v1 · padrão canônico

Lição 13 — Regra da cadeia

Derivada da composição de funções: (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x). Notação de Leibniz dy/dx = (dy/du)·(du/dx). Aplicações em funções compostas polinomiais, trigonométricas e exponenciais.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 2 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

A regra da cadeia diferencia composições. Em notação de Leibniz: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ , onde $u = g(x)$ e $y = f(u)$ . A regra se lê: "derive a função de fora, mantendo o argumento interno, e multiplique pela derivada do argumento interno."

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Regra da cadeia — enunciado e prova

Prova (versão simplificada, válida quando $g'(x) \neq 0$ localmente):

Seja $u = g(x)$ . Se $h \neq 0$ e $k = g(x+h)-g(x)\neq 0$ :

$\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = \frac{f(u+k)-f(u)}{k} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}.$

Quando $h\to 0$ : $k\to 0$ (pela continuidade de $g$ ) e os dois quocientes tendem a $f'(u)=f'(g(x))$ e $g'(x)$ . $\square$

(A prova completa — sem a hipótese $k\neq 0$ — define $Q(k)=\frac{f(u+k)-f(u)}{k}$ para $k\neq 0$ e $Q(0)=f'(u)$ , e mostra que $Q$ é contínua em $k=0$ .)

Exemplos resolvidos

Example— 4· Ex. 4 — Combinando regras

Derive $f(x) = \dfrac{(x^2+1)^3}{(2x-1)^2}$ .

Usando quociente + cadeia:

$f' = \frac{3(x^2+1)^2\cdot 2x\cdot(2x-1)^2 - (x^2+1)^3\cdot 2(2x-1)\cdot 2}{(2x-1)^4}$

$= \frac{(x^2+1)^2(2x-1)[6x(2x-1) - 4(x^2+1)]}{(2x-1)^4}$

$= \frac{(x^2+1)^2(12x^2-6x-4x^2-4)}{(2x-1)^3}$

$= \frac{(x^2+1)^2(8x^2-6x-4)}{(2x-1)^3} = \frac{2(x^2+1)^2(4x^2-3x-2)}{(2x-1)^3}.$

Example— 5· Ex. 5 — Aplicação: velocidade em movimento circular

A posição de uma partícula em movimento circular é $x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ .

(a) Velocidade em x: $v_x = \dfrac{dx}{dt} = -R\omega\sin(\omega t)$ (cadeia: $(\cos u)' = -\sin u$ , $u = \omega t$ ).

(b) Velocidade em y: $v_y = \dfrac{dy}{dt} = R\omega\cos(\omega t)$ .

(c) Módulo da velocidade: $v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = R\omega\sqrt{\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)} = R\omega$ (constante!).

A velocidade é constante — coerente com o movimento circular uniforme.

