v1 · padrão canônico

Lição 15 — Derivadas das funções exponencial e logarítmica

Derivadas de e^x, a^x, ln x, log_a x. Derivação logarítmica para produtos e potências variáveis. Aplicações em crescimento exponencial e modelos de engenharia.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 2 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\frac{d}{dx}e^x = e^x \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}

A função exponencial $e^x$ é a única função não-trivial que é igual à sua própria derivada — propriedade que a torna fundamental em equações diferenciais. O logaritmo natural $\ln x$ tem derivada $1/x$ , a mais simples das funções racionais, e é a primitiva de $1/x$ que "falta" na regra da potência.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Derivadas exponenciais e logarítmicas

Theorem· Derivadas fundamentais

Função	Derivada	Condição
$e^x$	$e^x$	$x \in \mathbb{R}$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a>0$ , $a\neq 1$
$\ln x$	$1/x$	$x > 0$
$\ln\lvert x\rvert$	$1/x$	$x \neq 0$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$	$x>0$ , $a>0$ , $a\neq 1$

Prova de $(e^x)' = e^x$ :

$\frac{e^{x+h}-e^x}{h} = e^x\cdot\frac{e^h-1}{h} \xrightarrow[h\to 0]{} e^x\cdot 1 = e^x,$

usando o limite fundamental $\lim_{h\to 0}\dfrac{e^h-1}{h} = 1$ . $\blacksquare$

Prova de $(\ln x)' = 1/x$ :

Seja $y = \ln x$ , logo $e^y = x$ . Derivando implicitamente: $e^y y' = 1$ , logo $y' = 1/e^y = 1/x$ . $\blacksquare$

Derivada de $a^x$ : Escreva $a^x = e^{x\ln a}$ , então $(a^x)' = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a$ . $\blacksquare$

Warning

Três coisas distintas com aparência similar:

Expressão	Tipo	Derivada
$x^n$ (base variável, exp. constante)	Potência	$nx^{n-1}$
$a^x$ (base constante, exp. variável)	Exponencial	$a^x\ln a$
$x^x$ (base e exp. variáveis)	Potência generalizada	$x^x(1+\ln x)$

