Verdadeira ou falsa?
Select the correct option
Falso: $f(t) = 2e^t - e^{-t}$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ Verdadeiro: há descontinuidade em $t = 0$ Verdadeiro: há descontinuidade em $t = 1$ Falso: a função só é contínua para $t > 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 161
Show solution
$f(t) = 2e^t - e^{-t}$ é diferença de duas funções exponenciais, ambas contínuas em todo $\mathbb{R}$ . A diferença de funções contínuas é contínua. Portanto $f$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ : a afirmação "é contínua em todo $\mathbb{R}$ " é VERDADEIRA.
Ex. 7.25Understanding
Avalie: "Se os limites laterais de $f(x)$ quando $x \to a$ existem e são iguais, então $f$ não pode ser descontínua em $x = a$ ."
Select the correct option
Falso: se os limites laterais existem e são iguais mas $f(a)$ difere do limite (ou não existe), $f$ é descontínua em $a$ Verdadeiro: limites laterais iguais implicam continuidadeVerdadeiro: mas somente para funções monótonasFalso: se os limites existem e são iguais, o limite em $a$ existe, mas $f$ ainda pode ser descontínua
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 162
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Para continuidade em $x = a$ são necessárias TRÊS condições: (1) $f(a)$ definida, (2) $\lim_{x\to a} f(x)$ existe, (3) $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ . Limites laterais iguais garantem apenas (2). Se $f(a) \neq \lim_{x\to a} f$ ou $f(a)$ não existe, $f$ é descontínua. A afirmação é FALSA.
Ex. 7.26Understanding
Avalie: "Se uma função não é contínua em um ponto, então não está definida nesse ponto."
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Falso: uma função pode não ser contínua em $a$ mas ainda estar definida em $a$ Verdadeiro: descontinuidade implica não-definiçãoVerdadeiro: mas somente para descontinuidades infinitasFalso: se $f(a)$ existe, então $f$ é automaticamente contínua em $a$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 163
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Exemplo clássico: $f(x) = \begin{cases} 1 & x = 0 \\ 0 & x \neq 0 \end{cases}$ . Aqui $f(0) = 1$ (definida), mas $\lim_{x\to 0} f(x) = 0 \neq f(0)$ — descontinuidade removível. $f$ está definida em $a=0$ mas não é contínua lá. A afirmação "se $f$ não é contínua, então não está definida" é FALSA.
Ex. 7.27UnderstandingAnswer key
Avalie: "Pelo TVI, $\cos x - \sin x - x = 2$ tem solução no intervalo $[-1, 1]$ ."
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Falso: $\cos(-1) - \sin(-1) - (-1) = \cos(-1) - \sin(-1) + 1 \approx 0{,}54 + 0{,}84 + 1 > 2$ ; verificar com sinal correto mostra que $f$ não muda de sinal em $[-1,1]$ Verdadeiro: pelo TVI, $f(-1) < 2 < f(1)$ Verdadeiro: a função é contínua e passa por $2$ em $[-1,1]$ Falso: a equação tem solução fora de $[-1,1]$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 164
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Defina $g(x) = \cos x - \sin x - x - 2$ . Queremos verificar se $g$ muda de sinal em $[-1,1]$ . $g(-1) = \cos(-1) - \sin(-1) + 1 - 2 \approx 0{,}54 + 0{,}84 - 1 = 0{,}38 > 0$ . $g(1) = \cos 1 - \sin 1 - 1 - 2 \approx 0{,}54 - 0{,}84 - 3 = -3{,}3 < 0$ . Como $g(-1) > 0 > g(1)$ e $g$ é contínua, pelo TVI existe solução em $(-1,1)$ : a afirmação é VERDADEIRA.
Ex. 7.28UnderstandingAnswer key
Avalie: "Se $f(x)$ é contínua e $f(a)$ , $f(b)$ têm sinais opostos, então $f(x) = 0$ tem exatamente uma solução em $[a, b]$ ."
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Falso: uma função contínua com $f(a)$ e $f(b)$ de sinais opostos tem pelo menos um zero em $[a,b]$ , mas pode ter mais de umVerdadeiro: o TVI garante unicidade do zeroVerdadeiro: mas somente para funções monótonasFalso: o TVI não garante nem existência de zero
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 165
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O TVI garante a EXISTÊNCIA de pelo menos um zero quando $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos. Mas não há garantia de UNICIDADE. Exemplo: $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ em $[0,4]$ tem $f(0) < 0$ e $f(4) > 0$ mas três zeros. A afirmação "exatamente um zero" é FALSA.
Ex. 7.29Application
Determine onde a função $f(\theta) = \sin\theta$ é contínua.
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$f(\theta) = \sin\theta$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ $f(\theta) = \sin\theta$ é contínua apenas para $\theta \in [0, \pi]$ $f(\theta) = \sin\theta$ tem descontinuidades em $\theta = k\pi$ $f(\theta) = \sin\theta$ é contínua apenas para $\theta$ racional
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 173
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$\sin\theta$ é definida para todo $\theta \in \mathbb{R}$ e é contínua em todo ponto do domínio (é uma função trigonométrica elementar). Em particular, é contínua em todo $\mathbb{R}$ .
Ex. 7.30Application
Determine onde a função $g(x) = |x|$ é contínua.
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$g(x) = |x|$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ $g(x) = |x|$ tem descontinuidade de salto em $x = 0$ $g(x) = |x|$ tem descontinuidade removível em $x = 0$ $g(x) = |x|$ é contínua apenas para $x > 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 174
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$g(x) = |x|$ : para $x > 0$ , $g(x) = x$ (contínua); para $x < 0$ , $g(x) = -x$ (contínua). Em $x = 0$ : $\lim_{x\to 0^-} (-x) = 0$ e $\lim_{x\to 0^+} x = 0$ ; $g(0) = 0$ . Limites laterais iguais ao valor da função: contínua em $x=0$ . Logo $g$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Para $x > 0$ : $g = x$ , contínua.
2. Para $x < 0$ : $g = -x$ , contínua.
3. Em $x = 0$ : ambos limites laterais valem 0 e $g(0) = 0$ . Contínua.