Exercícios

Exercise list

39 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 6Modeling 6Challenge 3

Ex. 13.1Application
Dados $y = 3u - 6$ e $u = 2x^2$ , calcule $\frac{dy}{dx}$ usando a notação de Leibniz para a regra da cadeia.
Select the correct option
$\frac{dy}{dx} = 3(4x) = 12x$ $\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 4x = 12x$ $\frac{dy}{dx} = (3)(4x) = 12x$ $\frac{dy}{dx} = 3 - 6 = -3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 214
Show solution
Com $y = 3u - 6$ e $u = 2x^2$ : $\frac{dy}{du} = 3$ , $\frac{du}{dx} = 4x$ . Pela regra de Leibniz: $\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 4x = 12x$ .
Ex. 13.2Application
Dados $y = 6u^3$ e $u = 7x - 4$ , calcule $\frac{dy}{dx}$ pela regra da cadeia na notação de Leibniz.
Select the correct option
$\frac{dy}{dx} = 18u^2 \cdot 7 = 18(7x-4)^2 \cdot 7$ $\frac{dy}{dx} = 6u^3 \cdot 7$ $\frac{dy}{dx} = 18u^2$ $\frac{dy}{dx} = 6 \cdot 3 \cdot 7 = 126$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 215
Show solution
$\frac{dy}{du} = 18u^2$ , $\frac{du}{dx} = 7$ . Logo $\frac{dy}{dx} = 18(7x-4)^2 \cdot 7 = 126(7x-4)^2$ .
Ex. 13.3Application
Dados $y = \sin u$ e $u = 5x - 1$ , calcule $\frac{dy}{dx}$ .
Select the correct option
$\frac{dy}{dx} = \cos(5x-1)$ $\frac{dy}{dx} = 5\cos(5x-1)$ $\frac{dy}{dx} = -5\cos(5x-1)$ $\frac{dy}{dx} = \sin(5x-1) \cdot 5$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 216
Show solution
$\frac{dy}{du} = \cos u$ , $\frac{du}{dx} = 5$ . Logo $\frac{dy}{dx} = \cos(5x-1) \cdot 5 = 5\cos(5x-1)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique: $y = \sin u$ , $u = 5x - 1$ .
2. Derive cada parte: $\frac{dy}{du} = \cos u$ ; $\frac{du}{dx} = 5$ .
3. Aplique Leibniz: $\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 5 = 5\cos(5x-1)$ .
Ex. 13.4Application
Dados $y = \cos u$ e $u = -\dfrac{x}{8}$ , calcule $\frac{dy}{dx}$ .
Select the correct option
$\frac{dy}{dx} = \sin\!\left(\frac{x}{8}\right) \cdot \frac{1}{8}$ $\frac{dy}{dx} = -\sin\!\left(-\frac{x}{8}\right)$ $\frac{dy}{dx} = \sin\!\left(-\frac{x}{8}\right) \cdot 8$ $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{8}\sin\!\left(\frac{x}{8}\right)$
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 217
Show solution
$y = \cos u$ , $u = -x/8$ . Então $\frac{dy}{du} = -\sin u$ , $\frac{du}{dx} = -\frac{1}{8}$ . Logo $\frac{dy}{dx} = (-\sin u)(-\frac{1}{8}) = \frac{1}{8}\sin\!\left(-\frac{x}{8}\right) = -\frac{1}{8}\sin\!\left(\frac{x}{8}\right)$ . Atenção ao sinal: a correta é $\frac{1}{8}\sin(x/8)$ .
Ex. 13.5Application
Dados $y = \tan u$ e $u = 9x + 2$ , calcule $\frac{dy}{dx}$ .
Select the correct option
$\frac{dy}{dx} = \sec^2(9x+2)$ $\frac{dy}{dx} = 9\sec^2(9x+2)$ $\frac{dy}{dx} = 9\tan(9x+2)$ $\frac{dy}{dx} = \sec(9x+2)\tan(9x+2) \cdot 9$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 218
Show solution
$y = \tan u$ , $u = 9x+2$ . $\frac{dy}{du} = \sec^2 u$ , $\frac{du}{dx} = 9$ . Logo $\frac{dy}{dx} = 9\sec^2(9x+2)$ .
Ex. 13.6Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = (3x - 2)^6$ .
Select the correct option
$\frac{dy}{dx} = 4(3x-2)^5$ $\frac{dy}{dx} = 6(3x-2)^5$ $\frac{dy}{dx} = 18(3x-2)^5$ $\frac{dy}{dx} = 3(3x-2)^6$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 220
Show solution
Regra da cadeia com $u = 3x-2$ : $y' = 6(3x-2)^5 \cdot 3 = 18(3x-2)^5$ .