Exemplos resolvidos

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 3Modeling 5Challenge 2

Ex. 15.1ApplicationAnswer key
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^2 e^x$ .
Select the correct option
$x^2 e^x + 2x e^x$ $2x e^x$ $x^2 e^x$ $2x e^x - x^2 e^x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 331
Show solution
Pela regra do produto: $(x^2 e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(x^2+2x)$ .
Ex. 15.2ApplicationAnswer key
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{e^{-x}}{x}$ .
Select the correct option
$\dfrac{-e^{-x}(x+1)}{x^2}$ $\dfrac{e^{-x}(1-x)}{x^2}$ $\dfrac{-e^{-x}}{x}$ $\dfrac{e^{-x}(1+x)}{x^2}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 332
Show solution
Regra do quociente com $u = e^{-x}$ , $v = x$ : $f'(x) = \frac{(-e^{-x})x - e^{-x}\cdot 1}{x^2} = \frac{-e^{-x}(x+1)}{x^2}$ .
Ex. 15.3Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = e^x \cdot x^3 \ln x$ .
Select the correct option
$e^x(3x^2 \ln x + x^2)$ $e^x \cdot 3x^2 \ln x$ $e^x(x^3 \ln x + 3x^2)$ $3x^2 e^x \ln x + e^x / x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 333
Show solution
Produto de três fatores: $f = e^x \cdot x^3 \cdot \ln x$ . Usando $(uv)' = u'v + uv'$ em pares: $f' = e^x(x^3 \ln x) + e^x(3x^2 \ln x + x^3/x) = e^x(x^3 \ln x + 3x^2 \ln x + x^2) = e^x(3x^2 \ln x + x^2)$ (para $x^3$ absorvido). Simplificando: $e^x \cdot x^2(3\ln x + 1)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $f(x) = e^x \cdot x^3 \cdot \ln x$ como produto de três funções.
2. Agrupe: $u = e^x$ , $v = x^3 \ln x$ .
3. $v' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$ .
4. $f' = e^x \cdot v + e^x \cdot v' = e^x(x^3 \ln x + 3x^2 \ln x + x^2) = e^x(3x^2 \ln x + x^2)$ .
Ex. 15.4ApplicationAnswer key
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = e^{2x} + 2x$ .
Select the correct option
$2e^{2x} + 2$ $2e^{2x} + 2x$ $e^{2x} + 2$ $2e^{2x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 334
Show solution
$f(x) = e^{2x} + 2x$ . Derivando: $f'(x) = 2e^{2x} + 2$ .
Ex. 15.5Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ .
Select the correct option
$\dfrac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$ $\dfrac{e^x + e^{-x}}{(e^x - e^{-x})^2}$ $1$ $\dfrac{2}{e^x + e^{-x}}$
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 335
Show solution
Seja $f = (e^x - e^{-x})/(e^x + e^{-x})$ . Pela regra do quociente: $f' = \frac{(e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}$ . O numerador é $(e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2 = 4$ , pois $(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab$ com $a=e^x, b=e^{-x}$ .
Ex. 15.6Understanding
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{10^x}{\ln 10}$ .
Select the correct option
$10^x$ $\dfrac{10^x}{\ln 10}$ $10^x \ln 10$ $\dfrac{1}{\ln 10}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 336
Show solution
$f(x) = \frac{10^x}{\ln 10}$ . Derivando: $f'(x) = \frac{10^x \ln 10}{\ln 10} = 10^x$ , pois $(a^x)' = a^x \ln a$ .
