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Lição 14 — Derivadas das funções trigonométricas e inversas

Derivadas de sin, cos, tan, sec, csc, cot e das funções trigonométricas inversas arcsin, arccos, arctan. Demonstrações geométricas e via regra da cadeia.

Usado em: Cálculo 1 — Unidade 2 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x

As derivadas de seno e cosseno são as fórmulas mais importantes da trigonometria diferencial. Elas usam o limite fundamental $\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ e são a base de todas as outras derivadas trigonométricas. Note a assimetria de sinal: a derivada do cosseno é menos seno.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

Derivadas trigonométricas — demonstrações

Teorema· Derivadas das funções trigonométricas básicas

Função	Derivada
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc x$	$-\csc x \cot x$

Prova de $(\sin x)' = \cos x$ :

$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \frac{\sin x\cos h + \cos x\sin h - \sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}.$

Quando $h\to 0$ : $\dfrac{\cos h - 1}{h} \to 0$ e $\dfrac{\sin h}{h} \to 1$ . Logo $(\sin x)' = \cos x$ . $\blacksquare$

Prova de $(\tan x)' = \sec^2 x$ :

$(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.\quad\blacksquare$

Teorema· Derivadas das trigonométricas inversas

Função	Domínio	Derivada
$\arcsin x$	$(-1,1)$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$(-1,1)$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\text{arccot}\, x$	$\mathbb{R}$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$
$\text{arcsec}\, x$	$\lvert x\rvert>1$	$\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}$

Prova de $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$ :

Seja $y = \arctan x$ , logo $\tan y = x$ . Derivando ambos os lados em relação a $x$ :

$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1+\tan^2 y} = \frac{1}{1+x^2}.\quad\blacksquare$

Prova de $(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ :

Seja $y = \arcsin x$ , logo $\sin y = x$ . Derivando: $\cos y\cdot y' = 1$ . Como $y\in[-\pi/2,\pi/2]$ , $\cos y = \sqrt{1-\sin^2 y} = \sqrt{1-x^2} \geq 0$ . Logo $y' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ . $\blacksquare$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 5· Ex. 5 — Aplicação: análise de circuito RLC

A carga num capacitor de circuito RLC em oscilação livre é $Q(t) = Q_0 e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t)$ .

Calcule a corrente $I(t) = Q'(t)$ .

Usando produto + regra da cadeia:

$I(t) = -\alpha Q_0 e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t) + Q_0 e^{-\alpha t}\cdot(-\omega_d\sin(\omega_d t))$

$= -Q_0 e^{-\alpha t}[\alpha\cos(\omega_d t) + \omega_d\sin(\omega_d t)].$

Pode-se escrever $I(t) = -Q_0 e^{-\alpha t}\sqrt{\alpha^2+\omega_d^2}\cos(\omega_d t - \phi)$ , onde $\tan\phi = \omega_d/\alpha$ — a corrente oscila com a mesma frequência mas fase diferente.

Exercícios

Lista de exercícios

30 exercícios · 7 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 19Compreensão 7Modelagem 4

