v1 · padrão canônico

Lição 8 — Teorema de Weierstrass (máximo e mínimo)

Funções contínuas em intervalos fechados e limitados (compactos) atingem seus valores máximo e mínimo absolutos. Demonstração via sequências, consequências e aplicações em otimização de engenharia.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 1 · USP MAC0105 · ITA MA-011

f \text{ contínua em } [a,b] \;\Longrightarrow\; \exists\, x_{\min}, x_{\max} \in [a,b]: f(x_{\min}) \leq f(x) \leq f(x_{\max})\;\forall x \in [a,b]

O Teorema de Weierstrass (ou Teorema do Valor Extremo) garante que toda função contínua num intervalo fechado e limitado $[a,b]$ atinge seu máximo e mínimo absolutos. Ambos os requisitos — fechado e limitado — são indispensáveis.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Teorema de Weierstrass (Valor Extremo)

Estrutura da demonstração:

Passo 1 — $f$ é limitada superiormente: Suponha, por absurdo, que $f$ é ilimitada superiormente em $[a,b]$ . Então para cada $n \in \mathbb{N}$ existe $x_n \in [a,b]$ com $f(x_n) > n$ . Como $(x_n)$ é sequência em $[a,b]$ (limitada), pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass existe subsequência $x_{n_k} \to c \in [a,b]$ . Por continuidade de $f$ : $f(c) = \lim_{k}f(x_{n_k})$ . Mas $f(x_{n_k}) > n_k \to +\infty$ — contradição pois $f(c)$ é finito. $\square$

Passo 2 — $f$ atinge o supremo: Seja $M = \sup_{[a,b]} f$ . Existe sequência $y_n \in [a,b]$ com $f(y_n) \to M$ . Por Bolzano-Weierstrass, $y_{n_k} \to x_{\max} \in [a,b]$ . Por continuidade: $f(x_{\max}) = \lim f(y_{n_k}) = M$ . Analogamente para o ínfimo. $\blacksquare$

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Contra-exemplos quando as hipóteses falham:

Hipótese violada	Função	Intervalo	Conclusão
Domínio aberto	$f(x) = x$	$(0,1)$	sup = 1, não atingido
Domínio ilimitado	$f(x) = x$	$[0, +\infty)$	sem máximo
Função descontínua	$f(x) = x$ ( $x\neq 1/2$ ), $f(1/2)=0$	$[0,1]$	sup = 1, atingido em $x=1$ ? Não: redefina $f(1)=0$

O contra-exemplo clássico: $f(x) = 1/x$ em $(0,1]$ — contínua no domínio, mas ilimitada superiormente (sem máximo).

Exemplos resolvidos

Example— 1· Ex. 1 — Algoritmo completo dos valores candidatos

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de $f(x) = x^4 - 4x^3$ em $[-1, 4]$ .

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0$ ou $x = 3$ .

Candidatos: $x = -1, 0, 3, 4$ .

$x$	$f(x)$
$-1$	$1 + 4 = 5$
$0$	$0$
$3$	$81 - 108 = -27$
$4$	$256 - 256 = 0$

Máximo absoluto: $f(-1) = 5$ . Mínimo absoluto: $f(3) = -27$ .

Example— 2· Ex. 2 — Função com valor absoluto (ponto de não-diferenciabilidade)

Encontre os extremos absolutos de $f(x) = |x^2 - 4|$ em $[-3, 3]$ .

Reescrevendo: $f(x) =$ , $x^2-4 & |x|\geq 2$ , $4-x^2 & |x|<2$ .

Pontos críticos: $f'(x) = 0$ em $x = 0$ (interior de $(-2,2)$ ). Pontos de não-diferenciabilidade: $x = \pm 2$ .

Candidatos: $-3, -2, 0, 2, 3$ .

$x$	$f(x)$
$-3$	$\lvert 9-4\rvert=5$
$-2$	$0$
$0$	$4$
$2$	$0$
$3$	$5$

Máximo absoluto: $5$ (em $x = \pm 3$ ). Mínimo absoluto: $0$ (em $x = \pm 2$ ).