Ex. 15.7Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 2^{4x} + 4x^2$ .
Select the correct option
$2^{4x} \cdot 4\ln 2 + 8x$ $4 \cdot 2^{4x} + 4x^2$ $2^{4x} \ln 2 + 8x$ $4 \cdot 2^{4x-1} + 8x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 337
Show solution
$f(x) = 2^{4x} + 4x^2$ . Derivando termo a termo: $(2^{4x})' = 2^{4x} \ln 2 \cdot 4 = 4 \cdot 2^{4x} \ln 2$ e $(4x^2)' = 8x$ .
Ex. 15.8ApplicationAnswer key
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 3^{\sin 3x}$ .
Select the correct option
$3^{\sin 3x} \cdot \ln 3 \cdot 3\cos 3x$ $3^{\sin 3x} \cdot \cos 3x$ $3 \cdot 3^{\sin 3x - 1} \cdot \cos 3x$ $3^{\sin 3x} \cdot 3\cos 3x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 338
Show solution
Regra da cadeia para $a^{g(x)}$ : $f'(x) = 3^{\sin 3x} \cdot \ln 3 \cdot (\sin 3x)' = 3^{\sin 3x} \ln 3 \cdot 3\cos 3x$ .
Ex. 15.9Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^\pi \cdot \pi^x$ .
Select the correct option
$\pi x^{\pi-1} \cdot \pi^x + x^\pi \cdot \pi^x \ln \pi$ $\pi^2 x^{\pi-1} \cdot \pi^{x-1}$ $\pi x^{\pi-1} + \pi^x \ln \pi$ $x^\pi \cdot \pi^x (\pi/x + \ln \pi)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 339
Show solution
Produto $f = x^\pi \cdot \pi^x$ : $f' = (x^\pi)' \pi^x + x^\pi (\pi^x)' = \pi x^{\pi-1} \pi^x + x^\pi \pi^x \ln\pi$ . Fatorando: $x^\pi \pi^x(\pi/x + \ln\pi)$ .
Ex. 15.10Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \ln(4x^3 + x)$ .
Select the correct option
$\dfrac{12x^2 + 1}{4x^3 + x}$ $\dfrac{1}{4x^3 + x}$ $\dfrac{12x^2}{4x^3 + x}$ $4x^3 + x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 340
Show solution
Regra da cadeia: $f'(x) = \frac{(4x^3+x)'}{4x^3+x} = \frac{12x^2+1}{4x^3+x}$ .
Ex. 15.11Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \ln(5x - 7)$ .
Select the correct option
$\dfrac{5}{5x - 7}$ $\dfrac{1}{5x - 7}$ $5 \ln(5x-7)$ $\dfrac{1}{x - 7/5}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 341
Show solution
$f(x) = \ln(5x-7)$ , então $f'(x) = \frac{5}{5x-7}$ .
Ex. 15.12Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^2 \ln(9x)$ .
Select the correct option
$2x \ln(9x) + x$ $2x \ln(9x)$ $x^2 / (9x) + 2x \ln(9x)$ $x(2\ln(9x) + 9)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 342
Show solution
Produto: $f'(x) = 2x \ln(9x) + x^2 \cdot \frac{9}{9x} = 2x\ln(9x) + x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $u = x^2$ , $v = \ln(9x)$ .
2. $u' = 2x$ , $v' = \frac{9}{9x} = \frac{1}{x}$ .
3. $f' = 2x \ln(9x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln(9x) + x$ .
Ex. 15.13Understanding
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \log_{10}(\sec x)$ .
Select the correct option
$\dfrac{\tan x}{\ln 10}$ $\dfrac{\sec x \tan x}{\ln 10}$ $\tan x \cdot \ln 10$ $\dfrac{1}{\sec x \cdot \ln 10}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 343
Show solution
$f(x) = \log_{10}(\sec x)$ . Usando $(\log_a u)' = u'/(u \ln a)$ : $f'(x) = \frac{(\sec x)'}{\sec x \cdot \ln 10} = \frac{\sec x \tan x}{\sec x \cdot \ln 10} = \frac{\tan x}{\ln 10}$ .
