v1 · padrão canônico

Lição 12 — Regras de derivação: soma, produto e quociente

Regras algébricas de derivação: constante, soma, produto (Leibniz), quociente e potência (x^n para n inteiro). Derivadas das funções polinomiais e racionais.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 2 · USP MAC0105 · ITA MA-011

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

A regra do produto de Leibniz diz que a derivada do produto não é o produto das derivadas. A fórmula $(fg)' = f'g + fg'$ tem uma interpretação geométrica elegante: se $f$ e $g$ são lados de um retângulo, a variação da área tem dois termos — o lado fixo vezes a variação do outro lado.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

As regras fundamentais de derivação

Theorem· Regras básicas

Sejam $f$ e $g$ diferenciáveis em $x$ , e $c \in \mathbb{R}$ constante.

Regra	Fórmula
Constante	$(c)' = 0$
Múltiplo constante	$(cf)' = cf'$
Soma	$(f+g)' = f'+g'$
Diferença	$(f-g)' = f'-g'$
Produto (Leibniz)	$(fg)' = f'g + fg'$
Quociente	$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ , $g(x)\neq 0$
Potência inteira	$(x^n)' = nx^{n-1}$ , $n\in\mathbb{Z}$

Prova da regra do produto:

$\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} = f(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Quando $h\to 0$ : $f(x+h)\to f(x)$ (continuidade) e os quocientes $\to g'(x)$ e $f'(x)$ . $\blacksquare$

Prova da regra do quociente:

Escreva $h = f/g$ , logo $f = hg$ . Pela regra do produto: $f' = h'g + hg'$ . Isolando $h'$ :

$h' = \frac{f' - hg'}{g} = \frac{f' - (f/g)g'}{g} = \frac{f'g - fg'}{g^2}.\quad\blacksquare$

Exemplos resolvidos

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 19Understanding 6Modeling 5

Ex. 12.1Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^7 + 10$ .
Select the correct option
$7x^6$ $7x^7$ $x^6 + 10$ $6x^5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 106
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Pela regra da potência, $(x^7)' = 7x^6$ e a derivada de constante é zero. Logo $f'(x) = 7x^6$ .
Ex. 12.2Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 5x^3 - x + 1$ .
Select the correct option
$15x^2 - 1$ $5x^2 - 1$ $15x^3 - x$ $15x^2 + 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 107
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Deriva-se termo a termo: $(5x^3)' = 15x^2$ , $(-x)' = -1$ , $(1)' = 0$ . Logo $f'(x) = 15x^2 - 1$ .
Ex. 12.3ApplicationAnswer key
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 4x^2 - 7x$ .
Select the correct option
$8x - 7$ $4x - 7$ $8x^2 - 7x$ $8x - 7x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 108
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$f'(x) = 8x - 7$ . A regra da potência dá $(4x^2)' = 8x$ e $(-7x)' = -7$ .
Ex. 12.4Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 8x^4 + 9x^2 - 1$ .
Select the correct option
$32x^3 + 18x$ $8x^4 + 9x^2$ $32x^3 - 18x$ $24x^2 + 18x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 109
Show solution
Deriva-se cada termo: $(8x^4)' = 32x^3$ , $(9x^2)' = 18x$ , $(-1)' = 0$ . Portanto $f'(x) = 32x^3 + 18x$ .
Ex. 12.5Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^4 + 2x$ .
Select the correct option
$4x^3 + 2$ $4x^3$ $4x^2 + 2$ $x^4 + 2x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 110
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$f'(x) = 4x^3 + 2$ . Aplica-se a regra da potência: $(x^4)' = 4x^3$ e $(2x)' = 2$ .
Ex. 12.6Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 3x(18x^4 + 13x + 1)$ .
Select the correct option
$270x^4 + 78x + 3$ $3(18x^4 + 13x + 1)$ $270x^4 + 39x + 3$ $270x^5 + 39x^2 + 3x$
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OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 111
Show solution
Expanda: $f(x) = 54x^5 + 39x^2 + 3x$ . Derivando: $f'(x) = 270x^4 + 78x + 3$ . Alternativamente, pela regra do produto com $u=3x$ e $v=18x^4+13x+1$ : $f' = 3v + 3xu' = 3(18x^4+13x+1)+3x(72x^3+13) = 54x^4+39x+3+216x^4+39x = 270x^4+78x+3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Expanda: $3x(18x^4+13x+1) = 54x^5+39x^2+3x$ .
2. Derive termo a termo: $(54x^5)'=270x^4$ , $(39x^2)'=78x$ , $(3x)'=3$ .
3. Resultado: $f'(x)=270x^4+78x+3$ .
Ex. 12.7Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = (x+2)(2x^2-3)$ .
Select the correct option
$6x^2 + 8x - 3$ $4x^2 + 8x$ $6x^2 - 3$ $2x^2 + 8x - 3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 112
Show solution
Expanda: $f(x)=(x+2)(2x^2-3)=2x^3-3x+4x^2-6=2x^3+4x^2-3x-6$ . Derivando: $f'(x)=6x^2+8x-3$ .
Ex. 12.8Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^2(2x^2 + 5x^3)$ .
Select the correct option
$4x^3 + 5x^4$ $8x^3 + 25x^4$ $4x + 25x^4$ $2x(2x^2+5x^3)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 113
Show solution
Expanda: $x^2(2x^2+5x^3)=2x^4+5x^5$ . Derivando: $f'(x)=8x^3+25x^4$ .
Ex. 12.9Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{x^2+4}{x^2-4}$ .
Select the correct option
$\dfrac{-8}{x^2}$ $\dfrac{8x(x^2-4) - (x^2+4)\cdot 2x}{(x^2-4)^2}$ $\dfrac{-16x}{(x^2-4)^2}$ $\dfrac{2x}{x^2-4}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 116
Show solution
Pela regra do quociente com numerador $u=x^2+4$ e denominador $v=x^2-4$ : $f'=\frac{2x(x^2-4)-(x^2+4)\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\frac{2x^3-8x-2x^3-8x}{(x^2-4)^2}=\frac{-16x}{(x^2-4)^2}$ .
Ex. 12.10Application
Encontre a equação da reta tangente $T(x)$ ao gráfico de $y = 3x^2 + 4x + 1$ no ponto $(0,1)$ .
Select the correct option
$T(x) = 4x + 1$ $T(x) = 4x - 1$ $T(x) = 6x + 1$ $T(x) = 10x - 9$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 118
Show solution
$f'(x)=6x+4$ . Em $x=0$ : inclinação $f'(0)=4$ , ponto $(0,1)$ . Reta tangente: $T(x)=4x+1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $f'(x)=(3x^2+4x+1)'=6x+4$ .
2. Avalie em $x=0$ : inclinação $m=f'(0)=4$ .
3. Ponto de tangência: $f(0)=1$ , logo ponto $(0,1)$ .
4. Equação: $T(x)=4(x-0)+1=4x+1$ .
Ex. 12.11Application
Encontre a equação da reta tangente $T(x)$ ao gráfico de $y = 2x^2 + 1$ no ponto $(1,3)$ .
Select the correct option
$T(x) = 4x - 1$ $T(x) = 4x + 1$ $T(x) = 2x + 1$ $T(x) = 4x - 3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 119
Show solution
$f'(x)=4x$ . Em $x=1$ : inclinação $m=4$ , ponto $(1,3)$ . Reta tangente: $T(x)=4(x-1)+3=4x-1$ .
Ex. 12.12Application
Encontre a equação da reta tangente a $y = \dfrac{2x}{x-1}$ no ponto $(-1, 1)$ .
Select the correct option
$T(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$ $T(x) = -x + 1$ $T(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$ $T(x) = -2x - 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 120
Show solution
Pela regra do quociente: $f'(x)=\frac{2(x-1)-2x}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$ . Em $x=-1$ : $m=f'(-1)=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$ , ponto $(-1,1)$ . Reta: $T(x)=-\frac{1}{2}(x+1)+1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ .
Ex. 12.13Understanding
Sejam $f$ e $g$ diferenciáveis. Qual é $h'(x)$ para $h(x) = 4f(x) + \dfrac{g(x)}{7}$ ?
Select the correct option
$h'(x) = 4f'(x) + \dfrac{g'(x)}{7}$ $h'(x) = 4f(x) + g(x)$ $h'(x) = 4f'(x) \cdot g'(x)$ $h'(x) = f'(x) + 7g'(x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 122
Show solution
Pelas regras de soma e múltiplo constante: $h'(x)=(4f(x))'+\left(\frac{g(x)}{7}\right)'=4f'(x)+\frac{1}{7}g'(x)$ .
Ex. 12.14Understanding
Sejam $f$ e $g$ diferenciáveis. Qual é $h'(x)$ para $h(x) = x^3 f(x)$ ?
Select the correct option
$h'(x) = 3x^2 f(x) + x^3 f'(x)$ $h'(x) = 3x^2 f'(x)$ $h'(x) = x^3 f'(x)$ $h'(x) = 3x^2 f(x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 123
Show solution
Pela regra do produto com $u=x^3$ e $v=f(x)$ : $h'(x)=(x^3)'f(x)+x^3f'(x)=3x^2f(x)+x^3f'(x)$ .
Ex. 12.15UnderstandingAnswer key
Sejam $f$ e $g$ diferenciáveis. Qual é $h'(x)$ para $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)^2}$ ?
Select the correct option
$h'(x) = \dfrac{f'(x)g(x)^2 - f(x) \cdot 2g(x)g'(x)}{g(x)^4}$ $h'(x) = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ $h'(x) = f'(x)g(x)^2 + 2f(x)g(x)g'(x)$ $h'(x) = \dfrac{f'(x)}{g(x)^2} - \dfrac{2f(x)g'(x)}{g(x)^3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 124
Show solution
Escreva $h(x)=f(x)\cdot [g(x)]^{-2}$ e use a regra do produto: $h'=f'g^{-2}+f(-2g^{-3}g')=\frac{f'}{g^2}-\frac{2fg'}{g^3}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva: $h(x)=f(x)/g(x)^2=f(x)\cdot g(x)^{-2}$ .
2. Produto: $h'=f'\cdot g^{-2}+f\cdot (-2)g^{-3}g'$ .
3. Simplifica: $h'=\frac{f'}{g^2}-\frac{2fg'}{g^3}$ .
Ex. 12.16ApplicationAnswer key
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 5x - 3$ em $x = -1$ .
Select the correct option
$y = -7x - 3$ $y = -7x + 4$ $y = 7x + 3$ $y = -7x + 3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 137
Show solution
$f'(x)=6x^2+8x-5$ . Em $x=-1$ : $f(-1)=2(-1)+4(1)+5-3=4$ e $f'(-1)=6-8-5=-7$ . Reta tangente: $y=-7(x+1)+4=-7x-3$ .
Ex. 12.17Application
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = x^2 + 4x - 10$ em $x = 8$ .
Select the correct option
$y = 20x - 74$ $y = 20x - 86$ $y = 20x + 74$ $y = 16x - 42$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 138
Show solution
$f'(x)=2x+4$ . Em $x=8$ : $m=f'(8)=20$ e $f(8)=64+32-10=86$ . Reta tangente: $y=20(x-8)+86=20x-160+86=20x-74$ .
Ex. 12.18Application
Encontre o ponto no gráfico de $f(x) = x^3$ tal que a reta tangente nesse ponto tenha intercepto em $x = 6$ .
Select the correct option
$(9, 729)$ $(3, 27)$ $(6, 216)$ $(2, 8)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 140
Show solution
A tangente em $(a, a^3)$ tem inclinação $3a^2$ e equação $y - a^3 = 3a^2(x-a)$ . Intercepto em $x=6$ (ou seja, $y=0$ ): $-a^3=3a^2(6-a)=18a^2-3a^3$ , logo $2a^3=18a^2$ , ou seja $a=9$ (descartando $a=0$ ). O ponto é $(9,729)$ .
Ex. 12.19Understanding
Determine todos os valores de $x$ para os quais a tangente ao gráfico de $f(x) = x^3 + x^2 - x - 1$ é horizontal.
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$x = \dfrac{1}{3}$ e $x = -1$ $x = 0$ e $x = 1$ $x = 1$ e $x = -1$ $x = -\dfrac{1}{3}$ e $x = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 142
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Tangente horizontal quando $f'(x)=0$ . $f'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)\cdot\frac{1}{1}$ . Fatorando: $3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)=0$ . Logo $x=1/3$ ou $x=-1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x)=3x^2+2x-1$ .
2. Resolva $3x^2+2x-1=0$ : discriminante $\Delta=4+12=16$ .
3. $x=\frac{-2\pm 4}{6}$ , logo $x=1/3$ ou $x=-1$ .
Ex. 12.20Understanding
Encontre o polinômio quadrático $f(x)$ tal que $f(1)=5$ , $f'(1)=3$ e $f''(1)=-6$ .
Select the correct option
$f(x) = -3x^2 + 9x - 1$ $f(x) = -3x^2 + 3x + 5$ $f(x) = 3x^2 - 9x + 5$ $f(x) = 3x^2 + 9x - 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 143
Show solution
Para $f(x)=ax^2+bx+c$ : $f(1)=a+b+c=5$ , $f'(x)=2ax+b$ logo $f'(1)=2a+b=3$ , e $f''(x)=2a=-6$ dando $a=-3$ . Então $b=3-2(-3)=9$ e $c=5-(-3)-9=-1$ . Logo $f(x)=-3x^2+9x-1$ .
Ex. 12.21Modeling
Um carro percorre $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros em $t$ segundos. Determine os instantes em que a velocidade é zero e a aceleração nesses instantes.
Select the correct option
$t = 1$ s e $t = 3$ s; acelerações $-6$ m/s² e $+6$ m/s² respectivamente $t = 2$ s; aceleração $= 0$ m/s² $t = 1$ s e $t = 3$ s; aceleração $= 0$ em ambos $t = 3$ s; aceleração $= -6$ m/s²
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 144
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Velocidade: $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$ . Zeros: $t=1$ e $t=3$ . Aceleração: $a(t)=v'(t)=6t-12$ . Em $t=1$ : $a(1)=-6$ m/s². Em $t=3$ : $a(3)=6$ m/s².
Show step-by-step (with the why)
1. Velocidade: $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$ .
2. Resolva $v(t)=0$ : $3(t-1)(t-3)=0$ , logo $t=1$ e $t=3$ .
3. Aceleração: $a(t)=6t-12$ . Em $t=1$ : $a=-6$ m/s².
Ex. 12.22Modeling
Um arenque nada em linha reta percorrendo $s(t) = \dfrac{t^2}{t^2+2}$ pés em $t$ segundos. Qual é a velocidade do arenque em $t=3$ s?
Select the correct option
$\dfrac{12}{121}$ pés/s $\dfrac{1}{3}$ pés/s $\dfrac{6}{11}$ pés/s $\dfrac{9}{11}$ pés/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 145
Show solution
Pela regra do quociente com $u=t^2$ e $v=t^2+2$ : $s'(t)=\frac{2t(t^2+2)-t^2\cdot 2t}{(t^2+2)^2}=\frac{4t}{(t^2+2)^2}$ . Em $t=3$ : $s'(3)=\frac{12}{121}$ pés/s $\approx 0{,}099$ pés/s.
Ex. 12.23Modeling
Um editor tem custo por livro $C(x) = \dfrac{x^3+2x+3}{x^2}$ dólares, onde $x$ é o número de cópias em milhares. O que mede $C'(2)$ ?
Select the correct option
O custo por livro cai US\$ 0,125 por cada milhar de cópias a maisO custo por livro sobe US\$ 0,125 por cada milhar de cópias a maisO custo total aumenta US\$ 2,00 por cópiaO custo por livro é US\ $3,50 em$ x=2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 148
Show solution
Com $C(x)=\frac{x^3+2x+3}{x^2}$ , pela regra do quociente: $C'(x)=\frac{(3x^2+2)x^2-(x^3+2x+3)\cdot 2x}{x^4}=\frac{x^3-2x-6}{x^4}$ . Em $x=2$ : $C'(2)=\frac{8-4-6}{16}=-\frac{1}{8}=-0{,}125$ dólares por milhar. O custo por livro está diminuindo à taxa de US\$ 0,125 por cada mil cópias a mais.
Ex. 12.24ModelingAnswer key
A força gravitacional entre dois corpos é $F = \dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$ . Calcule $\dfrac{dF}{dd}$ , a taxa de variação da força com a distância.
Select the correct option
$\dfrac{dF}{dd} = -\dfrac{2Gm_1m_2}{d^3}$ $\dfrac{dF}{dd} = \dfrac{2Gm_1m_2}{d^3}$ $\dfrac{dF}{dd} = -\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$ $\dfrac{dF}{dd} = \dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 149
Show solution
Escreva $F=Gm_1m_2\cdot d^{-2}$ . Pela regra da potência: $\frac{dF}{dd}=Gm_1m_2\cdot(-2)d^{-3}=-\frac{2Gm_1m_2}{d^3}$ . O sinal negativo indica que a força diminui à medida que a distância aumenta.
Ex. 12.25Application
Calcule a derivada de $y = \sqrt[9]{x}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{9}x^{-8/9}$ $9x^8$ $\dfrac{1}{9}x^{9}$ $x^{1/9}$
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Solve online Active Calculus · §2.1 · ex. 1
Show solution
Reescreva: $y=x^{1/9}$ . Pela regra da potência: $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{9}x^{1/9-1}=\frac{1}{9}x^{-8/9}$ .
Ex. 12.26ApplicationAnswer key
Encontre todos os valores de $x$ para os quais $f'(x)=0$ , sendo $f(x) = x^3 + 6x^2 - 36x + 24$ .
Select the correct option
$x = 2$ e $x = -6$ $x = -2$ e $x = 6$ $x = 0$ e $x = 4$ $x = 3$ e $x = 9$
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Solve online Active Calculus · §2.1 · ex. 2
Show solution
$f'(x)=3x^2+12x-36=3(x^2+4x-12)=3(x+6)(x-2)$ . Zeros: $x=-6$ e $x=2$ . Mas $f(x)=x^3+6x^2-36x+24$ . Verificar: $f'(x)=3x^2+12x-36=0$ implica $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)=0$ , logo $x=2$ ou $x=-6$ .
Ex. 12.27Application
Calcule a derivada de $f(t) = \dfrac{t^3 + t^4 - 1}{t^5}$ .
Select the correct option
$f'(t) = -\dfrac{2}{t^3} - \dfrac{1}{t^2} + \dfrac{5}{t^6}$ $f'(t) = \dfrac{3}{t^2} + \dfrac{4}{t}$ $f'(t) = -\dfrac{2}{t^3} + \dfrac{1}{t^2}$ $f'(t) = \dfrac{3t^2+4t^3}{t^5}$
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Solve online Active Calculus · §2.1 · ex. 3
Show solution
Simplifica: $f(t)=\frac{t^3+t^4-1}{t^5}=t^{-2}+t^{-1}-t^{-5}$ . Derivando: $f'(t)=-2t^{-3}-t^{-2}+5t^{-6}$ . Ou seja $f'(t)=-\frac{2}{t^3}-\frac{1}{t^2}+\frac{5}{t^6}$ .
Ex. 12.28ApplicationAnswer key
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=3x^3-3x^2+14$ no ponto $(3,68)$ .
Select the correct option
$y = 63x - 121$ $y = 63x - 120$ $y = 27x + 14$ $y = 63x + 121$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.1 · ex. 4
Show solution
$f'(x)=9x^2-6x$ . Em $x=3$ : $m=f'(3)=81-18=63$ e $f(3)=81-27+14=68$ . Reta tangente: $y=63(x-3)+68=63x-189+68=63x-121$ .
Ex. 12.29UnderstandingAnswer key
Sejam $f$ e $g$ diferenciáveis com $f(2)=5$ , $g(2)=-3$ , $f'(2)=-1/2$ , $g'(2)=2$ . Defina $h(x)=3f(x)-4g(x)$ . Calcule $h(2)$ e $h'(2)$ e diga se $h$ é crescente ou decrescente em $x=2$ .
Select the correct option
$h(2) = 27$ , $h'(2) = -19/2$ ; decrescente $h(2) = 27$ , $h'(2) = 19/2$ ; crescente $h(2) = 15$ , $h'(2) = 7/2$ ; crescente $h(2) = 27$ , $h'(2) = -7/2$ ; decrescente
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.1 · ex. 8
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Com $f(2)=5$ , $g(2)=-3$ , $f'(2)=-1/2$ , $g'(2)=2$ . $h(x)=3f(x)-4g(x)$ . $h(2)=3(5)-4(-3)=15+12=27$ . $h'(2)=3f'(2)-4g'(2)=3(-1/2)-4(2)=-3/2-8=-19/2$ . Como $h'(2) < 0$ , $h$ é decrescente em $x=2$ .
Ex. 12.30Modeling
Um fazendeiro usa $A(0)=7000$ acres e obtém $Y(0)=170$ bushels/acre de milho. A área cresce a $A'(0)=600$ acres/ano e o rendimento cresce a $Y'(0)=8$ bushels/acre/ano. Se $C(t)=A(t)\cdot Y(t)$ é a produção total, qual é $C(0)$ ?
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$C(0) = 7000 \times 170 = 1{,}19 \times 10^6$ bushels $C(0) = 7000$ bushels $C(0) = 170$ bushels $C(0) = 7170$ bushels
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Solve online Active Calculus · §2.3 · ex. 14
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$C(t)=A(t)\cdot Y(t)$ . Em $t=0$ : $C(0)=7000\times 170=1{,}190{,}000$ bushels. Pela regra do produto: $C'(0)=A'(0)Y(0)+A(0)Y'(0)=600\times 170+7000\times 8=102{,}000+56{,}000=158{,}000$ bushels/ano.
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1. Fórmula: $C(t)=A(t)\cdot Y(t)$ (acres vezes bushels/acre).
2. Valor inicial: $C(0)=7000\times 170=1{,}190{,}000$ bushels.
3. Pela regra do produto: $C'(t)=A'Y+AY'$ .
4. $C'(0)=600(170)+7000(8)=102000+56000=158000$ bushels/ano.

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang et al. · OpenStax · CC-BY-NC-SA. Fonte primária (exercícios 12.1–12.24).
Active Calculus — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA. (exercícios 12.25–12.30).