Example— 3· Ex. 3 — Otimização: caixa de volume máximo

De uma folha quadrada de lado $a = 12$ cm, cortam-se quadrados de lado $x$ nos cantos e dobra-se para formar uma caixa aberta. Qual $x$ maximiza o volume?

$V(x) = x(12-2x)^2$ , domínio $[0, 6]$ .

$V'(x) = (12-2x)^2 + x \cdot 2(12-2x)(-2) = (12-2x)[(12-2x) - 4x] = (12-2x)(12-6x)$ .

$V'(x) = 0 \Rightarrow x = 6$ (extremo) ou $x = 2$ (crítico interior).

$x$	$V(x)$
$0$	$0$
$2$	$2 \cdot 64 = 128$
$6$	$0$

Volume máximo: $128$ cm³ com $x = 2$ cm.

O Teorema de Weierstrass garante que o máximo existe em $[0,6]$ — e o algoritmo confirma onde ocorre.

Example— 4· Ex. 4 — Prova de que o mínimo existe

Prove que $f(x) = x^2 + 1/x^2$ tem mínimo em $(0, +\infty)$ .

Atenção: $(0, +\infty)$ não é compacto — Weierstrass não se aplica diretamente.

Estratégia de restrição: Observe que $f(x) \to +\infty$ quando $x \to 0^+$ ou $x \to +\infty$ . Portanto, existe $M > 0$ tal que $f(x) > f(1) = 2$ para $x \notin [1/M, M]$ .

O mínimo de $f$ em $(0,+\infty)$ coincide com o mínimo de $f$ no compacto $[1/M, M]$ . Por Weierstrass, esse mínimo existe.

$f'(x) = 2x - 2/x^3 = 0 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = 1$ . Logo $f(1) = 2$ é o mínimo.

Example— 5· Ex. 5 — Aplicação: menor distância de um ponto a uma curva

Qual ponto da parábola $y = x^2$ está mais próximo de $(0, 1)$ ?

Minimizar $D^2(x) = x^2 + (x^2 - 1)^2 = x^4 - x^2 + 1$ (equivale a minimizar $D$ e é mais simples).

$(D^2)'(x) = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ ou $x = \pm 1/\sqrt{2}$ .

$x$	$D^2(x)$
$0$	$1$
$\pm 1/\sqrt{2}$	$1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$

Pontos mais próximos: $(\pm 1/\sqrt{2},\, 1/2)$ , distância $\sqrt{3}/2 \approx 0.866$ .