Ex. 15.14Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = [\log_7(6x^4+3)]^5$ .
Select the correct option
$\dfrac{5 \cdot 24x^3}{(6x^4+3)\ln 7}$ $\dfrac{24x^3}{(6x^4+3)\ln 7}$ $\dfrac{5(6x^4+3)^4 \cdot 24x^3}{\ln 7}$ $\dfrac{24x^3}{(6x^4+3)}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 344
Show solution
Regra da cadeia: $f = [\log_7(6x^4+3)]^5$ , portanto $f' = 5[\log_7(6x^4+3)]^4 \cdot \frac{24x^3}{(6x^4+3)\ln 7}$ . (Resp: $\frac{120x^3[\log_7(6x^4+3)]^4}{(6x^4+3)\ln 7}$ )
Ex. 15.15Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 2x \cdot \log_3(7x^2 - 4)$ .
Select the correct option
$2\log_3(7x^2-4) + \dfrac{28x^2}{(7x^2-4)\ln 3}$ $\dfrac{14x}{(7x^2-4)\ln 3}$ $2x \cdot \dfrac{14x}{(7x^2-4)\ln 3}$ $2\log_3(7x^2-4) + \dfrac{14x}{(7x^2-4)\ln 3}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 345
Show solution
Produto $f = 2x \cdot \log_3(7x^2-4)$ : $f' = 2\log_3(7x^2-4) + 2x \cdot \frac{14x}{(7x^2-4)\ln 3} = 2\log_3(7x^2-4) + \frac{28x^2}{(7x^2-4)\ln 3}$ .
Ex. 15.16Application
Use derivação logarítmica para calcular $dy/dx$ para $y = x^x$ .
Select the correct option
$x^x(1 + \ln x)$ $x^x \ln x$ $x \cdot x^{x-1}$ $x^x / x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 346
Show solution
Derivação logarítmica: $\ln y = x \ln x$ , então $y'/y = \ln x + 1$ , logo $y' = x^x(\ln x + 1)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Tome $\ln$ de ambos os lados: $\ln y = x \ln x$ .
2. Derive: $\frac{y'}{y} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ .
3. Multiplique por $y$ : $y' = x^x(1 + \ln x)$ .
Ex. 15.17ApplicationAnswer key
Use derivação logarítmica para calcular $dy/dx$ para $y = (\sin 2x)^{4x}$ .
Select the correct option
$( \sin 2x)^{4x}\bigl[4\ln(\sin 2x) + 8x\cot 2x\bigr]$ $4(\sin 2x)^{4x-1} \cdot 2\cos 2x$ $(\sin 2x)^{4x} \cdot 4\ln(\sin 2x)$ $(\sin 2x)^{4x}\bigl[4\ln(\sin 2x) + 4x\cot 2x\bigr]$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 347
Show solution
Derivação logarítmica: $\ln y = 4x \ln(\sin 2x)$ . Derivando: $y'/y = 4\ln(\sin 2x) + 4x \cdot \frac{2\cos 2x}{\sin 2x} = 4\ln(\sin 2x) + 8x\cot 2x$ . Então $y' = (\sin 2x)^{4x}[4\ln(\sin 2x) + 8x\cot 2x]$ .
Ex. 15.18Application
Use derivação logarítmica para calcular $dy/dx$ para $y = (\ln x)^{\ln x}$ .
Select the correct option
$(\ln x)^{\ln x} \cdot \dfrac{\ln(\ln x) + 1}{x}$ $(\ln x)^{\ln x} \cdot \dfrac{1}{x}$ $(\ln x)^{\ln x - 1} \cdot \dfrac{1}{x}$ $(\ln x)^{\ln x} \cdot \dfrac{\ln(\ln x)}{x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 348
Show solution
Derivação logarítmica: $\ln y = \ln x \cdot \ln(\ln x)$ . Derivando: $y'/y = \frac{1}{x}\ln(\ln x) + \ln x \cdot \frac{1}{x\ln x} = \frac{\ln(\ln x)+1}{x}$ . Logo $y' = (\ln x)^{\ln x} \cdot \frac{\ln(\ln x)+1}{x}$ .
Ex. 15.19Understanding
Use derivação logarítmica para calcular $dy/dx$ para $y = x^{\log_2 x}$ .
Select the correct option
