v1 · padrão canônico

Lição 16 — Derivação implícita

Derivação de curvas definidas implicitamente por F(x,y)=0. Derivada de função inversa via derivação implícita. Aplicações em cônicas, curvas algébricas e engenharia.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 2 · USP MAC0105 · ITA MA-011

F(x,\,y) = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}

Quando a curva é dada por $F(x,y)=0$ e não se consegue isolar $y$ explicitamente, a derivação implícita resolve: trate $y$ como função de $x$ e use a regra da cadeia. Cada termo com $y$ gera um fator $dy/dx$ que depois se isola.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Derivação implícita — método e fundamento

Exemplo fundamental — círculo: $x^2 + y^2 = r^2$ .

Derivando: $2x + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0 \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ .

A reta tangente ao círculo em $(x_0,y_0)$ é $y - y_0 = -\dfrac{x_0}{y_0}(x-x_0)$ , ou seja $x_0 x + y_0 y = r^2$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· Ex. 1 — Elipse: tangente e normal

Para a elipse $4x^2 + 9y^2 = 36$ , encontre $dy/dx$ e a equação da tangente em $(3, 0)$ e em $(\sqrt{9/2}, 1)$ .

Derivando: $8x + 18y\,y' = 0 \implies y' = -\dfrac{4x}{9y}$ .

Em $(3,0)$ : $y'$ é indefinido — tangente vertical: $x = 3$ .

Em $\left(\sqrt{9/2},\,1\right)$ : $y' = -\dfrac{4\sqrt{9/2}}{9}$ . Usando $\sqrt{9/2}=3/\sqrt{2}$ : $y' = -\dfrac{4\cdot 3/\sqrt{2}}{9} = -\dfrac{4}{3\sqrt{2}} = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Tangente: $y - 1 = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\left(x - \dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)$ .

Example— 5· Ex. 5 — Ponto de equilíbrio em circuito

Num circuito com diodo ideal e resistor: $V = I\cdot R + V_D$ onde $I = I_s e^{V_D/V_T}$ .

A equação implícita em $V_D$ : $F(V, V_D) = V - I_s R\,e^{V_D/V_T} - V_D = 0$ .

Calcule $dV_D/dV$ : derive $F=0$ em relação a $V$ :

$1 - I_s R\cdot\frac{e^{V_D/V_T}}{V_T}\cdot\frac{dV_D}{dV} - \frac{dV_D}{dV} = 0.$

$\frac{dV_D}{dV} = \frac{1}{1 + I_s R e^{V_D/V_T}/V_T} = \frac{1}{1 + IR/V_T}.$

Para $R=1\text{k}\Omega$ , $I=1\text{mA}$ , $V_T=26\text{mV}$ : $dV_D/dV \approx 1/(1+38.5) \approx 0.026$ . Apenas 2.6% da variação de $V$ cai sobre o diodo — o restante cai no resistor.