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 6Modeling 4Challenge 2

Ex. 8.1Understanding
A fórmula do vértice da parábola $y = ax^2+bx+c$ é $h = -b/(2a)$ . Qual resultado do cálculo diferencial justifica essa fórmula?
Select the correct option
$x = -b/(2a)$ $x = b/(2a)$ $x = -a/(2b)$ $x = 2a/b$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 90
Show solution
Para $y = ax^2+bx+c$ , a derivada é $y' = 2ax+b$ . Igualando a zero: $2ax+b=0 \Rightarrow x=-b/(2a)$ . Como é ponto único de $y'=0$ e $y''=2a\neq 0$ , é máximo (se $a<0$ ) ou mínimo (se $a>0$ ).
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $y' = 2ax + b$ .
2. Resolva $2ax+b=0$ : $x = -b/(2a)$ .
3. Essa é a abscissa do vértice da parábola.
Ex. 8.2Understanding
Ao buscar o mínimo absoluto de uma função contínua em $[a,b]$ , por que é necessário verificar os extremos do intervalo $a$ e $b$ , além dos pontos críticos interiores?
Select the correct option
O mínimo absoluto pode ocorrer nos extremos do intervalo, não apenas nos pontos críticos interiores.Os extremos do intervalo são sempre pontos críticos.Se $f$ é diferenciável, os extremos só ocorrem onde $f'=0$ .Os extremos do intervalo nunca são mínimos absolutos.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 91
Show solution
Ao buscar mínimo absoluto em $[a,b]$ , o Teorema de Weierstrass garante existência. O Teorema de Fermat diz que extremos interiores têm $f'=0$ (ou $f'$ inexistente), mas os extremos $a$ e $b$ também são candidatos — o mínimo pode estar lá.
Ex. 8.3UnderstandingAnswer key
Para uma função definida em $(a,b)$ com $a$ e $b$ finitos, é possível não ter máximo ou mínimo absoluto?
Select the correct option
Sim, se $f$ for descontínua ou se o intervalo for aberto.Não, toda função num intervalo finito tem máximo e mínimo absolutos.Não, toda função contínua num intervalo aberto tem máximo e mínimo absolutos.Sim, mas apenas quando $f$ é contínua.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 92
Show solution
O Teorema de Weierstrass exige que o domínio seja fechado e limitado e que $f$ seja contínua. Em $(a,b)$ aberto, uma função contínua como $f(x)=x$ não atinge máximo ou mínimo absoluto.
Ex. 8.4UnderstandingAnswer key
Ao verificar pontos críticos, por que também é necessário verificar os pontos onde $f'(x)$ não está definida?
Select the correct option
Porque nesses pontos $f$ pode ter um extremo local mesmo sem $f'=0$ .Porque $f'$ indefinida implica que $f$ não é contínua.Porque $f'$ indefinida garante que o ponto é um extremo absoluto.Porque $f'$ indefinida implica que $f$ tem assíntota vertical.
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 93
Show solution
Um ponto crítico é onde $f'=0$ OU onde $f'$ não existe. Exemplo: $f(x)=|x|$ tem mínimo em $x=0$ , onde $f'$ não é definida. Ignorar esses pontos pode levar a perder o extremo absoluto.
Ex. 8.5Understanding
É possível ter máximo absoluto finito para $y = ax^2+bx+c$ sobre $(-\infty,\infty)$ ?
Select the correct option
Sim, se $a < 0$ (parábola com concavidade para baixo).Não, toda parábola tem máximo e mínimo em $(-\infty,\infty)$ .Sim, para qualquer valor de $a$ .Não, pois parábolas são ilimitadas.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 94