Ex. 13.7ApplicationAnswer key
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = (3x^2 + 1)^3$ .
Select the correct option
$y' = 3(3x^2+1)^2$ $y' = 9(3x^2+1)^2$ $y' = 18x(3x^2+1)^2$ $y' = 6x(3x^2+1)^2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 221
Show solution
$u = 3x^2+1$ , $u' = 6x$ . $y' = 3(3x^2+1)^2 \cdot 6x = 18x(3x^2+1)^2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique a função externa: potência 3, e a interna: $u = 3x^2+1$ .
2. Derive a externa: $\frac{d}{du}(u^3) = 3u^2$ .
3. Derive a interna: $u' = 6x$ .
4. Multiplique: $y' = 3(3x^2+1)^2 \cdot 6x = 18x(3x^2+1)^2$ .
Ex. 13.8ApplicationAnswer key
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = \sin^5(x)$ .
Select the correct option
$y' = 5\sin^4(x)$ $y' = 5\sin^4(x)\cos(x)$ $y' = -5\sin^4(x)\cos(x)$ $y' = 5\cos^4(x)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 222
Show solution
$y = (\sin x)^5$ . Regra da cadeia: $y' = 5(\sin x)^4 \cdot \cos x = 5\sin^4(x)\cos(x)$ .
Ex. 13.9ApplicationAnswer key
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = (x^7 + 7x)^7$ .
Select the correct option
$y' = 7(x^7+7x)^6 \cdot (7x^6+7)$ $y' = 7(x^7+7x)^6$ $y' = (7x^6+7)^7$ $y' = 49(x^7+7x)^6 x^6$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 223
Show solution
$u = x^7+7x$ , $u' = 7x^6+7$ . Logo $y' = 7(x^7+7x)^6(7x^6+7)$ .
Ex. 13.10ApplicationAnswer key
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = \tan(\sec x)$ .
Select the correct option
$y' = \sec(\sec x)\tan(\sec x)$ $y' = \sec^2(\sec x) \cdot \sec x \tan x$ $y' = \tan(\sec x) \cdot \sec x \tan x$ $y' = \sec(\sec x)\tan(\sec x) \cdot \tan x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 224
Show solution
Função externa: $\tan u$ , $u = \sec x$ . $\frac{d}{du}\tan u = \sec^2 u$ ; $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x$ . Logo $y' = \sec^2(\sec x) \cdot \sec x \tan x$ .
Ex. 13.11Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = \csc(\pi x + 1)$ .
Select the correct option
$y' = -\csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1) \cdot \pi$ $y' = \csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1)$ $y' = -\pi\csc^2(\pi x+1)$ $y' = -\cot(\pi x+1)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 225
Show solution
$\frac{d}{du}\csc u = -\csc u \cot u$ ; $u = \pi x + 1$ , $u' = \pi$ . Logo $y' = -\pi\csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1)$ .
Ex. 13.12Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = \cot^2 x$ .
Select the correct option
$y' = -2\cot x \csc^2 x$ $y' = 2\cot x \csc^2 x$ $y' = -2\cot x$ $y' = 2\cot x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 226
Show solution
$y = (\cot x)^2$ . $y' = 2\cot x \cdot (-\csc^2 x) = -2\cot x \csc^2 x$ .
Ex. 13.13ApplicationAnswer key
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = -6(\sin x)^{-3}$ .
Select the correct option
$y' = 18(\sin x)^{-4}\cos x$ $y' = -18(\sin x)^{-4}\cos x$ $y' = 18(\sin x)^{-3}\cos x$ $y' = -6 \cdot (-3)(\sin x)^{-4}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 227
Show solution
$y = -6(\sin x)^{-3}$ . Regra da cadeia: $y' = -6 \cdot (-3)(\sin x)^{-4} \cdot \cos x = 18(\sin x)^{-4}\cos x$ .
Ex. 13.14Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = (3x^2 + 3x - 1)^4$ .
Select the correct option