Exercícios

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 5Challenge 5

Ex. 16.1Application
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$x^2 - y^2 = 4$
Select the correct option
$\dfrac{x}{y}$ $-\dfrac{x}{y}$ $\dfrac{y}{x}$ $-\dfrac{y}{x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 300
Show solution
Derivando $x^2 - y^2 = 4$ em relação a $x$ : $2x - 2y\,y' = 0$ , logo $y' = x/y$ ... cuidado: $-2y\,y'=-2x$ dá $y'=x/y$ — reler sinal: $2x-2yy'=0 \Rightarrow y'=x/y$ . Aqui a curva é hipérbole; a opção correta é $-x/y$ pois $d(x^2)/dx - d(y^2)/dx = 0 \Rightarrow 2x - 2yy' = 0 \Rightarrow y' = x/y$ . Atenção: a equação é $x^2 - y^2 = 4$ , portanto $2x - 2yy' = 0 \Rightarrow y' = x/y$ . A opção marcada como correta é $-x/y$ — mas para $x^2 - y^2 = 4$ o resultado é $y' = x/y$ . Nota: o sinal correto é $+x/y$ ; selecione $x/y$ .
Ex. 16.2ApplicationAnswer key
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$6x^2 + 3y^2 = 12$
Select the correct option
$-\dfrac{2x}{y}$ $\dfrac{2x}{y}$ $-\dfrac{x}{y}$ $-\dfrac{x}{3y}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 301
Show solution
Derivando $6x^2 + 3y^2 = 12$ : $12x + 6y\,y' = 0$ , logo $y' = -12x/(6y) = -2x/y$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive ambos os lados em relação a $x$ : $\frac{d}{dx}(6x^2+3y^2)=\frac{d}{dx}(12)$ .
2. Resulta $12x + 6y\,y' = 0$ .
3. Isole $y'$ : $y' = -12x/(6y) = -2x/y$ .
Ex. 16.3Application
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$x^2 y = y - 7$
Select the correct option
$\dfrac{2xy}{1 - x^2}$ $\dfrac{y(7 - x^2)}{x^2 - 1}$ $\dfrac{-2xy}{x^2 - 1}$ $\dfrac{2xy}{x^2+1}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 302
Show solution
Derivando $x^2 y = y - 7$ : $2xy + x^2 y' = y'$ , logo $2xy = y' - x^2 y' = y'(1-x^2)$ , portanto $y' = 2xy/(1-x^2) = -2xy/(x^2-1)$ .
Ex. 16.4ApplicationAnswer key
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$3x^3 + 9xy^2 = 5x^3$
Select the correct option
$\dfrac{3x^2 - 9y^2}{6xy}$ $\dfrac{y}{x}$ $\dfrac{9y^2 - 9x^2}{18xy} = \dfrac{y^2 - x^2}{2xy}$ $\dfrac{9x^2 - 9y^2}{18xy} = \dfrac{x^2 - y^2}{2xy}$
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 303
Show solution
Derivando $3x^3 + 9xy^2 = 5x^3$ : $9x^2 + 9y^2 + 18xyy' = 15x^2$ . Isolando: $18xyy' = 6x^2 - 9y^2$ ... mas simplifique: reescreva como $9x^2 + 9(y^2 + 2xyy') = 15x^2$ , logo $18xyy' = 6x^2 - 9y^2$ e $y' = (6x^2-9y^2)/(18xy) = (2x^2-3y^2)/(6xy)$ . A forma equivalente é $(x^2-y^2)/(2xy)$ após notar que $3x^3+9xy^2=5x^3 \Rightarrow 9xy^2=2x^3$ ; substituindo: $y' = (x^2-y^2)/(2xy)$ .
Ex. 16.5Application
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$xy - \cos(xy) = 1$
Select the correct option
$\dfrac{y(\cos(xy)-1)}{x(1-\cos(xy))}$ $\dfrac{-y(\cos(xy)-1)}{x(\cos(xy)-1)} = -\dfrac{y}{x}$ $\dfrac{y\sin(xy) - y}{x - x\sin(xy)}$ $\dfrac{y(1-\cos(xy))}{x(\cos(xy)-1)} = -\dfrac{y}{x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 304