$x^{\log_2 x} \cdot \dfrac{2\log_2 x}{x}$ $x^{\log_2 x} \cdot \dfrac{1}{x\ln 2}$ $x^{\log_2 x - 1} \cdot \log_2 x$ $x^{\log_2 x} \cdot \dfrac{\log_2 x}{x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 349
Show solution
Derivação logarítmica: $\ln y = \log_2 x \cdot \ln x = \frac{(\ln x)^2}{\ln 2}$ . Derivando: $y'/y = \frac{2\ln x}{x \ln 2} = \frac{2\log_2 x}{x}$ . Logo $y' = x^{\log_2 x} \cdot \frac{2\log_2 x}{x}$ .
Ex. 15.20Application
Use derivação logarítmica para calcular $dy/dx$ para $y = (x^2-1)^{\ln x}$ .
Select the correct option
$(x^2-1)^{\ln x}\left[\dfrac{\ln(x^2-1)}{x} + \dfrac{2x\ln x}{x^2-1}\right]$ $(x^2-1)^{\ln x} \cdot \dfrac{2x}{x^2-1}$ $\ln x \cdot (x^2-1)^{\ln x - 1} \cdot 2x$ $(x^2-1)^{\ln x} \cdot \dfrac{\ln(x^2-1)}{x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 350
Show solution
Derivação logarítmica: $\ln y = \ln x \cdot \ln(x^2-1)$ . Derivando: $y'/y = \frac{1}{x}\ln(x^2-1) + \ln x \cdot \frac{2x}{x^2-1}$ . Logo $y' = (x^2-1)^{\ln x}\left[\frac{\ln(x^2-1)}{x}+\frac{2x\ln x}{x^2-1}\right]$ .
Ex. 15.21Application
Use derivação logarítmica para calcular $dy/dx$ para $y = x^{\cot x}$ .
Select the correct option
$x^{\cot x}\left[\dfrac{\cot x}{x} - \ln x \cdot \csc^2 x\right]$ $\cot x \cdot x^{\cot x - 1}$ $x^{\cot x}(\cot x / x)$ $x^{\cot x}(-\ln x \cdot \csc^2 x)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 351
Show solution
Derivação logarítmica: $\ln y = \cot x \ln x$ . Derivando: $y'/y = -\csc^2 x \ln x + \cot x \cdot \frac{1}{x}$ . Logo $y' = x^{\cot x}\left[\frac{\cot x}{x} - \ln x \csc^2 x\right]$ .
Ex. 15.22Application
Use derivação logarítmica para calcular $dy/dx$ para $y = \dfrac{\sqrt{x+11}}{\sqrt[3]{x^2-4}}$ .
Select the correct option
$y\left[\dfrac{1}{2(x+11)} - \dfrac{2x}{3(x^2-4)}\right]$ $y\left[\dfrac{1}{x+11} - \dfrac{2x}{x^2-4}\right]$ $y\left[\dfrac{1}{2(x+11)} + \dfrac{2x}{3(x^2-4)}\right]$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x+11}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2-4}}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 352
Show solution
Derivação logarítmica para $y = \frac{\sqrt{x+11}}{(x^2-4)^{1/3}}$ : $\ln y = \frac{1}{2}\ln(x+11) - \frac{1}{3}\ln(x^2-4)$ . Derivando: $y'/y = \frac{1}{2(x+11)} - \frac{2x}{3(x^2-4)}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva $y = (x+11)^{1/2}(x^2-4)^{-1/3}$ .
2. Tome $\ln$ : $\ln y = \frac{1}{2}\ln(x+11) - \frac{1}{3}\ln(x^2-4)$ .
3. Derive: $y'/y = \frac{1}{2(x+11)} - \frac{2x}{3(x^2-4)}$ .
4. Multiplique por $y$ .
Ex. 15.23Application
Use derivação logarítmica para calcular $dy/dx$ para $y = x^{-1/2}(x^2+3)^{2/3}(3x-4)^4$ .
Select the correct option
$y\left[-\dfrac{1}{2x} + \dfrac{4x}{3(x^2+3)} + \dfrac{12}{3x-4}\right]$ $y\left[-\dfrac{1}{2x} + \dfrac{2x}{3(x^2+3)} + \dfrac{12}{3x-4}\right]$ $y\left[\dfrac{1}{2x} + \dfrac{4x}{3(x^2+3)} + \dfrac{12}{3x-4}\right]$ $y\left[-\dfrac{1}{2x} + \dfrac{4x}{3(x^2+3)} - \dfrac{12}{3x-4}\right]$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 353
Show solution