Show solution
Para $y=ax^2+bx+c$ em $(-\infty,\infty)$ : se $a<0$ , a parábola abre para baixo e tem máximo absoluto em $x=-b/(2a)$ , mas não tem mínimo. Se $a>0$ , tem mínimo mas não máximo. Se $a=0$ , é uma reta sem extremos (ou constante).
Ex. 8.6Understanding
É possível ter máximo absoluto finito para $y = ax^3+bx^2+cx+d$ (com $a\neq 0$ ) sobre $(-\infty,\infty)$ ?
Select the correct option
Não, pois cúbicos com $a\neq 0$ tendem a $\pm\infty$ e não têm máximo nem mínimo absolutos.Sim, se $a > 0$ , o cúbico tem máximo absoluto.Sim, todo polinômio de grau ímpar tem máximo e mínimo absolutos.Não, exceto se $b=c=d=0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 95
Show solution
Para $y=ax^3+bx^2+cx+d$ com $a\neq 0$ : quando $x\to+\infty$ , $y\to+\infty$ (se $a>0$ ) ou $y\to-\infty$ (se $a<0$ ). Em ambos os casos, a função é ilimitada e não tem máximo nem mínimo absolutos sobre $(-\infty,\infty)$ .
Ex. 8.7Application
Encontre os números críticos de $y = 4x^3 - 3x$ no domínio da função.
Select the correct option
$x = 0$ e $x = \pm\sqrt{3}/2$ $x = 0$ e $x = \pm 1/2$ $x = \pm 1/2$ $x = 0$ e $x = 3/4$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 108
Show solution
$y = 4x^3-3x$ , então $y' = 12x^2-3 = 3(4x^2-1)$ . Igualando a zero: $4x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1/2$ . Os pontos críticos são $x=\pm 1/2$ . (Nota: a opção correta indica $x=\pm 1/2$ ; rever enunciado — correta é a opção "$x = \\pm 1/2$".)
Ex. 8.8ApplicationAnswer key
Encontre os números críticos de $y = 4x - x^2$ no domínio da função.
Select the correct option
$x = 2$ $x = 0$ $x = -2$ $x = 4$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 109
Show solution
$y = 4x - x^2$ , então $y' = 4 - 2x$ . Igualando a zero: $4-2x=0 \Rightarrow x=2$ . Único ponto crítico: $x=2$ (máximo, pois $y''=-2<0$ ).
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $y' = 4 - 2x$ .
2. Resolva $4-2x=0$ : $x=2$ .
3. Verifique: $y''=-2<0$ , portanto $x=2$ é máximo local.
Ex. 8.9Application
Encontre os números críticos de $y = \dfrac{1}{x-1}$ no domínio da função.
Select the correct option
Não há pontos críticos no domínio. $x = 0$ $x = 1$ $x = -1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 110
Show solution
$y = 1/(x-1)$ , domínio $x\neq 1$ . Derivada: $y' = -1/(x-1)^2$ , que nunca é zero. Em $x=1$ , a função não está definida. Portanto, não há pontos críticos no domínio.
Ex. 8.10Application
Encontre os números críticos de $y = \ln(x-2)$ no domínio da função.
Select the correct option
Não há pontos críticos (apenas o domínio $x > 2$ , sem ponto onde $y'=0$ ). $x = 2$ $x = 3$ $x = e$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 111
Show solution
$y = \ln(x-2)$ , domínio $x>2$ . Derivada: $y' = 1/(x-2) > 0$ para todo $x>2$ . A derivada nunca é zero, logo não há pontos críticos.
Ex. 8.11ApplicationAnswer key
Encontre os números críticos de $y = \sqrt{4-x^2}$ no domínio da função.
Select the correct option
$x = 0$ $x = \pi/2$ $x = \pi$ Não há pontos críticos.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 113
Show solution
$y = \sqrt{4-x^2}$ , domínio $[-2,2]$ . Derivada: $y' = -x/\sqrt{4-x^2}$ . Igualando a zero: $x=0$ . Em $x=\pm 2$ , a derivada não existe (extremos do domínio). Ponto crítico interior: $x=0$ .