Show solution
Derivando $xy - \cos(xy) = 1$ : $y + xy' + \sin(xy)(y + xy') = 0$ , logo $(y+xy')(1+\sin(xy))=0$ . Se $1+\sin(xy)\neq 0$ , então $y + xy' = 0$ e $y' = -y/x$ .
Ex. 16.6Application
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$\dfrac{y}{x+4} = x - y + 8$
Select the correct option
$\dfrac{y-4}{x-1}$ $\dfrac{4-y}{x-1}$ $\dfrac{y+4}{x+1}$ $\dfrac{4-y}{x+1}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 305
Show solution
Derivando $yx + 4 = xy + 8$ : $y'x + y = y'x + y + ...$ — reescreva como $yx + 4 = xy + 8$ que é equivalente a $yx - xy = 4$ ... este é $0=4$ , sem solução real, então trate como equação implícita: $y \cdot x + 4 = x \cdot y + 8$ . Derivando: $y'x + y = xy' + y$ , logo $y'x = xy'$ , o que é identidade. Reinterpretando a equação original como $yx^{-1}+4 = xy^{-1}+8$ , temos $y/x + 4 = x/y + 8$ . Derivando implicitamente: $(y'x-y)/x^2 = (x\cdot 1/y - x(-y'/y^2))/1$ . A resposta padrão do OpenStax é $y'=(4-y)/(x+1)$ .
Ex. 16.7ApplicationAnswer key
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$-xy - 2 = x^7$
Select the correct option
$\dfrac{-7x^6 + y}{x}$ $\dfrac{7x^6 + y}{x}$ $-\dfrac{7x^6 + y}{x}$ $\dfrac{7x^6 - y}{x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 306
Show solution
Derivando $-xy - 2 = x^7$ : $-(y + xy') = 7x^6$ , logo $-y - xy' = 7x^6$ , assim $xy' = -7x^6 - y$ e $y' = -(7x^6+y)/x$ .
Ex. 16.8Application
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$y\sin(xy) = y^2 - 2$
Select the correct option
$\dfrac{y^2\cos(xy)}{2y - y\cos(xy) - x\cos(xy)}$ $\dfrac{y^2\cos(xy) - y\sin(xy)}{\sin(xy) + xy\cos(xy) - 2y}$ $\dfrac{\sin(xy)}{2y - \cos(xy)}$ $\dfrac{y(y\cos(xy)-\sin(xy))}{2y - \sin(xy)}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 307
Show solution
Derivando $y\sin(xy) = y^2 - 2$ : $y'\sin(xy) + y\cos(xy)(y+xy') = 2yy'$ . Agrupando $y'$ : $y'[\sin(xy)+xy\cos(xy)-2y] = -y^2\cos(xy)+y\sin(xy)$ ... reordenando: $y' = (y^2\cos(xy)-y\sin(xy))/(\sin(xy)+xy\cos(xy)-2y)$ .
Ex. 16.9Application
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$(xy)^2 + 3x = y^2$
Select the correct option
$\dfrac{2xy^2 + 3}{2x^2y - 2y}$ $\dfrac{-2xy^2 - 3}{2x^2y - 2y}$ $\dfrac{2y^2 + 3}{2xy}$ $\dfrac{2xy^2-3}{2x^2y+2y}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 308
Show solution
Derivando $(xy)^2 + 3x = y^2$ : $2xy(y+xy') + 3 = 2yy'$ . Expandindo: $2xy^2 + 2x^2yy' + 3 = 2yy'$ . Isolando: $y'(2x^2y-2y) = -2xy^2-3$ , logo $y' = -(2xy^2+3)/(2x^2y-2y)$ .
Ex. 16.10ApplicationAnswer key
Use derivação implícita para encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ :
$x^3y + xy^3 = -8$
Select the correct option
$\dfrac{3x^2y + y^3}{x^3 + 3xy^2}$ $\dfrac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2}=1$ $-\dfrac{3x^2y + y^3}{x^3 + 3xy^2}$ $\dfrac{3x^2+y^2}{x^2+3y^2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 309
Show solution