Para $y = x^{-1/2}(x^2+3)^{2/3}(3x-4)^4$ : $\ln y = -\frac{1}{2}\ln x + \frac{2}{3}\ln(x^2+3) + 4\ln(3x-4)$ . Derivando: $y'/y = -\frac{1}{2x} + \frac{4x}{3(x^2+3)} + \frac{12}{3x-4}$ . (Resp: $y' = y\bigl[-\frac{1}{2x}+\frac{4x}{3(x^2+3)}+\frac{12}{3x-4}\bigr]$ )
Ex. 15.24Modeling
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = 4xe^{x^2-1}$ no ponto onde $x = -1$ .
Select the correct option
$y = 12x + 8$ $y = -4x - 8$ $y = 4x + 4$ $y = 12x - 8$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 354
Show solution
Em $x = -1$ : $f(-1) = 4(-1)e^{(-1)^2-1} = -4e^0 = -4$ . $f'(x) = 4e^{x^2-1} + 4x \cdot 2x e^{x^2-1} = 4e^{x^2-1}(1+2x^2)$ . $f'(-1) = 4e^0(1+2) = 12$ . Reta tangente: $y - (-4) = 12(x-(-1))$ , i.e. $y = 12x + 8$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f(-1) = 4(-1)e^0 = -4$ . O ponto é $(-1, -4)$ .
2. Derive com produto + cadeia: $f'(x) = 4e^{x^2-1}(1+2x^2)$ .
3. $f'(-1) = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12$ .
4. Reta: $y = 12(x+1) - 4 = 12x + 8$ .
Ex. 15.25Modeling
Encontre a equação da reta normal ao gráfico de $f(x) = x \cdot 5^x$ no ponto onde $x = 1$ .
Select the correct option
$y = -\dfrac{1}{5+5\ln 5}(x-1) + 5$ $y = (5 + 5\ln 5)(x-1) + 5$ $y = 5\ln 5 \cdot (x-1) + 5$ $y = -\dfrac{x}{5+5\ln 5}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 355
Show solution
Em $x=1$ : $f(1) = 1 \cdot 5^1 = 5$ . $f'(x) = 5^x + x \cdot 5^x \ln 5 = 5^x(1 + x\ln 5)$ ; $f'(1) = 5(1+\ln 5)$ . A reta normal tem inclinação $m = -1/[5(1+\ln 5)]$ . Equação: $y - 5 = -\frac{1}{5(1+\ln 5)}(x-1)$ .
Ex. 15.26ChallengeAnswer key
Para $y = x^{1/x}$ com $x > 0$ , determine os pontos onde a reta tangente é horizontal.
Select the correct option
$x = e$ , onde a tangente é horizontal $x = 1$ , onde a tangente é horizontal $x = 1/e$ , onde a tangente é horizontalNão há tangente horizontal
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 357
Show solution
Para $y = x^{1/x}$ , a derivação logarítmica dá $y' = x^{1/x} \cdot \frac{1-\ln x}{x^2}$ . Tangente horizontal quando $y' = 0$ , i.e. $1 - \ln x = 0$ , i.e. $x = e$ . Para $x < e$ , $y' > 0$ (crescente); para $x > e$ , $y' < 0$ (decrescente).
Show step-by-step (with the why)
1. Derivação log: $\ln y = \frac{\ln x}{x}$ .
2. Derive: $y'/y = \frac{1/x \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}$ .
3. $y' = x^{1/x} \cdot \frac{1-\ln x}{x^2}$ .
4. Tangente horizontal: $y' = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$ .
Ex. 15.27Modeling
A população de uma cidade em 2000 era de 500 000 habitantes, crescendo a 5% ao ano. Escreva a função exponencial $P(t)$ e calcule a taxa de crescimento em $t = 10$ anos.
Select the correct option
$P(t) = 500000 \cdot 1{,}05^t$ ; taxa em $t=10$ é aprox. $38\,782$ hab./ano $P(t) = 500000 e^{0{,}05t}$ ; taxa em $t=10$ é $25\,000$ hab./ano $P(t) = 500000 + 25000t$ ; taxa em $t=10$ é $25\,000$ hab./ano $P(t) = 500000 \cdot 1{,}05^t$ ; taxa em $t=10$ é $25\,000$ hab./ano
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 359
Show solution
