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Lição 9 — Limites de sequências: formalização ε-N

Definição rigorosa ε-N de convergência de sequências. Sequências monótonas e limitadas. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequências de Cauchy e completude de ℝ.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 1 · USP MAC0105 · ITA MA-011

lim⁡n→∞an=L    ⟺    ∀ ε>0,  ∃ N∈N:n>N  ⇒  ∣an−L∣<ε\lim_{n \to \infty} a_n = L \;\iff\; \forall\,\varepsilon > 0,\;\exists\, N \in \mathbb{N}: n > N \;\Rightarrow\; |a_n - L| < \varepsilon

Uma sequência (an)(a_n) converge para LL se, dado qualquer tolerância ε>0\varepsilon > 0, a partir de algum índice NN todos os termos da sequência ficam dentro do intervalo (L−ε,L+ε)(L-\varepsilon, L+\varepsilon). O papel de NN em sequências é análogo ao de MM em limites no infinito de funções.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Sequências e convergência

Exemplos resolvidos

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 7Challenge 2
  1. Ex. 9.1Application

    Analise a convergência da sequência an=1+(−1)na_n = 1 + (-1)^n, para n≥1n \geq 1. Calcule os primeiros quatro termos e determine se converge.

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    Para nn par, an=1+1=2a_n = 1 + 1 = 2; para nn ímpar, an=1−1=0a_n = 1 - 1 = 0. Como os termos alternam entre 0 e 2, a sequência não converge para nenhum valor fixo.
  2. Ex. 9.2Application

    Calcule os primeiros quatro termos da sequência an=n2−1a_n = n^2 - 1 e determine se converge.

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    Temos an=n2−1a_n = n^2 - 1. Como n2→+∞n^2 \to +\infty, a sequência diverge para +∞+\infty. Os primeiros termos são: a1=0,  a2=3,  a3=8,  a4=15a_1 = 0,\; a_2 = 3,\; a_3 = 8,\; a_4 = 15.
  3. Ex. 9.3ApplicationAnswer key

    Seja a1=1a_1 = 1 e an=an−1+na_n = a_{n-1} + n para n≥2n \geq 2. Encontre uma fórmula explícita para ana_n.

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    Expandindo a recorrência: an=an−1+n=an−2+(n−1)+n=⋯=1+2+⋯+n=n(n+1)2a_n = a_{n-1} + n = a_{n-2} + (n-1) + n = \cdots = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva an=an−1+na_n = a_{n-1} + n e aplique telescopicamente.
    2. an=a1+2+3+⋯+n=1+(2+3+⋯+n)a_n = a_1 + 2 + 3 + \cdots + n = 1 + (2 + 3 + \cdots + n).
    3. Use a fórmula da soma de PA: ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.
  4. Ex. 9.4Application

    Encontre uma fórmula para o nn-ésimo termo da progressão aritmética com a1=1a_1 = 1 e an+1−an=17a_{n+1} - a_n = 17.

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    Progressão aritmética com primeiro termo a1=1a_1 = 1 e razão d=17d = 17. A fórmula geral é an=a1+(n−1)d=1+17(n−1)a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 17(n-1). Verifique: a2=18a_2 = 18, a2−a1=17a_2 - a_1 = 17. Correto.
  5. Ex. 9.5Application

    Encontre uma fórmula para o nn-ésimo termo da progressão aritmética com a1=−3a_1 = -3 e an+1−an=4a_{n+1} - a_n = 4.

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    OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 7
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    PA com a1=−3a_1 = -3 e razão d=4d = 4. Fórmula: an=−3+4(n−1)a_n = -3 + 4(n-1). Observe que −3+4(n−1)=4n−7-3 + 4(n-1) = 4n - 7, que é equivalente à resposta.
  6. Ex. 9.6ApplicationAnswer key

    Encontre uma fórmula para o nn-ésimo termo da progressão geométrica com a1=1a_1 = 1 e an+1/an=10a_{n+1}/a_n = 10.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 8
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    Progressão geométrica com a1=1a_1 = 1 e razão q=10q = 10. Fórmula geral: an=a1⋅qn−1=1⋅10n−1=10n−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 10^{n-1} = 10^{n-1}.
  7. Ex. 9.7Application

    Encontre uma fórmula para o nn-ésimo termo da progressão geométrica com a1=3a_1 = 3 e an+1/an=1/10a_{n+1}/a_n = 1/10. Converge?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 9
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    PG com a1=3a_1 = 3 e razão q=1/10q = 1/10. Fórmula: an=3⋅(1/10)n−1a_n = 3 \cdot (1/10)^{n-1}. Como ∣q∣<1|q| < 1, esta sequência converge para 0.
  8. Ex. 9.8Application

    Encontre uma fórmula explícita para o nn-ésimo termo da sequência cujos primeiros termos são {0,3,8,15,24,35,48,63,…}\{0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, \ldots\}. (Dica: some 1 a cada termo.)

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    A sequência é 0,3,8,15,24,…0, 3, 8, 15, 24, \ldots Adicionando 1: 1,4,9,16,25,…=n21, 4, 9, 16, 25, \ldots = n^2. Portanto an=n2−1a_n = n^2 - 1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Observe a sequência: 0,3,8,15,24,35,…0, 3, 8, 15, 24, 35, \ldots
    2. Adicione 1 a cada termo: 1,4,9,16,25,36,…=12,22,32,…1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots = 1^2, 2^2, 3^2, \ldots
    3. Portanto an+1=n2a_n + 1 = n^2, ou seja, an=n2−1a_n = n^2 - 1.
  9. Ex. 9.9UnderstandingAnswer key

    Encontre uma fórmula para o nn-ésimo termo da sequência {1,0,−1,0,1,0,−1,0,…}\{1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \ldots\}. (Dica: pense onde sin⁡x\sin x ou cos⁡x\cos x assume esses valores.)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 12
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    A sequência 1,0,−1,0,1,0,−1,0,…1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \ldots coincide com cos⁡(nπ/2)\cos(n\pi/2): para n=1n=1, cos⁡(π/2)=0\cos(\pi/2)=0... Mais precisamente, para n≥0n \geq 0: cos⁡(0)=1,cos⁡(π/2)=0,cos⁡(π)=−1,cos⁡(3π/2)=0\cos(0)=1, \cos(\pi/2)=0, \cos(\pi)=-1, \cos(3\pi/2)=0. Logo an=cos⁡(nπ/2)a_n = \cos(n\pi/2) (indexando de n=0n=0).
  10. Ex. 9.10Application

    Encontre uma fórmula para o nn-ésimo termo da sequência {1,−13,15,−17,…}\left\{1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{7}, \ldots\right\}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 13
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    Os denominadores são 1,3,5,7,…=2n−11, 3, 5, 7, \ldots = 2n-1. Os sinais alternam começando positivo: +,−,+,−+, -, +, -, logo (−1)n+1(-1)^{n+1}. Portanto an=(−1)n+12n−1a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}.
  11. Ex. 9.11Application

    Seja a1=1a_1 = 1 e an+1=−ana_{n+1} = -a_n para n≥1n \geq 1. Encontre uma fórmula explícita e determine se a sequência converge.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 14
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    A recorrência an+1=−ana_{n+1} = -a_n com a1=1a_1 = 1 dá an=(−1)n+1a_n = (-1)^{n+1}. Os termos alternam: 1,−1,1,−1,…1, -1, 1, -1, \ldots A sequência é limitada mas diverge pois não tem limite único.
  12. Ex. 9.12ApplicationAnswer key

    Seja a1=2a_1 = 2 e an+1=2ana_{n+1} = 2a_n para n≥1n \geq 1. Encontre ana_n explicitamente. A sequência converge?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 15
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    Com a1=2a_1 = 2 e an+1=2ana_{n+1} = 2a_n, tem-se an=2⋅2n−1=2na_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n. Como 2n→+∞2^n \to +\infty, a sequência diverge.
  13. Ex. 9.13Understanding

    Seja a1=1a_1 = 1 e an+1=(n+1)ana_{n+1} = (n+1)a_n para n≥1n \geq 1. Identifique a fórmula explícita para ana_n.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 16
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    Com a1=1a_1 = 1 e an+1=(n+1)ana_{n+1} = (n+1)a_n: a2=2⋅1=2a_2 = 2 \cdot 1 = 2, a3=3⋅2=6a_3 = 3 \cdot 2 = 6, a4=4⋅6=24a_4 = 4 \cdot 6 = 24. Portanto an=n!a_n = n! (fatorial). Diverge para +∞+\infty.
  14. Ex. 9.14Application

    Seja a1=1a_1 = 1 e an+1=an/2na_{n+1} = a_n / 2^n para n≥1n \geq 1. Encontre uma fórmula explícita para ana_n e determine se converge.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 18
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    Temos an+1=an/2na_{n+1} = a_n / 2^n, logo an=a1⋅∏k=1n−112k=121+2+⋯+(n−1)=12n(n−1)/2a_n = a_1 \cdot \prod_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^{1+2+\cdots+(n-1)}} = \frac{1}{2^{n(n-1)/2}}. Converge para 0 pois o expoente cresce sem limite.
  15. Ex. 9.15ApplicationAnswer key

    Suponha que lim⁡n→∞an=1\lim_{n\to\infty} a_n = 1 e lim⁡n→∞bn=−1\lim_{n\to\infty} b_n = -1. Calcule lim⁡n→∞(3an−4bn)\lim_{n\to\infty}(3a_n - 4b_n).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 23
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    Pela álgebra dos limites: lim⁡(3an−4bn)=3⋅1−4⋅(−1)=3+4=7\lim(3a_n - 4b_n) = 3 \cdot 1 - 4 \cdot (-1) = 3 + 4 = 7.
  16. Ex. 9.16Application

    Suponha que lim⁡n→∞an=1\lim_{n\to\infty} a_n = 1 e lim⁡n→∞bn=−1\lim_{n\to\infty} b_n = -1. Calcule lim⁡n→∞ ⁣(12bn−12an)\lim_{n\to\infty}\!\left(\frac{1}{2}b_n - \frac{1}{2}a_n\right).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 24
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    Pela álgebra dos limites: lim⁡(12bn−12an)=12(−1)−12(1)=−12−12=−1\lim\left(\frac{1}{2}b_n - \frac{1}{2}a_n\right) = \frac{1}{2}(-1) - \frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1.
  17. Ex. 9.17Understanding

    Suponha que lim⁡n→∞an=1\lim_{n\to\infty} a_n = 1 e lim⁡n→∞bn=−1\lim_{n\to\infty} b_n = -1. Calcule lim⁡n→∞an+bnan−bn\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n + b_n}{a_n - b_n}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 25
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    Limite do numerador: an+bn→1+(−1)=0a_n + b_n \to 1 + (-1) = 0. Limite do denominador: an−bn→1−(−1)=2≠0a_n - b_n \to 1 - (-1) = 2 \neq 0. Portanto an+bnan−bn→02=0\frac{a_n + b_n}{a_n - b_n} \to \frac{0}{2} = 0.
  18. Ex. 9.18UnderstandingAnswer key

    Suponha que lim⁡n→∞an=1\lim_{n\to\infty} a_n = 1 e lim⁡n→∞bn=−1\lim_{n\to\infty} b_n = -1. O limite lim⁡n→∞an−bnan+bn\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n - b_n}{a_n + b_n} existe?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 26
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    Numerador: an−bn→1−(−1)=2a_n - b_n \to 1 - (-1) = 2. Denominador: an+bn→0a_n + b_n \to 0. Como o denominador tende a zero e o numerador a 2, o limite não existe (diverge).
  19. Ex. 9.19Application

    Calcule lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \dfrac{n^2}{2^n}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 27
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    Pela Regra de L'Hôpital (ou comparação de crescimento): n22n→0\frac{n^2}{2^n} \to 0 pois a exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio. Para todo ε>0\varepsilon > 0, a partir de algum NN, n2<(1+ε)n⋅2n/(1+ε)nn^2 < (1 + \varepsilon)^n \cdot 2^n / (1+\varepsilon)^n, e a estimação fecha.
  20. Ex. 9.20Application

    Calcule lim⁡n→∞(n−1)2(n+1)2\lim_{n\to\infty} \dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 28
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    Divida numerador e denominador por n2n^2: (n−1)2(n+1)2=(1−1/n)2(1+1/n)2→1212=1\frac{(n-1)^2}{(n+1)^2} = \frac{(1-1/n)^2}{(1+1/n)^2} \to \frac{1^2}{1^2} = 1.
  21. Ex. 9.21ApplicationAnswer key

    Calcule lim⁡n→∞nn+1\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 29
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    Divida por nn: nn+1=11+1/n→11=1\frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + 1/n} \to \frac{1}{1} = 1.
  22. Ex. 9.22Challenge

    Calcule lim⁡n→∞n1/n\lim_{n\to\infty} n^{1/n}. (Dica: escreva n1/n=e(ln⁡n)/nn^{1/n} = e^{(\ln n)/n}.)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 30
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    Escreva n1/n=e(ln⁡n)/nn^{1/n} = e^{(\ln n)/n}. Como ln⁡nn→0\frac{\ln n}{n} \to 0 (por L'Hôpital ou confronto), segue n1/n=e(ln⁡n)/n→e0=1n^{1/n} = e^{(\ln n)/n} \to e^0 = 1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reescreva: n1/n=e(1/n)ln⁡nn^{1/n} = e^{(1/n)\ln n}.
    2. Calcule lim⁡n→∞ln⁡nn=0\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0 (pelo critério da derivada: (ln⁡x)′/(x)′=1/x→0(\ln x)' / (x)' = 1/x \to 0).
    3. Por continuidade da exponencial: lim⁡e(ln⁡n)/n=e0=1\lim e^{(\ln n)/n} = e^0 = 1.
  23. Ex. 9.23Understanding

    Para a sequência an=n/2na_n = n/2^n (n≥2n \geq 2), determine se é limitada e se é eventualmente monótona.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 31
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    Temos an=n/2na_n = n/2^n. É limitada pois converge para 0. Para monotonicidade, calcule an+1/an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12na_{n+1}/a_n = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}. Para n≥2n \geq 2: n+12n<1\frac{n+1}{2n} < 1, então a sequência é decrescente para n≥2n \geq 2.
  24. Ex. 9.24Understanding

    Para a sequência an=ln⁡ ⁣(1+1n)a_n = \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right), determine se é limitada e se é monótona.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 32
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    Temos an=ln⁡(1+1/n)a_n = \ln(1 + 1/n). É positiva e an→0a_n \to 0, logo limitada. Como 1+1/n1 + 1/n é decrescente em nn e ln⁡\ln é crescente, a sequência ln⁡(1+1/n)\ln(1+1/n) é decrescente.
  25. Ex. 9.25Understanding

    Para a sequência an=n1/na_n = n^{1/n} (n≥3n \geq 3), determine se é limitada e se é eventualmente monótona.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 35
    Show solution
    Temos an=n1/na_n = n^{1/n} para n≥3n \geq 3. É limitada pois n1/n→1n^{1/n} \to 1 e para valores iniciais n1/n≤31/3≈1,44n^{1/n} \leq 3^{1/3} \approx 1{,}44. É decrescente para n≥3n \geq 3, pois a função x1/xx^{1/x} tem máximo em x=ex = e.
  26. Ex. 9.26Challenge

    Determine se a sequência a1=2,  a2=22,  a3=222,…a_1 = \sqrt{2},\; a_2 = \sqrt{2\sqrt{2}},\; a_3 = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},\ldots tem limite e, em caso afirmativo, encontre-o.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 38
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    Defina a1=2,  a2=22,  a3=222,…a_1 = \sqrt{2},\; a_2 = \sqrt{2\sqrt{2}},\; a_3 = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},\ldots A sequência satisfaz an+1=2ana_{n+1} = \sqrt{2 a_n}. É crescente e limitada superiormente por 2. Se L=lim⁡anL = \lim a_n, então L=2LL = \sqrt{2L}, logo L2=2LL^2 = 2L, portanto L=2L = 2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a recorrência: a1=2a_1 = 2, an+1=2ana_{n+1} = \sqrt{2 a_n}.
    2. Prove por indução que an<2a_n < 2 para todo nn.
    3. Prove que (an)(a_n) é crescente: an+12−an2=2an−an2=an(2−an)>0a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2a_n - a_n^2 = a_n(2-a_n) > 0.
    4. Pelo Teorema da Sequência Monótona, L=lim⁡anL = \lim a_n existe. Tomando limites: L=2L⇒L=2L = \sqrt{2L} \Rightarrow L = 2.
  27. Ex. 9.27Application

    Calcule lim⁡n→∞nsin⁡(1/n)\lim_{n\to\infty} n\sin(1/n).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 40
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    Pelo limite fundamental lim⁡t→0sin⁡tt=1\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t} = 1 com t=1/n→0t = 1/n \to 0: nsin⁡(1/n)=sin⁡(1/n)1/n→1n\sin(1/n) = \frac{\sin(1/n)}{1/n} \to 1.
  28. Ex. 9.28Application

    Calcule lim⁡n→∞cos⁡(1/n)−11/n\lim_{n\to\infty} \dfrac{\cos(1/n) - 1}{1/n}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 41
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    Escreva an=cos⁡(1/n)−11/na_n = \frac{\cos(1/n) - 1}{1/n}. Com t=1/n→0t = 1/n \to 0: cos⁡t−1t→0\frac{\cos t - 1}{t} \to 0 (pois cos⁡t−1∼−t2/2\cos t - 1 \sim -t^2/2 próximo de 0, logo a razão ∼−t/2→0\sim -t/2 \to 0).
  29. Ex. 9.29Application

    Determine o comportamento da sequência an=n!nna_n = \dfrac{n!}{n^n}. Converge? (Dica: analise a razão an+1/ana_{n+1}/a_n.)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 42
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    Temos an=n!/nna_n = n!/n^n. Analise a razão: an+1an=(n+1)!(n+1)n+1⋅nnn!=nn(n+1)n=(nn+1)n=(1−1n+1)n→e−1<1\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} < 1. Logo an→0a_n \to 0.
  30. Ex. 9.30Application

    Calcule lim⁡n→∞arctan⁡(n2)\lim_{n\to\infty} \arctan(n^2).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 46
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    Temos an=arctan⁡(n2)a_n = \arctan(n^2). Como n2→+∞n^2 \to +\infty e arctan⁡\arctan é contínua e crescente com lim⁡x→+∞arctan⁡x=π/2\lim_{x\to+\infty}\arctan x = \pi/2, segue an→π/2a_n \to \pi/2.

Fontes

Updated on 2026-05-20 · Author(s): Clube da Matemática

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