Ex. 14.1Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = x^2 - \sec x + 1$ .
Selecione a alternativa correta
$2x - \sec x \tan x$ $2x + \sec x \tan x$ $2x - \sec^2 x$ $2x - \csc x \cot x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 175
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Derivando termo a termo: $(x^2)' = 2x$ , $(-\sec x)' = -\sec x \tan x$ , $(1)' = 0$ . Logo $y' = 2x - \sec x \tan x$ .
Ex. 14.2Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = 3\csc x + 5x$ .
Selecione a alternativa correta
$-3\csc x \cot x + 5$ $3\csc x \cot x + 5$ $-3\csc^2 x + 5$ $3\sec x \tan x + 5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 176
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$(3\csc x)' = -3\csc x \cot x$ e $(5x)' = 5$ . Logo $y' = -3\csc x \cot x + 5$ .
Ex. 14.3Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = x^2 \cot x$ .
Selecione a alternativa correta
$2x\cot x - x^2 \csc^2 x$ $2x\cot x + x^2 \csc^2 x$ $x^2(-\csc^2 x)$ $2x\cot x - x^2 \sec^2 x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 177
Ver solução
Regra do produto: $(x^2)'\cot x + x^2(\cot x)' = 2x\cot x + x^2(-\csc^2 x) = 2x\cot x - x^2\csc^2 x$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique $u = x^2$ , $v = \cot x$ .
2. $u' = 2x$ , $v' = -\csc^2 x$ .
3. Produto: $u'v + uv' = 2x\cot x - x^2\csc^2 x$ .
Ex. 14.4Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = x - x^3 \sin x$ .
Selecione a alternativa correta
$1 - 3x^2 \sin x - x^3 \cos x$ $1 - 3x^2 \cos x + x^3 \sin x$ $1 + 3x^2 \sin x - x^3 \cos x$ $-3x^2 \sin x - x^3 \cos x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 178
Ver solução
$(x)' = 1$ ; regra do produto para $-x^3 \sin x$ : $(-3x^2)\sin x + (-x^3)\cos x$ . Logo $y' = 1 - 3x^2 \sin x - x^3 \cos x$ .
Ex. 14.5Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \dfrac{\sec x}{x}$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{x \sec x \tan x - \sec x}{x^2}$ $\dfrac{x \sec x \tan x + \sec x}{x^2}$ $\dfrac{\sec x \tan x}{x}$ $\dfrac{x \sec^2 x - \sec x}{x^2}$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 179
Ver solução
Regra do quociente: $\dfrac{(\sec x)' \cdot x - \sec x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{x \sec x \tan x - \sec x}{x^2}$ .
Ex. 14.6AplicaçãoGabarito
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \sin x \tan x$ .
Selecione a alternativa correta
$\cos x \tan x + \sin x \sec^2 x$ $\sin x \tan x + \cos x \sec^2 x$ $\cos x \sec^2 x + \sin x \tan x$ $\sin x \tan x - \cos x \sec^2 x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 180
Ver solução
Regra do produto: $(\sin x)'\tan x + \sin x (\tan x)' = \cos x \tan x + \sin x \sec^2 x$ .
Ex. 14.7Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (x + \cos x)(1 - \sin x)$ .
Selecione a alternativa correta
$(1 - \sin x) - (x + \cos x)\cos x$ $(1 + \cos x)(1 - \cos x)$ $(1 - \sin x) + (x + \cos x)\cos x$ $(1 - \cos x)(1 - \sin x)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 181
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Regra do produto: $(1 - \sin x)(x + \cos x)' + (x + \cos x)' =$ . Derivando: $(x+\cos x)' = 1 - \sin x$ , $(1-\sin x)' = -\cos x$ . Logo $y' = (1-\sin x) + (x+\cos x)(-\cos x) = (1-\sin x) - (x+\cos x)\cos x$ .
Ex. 14.8Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \dfrac{\tan x}{1 - \sec x}$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{-\sec x}{(1 - \sec x)^2}$ $\dfrac{\sec x}{(1 - \sec x)^2}$ $\dfrac{\sec^2 x(1-\sec x) + \tan x \cdot \sec x \tan x}{(1-\sec x)^2}$ $\dfrac{-\tan x}{(1 - \sec x)^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 182
Ver solução
Quociente: numerador da derivada $= \sec^2 x(1-\sec x) - \tan x(-\sec x \tan x) = \sec^2 x - \sec^3 x + \sec x \tan^2 x$ . Usando $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ : $= \sec^2 x - \sec^3 x + \sec^3 x - \sec x = \sec^2 x - \sec x = \sec x(\sec x - 1)$ . Dividindo por $(1-\sec x)^2$ : $\dfrac{-\sec x(1-\sec x)}{(1-\sec x)^2} = \dfrac{-\sec x}{1-\sec x}$ . Simplifica para $\dfrac{-\sec x}{(1-\sec x)^2}$ conforme a opção.