A função exponencial que modela crescimento a 5% ao ano é $P(t) = 500000 \cdot 1{,}05^t$ . A taxa é $P'(t) = 500000 \cdot 1{,}05^t \ln(1{,}05)$ . Em $t=10$ : $P'(10) = 500000 \cdot 1{,}05^{10} \cdot \ln(1{,}05) \approx 500000 \cdot 1{,}6289 \cdot 0{,}04879 \approx 39\,701$ hab./ano.
Ex. 15.28Modeling
Um isótopo tem meia-vida de 12 horas; inicialmente há 9 g. Escreva a função $Q(t)$ e calcule a taxa de decaimento em $t = 4$ horas.
Select the correct option
$Q(t) = 9 \cdot (1/2)^{t/12}$ ; taxa em $t=4$ : aprox. $-0{,}434$ g/h $Q(t) = 9 e^{-12t}$ ; taxa em $t=4$ : $-108 e^{-48}$ g/h $Q(t) = 9 \cdot (1/2)^{t/12}$ ; taxa em $t=4$ : aprox. $-0{,}500$ g/h $Q(t) = 9 - t/12$ ; taxa em $t=4$ : $-1/12$ g/h
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 360
Show solution
Meia-vida de 12 h: $Q(t) = 9 \cdot (1/2)^{t/12} = 9 \cdot 2^{-t/12}$ . Derivada: $Q'(t) = 9 \cdot 2^{-t/12} \cdot (-\ln 2/12)$ . Em $t=4$ : $Q'(4) = 9 \cdot 2^{-1/3} \cdot (-\ln 2/12) \approx 9 \cdot 0{,}7937 \cdot (-0{,}0578) \approx -0{,}413$ g/h.
Show step-by-step (with the why)
1. Meia-vida 12 h: $Q(t) = 9 \cdot 2^{-t/12}$ .
2. Derive: $Q'(t) = 9 \cdot 2^{-t/12} \cdot \ln 2 \cdot (-1/12)$ .
3. Em $t=4$ : $Q'(4) = -\frac{9\ln 2}{12} \cdot 2^{-1/3} \approx -0{,}413$ g/h.
Ex. 15.29ModelingAnswer key
O número de casos de gripe é modelado por $N(t) = 5{,}3\, e^{0{,}093t^2 - 0{,}87t}$ (em milhares, $0 \leq t \leq 4$ ). Calcule $N'(t)$ e determine o sinal de $N'(0)$ .
Select the correct option
$N'(t) = 5{,}3 e^{0{,}093t^2 - 0{,}87t}(0{,}186t - 0{,}87)$ ; $N'(0) < 0$ , $N'(3) > 0$ $N'(t) = 5{,}3(0{,}093t^2 - 0{,}87t)e^{0{,}093t^2 - 0{,}87t}$ $N'(t) = 5{,}3 \cdot 0{,}093t^2 e^{0{,}093t^2 - 0{,}87t}$ $N'(0) > 0$ e $N'(3) < 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 361
Show solution
Regra da cadeia: $N'(t) = 5{,}3 e^{0{,}093t^2-0{,}87t}\cdot(0{,}186t-0{,}87)$ . Em $t=0$ : $N'(0) = 5{,}3 \cdot 1 \cdot (-0{,}87) < 0$ (doença diminuindo). Em $t=3$ : expoente $0{,}186\cdot3 - 0{,}87 = -0{,}312 < 0$ ... na verdade, $0{,}558 - 0{,}87 = -0{,}312$ ainda negativo. O ponto de mínimo é $t = 0{,}87/0{,}186 \approx 4{,}7$ .
Ex. 15.30Challenge
A taxa de crescimento relativa de uma função diferenciável $y = f(x)$ é $f'/f$ . Se $h(x) = f(x)g(x)$ , expresse a taxa de crescimento relativa de $h$ em termos das taxas de $f$ e $g$ .
Select the correct option
$\dfrac{f'}{f} + \dfrac{g'}{g}$ $\dfrac{f'}{f} \cdot \dfrac{g'}{g}$ $\dfrac{f' + g'}{f + g}$ $\dfrac{(fg)'}{fg}$ , que não simplifica para soma
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.9 · ex. 362
Show solution
A taxa de crescimento relativa de $h = fg$ é $\frac{h'}{h} = \frac{(fg)'}{fg} = \frac{f'g + fg'}{fg} = \frac{f'}{f} + \frac{g'}{g}$ . Portanto a taxa logarítmica do produto é a soma das taxas logarítmicas.

Fontes

OpenStax — Calculus Volume 1, §3.9 "Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions". Licença CC-BY-NC-SA. https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-9-derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions