Clube da Matemática

Mapa da Unidade 1

Síntese teórica — Unidade 1

Fundação numérica (L1):

$\mathbb{R}$ é completo: todo conjunto não-vazio limitado superiormente tem supremo.
Consequência: sequências monótonas limitadas convergem.

Limite de função (L2–L5):

Definição ε-δ: $\lim_{x\to a}f(x)=L \iff \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$ .
Álgebra: soma, produto, quociente (com denominador $\neq 0$ ), raiz.
Técnicas: fatoração, racionalização, Confronto.
Limites fundamentais: $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$ , $(1+1/n)^n\to e$ , $\dfrac{e^x-1}{x}\to 1$ .
Limites no infinito e assíntotas (L5): grau dominante, divisão polinomial.

Continuidade (L6):

Três condições: $f(a)$ existe, limite existe, iguais.
Tipos de descontinuidade: removível, salto, essencial.
Álgebra e composição preservam continuidade.

Teoremas estruturais (L7–L8):

TVI: $f$ contínua em $[a,b]$ + $f(a)\cdot f(b)<0$ → zero em $(a,b)$ .
Weierstrass: $f$ contínua em $[a,b]$ → atinge máximo e mínimo absolutos.

Sequências (L9):

Convergência ε-N; álgebra de limites.
Monótona limitada converge; Bolzano-Weierstrass; Cauchy $\iff$ convergente (em $\mathbb{R}$ ).

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 7Modeling 2Challenge 1

Ex. 10.1ApplicationAnswer key
Usando as leis de limites, calcule $\lim_{x \to 0}(4x^2 - 2x + 3)$ .
Select the correct option
$3$ $-2$ $4$ Não existe
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 83
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Substituição direta: $4(0)^2 - 2(0) + 3 = 3$ .
Ex. 10.2Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 + 3x^2 + 5}{4 - 7x}$ .
Select the correct option
$-3$ $3$ $9$ $\dfrac{9}{3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 84
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Substituição direta em $x=1$ : numerador $1+3+5=9$ , denominador $4-7=-3$ . Logo $9/(-3) = -3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Avalie numerador em $x=1$ : $1^3 + 3(1)^2 + 5 = 9$ .
2. Avalie denominador em $x=1$ : $4 - 7(1) = -3$ .
3. Resultado: $9/(-3) = -3$ .
Ex. 10.3Application
Calcule $\lim_{x \to -2}(x^2 - 6x + 3)$ pelas leis de limites.
Select the correct option
$19$ $-5$ $7$ $15$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 85
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Substituição direta: $(-2)^2 - 6(-2) + 3 = 4 + 12 + 3 = 19$ .
Ex. 10.4Application
Calcule $\lim_{x \to -1}(9x + 1)^2$ .
Select the correct option
$64$ $4$ $-8$ $16$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 86
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Substituição direta: $9(-1)+1 = -8$ , logo $(-8)^2 = 64$ .
Ex. 10.5Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{1 + \sin x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ Não existe $\dfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 89
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Substituição direta: $\frac{1}{1 + \sin 0} = \frac{1}{1+0} = 1$ .
Ex. 10.6ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 2}(e^{2x} - x^2)$ .
Select the correct option
$e^4 - 4$ $e^4$ $e^2 - 4$ $0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 90
Show solution
Substituição direta: $e^{2 \cdot 2} - 2^2 = e^4 - 4$ .
Ex. 10.7Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{2 - 7x}{x + 6}$ .
Select the correct option
$-\dfrac{5}{7}$ $\dfrac{5}{7}$ $\dfrac{2}{7}$ $-\dfrac{1}{7}$
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 91
Show solution
Substituição direta: $\frac{2 - 7(1)}{1 + 6} = \frac{-5}{7}$ .
Ex. 10.8Application
Calcule $\lim_{x \to 3} \ln(e^{3x})$ .
Select the correct option
$9$ $3$ $e^9$ $\ln 9$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 92
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Use $\ln(e^u) = u$ : $\lim_{x \to 3} \ln(e^{3x}) = \lim_{x \to 3} 3x = 9$ .
Ex. 10.9Application
Calcule $\lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
Select the correct option
$8$ $0$ $\dfrac{0}{0}$ $4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 93
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Forma $0/0$ : fatorar. $\frac{x^2-16}{x-4} = \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x+4 \to 4+4 = 8$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Substituição direta em $x=4$ dá $0/0$ (forma indeterminada).
2. Fatore o numerador: $x^2-16 = (x-4)(x+4)$ .
3. Cancele $(x-4)$ : limite de $x+4$ quando $x \to 4$ é 8.
Ex. 10.10Application
Calcule $\lim_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{x^2 - 2x}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}$ $1$ $0$ $-\dfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 94
Show solution
Fatorar denominador: $x^2 - 2x = x(x-2)$ . Então $\frac{x-2}{x(x-2)} = \frac{1}{x} \to \frac{1}{2}$ .
Ex. 10.11Application
Calcule $\lim_{x \to 6} \dfrac{3x - 18}{2x - 12}$ .
Select the correct option
$\dfrac{3}{2}$ $0$ $3$ $\dfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 95
Show solution
Fatorar: $\frac{3(x-6)}{2(x-6)} = \frac{3}{2}$ para $x \neq 6$ . Logo o limite é $3/2$ .
Ex. 10.12Application
Calcule $\lim_{h \to 0} \dfrac{(1+h)^2 - 1}{h}$ .
Select the correct option
$2$ $1$ $0$ $\dfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 96
Show solution
Expandir: $\frac{(1+h)^2-1}{h} = \frac{1+2h+h^2-1}{h} = 2+h \to 2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Expanda $(1+h)^2 = 1 + 2h + h^2$ .
2. Subtraia 1: numerador fica $2h + h^2 = h(2+h)$ .
3. Cancele $h$ : limite de $2+h$ quando $h \to 0$ é 2.
Ex. 10.13Application
Calcule $\lim_{t \to 9} \dfrac{t - 9}{\sqrt{t} - 3}$ .
Select the correct option
$6$ $3$ $0$ $\dfrac{1}{6}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 97
Show solution
Racionalizar: $\frac{t-9}{\sqrt{t}-3} \cdot \frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3} = \frac{(t-9)(\sqrt{t}+3)}{t-9} = \sqrt{t}+3 \to 6$ .
Ex. 10.14ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ .
Select the correct option
$\dfrac{3}{2}$ $1$ $3$ $\dfrac{2}{3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 100
Show solution
Fatorar: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ e $x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Logo $\frac{x^2+x+1}{x+1} \to \frac{3}{2}$ .
Ex. 10.15Application
Calcule $\lim_{x \to 1/2} \dfrac{2x^2 + 3x - 2}{2x - 1}$ .
Select the correct option
$\dfrac{5}{2}$ $2$ $0$ $\dfrac{3}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 101
Show solution
Fatorar numerador: $2x^2+3x-2 = (2x-1)(x+2)$ . Logo $\frac{(2x-1)(x+2)}{2x-1} = x+2 \to \frac{1}{2}+2 = \frac{5}{2}$ .
Ex. 10.16Application
Calcule $\lim_{x \to -3} \dfrac{\sqrt{x+4} - 1}{x + 3}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}$ $1$ $0$ $-\dfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 102
Show solution
Racionalizar: $\frac{\sqrt{x+4}-1}{x+3} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+1}{\sqrt{x+4}+1} = \frac{x+3}{(x+3)(\sqrt{x+4}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+4}+1} \to \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}$ .
Ex. 10.17Understanding
Dados $\lim_{x \to 6} f(x) = 4$ , $\lim_{x \to 6} g(x) = 9$ e $\lim_{x \to 6} h(x) = 6$ , calcule $\lim_{x \to 6} 2f(x)g(x)$ .
Select the correct option
$72$ $36$ $13$ $8$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 107
Show solution
Pelas leis de limites: $\lim 2f(x)g(x) = 2 \cdot 4 \cdot 9 = 72$ .
Ex. 10.18Understanding
Dados os mesmos limites do exercício anterior, calcule $\lim_{x \to 6} \dfrac{g(x) - 1}{f(x)}$ .
Select the correct option
$2$ $\dfrac{9}{4}$ $\dfrac{8}{9}$ $\dfrac{1}{4}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 108
Show solution
$\lim_{x \to 6} \frac{g(x)-1}{f(x)} = \frac{9-1}{4} = 2$ .
Ex. 10.19Understanding
Dados os mesmos limites, calcule $\lim_{x \to 6}\!\left(f(x) + \dfrac{1}{3}g(x)\right)$ .
Select the correct option
$7$ $6$ $4$ $3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 109
Show solution
$\lim_{x \to 6}\left(f(x) + \tfrac{1}{3}g(x)\right) = 4 + \tfrac{1}{3}\cdot 9 = 4 + 3 = 7$ .
Ex. 10.20UnderstandingAnswer key
Dados os mesmos limites, calcule $\lim_{x \to 6} [h(x)]^{3/2}$ .
Select the correct option
$6\sqrt{6}$ $6$ $\sqrt{6}$ $216$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · ex. 110
Show solution
$\lim_{x \to 6} [h(x)]^{3/2} = 6^{3/2} = 6 \cdot \sqrt{6}$ .
Ex. 10.21Understanding
Determine e classifique a descontinuidade de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .
Select the correct option
Infinita em $x = 0$ Removível em $x = 0$ De salto em $x = 0$ Contínua em todo $\mathbb{R}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 131
Show solution
$f(x) = 1/x$ não está definida em $x=0$ e $\lim_{x \to 0} 1/x = \pm\infty$ : descontinuidade infinita.
Ex. 10.22Understanding
Determine e classifique as descontinuidades de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - x}$ .
Select the correct option
Removível em $x = 0$ e infinita em $x = 1$ Infinita em $x = 0$ e removível em $x = 1$ De salto em $x = 0$ e $x = 1$ Contínua em todo $\mathbb{R}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 133
Show solution
Fatorar: $\frac{x}{x^2-x} = \frac{x}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1}$ para $x \neq 0$ . Em $x=0$ : limite $= -1$ (finito), mas $f(0)$ é indefinida: descontinuidade removível. Em $x=1$ : $1/(x-1) \to \infty$ , descontinuidade infinita.
Show step-by-step (with the why)
1. Fatorar: $x^2-x = x(x-1)$ .
2. Em $x=0$ : lim $_{x\to 0}\frac{x}{x(x-1)} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{x-1} = -1$ (finito, $f(0)$ indefinida): descontinuidade removível.
3. Em $x=1$ : $1/(x-1) \to \infty$ : descontinuidade infinita.
Ex. 10.23UnderstandingAnswer key
Determine e classifique a descontinuidade de $f(x) = \dfrac{|x-2|}{x-2}$ .
Select the correct option
De salto em $x = 2$ Removível em $x = 2$ Infinita em $x = 2$ Contínua em $x = 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 136
Show solution
Para $x \neq 2$ : $\frac{|x-2|}{x-2} = \pm 1$ . Limite pela esquerda é $-1$ , pela direita é $1$ . Limites laterais distintos: descontinuidade de salto.
Ex. 10.24Application
Classifique a descontinuidade de $f(x) = \dfrac{2x^2 - 5x + 3}{x - 1}$ no ponto indicado.
Select the correct option
Removível em $x = 1$ Infinita em $x = 1$ De salto em $x = 1$ Contínua em $x = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 139
Show solution
Fatorar: $\frac{2x^2-5x+3}{x-1} = \frac{(2x-3)(x-1)}{x-1} = 2x-3$ . Limite em $x=1$ é $-1$ , mas $f(1)$ é indefinida: descontinuidade removível.
Ex. 10.25ApplicationAnswer key
Seja $g(u) = \begin{cases} \dfrac{6u^2+u-2}{2u-1} & u \neq \tfrac{1}{2} \\ \dfrac{7}{2} & u = \tfrac{1}{2} \end{cases}$ . Classifique a função em $u = \tfrac{1}{2}$ .
Select the correct option
Contínua em $u = \tfrac{1}{2}$ Removível em $u = \tfrac{1}{2}$ De salto em $u = \tfrac{1}{2}$ Infinita em $u = \tfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 141
Show solution
Para $u \neq 1/2$ : $\frac{6u^2+u-2}{2u-1} = \frac{(2u-1)(3u+2)}{2u-1} = 3u+2$ . Limite em $1/2$ : $3(1/2)+2 = 7/2$ . O valor dado é $g(1/2) = 7/2$ . Limite = valor: contínua.
Ex. 10.26ApplicationAnswer key
Determine o valor de $k$ que torna $f(x) = \begin{cases} 3x+2, & x < k \\ 2x-3, & k \leq x \leq 8 \end{cases}$ contínua.
Select the correct option
$k = 5$ $k = -5$ $k = 1$ $k = 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 145
Show solution
Continuidade em $x=k$ requer $3k+2 = 2k-3$ , logo $k=5$ .
Ex. 10.27Application
Determine $k$ tal que $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+3x+2}{x+2}, & x \neq -2 \\ k, & x = -2 \end{cases}$ seja contínua em $x=-2$ .
Select the correct option
$k = -1$ $k = 1$ $k = 2$ $k = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 147
Show solution
Para $x \neq -2$ : $\frac{x^2+3x+2}{x+2} = \frac{(x+2)(x+1)}{x+2} = x+1$ . Logo $\lim_{x \to -2} f(x) = -2+1 = -1$ . Para continuidade, $k = -1$ .
Ex. 10.28Modeling
Seja $h(x) = \begin{cases} 3x^2-4, & x \leq 2 \\ 5+4x, & x > 2 \end{cases}$ . No intervalo $[0,4]$ , existe algum valor de $x$ onde $h(x) = 0$ ? Use o TVI.
Select the correct option
Sim: $h$ é contínua em $[0,2]$ com $h(0)=-4$ e $h(2)=8$ , portanto pelo TVI existe $c \in (0,2)$ com $h(c)=0$ Não, $h$ tem descontinuidade em $x=2$ portanto o TVI não se aplicaNão há informação suficienteSim, porque $h(4) = 21 > 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 150
Show solution
Em $[0,2]$ , $h(x) = 3x^2-4$ é contínua. $h(0) = -4 < 0$ e $h(2) = 8 > 0$ . Pelo TVI, existe $c \in (0,2)$ com $h(c)=0$ . Obs: em $x=2$ há descontinuidade de salto, mas isso não afeta o TVI em $[0,2]$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $h(0) = 3(0)^2-4 = -4$ e $h(2) = 3(4)-4 = 8$ .
2. Como $h$ é contínua em $[0,2]$ e $h(0)\cdot h(2) < 0$ , existe $c \in (0,2)$ com $h(c)=0$ .
3. Em $x=2$ : limites laterais diferem, então $h$ tem descontinuidade de salto ali.
Ex. 10.29Modeling
Uma partícula tem posição $s(t)$ contínua com $s(2)=5$ e $s(5)=2$ . Existe um instante $t \in (2,5)$ com $s(t)=4$ ? Justifique.
Select the correct option
Sim, pelo TVI: $s(2)=5$ e $s(5)=2$ , logo existe $c \in (2,5)$ com $s(c)=4$ Não, pois $s$ pode ser qualquer contínuaNão há informação suficienteApenas se $s$ for monótona
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 151
Show solution
$s(2)=5$ e $s(5)=2$ . Como $s$ é contínua e $2 < 4 < 5$ , o TVI garante $c \in (2,5)$ com $s(c)=4$ .
Ex. 10.30Challenge
Aplique o TVI para determinar em qual dos intervalos $[1{,}25,\,1{,}375]$ ou $[1{,}375,\,1{,}5]$ a equação $2^x = x^3$ tem solução.
Select the correct option
$[1{,}25,,1{,}375]$ $[1{,}375,,1{,}5]$ Não tem solução em nenhum dos intervalos $[1{,}0,,1{,}25]$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 153
Show solution
Defina $g(x) = 2^x - x^3$ . Calcule: $g(1{,}25) = 2^{1{,}25} - 1{,}25^3 \approx 2{,}378 - 1{,}953 > 0$ e $g(1{,}375) \approx 2{,}593 - 2{,}600 < 0$ . Como $g$ é contínua e muda de sinal em $[1{,}25, 1{,}375]$ , o TVI garante solução nesse intervalo.
Show step-by-step (with the why)
1. Defina $g(x) = 2^x - x^3$ (zero de $g$ equivale a $2^x = x^3$ ).
2. Avalie $g(1{,}25) \approx 0{,}425 > 0$ e $g(1{,}375) \approx -0{,}007 < 0$ .
3. Como $g$ é contínua em $[1{,}25, 1{,}375]$ e muda de sinal, o TVI garante um zero nesse intervalo.

Lição 10 — Workshop: Limites e Continuidade

Mapa da Unidade 1

Síntese teórica — Unidade 1

Exercícios

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Fontes