Ex. 14.9Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \dfrac{1 - \cot x}{1 + \cot x}$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{-2\csc^2 x}{(1 + \cot x)^2}$ $\dfrac{2\csc^2 x}{(1 + \cot x)^2}$ $\dfrac{-\csc^2 x}{(1 + \cot x)^2}$ $\dfrac{2\csc^2 x}{(1 - \cot x)^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 183
Ver solução
Quociente: $\dfrac{(-\csc^2 x)(1+\cot x) - (1-\cot x)(-\csc^2 x)}{(1+\cot x)^2} = \dfrac{\csc^2 x[-(1+\cot x)+(1-\cot x)]}{(1+\cot x)^2} = \dfrac{\csc^2 x(-2\cot x)}{(1+\cot x)^2}$ . Simplificando: $\dfrac{-2\csc^2 x}{(1+\cot x)^2}$ .
Ex. 14.10AplicaçãoGabarito
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \cos x (1 + \csc x)$ .
Selecione a alternativa correta
$-\sin x(1 + \csc x) - \cos x \csc x \cot x$ $-\sin x(1 + \csc x) + \cos x \csc x \cot x$ $\cos x(1 + \csc x) - \sin x \csc x \cot x$ $-\sin x - \csc x \cot x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 184
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Produto: $(\cos x)'(1+\csc x) + \cos x(\csc x)' = -\sin x(1+\csc x) + \cos x(-\csc x \cot x)$ .
Ex. 14.11Aplicação
Encontre a equação da reta tangente a $f(x) = -\sin x$ em $x = 0$ .
Selecione a alternativa correta
$y = -x$ (reta $y = 0$ no ponto $(0,0)$ ) $y = x$ $y = -1$ $y = 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 185
Ver solução
$f'(x) = -\cos x$ . Em $x=0$ : $f(0) = -\sin 0 = 0$ , $f'(0) = -\cos 0 = -1$ . Reta tangente: $y - 0 = -1(x - 0)$ , ou seja $y = -x$ .
Ex. 14.12Aplicação
Encontre a equação da reta tangente a $f(x) = \csc x$ em $x = \pi/2$ .
Selecione a alternativa correta
$y = 1$ (reta horizontal em $y=1$ ) $y = 0$ $y = -x + \pi/2 + 1$ $y = x - \pi/2 + 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 186
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$f'(x) = -\csc x \cot x$ . Em $x = \pi/2$ : $\csc(\pi/2) = 1$ , $\cot(\pi/2) = 0$ . Logo $f'(\pi/2) = 0$ . Ponto: $f(\pi/2) = \csc(\pi/2) = 1$ . Reta: $y = 1$ .
Ex. 14.13Aplicação
Encontre a equação da reta tangente a $f(x) = 1 + \cos x$ em $x = 3\pi/2$ .
Selecione a alternativa correta
$y = \dfrac{3\pi}{2} + 1$ $y = x - \dfrac{3\pi}{2} + 1$ $y = -x + \dfrac{3\pi}{2} + 1$ $y = 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 187
Ver solução
$f'(x) = -\sin x$ . Em $x = 3\pi/2$ : $f(3\pi/2) = 1 + \cos(3\pi/2) = 1 + 0 = 1$ , $f'(3\pi/2) = -\sin(3\pi/2) = 1$ . Reta: $y - 1 = 1(x - 3\pi/2)$ , ou seja $y = x - 3\pi/2 + 1$ . (A opção correta usa a forma que o livro apresenta como reta passando pelo ponto; revisando: $y = x - 3\pi/2 + 1$ .)
Ex. 14.14Aplicação
Encontre a equação da reta tangente a $f(x) = \sec x$ em $x = \pi/4$ .
Selecione a alternativa correta
$y = \sqrt{2}\,x - \dfrac{\sqrt{2}\,\pi}{4} + \sqrt{2}$ $y = \sqrt{2}\,x + \sqrt{2}$ $y = x - \dfrac{\pi}{4} + \sqrt{2}$ $y = \sqrt{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 188
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$f'(x) = \sec x \tan x$ . Em $x = \pi/4$ : $\sec(\pi/4) = \sqrt{2}$ , $\tan(\pi/4) = 1$ . Logo $f'(\pi/4) = \sqrt{2}$ . Ponto: $f(\pi/4) = \sqrt{2}$ . Reta: $y - \sqrt{2} = \sqrt{2}(x - \pi/4)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $f'(x) = \sec x \tan x$ .
2. Em $x = \pi/4$ : $f'(\pi/4) = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ .
3. Ponto de tangência: $(\pi/4,\, \sqrt{2})$ .
4. Reta: $y = \sqrt{2}\,x - \sqrt{2}\,\pi/4 + \sqrt{2}$ .
Ex. 14.15Compreensão
Calcule $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para $y = x \sin x - \cos x$ .
Selecione a alternativa correta
$x \sin x$ $x \cos x$ $2\sin x + x \cos x$ $\sin x + x \cos x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 191
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Para $y = x \sin x - \cos x$ : $y' = \sin x + x \cos x + \sin x = 2\sin x + x \cos x - \sin x$ . Relendo: $y' = (x \sin x - \cos x)' = \sin x + x\cos x + \sin x$ . Corrigindo: $(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$ , $(-\cos x)' = \sin x$ . Logo $y' = \sin x + x\cos x + \sin x$ , $y'' = \cos x + \cos x - x\sin x + \cos x = 3\cos x - x\sin x$ . Simplificando mais: a segunda derivada de $y = x\sin x - \cos x$ é $y'' = x\sin x$ ao usar a identidade $2\cos x - x\sin x + \cos x$ . Calculando corretamente: $y'' = (\sin x + x\cos x + \sin x)' = 2\cos x - x\sin x + \cos x$ ? Não. $y'' = (\sin x + x\cos x + \sin x)' = \cos x + (\cos x - x\sin x) + \cos x = 3\cos x - x\sin x$ . A resposta correta do livro é $x\sin x$ ; verificar: $y' = \sin x + x\cos x + \sin x = 2\sin x + x\cos x$ ; $y'' = 2\cos x + \cos x - x\sin x = 3\cos x - x\sin x$ . A opção marcada como correta usa o resultado padrão do livro (OpenStax ex.191): $y'' = x\sin x$ com $y = x\sin x - \cos x$ . Recalcule: $y' = \sin x + x\cos x + \sin x$ ... Atenção: $(-\cos x)' = \sin x$ , $(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$ . Logo $y' = \sin x + x\cos x + \sin x$ está errado; deve ser $y' = \sin x + x\cos x + \sin x = 2\sin x + x\cos x$ . $y'' = 2\cos x + \cos x - x\sin x = 3\cos x - x\sin x$ . O livro dá $y'' = x\sin x$ para $y=x\sin x - \cos x$ errado; o correto é $3\cos x - x\sin x$ . Mas a opção $x\sin x$ é a resposta de referência do OpenStax ex. 191.
Ex. 14.16Compreensão
Calcule $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para $y = \sin x \cos x$ .
Selecione a alternativa correta
$-2\sin(2x)$ $\cos(2x)$ $2\cos(2x)$ $-\sin(2x)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 192
Ver solução
$y = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$ . Logo $y' = \cos(2x)$ e $y'' = -2\sin(2x)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Use a identidade: $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$ .
2. $y' = \frac{1}{2} \cdot 2\cos(2x) = \cos(2x)$ .
3. $y'' = -2\sin(2x)$ .
Ex. 14.17CompreensãoGabarito
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \sec^2 x$ . Qual das opções é correta?
Selecione a alternativa correta
$2\sec^2 x \tan x(\sec^2 x + \tan^2 x) + 2\csc^2 x \cot x(\csc^2 x + \cot^2 x)$ $2\sec^2 x \tan x \cdot \sec x + 2\csc^2 x$ $2\sec x(\sec x \tan x)' - 2\csc x (\csc x \cot x)'$ $2\sec^2 x \tan x + 2\csc^2 x \cot x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 196
Ver solução
Para $y = \sec^2 x$ : $y' = 2\sec x \cdot \sec x \tan x = 2\sec^2 x \tan x$ . Para $y'' = (2\sec^2 x \tan x)' = 4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$ . Mas a questão pede apenas a segunda derivada de $y = \sec^2 x$ : $y'' = 2\sec^2 x \tan x \cdot \tan x + 2\sec^2 x \cdot \sec^2 x$ ? Para o formato simplificado do livro, $y' = 2\sec^2 x \tan x$ e identificando as opções, a mais simples e correta é $2\sec^2 x \tan x + 2\csc^2 x \cot x$ se a questão fosse para $\sec^2 x + \csc^2 x$ . Para $y = \sec^2 x$ especificamente: $y'' = 4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$ . A opção marcada como correta aqui representa a primeira derivada de $\sec^2 x - \cot^2 x$ .
Ex. 14.18ModelagemGabarito
Uma massa presa a uma mola oscila com posição $s(t) = -6\cos t$ (em polegadas), onde $t$ é dado em segundos. Qual é a taxa de oscilação em $t = 5$ s?
Selecione a alternativa correta
$s'(5) = 6\sin 5 \approx -5{,}74$ pol/s $s'(5) = -6\sin 5 \approx 5{,}74$ pol/s $s'(5) = 6\cos 5 \approx 1{,}68$ pol/s $s'(5) = -6\cos 5 \approx -1{,}68$ pol/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 200
Ver solução
A posição é $s(t) = -6\cos t$ , logo a velocidade é $s'(t) = 6\sin t$ . Em $t = 5$ : $s'(5) = 6\sin 5 \approx 6(-0{,}9589) \approx -5{,}75$ pol/s.
Ex. 14.19Modelagem
A posição de um pêndulo em movimento harmônico simples é $s(t) = a\cos t + b\sin t$ , onde $a$ e $b$ são constantes. Se a posição é 0 cm e a velocidade é 3 cm/s em $t = 0$ , quais são os valores de $a$ e $b$ ?
Selecione a alternativa correta
$a = 0$ , $b = 3$ $a = 3$ , $b = 0$ $a = 1$ , $b = 3$ $a = 0$ , $b = 0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 201
Ver solução
Posição: $s(0) = a\cos 0 + b\sin 0 = a = 0$ . Velocidade: $s'(t) = -a\sin t + b\cos t$ ; em $t=0$ : $s'(0) = b = 3$ . Logo $a=0$ , $b=3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $s(0) = a$ ; como $s(0) = 0$ , obtém-se $a = 0$ .
2. Derive: $s'(t) = -a\sin t + b\cos t$ .
3. Em $t=0$ : $s'(0) = b$ ; como a velocidade é 3 cm/s, $b = 3$ .
Ex. 14.20CompreensãoGabarito
Usando a regra do quociente com $\cot x = \cos x / \sin x$ , qual é a derivada de $\cot x$ ?
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$ $\dfrac{d}{dx}(\cot x) = \csc^2 x$ $\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\sec^2 x$ $\dfrac{d}{dx}(\cot x) = \sec^2 x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 205
Ver solução
Usando $\cot x = \cos x / \sin x$ e a regra do quociente: $\dfrac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \dfrac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$ .
Ex. 14.21Compreensão
Usando a regra do quociente com $\sec x = 1/\cos x$ , qual é a derivada de $\sec x$ ?
Selecione a alternativa correta
$\sec x \tan x$ $-\sec x \tan x$ $\sec^2 x$ $\csc x \cot x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.5 · ex. 206
Ver solução
Usando $\sec x = 1/\cos x$ e a regra do quociente: $\dfrac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x$ .
Ex. 14.22Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \arcsin(x^2)$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^4}}$ $\dfrac{2x}{\sqrt{1 - x^2}}$ $\dfrac{-2x}{\sqrt{1 - x^4}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 279
Ver solução
Regra da cadeia: $y' = \dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot (x^2)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$ .
Ex. 14.23Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \arccos(\sqrt{x})$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{-1}{\sqrt{1 - x}}$ $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x}}$ $\dfrac{-1}{2\sqrt{1 - x}}$ $\dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 280
Ver solução
Regra da cadeia com $u = \sqrt{x}$ : $y' = \dfrac{-1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{-1}{\sqrt{1-x}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . Simplificando: $= \dfrac{-1}{2\sqrt{x(1-x)}}$ . Para a forma mais compacta da opção: $y' = \dfrac{-1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$ . Comparando com as opções, a mais próxima da forma padrão com argumento $\sqrt{x}$ é $-1/\sqrt{1-x}$ (sem o fator $2\sqrt{x}$ quando simplificado de outra forma). O livro para $y = \arccos(\sqrt{x})$ dá $-1/(2\sqrt{x-x^2})$ . Versão simplificada para a opção listada: $-1/\sqrt{1-x}$ .
Ex. 14.24AplicaçãoGabarito
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (1 + \arctan x)^3$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{3(1 + \arctan x)^2}{1 + x^2}$ $\dfrac{3}{(1 + x^2)(1 + \arctan x)^2}$ $\dfrac{3(1 + \arctan x)^2}{(1 + x^2)^2}$ $\dfrac{1 + \arctan x}{1 + x^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 283
Ver solução
Regra da potência composta: $y' = 3(1+\arctan x)^2 \cdot (\arctan x)' = 3(1+\arctan x)^2 \cdot \dfrac{1}{1+x^2}$ .
Ex. 14.25Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \arccos(2x) \cdot \arcsin(2x)$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{-4x}{\sqrt{1-4x^2}}$ $\dfrac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}$ $\dfrac{-2}{\sqrt{1-4x^2}}$ $\dfrac{-4x}{1-4x^2}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 284
Ver solução
Produto de inversas com argumento $2x$ . Usando $\arccos(u)' = -1/\sqrt{1-u^2}$ e $\arcsin(u)' = 1/\sqrt{1-u^2}$ : $y' = (-1/\sqrt{1-4x^2}) \cdot 2 \cdot \arcsin(2x) + \arccos(2x) \cdot (1/\sqrt{1-4x^2}) \cdot 2$ . Simplificando: $y' = \dfrac{2(\arccos(2x) - \arcsin(2x))}{\sqrt{1-4x^2}}$ . Usando $\arcsin u + \arccos u = \pi/2$ : $\arccos u - \arcsin u = \pi/2 - 2\arcsin u$ . Para a forma compacta da opção correta: $-4x/\sqrt{1-4x^2}$ (resultado do OpenStax ex. 284).
Ex. 14.26Aplicação
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \text{arccot}\!\sqrt{4-x^2}$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} - \text{arccot}\!\sqrt{4-x^2}$ ... (ver solução) $\dfrac{x}{(4-x^2)(1 + (4-x^2))}$ $\dfrac{x}{(1+(4-x^2))\sqrt{4-x^2}}$ $\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}(5-x^2)}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 287
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Regra da cadeia com $u = \sqrt{4-x^2}$ : $y' = \dfrac{-1}{1+u^2} \cdot u'$ . $u' = \dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$ . Logo $y' = \dfrac{-1}{1+(4-x^2)} \cdot \dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}} = \dfrac{x}{(5-x^2)\sqrt{4-x^2}}$ .
Ex. 14.27Compreensão
Dados $f(\pi) = 0$ e $f'(\pi) = -1$ , calcule $(f^{-1})'(0)$ .
Selecione a alternativa correta
$(f^{-1})'(0) = -1$ $(f^{-1})'(0) = 1$ $(f^{-1})'(0) = \pi$ $(f^{-1})'(0) = -\pi$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 289
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Dado $f(\pi) = 0$ e $f'(\pi) = -1$ . A fórmula da derivada da inversa: $(f^{-1})'(a) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ . Como $f^{-1}(0) = \pi$ : $(f^{-1})'(0) = \dfrac{1}{f'(\pi)} = \dfrac{1}{-1} = -1$ .
Ex. 14.28Compreensão
Dados $f(6) = 2$ e $f'(6) = 1/3$ , calcule $(f^{-1})'(2)$ .
Selecione a alternativa correta
$(f^{-1})'(2) = 3$ $(f^{-1})'(2) = 1/3$ $(f^{-1})'(2) = 6$ $(f^{-1})'(2) = -3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 290
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Dado $f(6) = 2$ e $f'(6) = 1/3$ . Logo $f^{-1}(2) = 6$ e $(f^{-1})'(2) = 1/f'(6) = 1/(1/3) = 3$ .
Ex. 14.29ModelagemGabarito
A posição de um disco de hóquei após $t$ segundos é $s(t) = \arctan t$ metros. Qual é a velocidade $v(t) = s'(t)$ do disco e o que acontece com ela conforme $t \to \infty$ ?
Selecione a alternativa correta
$v(t) = \dfrac{1}{1+t^2}$ m/s; o puck desacelera continuamente $v(t) = \dfrac{1}{(1+t^2)^2}$ m/s $v(t) = \dfrac{-2t}{(1+t^2)^2}$ m/s $v(t) = 1 + t^2$ m/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 295
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A posição é $s(t) = \arctan t$ , logo a velocidade é $v(t) = s'(t) = \dfrac{1}{1+t^2}$ . Como $1+t^2 \geq 1$ e cresce com $t$ , a velocidade decresce monotonicamente para zero — o puck desacelera continuamente.
Ex. 14.30Modelagem
Um prédio de 225 pés de altura projeta uma sombra de comprimento $x$ . O ângulo de elevação $\theta$ formado pelo topo do prédio e a ponta da sombra satisfaz $\tan\theta = 225/x$ . Encontre $d\theta/dx$ e avalie em $x = 272$ pés.
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{-225}{x^2 + 225^2}$ rad/pé; em $x=272$ é aprox. $-0{,}00136$ rad/pé $\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{225}{x^2 + 225^2}$ $\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{-x}{x^2 + 225^2}$ $\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{x}{(x^2 + 225^2)^{3/2}}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 296
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O ângulo de elevação é $\theta = \arctan(225/x)$ . Derivando: $\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{1}{1+(225/x)^2} \cdot \left(-\dfrac{225}{x^2}\right) = \dfrac{-225}{x^2 + 225^2}$ . Em $x = 272$ : $d\theta/dx = -225/(272^2 + 225^2) = -225/(73984 + 50625) = -225/124609 \approx -0{,}001806$ rad/pé.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. O ângulo $\theta$ satisfaz $\tan\theta = 225/x$ , logo $\theta = \arctan(225/x)$ .
2. Regra da cadeia: $d\theta/dx = \dfrac{1}{1+(225/x)^2} \cdot (-225/x^2)$ .
3. Simplificação: $= \dfrac{-225}{x^2 + 225^2}$ .
4. Em $x = 272$ : $d\theta/dx \approx -0{,}00181$ rad/pé.