Lição 9 — Limites de sequências: formalização ε-N

Analise a convergência da sequência $a_n = 1 + (-1)^n$, para $n \geq 1$. Calcule os primeiros quatro termos e determine se converge.

Calcule os primeiros quatro termos da sequência $a_n = n^2 - 1$ e determine se converge.

Seja $a_1 = 1$ e $a_n = a_{n-1} + n$ para $n \geq 2$. Encontre uma fórmula explícita para $a_n$.

Encontre uma fórmula para o $n$-ésimo termo da progressão aritmética com $a_1 = 1$ e $a_{n+1} - a_n = 17$.

Encontre uma fórmula para o $n$-ésimo termo da progressão aritmética com $a_1 = -3$ e $a_{n+1} - a_n = 4$.

Encontre uma fórmula para o $n$-ésimo termo da progressão geométrica com $a_1 = 1$ e $a_{n+1}/a_n = 10$.

Encontre uma fórmula para o $n$-ésimo termo da progressão geométrica com $a_1 = 3$ e $a_{n+1}/a_n = 1/10$. Converge?

Encontre uma fórmula explícita para o $n$-ésimo termo da sequência cujos primeiros termos são $\{0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, \ldots\}$. (Dica: some 1 a cada termo.)

Encontre uma fórmula para o $n$-ésimo termo da sequência $\{1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \ldots\}$. (Dica: pense onde $\sin x$ ou $\cos x$ assume esses valores.)

Encontre uma fórmula para o $n$-ésimo termo da sequência $\left\{1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{7}, \ldots\right\}$.

Seja $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = -a_n$ para $n \geq 1$. Encontre uma fórmula explícita e determine se a sequência converge.

Seja $a_1 = 2$ e $a_{n+1} = 2a_n$ para $n \geq 1$. Encontre $a_n$ explicitamente. A sequência converge?

Seja $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = (n+1)a_n$ para $n \geq 1$. Identifique a fórmula explícita para $a_n$.

Seja $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = a_n / 2^n$ para $n \geq 1$. Encontre uma fórmula explícita para $a_n$ e determine se converge.

Suponha que $\lim_{n\to\infty} a_n = 1$ e $\lim_{n\to\infty} b_n = -1$. Calcule $\lim_{n\to\infty}(3a_n - 4b_n)$.

Suponha que $\lim_{n\to\infty} a_n = 1$ e $\lim_{n\to\infty} b_n = -1$. Calcule $\lim_{n\to\infty}\!\left(\frac{1}{2}b_n - \frac{1}{2}a_n\right)$.

Suponha que $\lim_{n\to\infty} a_n = 1$ e $\lim_{n\to\infty} b_n = -1$. Calcule $\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n + b_n}{a_n - b_n}$.

Suponha que $\lim_{n\to\infty} a_n = 1$ e $\lim_{n\to\infty} b_n = -1$. O limite $\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n - b_n}{a_n + b_n}$ existe?

Calcule $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n^2}{2^n}$.

Calcule $\lim_{n\to\infty} \dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2}$.

Calcule $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1}$.

Calcule $\lim_{n\to\infty} n^{1/n}$. (Dica: escreva $n^{1/n} = e^{(\ln n)/n}$.)

Para a sequência $a_n = n/2^n$ ($n \geq 2$), determine se é limitada e se é eventualmente monótona.

Para a sequência $a_n = \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$, determine se é limitada e se é monótona.

Para a sequência $a_n = n^{1/n}$ ($n \geq 3$), determine se é limitada e se é eventualmente monótona.

Determine se a sequência $a_1 = \sqrt{2},\; a_2 = \sqrt{2\sqrt{2}},\; a_3 = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},\ldots$ tem limite e, em caso afirmativo, encontre-o.

Calcule $\lim_{n\to\infty} n\sin(1/n)$.

Calcule $\lim_{n\to\infty} \dfrac{\cos(1/n) - 1}{1/n}$.

Determine o comportamento da sequência $a_n = \dfrac{n!}{n^n}$. Converge? (Dica: analise a razão $a_{n+1}/a_n$.)

Calcule $\lim_{n\to\infty} \arctan(n^2)$.