Ex. 8.12Application
Encontre os números críticos de $y = x^{3/2} - 3x^{5/2}$ no domínio da função.
Select the correct option
$x = 0$ e $x = 3/5$ $x = 0$ apenas $x = 3/5$ apenas $x = 1$ e $x = 3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 114
Show solution
$y = x^{3/2} - 3x^{5/2}$ , domínio $x\geq 0$ . Derivada: $y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{15}{2}x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2}(1-5x)$ . Igualando a zero: $x=0$ ou $x=1/5$ . Recalculando: $1-5x=0\Rightarrow x=1/5$ . Em $x=0$ a derivada também é zero. Pontos críticos: $x=0$ e $x=1/5$ .
Ex. 8.13Application
Encontre os números críticos de $y = \sin^2(x)$ no domínio da função.
Select the correct option
$x = 0$ e $x = \pi/2 + k\pi$ ( $k$ inteiro) $x = k\pi$ ( $k$ inteiro) $x = \pi/4 + k\pi/2$ ( $k$ inteiro)Não há pontos críticos.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 116
Show solution
$y = \sin^2(x)$ . Derivada: $y' = 2\sin x\cos x = \sin(2x)$ . Igualando a zero: $\sin(2x)=0 \Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = k\pi/2$ para inteiro $k$ . Pontos críticos: $x = k\pi/2$ .
Ex. 8.14Application
Encontre os extremos absolutos de $f(x) = x^2+3$ no intervalo $[-1,4]$ .
Select the correct option
Máximo absoluto $f(4)=19$ ; mínimo absoluto $f(-1)=4$ Máximo absoluto $f(-1)=4$ ; mínimo absoluto $f(4)=19$ Máximo absoluto $f(4)=19$ ; mínimo absoluto $f(0)=3$ Máximo absoluto $f(0)=3$ ; mínimo absoluto $f(-1)=4$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 118
Show solution
$f(x) = x^2+3$ . Derivada: $f'=2x=0\Rightarrow x=0$ . Candidatos: $x=-1,0,4$ . Valores: $f(-1)=4$ , $f(0)=3$ , $f(4)=19$ . Máximo absoluto: $f(4)=19$ ; mínimo absoluto: $f(0)=3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x)=2x$ ; ponto crítico em $x=0$ .
2. Avalie nos candidatos $\{-1,0,4\}$ : $f(-1)=4$ , $f(0)=3$ , $f(4)=19$ .
3. Máximo: 19 em $x=4$ ; mínimo: 3 em $x=0$ .
Ex. 8.15Application
Encontre os extremos absolutos de $y = x^2+2x$ no intervalo $[1,4]$ .
Select the correct option
Máximo $y=24$ em $x=4$ ; mínimo $y=3$ em $x=1$ Máximo $y=24$ em $x=4$ ; mínimo $y=-1$ em $x=-1$ Máximo $y=3$ em $x=1$ ; mínimo $y=-1$ em $x=-1$ Máximo $y=24$ em $x=4$ ; mínimo $y=0$ em $x=-1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 119
Show solution
$y = x^2+2x$ . Derivada: $y'=2x+2=0\Rightarrow x=-1$ . Mas $x=-1$ não está em $[1,4]$ . Candidatos: extremos $x=1$ e $x=4$ . Valores: $y(1)=3$ , $y(4)=24$ . Máximo: 24 em $x=4$ ; mínimo: 3 em $x=1$ .
Ex. 8.16ApplicationAnswer key
Encontre os extremos absolutos de $y = (x-x^2)^2$ no intervalo $[-1,1]$ .
Select the correct option
Máximo $y=1/4$ em $x=0$ e $x=1$ ; mínimo $y=0$ em $x=1/2$ Máximo $y=1/4$ em $x=1/2$ ; mínimo $y=0$ em $x=0$ e $x=1$ Máximo $y=1$ em $x=-1$ ; mínimo $y=0$ em $x=0$ Máximo $y=1$ em $x=0$ ; mínimo $y=0$ em $x=1/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 120
Show solution
$y=(x-x^2)^2$ . Derivada: $y'=2(x-x^2)(1-2x)$ . Zeros em $x=0,1/2,1$ (dentro de $[-1,1]$ ). Candidatos: $-1,0,1/2,1$ . Valores: $y(-1)=4$ , $y(0)=0$ , $y(1/2)=1/16$ , $y(1)=0$ . Máximo absoluto: 4 em $x=-1$ . (Resp: 4)
Ex. 8.17Application
Encontre os extremos absolutos de $y = 9-x$ no intervalo $[1,9]$ .
Select the correct option
Máximo $y=8$ em $x=1$ ; mínimo $y=2$ em $x=9$ Máximo $y=8$ em $x=9$ ; mínimo $y=2$ em $x=1$ Máximo $y=9$ em $x=9$ ; mínimo $y=1$ em $x=1$ Máximo $y=4$ em $x=4$ ; mínimo $y=2$ em $x=9$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 122
Show solution
$y = 9-x$ é decrescente em $[1,9]$ . Máximo em $x=1$ : $y=8$ ; mínimo em $x=9$ : $y=0$ . (Não há pontos críticos interiores pois $y'=-1\neq 0$ .)
Ex. 8.18Application
Encontre os extremos absolutos de $y = x + \sin x$ no intervalo $[0,2\pi]$ .
Select the correct option
Máximo $y=2\pi$ em $x=2\pi$ ; mínimo $y=0$ em $x=0$ Máximo $y=\pi+1$ em $x=\pi$ ; mínimo $y=0$ em $x=0$ Máximo $y=2\pi$ em $x=2\pi$ ; mínimo $y=-1$ em $x=3\pi/2$ Máximo $y=\pi/2+1$ em $x=\pi/2$ ; mínimo $y=0$ em $x=0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 123
Show solution
$y=x+\sin x$ . Derivada: $y'=1+\cos x\geq 0$ sempre (pois $\cos x\geq -1$ ). A função é não-decrescente em $[0,2\pi]$ . Máximo: $y(2\pi)=2\pi$ ; mínimo: $y(0)=0$ . (Sem pontos críticos interiores onde $y'>0$ estritamente, exceto $x=\pi$ onde $y'=0$ — ponto de inflexão, não extremo.)
Ex. 8.19Application
Encontre os extremos absolutos de $y = \dfrac{x}{1+x}$ no intervalo $[0,100]$ .
Select the correct option
Máximo $y=100/101$ em $x=100$ ; mínimo $y=0$ em $x=0$ Máximo $y=1$ em $x=\infty$ ; mínimo $y=0$ em $x=0$ Máximo $y=1/2$ em $x=1$ ; mínimo $y=0$ em $x=0$ Não há extremos absolutos.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 124
Show solution
$y = x/(1+x)$ . Derivada: $y'=1/(1+x)^2>0$ para todo $x\geq 0$ . Crescente em $[0,100]$ . Máximo: $y(100)=100/101$ ; mínimo: $y(0)=0$ .
Ex. 8.20Application
Encontre os extremos absolutos de $y = |x+1|+|x-1|$ no intervalo $[-3,2]$ .
Select the correct option
Máximo absoluto $y=5$ em $x=-3$ e $x=2$ ; mínimo absoluto $y=2$ em $-1\leq x\leq 1$ Máximo absoluto $y=2$ em qualquer ponto; mínimo absoluto $y=0$ em $x=0$ Máximo absoluto $y=5$ em $x=2$ ; mínimo absoluto $y=0$ em $x=-1$ Máximo absoluto $y=3$ em $x=-3$ ; mínimo absoluto $y=2$ em $x=1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 125
Show solution
$y=|x+1|+|x-1|$ . Para $x<-1$ : $y=-(x+1)-(x-1)=-2x$ . Para $-1\leq x\leq 1$ : $y=(x+1)-(x-1)=2$ . Para $x>1$ : $y=2x$ . Em $[-3,2]$ : $y(-3)=6$ , $y(-1)=2$ , $y(1)=2$ , $y(2)=4$ . Máximo: $y(-3)=6$ .
Ex. 8.21ApplicationAnswer key
Encontre os extremos absolutos de $y = \sin x + \cos x$ no intervalo $[0,2\pi]$ .
Select the correct option
Máximo $y=\sin(\pi/4)+\cos(\pi/4)=\sqrt{2}$ ; mínimo $y=\sin(5\pi/4)+\cos(5\pi/4)=-\sqrt{2}$ Máximo $y=2$ em $x=0$ ; mínimo $y=-2$ em $x=\pi$ Máximo $y=1$ em $x=0$ ; mínimo $y=-1$ em $x=\pi$ Máximo $y=\sqrt{2}$ em $x=\pi/2$ ; mínimo $y=-\sqrt{2}$ em $x=3\pi/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 127
Show solution
$y=\sin x+\cos x$ . Derivada: $y'=\cos x-\sin x=0\Rightarrow x=\pi/4,5\pi/4$ em $[0,2\pi]$ . Valores: $y(0)=1$ , $y(\pi/4)=\sqrt{2}$ , $y(5\pi/4)=-\sqrt{2}$ , $y(2\pi)=1$ . Máximo: $\sqrt{2}$ ; mínimo: $-\sqrt{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $y'=\cos x-\sin x$ .
2. Resolva $y'=0$ : $\tan x=1\Rightarrow x=\pi/4$ e $x=5\pi/4$ .
3. Avalie nos candidatos $\{0,\pi/4,5\pi/4,2\pi\}$ .
4. Máximo: $\sqrt{2}$ em $x=\pi/4$ ; mínimo: $-\sqrt{2}$ em $x=5\pi/4$ .
Ex. 8.22ApplicationAnswer key
Encontre os extremos locais e absolutos de $y = x^2+4x+5$ sobre $(-\infty,\infty)$ .
Select the correct option
Mínimo absoluto $y=-2$ em $x=-2$ ; sem máximo absoluto em $(-\infty,\infty)$ Mínimo absoluto $y=-2$ em $x=-2$ ; máximo absoluto em $x\to\infty$ Mínimo absoluto $y=0$ em $x=0$ ; sem máximoMínimo absoluto $y=-2$ em $x=-2$ ; máximo absoluto $y=5$ em $x=1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 129
Show solution
$y=x^2+4x+5=(x+2)^2+1$ . Mínimo local (e absoluto) em $x=-2$ : $y(-2)=1$ . Como o domínio é $(-\infty,\infty)$ e $y\to+\infty$ , não há máximo absoluto. Mínimo absoluto: $y=1$ em $x=-2$ .
Ex. 8.23Application
Encontre os extremos locais e absolutos de $y = x^3 - 12x$ sobre $(-\infty,\infty)$ .
Select the correct option
Máximo local $y=16$ em $x=-2$ ; mínimo local $y=-16$ em $x=2$ ; sem extremos absolutosMáximo absoluto $y=16$ em $x=-2$ ; mínimo absoluto $y=-16$ em $x=2$ Máximo local em $x=0$ ; mínimo local em $x=\pm 2$ Sem extremos locais nem absolutos.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 130
Show solution
$y=x^3-12x$ . Derivada: $y'=3x^2-12=3(x^2-4)$ . Zeros: $x=\pm 2$ . $y''=6x$ : $y''(-2)=-12<0$ (máximo local), $y''(2)=12>0$ (mínimo local). Valores: $y(-2)=16$ , $y(2)=-16$ . Sem extremos absolutos (cúbico ilimitado).
Ex. 8.24Application
Encontre os extremos locais e absolutos de $y = 3x^4+8x^3-18x^2$ sobre $(-\infty,\infty)$ .
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Máximo local em $x=0$ ; mínimos locais em $x=\pm\sqrt{3}$ ; sem extremos absolutosMáximo absoluto $y=0$ em $x=0$ ; mínimos absolutos em $x=\pm\sqrt{3}$ Máximo local em $x=\pm\sqrt{3}$ ; mínimo local em $x=0$ Sem extremos locais.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 131
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$y=3x^4+8x^3-18x^2$ . Derivada: $y'=12x^3+24x^2-36x=12x(x^2+2x-3)=12x(x+3)(x-1)$ . Zeros: $x=0,-3,1$ . $y''=36x^2+48x-36$ . Em $x=0$ : $y''=-36<0$ (máximo local). Em $x=-3$ : $y''=180>0$ (mínimo local). Em $x=1$ : $y''=48>0$ (mínimo local). Sem extremos absolutos.
Ex. 8.25Modeling
Uma empresa de celulares tem função de custo $C = x^2 - 1200x + 36{,}000$ , onde $x$ é o número de unidades produzidas. Quantas unidades minimizam o custo?
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$x = 600$ unidades $x = 400$ unidades $x = 1200$ unidades $x = 300$ unidades
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 140
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Custo: $C = x^2 - 1200x + 36{,}000$ . Derivada: $C'=2x-1200=0\Rightarrow x=600$ . Como $C''=2>0$ , é mínimo. O custo mínimo ocorre em 600 unidades.
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1. Calcule $C'(x)=2x-1200$ .
2. Resolva $C'=0$ : $x=600$ .
3. Confirme mínimo: $C''=2>0$ .
4. Custo mínimo: $C(600)=600^2-1200\cdot600+36000=-324{,}000$ (em unidades da empresa).
Ex. 8.26Modeling
A posição de uma bola lançada ao ar é $h(t) = -4{,}9t^2 + 60t + 5$ (metros). Quando a bola atinge a altura máxima e qual é essa altura?
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$t = 1{,}225$ s e $h = 7{,}35$ m $t = 2$ s e $h = 10$ m $t = 0{,}5$ s e $h = 5$ m $t = 1$ s e $h = 6$ m
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 141
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Posição: $h(t) = -4{,}9t^2 + 60t + 5$ (m). Derivada: $h'=-9{,}8t+60=0\Rightarrow t=60/9{,}8\approx 6{,}12$ s. Altura máxima: $h(6{,}12)=-4{,}9(6{,}12)^2+60(6{,}12)+5\approx 188$ m. (Resp: $t\approx 6{,}12$ s, $h\approx 188$ m)
Ex. 8.27Modeling
A produção de ouro na corrida do ouro da Califórnia é modelada por $G(t) = \dfrac{25t}{t^2+16}$ , onde $t$ é anos após 1848. Em que ano a produção foi máxima?
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$t = 4$ anos após 1848 (ou seja, em 1852) $t = 8$ anos após 1848 (em 1856) $t = 2$ anos após 1848 (em 1850) $t = 16$ anos após 1848 (em 1864)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 142
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Produção: $G(t) = 25t/(t^2+16)$ . Derivada: $G' = 25(16-t^2)/(t^2+16)^2$ . Zero: $16-t^2=0\Rightarrow t=4$ . Produção máxima em $t=4$ (1852), com $G(4)=25\cdot4/32=100/32=25/8$ .
Ex. 8.28Modeling
Usando o modelo $G(t) = 25t/(t^2+16)$ , qual é o valor da produção máxima de ouro (em $t=4$ )?
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$G(4) = 25/8$ (unidades do modelo) $G(4) = 4$ $G(4) = 100$ $G(4) = 25/4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 143
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$G(4) = 25\cdot4/(4^2+16) = 100/(16+16) = 100/32 = 25/8$ .
Ex. 8.29Challenge
Analise os pontos críticos de $y = (x-1)^a$ e determine sob que condições sobre $a$ o ponto $x=1$ é máximo, mínimo ou nem um nem outro.
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Para $a$ par e positivo: mínimo em $x=1$ ; para $a$ ímpar: sem extremo em $x=1$ ; para $a=0$ : constanteSempre um mínimo em $x=1$ para $a>0$ .Sempre um máximo em $x=1$ para qualquer $a$ .Para $a$ negativo: máximo em $x=1$ ; para $a$ positivo: mínimo em $x=1$ .
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 147
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Para $y=(x-1)^a$ : derivada $y'=a(x-1)^{a-1}$ . Em $x=1$ : se $a$ é par e positivo, $y'=0$ e há mínimo. Se $a$ é ímpar, $y'$ não troca sinal (ou não existe para $a<1$ ), logo não é extremo. Para $a\leq 0$ , a análise depende do domínio.
Ex. 8.30Challenge
Para a função genérica $y = ax^2+bx+c$ em $(-\infty,\infty)$ , determine o tipo de extremo e se é absoluto, em função do sinal de $a$ .
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Para $a<0$ : máximo absoluto em $x=-b/(2a)$ , sem mínimo absoluto.Para $a>0$ : máximo absoluto em $x=-b/(2a)$ , sem mínimo.Para qualquer $a\neq 0$ : há máximo e mínimo absolutos.Para $a<0$ : sem máximo absoluto; mínimo absoluto em $x=-b/(2a)$ .
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 146
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Para $y=ax^2+bx+c$ em $(-\infty,\infty)$ : o único ponto crítico é $x=-b/(2a)$ . Se $a<0$ , a parábola abre para baixo — máximo absoluto em $x=-b/(2a)$ , sem mínimo ( $y\to-\infty$ ). Se $a>0$ , mínimo absoluto, sem máximo.

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · OpenStax · CC-BY-NC-SA. Fonte primária dos exercícios (§4.3).