$y' = 4(3x^2+3x-1)^3(6x+3)$ $y' = 4(3x^2+3x-1)^3$ $y' = (6x+3)^4$ $y' = 12(3x^2+3x-1)^3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 228
Show solution
$u = 3x^2+3x-1$ , $u' = 6x+3$ . $y' = 4u^3 \cdot u' = 4(3x^2+3x-1)^3(6x+3)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Isole a função interna: $u = 3x^2+3x-1$ .
2. Derive-a: $u' = 6x+3$ .
3. Aplique a regra da potência + cadeia: $y' = 4u^3 u' = 4(3x^2+3x-1)^3(6x+3)$ .
Ex. 13.15Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = (5 - 2x)^{-2}$ .
Select the correct option
$y' = -2(5-2x)^{-3} \cdot (-2) = 4(5-2x)^{-3}$ $y' = 2(5-2x)^{-3}$ $y' = -2(5-2x)^{-3}$ $y' = -4(5-2x)^{-1}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 229
Show solution
$y = (5-2x)^{-2}$ . $y' = -2(5-2x)^{-3} \cdot (-2) = 4(5-2x)^{-3}$ .
Ex. 13.16Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = \cos^3(\pi x)$ .
Select the correct option
$y' = -3\pi\cos^2(\pi x)\sin(\pi x)$ $y' = 3\cos^2(\pi x)\sin(\pi x)$ $y' = -3\pi\sin^2(\pi x)$ $y' = 3\pi\cos^2(\pi x)\sin(\pi x)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 230
Show solution
$y = (\cos(\pi x))^3$ . Cadeia dupla: $y' = 3\cos^2(\pi x) \cdot (-\sin(\pi x)) \cdot \pi = -3\pi\cos^2(\pi x)\sin(\pi x)$ .
Ex. 13.17Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = (2x^3 - x^2 + 6x + 1)^3$ .
Select the correct option
$y' = 3(2x^3-x^2+6x+1)^2(6x^2-2x+6)$ $y' = 3(2x^3-x^2+6x+1)^2$ $y' = (6x^2-2x+6)^3$ $y' = 3(6x^2-2x+6)^2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 231
Show solution
$u = 2x^3-x^2+6x+1$ , $u' = 6x^2-2x+6$ . $y' = 3u^2 u' = 3(2x^3-x^2+6x+1)^2(6x^2-2x+6)$ .
Ex. 13.18Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = (\tan x + \sin x)^{-3}$ .
Select the correct option
$y' = -3(\tan x + \sin x)^{-4}(\sec^2 x + \cos x)$ $y' = 3(\tan x + \sin x)^{-4}(\sec^2 x + \cos x)$ $y' = -3(\sec^2 x + \cos x)^{-4}$ $y' = (\tan x + \sin x)^{-4}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 233
Show solution
$y = (\tan x + \sin x)^{-3}$ . $y' = -3(\tan x+\sin x)^{-4}(\sec^2 x + \cos x)$ .
Ex. 13.19ApplicationAnswer key
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = x^2 \cos^4 x$ .
Select the correct option
$y' = 2x\cos^4 x - 4x^2\cos^3 x \sin x$ $y' = 2x\cos^4 x + 4x^2\cos^3 x \sin x$ $y' = -4x^2\cos^3 x \sin x$ $y' = 2x\cos^4 x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 234
Show solution
Regra do produto + cadeia: $y' = 2x\cos^4 x + x^2 \cdot 4\cos^3 x \cdot (-\sin x) = 2x\cos^4 x - 4x^2\cos^3 x \sin x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Produto: $y = x^2 \cdot (\cos x)^4$ .
2. Derive: $(x^2)' = 2x$ ; $((\cos x)^4)' = 4\cos^3 x(-\sin x)$ .
3. Regra do produto: $y' = 2x\cos^4 x + x^2(-4\cos^3 x \sin x)$ .
4. Simplifique: $y' = 2x\cos^4 x - 4x^2\cos^3 x \sin x$ .
Ex. 13.20Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = \sin(\cos 7x)$ .
Select the correct option
$y' = \cos(\cos 7x)\sin(7x) \cdot 7$ $y' = -7\cos(\cos 7x)\sin(7x)$ $y' = 7\cos(\cos 7x)(-\sin 7x)$ $y' = -\cos(\cos 7x)\sin(7x)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 235
Show solution
Cadeia dupla: $y = \sin(\underbrace{\cos(7x)}_{v})$ . $y' = \cos(\cos 7x) \cdot (-\sin 7x) \cdot 7 = -7\cos(\cos 7x)\sin(7x)$ .
Ex. 13.21Application
Calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y = \cot^3(4x + 1)$ .
Select the correct option
$y' = -12\cot^2(4x+1)\csc^2(4x+1)$ $y' = 12\cot^2(4x+1)\csc^2(4x+1)$ $y' = -3\cot^2(4x+1)$ $y' = -12\csc^2(4x+1)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 237
Show solution
$y = (\cot(4x+1))^3$ . Cadeia: $y' = 3\cot^2(4x+1)\cdot(-\csc^2(4x+1))\cdot 4 = -12\cot^2(4x+1)\csc^2(4x+1)$ .
Ex. 13.22Understanding
Seja $y = [f(x)]^2$ . Suponha que $f'(1) = 4$ e $\frac{dy}{dx} = 10$ quando $x = 1$ . Qual é o valor de $f(1)$ ?
Select the correct option
$f(1) = 5$ $f(1) = 4$ $f(1) = 2{,}5$ $f(1) = \frac{5}{4}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 238
Show solution
Com $y = [f(x)]^2$ : $\frac{dy}{dx} = 2f(x)f'(x)$ . Em $x=1$ : $10 = 2f(1) \cdot 4$ , logo $f(1) = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive $y = [f(x)]^2$ pela cadeia: $\frac{dy}{dx} = 2f(x)f'(x)$ .
2. Substitua $x=1$ , $f'(1)=4$ , $\frac{dy}{dx}=10$ : $10 = 2f(1)\cdot 4$ .
3. Resolva: $f(1) = 5/4$ .
Ex. 13.23Understanding
Encontre a equação da reta tangente a $y = -\sin(x^2)$ na origem.
Select the correct option
A reta tangente é $y = 0$ A reta tangente é $y = x$ A reta tangente é $y = -x$ A reta tangente é $y = 2x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 241
Show solution
Em $x=0$ : $y(0) = -\sin(0) = 0$ . Derivada: $y' = -\cos(x^2) \cdot 2x$ ; $y'(0) = 0$ . Reta tangente: $y = 0$ .
Ex. 13.24Understanding
Encontre a equação da reta tangente a $y = \left(3x + \dfrac{1}{x}\right)^2$ no ponto $(1, 16)$ .
Select the correct option
Reta tangente: $y - 16 = 8(x-1)$ , simplificando $y = 8x + 8$ Reta tangente: $y = 16$ Reta tangente: $y = 8x$ Reta tangente: $y = 16x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 242
Show solution
$y = \left(3x + \frac{1}{x}\right)^2$ . Derivada: $y' = 2\left(3x+\frac{1}{x}\right)\left(3 - \frac{1}{x^2}\right)$ . Em $x=1$ : $y'(1) = 2(4)(2) = 16$ . Reta: $y - 16 = 16(x-1)$ , logo $y = 16x$ . Verificando: $y(1)=16$ e inclinação 16.
Ex. 13.25UnderstandingAnswer key
Encontre as abscissas onde a reta tangente a $y = \left(x - \dfrac{6}{x}\right)^8$ é horizontal.
Select the correct option
$x = 0$ e $x = \pm\sqrt{6}$ $x = 0$ apenas $x = \pm\sqrt{6}$ apenasNão existem tais pontos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 243
Show solution
$y = \left(x - \frac{6}{x}\right)^8$ . $y' = 8\left(x-\frac{6}{x}\right)^7 \cdot \left(1+\frac{6}{x^2}\right) = 0$ . O segundo fator é sempre positivo, logo precisa $x - \frac{6}{x} = 0$ , ou seja $x^2 = 6$ : $x = \pm\sqrt{6}$ . Também $x = 0$ torna a expressão indeterminada (fora do domínio).
Ex. 13.26Modeling
A posição de um trem de carga é dada por $s(t) = 100(t+1)^{-2}$ , com $s$ em metros e $t$ em segundos. Em $t = 6$ s, a velocidade do trem é, aproximadamente, qual valor? O trem está acelerando ou desacelerando?
Select the correct option
Velocidade $v(6) = -200/49$ m/s; desacelerandoVelocidade $v(6) = 200/49$ m/s; acelerandoVelocidade $v(6) = -200/343$ m/s; acelerandoVelocidade $v(6) = -100/49$ m/s; acelerando
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 253
Show solution
$s(t) = 100(t+1)^{-2}$ . $v(t) = -200(t+1)^{-3}$ ; em $t=6$ : $v = -200/7^3 = -200/343$ m/s. $a(t) = 600(t+1)^{-4} > 0$ . Como velocidade é negativa e aceleração é positiva, o trem está desacelerando.
Show step-by-step (with the why)
1. Derive $s(t) = 100(t+1)^{-2}$ : $v(t) = -200(t+1)^{-3}$ .
2. Calcule em $t=6$ : $v(6) = -200/7^3 = -200/343$ m/s.
3. Derive novamente: $a(t) = 600(t+1)^{-4}$ ; $a(6) = 600/7^4 > 0$ .
4. Velocidade negativa + aceleração positiva: trem desacelerando.
Ex. 13.27Modeling
Uma massa em movimento harmônico simples tem posição $s(t) = -3\cos\!\left(\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)$ (em polegadas), com $t$ em segundos. Determine a posição e a velocidade do sistema em $t = 1{,}5$ s.
Select the correct option
$s(1{,}5) = -3\cos(\pi \cdot 1{,}5 + \pi/4)$ polegadas; velocidade $= 3\pi\sin(1{,}5\pi + \pi/4)$ pol/s $s(1{,}5) = -3$ pol; velocidade $= 0$ pol/s $s(1{,}5) = 3$ pol; velocidade $= 3\pi$ pol/s $s(1{,}5) = 0$ pol; velocidade $= -3\pi$ pol/s
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 254
Show solution
$s(t) = -3\cos(\pi t + \pi/4)$ . Em $t=1{,}5$ : $s = -3\cos(1{,}5\pi + \pi/4)$ . Velocidade: $v(t) = 3\pi\sin(\pi t + \pi/4)$ ; em $t=1{,}5$ : $v = 3\pi\sin(1{,}5\pi + \pi/4)$ .
Ex. 13.28Modeling
O custo total de produzir $x$ caixas de biscoitos é $C = 0{,}0001x^3 - 0{,}02x^2 + 3x + 300$ dólares, com a produção $x = 1600 + 100t$ caixas na semana $t$ . Usando a regra da cadeia $\frac{dC}{dt} = \frac{dC}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$ , qual é a taxa de variação do custo em relação ao tempo?
Select the correct option
$\frac{dC}{dt} = (0{,}0003x^2 - 0{,}04x + 3)(100)$ ; com $x=1800$ , $\frac{dC}{dt} \approx 962$ dólares/semana $\frac{dC}{dt} = 100(0{,}0003x^2 - 0{,}04x + 3)$ dólares; com $x=1800$ , $\approx 300$ dólares/semana $\frac{dC}{dt} = 0{,}0003x^2$ dólares/semana $\frac{dC}{dt} = 100$ dólares/semana
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 255
Show solution
Pela regra da cadeia: $\frac{dC}{dt} = \frac{dC}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$ . $\frac{dC}{dx} = 0{,}0003x^2 - 0{,}04x + 3$ ; $\frac{dx}{dt} = 100$ . Em $t=2$ : $x = 1800$ . $C'(1800) = 0{,}0003(1800)^2 - 0{,}04(1800) + 3 \approx 972 - 72 + 3 = 903$ . $\frac{dC}{dt} = 903 \cdot 100 = 90300$ dólares/semana (ver fonte para valores exatos).
Ex. 13.29Modeling
A área de um círculo em expansão é $A = \pi r^2$ , com raio $r(t) = 2 - \dfrac{100}{(t+7)^2}$ (em polegadas, $t$ em segundos). Qual expressão dá a taxa de variação da área usando a regra da cadeia?
Select the correct option
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}$ , com $r(t) = 2 - 100(t+7)^{-2}$ $\frac{dA}{dt} = \pi r^2$ $\frac{dA}{dt} = 2\pi r$ $\frac{dA}{dt} = \pi \cdot \frac{dr}{dt}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 256
Show solution
Pela regra da cadeia: $\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ . $\frac{dA}{dr} = 2\pi r$ ; $\frac{dr}{dt} = 200(t+7)^{-3}$ . Em $t=4$ : $r = 2 - 100/121$ ; calcule o produto.
Ex. 13.30Modeling
A temperatura diária (em °F) de Phoenix no verão é modelada por $T(x) = 94 - 10\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}(x-2)\right)$ , onde $x$ são horas após meia-noite. Qual é a taxa de variação da temperatura às 16h?
Select the correct option
$T'(16) = \frac{10\pi}{12}\sin\!\left(\frac{\pi}{12}(16-2)\right)$ graus/hora $T'(16) = -\frac{10\pi}{12}\sin\!\left(\frac{\pi}{12}(16-2)\right)$ graus/hora $T'(16) = 10\cos\!\left(\frac{\pi}{12}\cdot 14\right)$ graus/hora $T'(16) = 94 - 10\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ graus/hora
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 258
Show solution
$T(x) = 94 - 10\cos\!\left(\frac{\pi}{12}(x-2)\right)$ . $T'(x) = \frac{10\pi}{12}\sin\!\left(\frac{\pi}{12}(x-2)\right)$ . Às 16h: $T'(16) = \frac{10\pi}{12}\sin\!\left(\frac{\pi \cdot 14}{12}\right) = \frac{5\pi}{6}\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique a composição: função externa $-10\cos u$ , interna $u = \frac{\pi}{12}(x-2)$ .
2. Derive: $T'(x) = 10\sin u \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{10\pi}{12}\sin\!\left(\frac{\pi(x-2)}{12}\right)$ .
3. Avalie em $x=16$ : $T'(16) = \frac{5\pi}{6}\sin(7\pi/6)$ .
Ex. 13.31Modeling
Um barco ancorado sobe e desce no mar. A distância vertical $y$ (em pés) entre o fundo do mar e o barco é $y = 34 + \sin(2\pi t)$ pés, com $t$ em minutos. Qual é a velocidade vertical $v$ do barco em função de $t$ ?
Select the correct option
$v = 2\pi\cos(2\pi t)$ pés/min $v = \cos(2\pi t)$ pés/min $v = -2\pi\sin(2\pi t)$ pés/min $v = 34 + \cos(2\pi t)$ pés/min
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.5 · ex. 1
Show solution
$y = 34 + \sin(2\pi t)$ . Velocidade vertical: $v = \frac{dy}{dt} = \cos(2\pi t) \cdot 2\pi = 2\pi\cos(2\pi t)$ pés/min.
Ex. 13.32Application
Calcule a derivada de $g(q) = \sin(\cos q)$ .
Select the correct option
$g'(q) = \cos(\cos q) \cdot (-\sin q) = -\sin q \cos(\cos q)$ $g'(q) = -\sin(\cos q)$ $g'(q) = \cos(\cos q) \cdot \sin q$ $g'(q) = -\cos(\sin q) \cdot \cos q$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.5 · ex. 2
Show solution
Regra da cadeia: função externa $\sin u$ , interna $u = \cos q$ . $g'(q) = \cos(\cos q) \cdot (-\sin q)$ .
Ex. 13.33ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}e^{6x^2 + 7x}$ .
Select the correct option
$\frac{d}{dx}e^{6x^2+7x} = (12x+7)e^{6x^2+7x}$ $\frac{d}{dx}e^{6x^2+7x} = e^{6x^2+7x}$ $\frac{d}{dx}e^{6x^2+7x} = (6x^2+7x)e^{6x^2+7x}$ $\frac{d}{dx}e^{6x^2+7x} = e^{12x+7}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.5 · ex. 9
Show solution
$u = 6x^2+7x$ , $u' = 12x+7$ . Logo $\frac{d}{dx}e^u = e^u \cdot u' = (12x+7)e^{6x^2+7x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique: $y = e^u$ , $u = 6x^2+7x$ .
2. Derive: $\frac{dy}{du} = e^u$ ; $u' = 12x+7$ .
3. Regra da cadeia: $y' = e^{6x^2+7x}(12x+7)$ .
Ex. 13.34Application
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (7x^2 + 4x + 5)^{1/4}$ .
Select the correct option
$\frac{dy}{dx} = \frac{14x+4}{4(7x^2+4x+5)^{3/4}}$ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}(7x^2+4x+5)^{-3/4}$ $\frac{dy}{dx} = \frac{14x+4}{4}$ $\frac{dy}{dx} = (14x+4)(7x^2+4x+5)^{-3/4}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.5 · ex. 10
Show solution
$y = (7x^2+4x+5)^{1/4}$ . $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}(7x^2+4x+5)^{-3/4}(14x+4) = \frac{14x+4}{4(7x^2+4x+5)^{3/4}}$ .
Ex. 13.35Challenge
Calcule a derivada de $f(y) = e^{e^{(y^3)}}$ .
Select the correct option
$f'(y) = e^{e^{y^3}} \cdot e^{y^3} \cdot 3y^2$ $f'(y) = e^{e^{y^3}} \cdot 3y^2$ $f'(y) = 3y^2 e^{y^3}$ $f'(y) = e^{e^{y^3}} \cdot e^{3y^2}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.5 · ex. 4
Show solution
Cadeia tripla: $f = e^w$ , $w = e^v$ , $v = y^3$ . $f'(y) = e^w \cdot e^v \cdot 3y^2 = e^{e^{y^3}} \cdot e^{y^3} \cdot 3y^2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Decompõe: $f = e^w$ , $w = e^v$ , $v = y^3$ .
2. Deriva em cascata: $\frac{df}{dw}=e^w$ , $\frac{dw}{dv}=e^v$ , $\frac{dv}{dy}=3y^2$ .
3. Multiplica: $f'(y) = e^{e^{y^3}} \cdot e^{y^3} \cdot 3y^2$ .
Ex. 13.36Challenge
Sejam $F(x) = f(x^6)$ e $G(x) = (f(x))^6$ . Dados $a^5 = 13$ , $f(a) = 3$ , $f'(a) = 8$ , $f'(a^6) = 14$ , calcule $F'(a)$ e $G'(a)$ .
Select the correct option
$F'(a) = 6a^5 \cdot 14 = 84a^5$ e $G'(a) = 6(f(a))^5 f'(a) = 6 \cdot 3^5 \cdot 8 = 11664$ $F'(a) = 14$ e $G'(a) = 8$ $F'(a) = 6a^5 f'(a)$ e $G'(a) = f'(a^6)$ $F'(a) = 13 \cdot 14$ e $G'(a) = 6 \cdot 3^5$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.5 · ex. 6
Show solution
$F(x) = f(x^6)$ : $F'(a) = f'(a^6) \cdot 6a^5 = 14 \cdot 6a^5$ . $G(x) = (f(x))^6$ : $G'(a) = 6(f(a))^5 f'(a) = 6 \cdot 3^5 \cdot 8 = 11664$ .
Ex. 13.37Understanding
A tabela a seguir fornece valores de $f$ , $g$ , $f'$ e $g'$ :
$x$ $f(x)$ $g(x)$ $f'(x)$ $g'(x)$
1 2 2 2 3
2 2 2 3 2
3 1 2 2 3
Se $h(x) = f(g(x))$ , qual é $h'(2)$ ?
Select the correct option
Dados: $f(2)=2$ , $g(2)=2$ , $f'(2)=3$ , $g'(2)=2$ ; $h'(2) = f'(g(2))g'(2) = 3 \cdot 2 = 6$ $h'(2) = f'(2) \cdot g'(2) = 3 \cdot 2 = 6$ — coincide mas pela regra errada $h'(2) = f'(2) + g'(2) = 5$ $h'(2) = f(g'(2)) = f(2) = 2$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.5 · ex. 7
Show solution
Com $h(x) = f(g(x))$ : $h'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(2) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6$ .
Ex. 13.38Understanding
Seja $f(x) = (6x - 5)^4$ . (A) Encontre a reta tangente ao gráfico em $x = 1$ . (B) Encontre os valores de $x$ onde a reta tangente é horizontal.
Select the correct option
Reta tangente em $x=1$ : $y = 4(x-1)+1 = 4x-3$ ; tangente horizontal em $x = 5/6$ Reta tangente em $x=1$ : $y = 1$ ; tangente horizontal em $x = 0$ Reta tangente em $x=1$ : $y = 24x - 23$ ; tangente horizontal em $x=1$ Reta tangente em $x=1$ : $y = 24x$ ; sem tangente horizontal
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.5 · ex. 8
Show solution
$f(x) = (6x-5)^4$ . $f'(x) = 4(6x-5)^3 \cdot 6 = 24(6x-5)^3$ . Em $x=1$ : $f(1)=1$ , $f'(1)=24$ . Reta: $y = 24(x-1)+1$ . Tangente horizontal: $6x-5=0 \Rightarrow x=5/6$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $f'(x) = 24(6x-5)^3$ .
2. Avalie em $x=1$ : $f(1)=1^4=1$ , $f'(1)=24$ .
3. Reta tangente: $y - 1 = 24(x-1)$ .
4. Tangente horizontal: $f'(x)=0 \Rightarrow 6x-5=0 \Rightarrow x=5/6$ .
Ex. 13.39ChallengeAnswer key
Seja $u(x)$ uma função diferenciável. Para cada função abaixo, determine a derivada (a resposta envolve $u$ e/ou $u'$ ):
$p(x) = e^{u(x)}$ , $q(x) = u(e^x)$ , $r(x) = \cot(u(x))$ .
Select the correct option
$p'(x) = e^{u(x)} u'(x)$ ; $q'(x) = u'(e^x)e^x$ ; $r'(x) = -\csc^2(u(x))u'(x)$ $p'(x) = e^{u(x)}$ ; $q'(x) = u'(e^x)$ ; $r'(x) = -\csc^2(u(x))$ $p'(x) = u'(x)e^{u(x)-1}$ ; $q'(x) = e^x u(e^x)$ ; $r'(x) = -\cot(u(x))$ $p'(x) = e^{u'(x)}$ ; $q'(x) = u(e^x)$ ; $r'(x) = \csc(u(x))$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.5 · ex. 12
Show solution
Regra da cadeia generalizada: $p'(x) = e^{u(x)}u'(x)$ ; $q'(x) = u'(e^x)e^x$ ; $r'(x) = -\csc^2(u(x))u'(x)$ .

$x$	$f(x)$	$g(x)$	$f'(x)$	$g'(x)$
1	2	2	2	3
2	2	2	3	2
3	1	2	2	3

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1, §3.6 "The Chain Rule" — CC-BY-NC-SA. https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-6-the-chain-rule
Active Calculus (Boelkins), §2.5 "The Chain Rule" — CC-BY-NC-SA 4.0. https://activecalculus.org/single/sec-2-5-chain.html