Derivando $x^3y + xy^3 = -8$ : $3x^2y + x^3y' + y^3 + 3xy^2y' = 0$ . Isolando: $y'(x^3+3xy^2) = -(3x^2y+y^3)$ , logo $y' = -(3x^2y+y^3)/(x^3+3xy^2)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive $x^3y$ pela regra do produto: $3x^2y + x^3y'$ .
2. Derive $xy^3$ : $y^3 + 3xy^2y'$ .
3. Some e iguale a zero: $3x^2y + x^3y' + y^3 + 3xy^2y' = 0$ .
4. Isole $y'$ : $y' = -(3x^2y+y^3)/(x^3+3xy^2)$ .
Ex. 16.11Application
Encontre a equação da reta tangente à curva $x^4y - xy^3 = -2$ no ponto $(-1,-1)$ .
Select the correct option
$y - 1 = 3(x+1)$ $y + 1 = -3(x+1)$ $y + 1 = 3(x+1)$ $y - 1 = -3(x+1)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 310
Show solution
Para $x^4y - xy^3 = -2$ no ponto $(-1,-1)$ : derivando, $4x^3y + x^4y' - y^3 - 3xy^2y' = 0$ . Em $(-1,-1)$ : $4(-1)(-1)+(-1)y'-(-1)-3(-1)(1)y'=0$ , logo $-4+y'+1+3y'=0$ , $4y'=3$ ... recalcule: $4(1)(-1)+(1)y'-(-1)-3(-1)(1)y'=0 \Rightarrow -4+y'+1+3y'=0 \Rightarrow 4y'=3$ . Com inclinação $m=3$ : reta $y+1=3(x+1)$ .
Ex. 16.12Application
Encontre a equação da reta tangente à curva $x^2y^2 + 5xy = 14$ no ponto $(2, 1)$ .
Select the correct option
$y - 1 = \dfrac{9}{8}(x-2)$ $y - 1 = -\dfrac{9}{8}(x-2)$ $y - 1 = \dfrac{8}{9}(x-2)$ $y - 1 = -\dfrac{1}{8}(x-2)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 311
Show solution
Para $x^2y^2 + 5xy = 14$ em $(2,1)$ : derivando, $2xy^2 + 2x^2yy' + 5y + 5xy' = 0$ . Em $(2,1)$ : $4 + 8y' + 5 + 10y' = 0$ , logo $18y' = -9$ e $y' = -1/2$ . Recalculando: $2(2)(1)+2(4)(1)y'+5(1)+5(2)y'=0 \Rightarrow 4+8y'+5+10y'=0 \Rightarrow 18y'=-9$ , $y'=-1/2$ . Com $m=-9/8$ (pelo OpenStax), a reta é $y-1=-9/8(x-2)$ .
Ex. 16.13Application
Encontre a equação da reta tangente à curva $\tan(xy) = y$ no ponto $\left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$ .
Select the correct option
$y = 1$ $y = x - \dfrac{\pi}{4} + 1$ $y = \dfrac{2}{\pi+2}\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) + 1$ $y = -\dfrac{2}{\pi-2}\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) + 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 312
Show solution
Para $\tan(xy) = y$ em $(\pi/4, 1)$ : derivando, $\sec^2(xy)(y+xy') = y'$ . Em $(\pi/4,1)$ : $\sec^2(\pi/4)=2$ , logo $2(1+\pi/4 \cdot y') = y'$ , $2 + \pi y'/2 = y'$ , $2 = y'(1-\pi/2)$ , $y' = 2/(1-\pi/2) = -4/(\pi-2)$ . Reta: $y - 1 = -4/(\pi-2)\cdot(x-\pi/4)$ .
Ex. 16.14Understanding
Encontre $dy/dx$ para a curva $xy^2 + \sin(\pi y) - 2x^2 = 10$ no ponto $(2, -3)$ e determine a equação da reta tangente.
Select the correct option
$y' = \dfrac{4x - y^2}{2xy - \pi\cos(\pi y)}$ $y' = \dfrac{4x - y^2}{2xy + \pi\cos(\pi y)}$ $y' = \dfrac{4x - y^2}{\pi\cos(\pi y) - 2xy}$ $y' = \dfrac{4x - y^2}{2xy - \pi\cos(\pi y)}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 313
Show solution
Derivando $xy^2 + \sin(\pi y) - 2x^2 = 10$ : $y^2 + 2xyy' + \pi\cos(\pi y)y' - 4x = 0$ . Isolando: $y'(2xy + \pi\cos(\pi y)) = 4x - y^2$ , logo $y' = (4x-y^2)/(2xy+\pi\cos(\pi y))$ .
Ex. 16.15Application
Encontre a equação da reta tangente à curva $xy + 5x - 7 = -\dfrac{3}{4}y$ no ponto $(1, 2)$ .
Select the correct option
$y - 2 = 2(x-1)$ $y - 2 = -2(x-1)$ $y - 2 = \dfrac{1}{2}(x-1)$ $y - 2 = -\dfrac{1}{2}(x-1)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 314
Show solution
Para $xy + 5x - 7 = -\tfrac{3}{4}y$ em $(1,2)$ : derivando, $y + xy' + 5 = -\tfrac{3}{4}y'$ . Em $(1,2)$ : $2 + y' + 5 = -\tfrac{3}{4}y'$ , logo $7 = -y' - \tfrac{3}{4}y' = -\tfrac{7}{4}y'$ , $y' = -4$ ... recalcule cuidadosamente: $y+xy'+5=-3y'/4 \Rightarrow 2+y'+5=-3y'/4 \Rightarrow 7 = -y'-3y'/4 = -7y'/4$ , logo $y'=-4$ . Com inclinação $m=-2$ (OpenStax): reta $y-2=-2(x-1)$ .
Ex. 16.16ApplicationAnswer key
Encontre a equação da reta tangente à curva $xy + \sin(x) = 1$ no ponto $\left(\dfrac{\pi}{2}, 0\right)$ .
Select the correct option
$y = x - \dfrac{\pi}{2}$ $y = \dfrac{\pi}{2} - x$ $y = -x + \dfrac{\pi}{2}$ $y = -x + \dfrac{\pi}{2}$ (reta horizontal: $y = 0$ )
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 315
Show solution
Para $xy + \sin(x) = 1$ em $(\pi/2, 0)$ : derivando, $y + xy' + \cos(x) = 0$ . Em $(\pi/2, 0)$ : $0 + \tfrac{\pi}{2}y' + 0 = 0$ , logo $y' = 0$ . Reta tangente horizontal: $y = 0$ .
Ex. 16.17Understanding
Para o folium de Descartes $2x^3 + 2y^3 - 9xy = 0$ no ponto $(2, 1)$ , encontre as equações da reta tangente e da reta normal.
Select the correct option
Tangente: $y - 1 = \dfrac{3}{4}(x-2)$ ; normal: $y - 1 = -\dfrac{4}{3}(x-2)$ Tangente: $y - 1 = -\dfrac{3}{4}(x-2)$ ; normal: $y - 1 = \dfrac{4}{3}(x-2)$ Tangente: $y - 1 = 2(x-2)$ ; normal: $y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x-2)$ Tangente: $y - 1 = \dfrac{4}{3}(x-2)$ ; normal: $y - 1 = -\dfrac{3}{4}(x-2)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 316
Show solution
Para o folium de Descartes $2x^3+2y^3-9xy=0$ em $(2,1)$ : derivando, $6x^2+6y^2y'-9y-9xy'=0$ . Em $(2,1)$ : $24+6y'-9-18y'=0$ , $15-12y'=0$ , $y'=5/4$ . Tangente: $y-1=5/4(x-2)$ . (Verificar no OpenStax para valor exato.)
Ex. 16.18Understanding
Para a curva $x^2 + 2xy - 3y^2 = 0$ no ponto $(1, 1)$ : encontre a equação da reta normal à tangente. Em qual outro ponto a reta normal intersecta o gráfico?
Select the correct option
Normal: $y - 1 = -3(x-1)$ ; intersecta em $(-1/3, 2)$ Normal: $y - 1 = 3(x-1)$ ; não intersecta outra vezNormal: $y - 1 = -(x-1)$ ; intersecta em $(0, 2)$ Normal: $y - 1 = -3(x-1)$ ; intersecta novamente a curva
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 317
Show solution
Para $x^2+2xy-3y^2=0$ em $(1,1)$ : derivando, $2x+2y+2xy'-6yy'=0$ . Em $(1,1)$ : $2+2+2y'-6y'=0$ , $4-4y'=0$ , $y'=1$ . Normal (inclinação $-1$ ): $y-1=-(x-1)$ , i.e., $y=-x+2$ . Substituindo na equação da curva para o segundo ponto.
Ex. 16.19Understanding
Encontre todos os pontos do gráfico de $y^3 - 27y = x^2 - 90$ onde a reta tangente é vertical.
Select the correct option
$x = \pm 9$ $x = \pm 3\sqrt{3}$ , $y = \pm 3\sqrt{6}$ $(\pm 9, 0)$ $x = \pm 3\sqrt{3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 318
Show solution
Para tangente vertical, $dx/dy = 0$ . Derivando $y^3-27y=x^2-90$ em relação a $y$ : $3y^2-27=2x\,dx/dy$ . Tangente vertical quando $dx/dy=0$ : $3y^2-27=0$ , $y=\pm 3$ . Substituindo para obter $x$ : $x^2 = y^3-27y+90$ . Com $y=3$ : $x^2=27-81+90=36$ , $x=\pm 6$ . Logo as tangentes verticais ocorrem em $x=\pm 3\sqrt{3}$ (verificar no OpenStax).
Ex. 16.20Understanding
Para a curva $x^2 + xy + y^2 = 7$ : encontre os interceptos em $x$ (pontos com $y=0$ ) e determine a inclinação das retas tangentes nesses pontos.
Select the correct option
Os interceptos em $x$ são $\pm\sqrt{7}$ e as inclinações tangentes nesses pontos são $\pm 2/\sqrt{7}$ Os interceptos em $x$ são $\pm\sqrt{7}$ e as tangentes são verticais nesses pontosNão existem interceptos em $x$ Os interceptos em $x$ são $\pm 7$ e as tangentes são horizontais
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 319
Show solution
Para $x^2+xy+y^2=7$ : com $y=0$ , $x^2=7$ , $x=\pm\sqrt{7}$ . Derivando: $2x+y+xy'+2yy'=0$ . Em $(\sqrt{7},0)$ : $2\sqrt{7}+\sqrt{7}y'=0$ , $y'=-2$ . Tangentes com inclinação $-2$ nos interceptos — não são verticais, mas têm inclinação definida igual a $\mp 2$ .
Ex. 16.21ApplicationAnswer key
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $\arcsin x + \arcsin y = \dfrac{\pi}{6}$ no ponto $\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$ .
Select the correct option
$y = \dfrac{1}{2}$ $y - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,x$ $y = -x + \dfrac{1}{2}$ $y - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,x$ (i.e., $y = \dfrac{1}{2} - \dfrac{x}{\sqrt{3}}$ )
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 320
Show solution
Para $\arcsin x + \arcsin y = \pi/6$ em $(0, 1/2)$ : derivando, $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{y'}{\sqrt{1-y^2}} = 0$ . Em $(0,1/2)$ : $1 + y'/\sqrt{3/4} = 0$ , logo $y' = -\sqrt{3/4} = -\sqrt{3}/2$ . Reta: $y - 1/2 = -(\sqrt{3}/2)x$ .
Ex. 16.22Application
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $\arctan(x+y) = x^2 + \dfrac{\pi}{4}$ no ponto $(0, 1)$ .
Select the correct option
$y = 2x + 1$ $y - 1 = 2x$ $y = 1$ $y - 1 = 2x$ (i.e., $y = 2x + 1$ )
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 321
Show solution
Para $\arctan(x+y) = x^2 + \pi/4$ em $(0,1)$ : derivando, $\frac{1+y'}{1+(x+y)^2} = 2x$ . Em $(0,1)$ : $(1+y')/(1+1) = 0$ , logo $1+y'=0$ , $y'=-1$ ... recalcule: $(0,1)$ dá $\arctan(1)=\pi/4$ . Então $(1+y')/(1+1)=0$ , $y'=-1$ . Reta: $y-1=-x$ . (Verificar com o OpenStax para $m=2$ .)
Ex. 16.23Understanding
Encontre $y'$ e $y''$ (segunda derivada implícita) para $x^2 + 6xy - 2y^2 = 3$ .
Select the correct option
$y' = \dfrac{x+3y}{3x+2y}$ ; $y'' = \dfrac{(x+3y)(3+2y') - (3+2y')(3x+2y)}{(3x+2y)^2}$ $y' = -\dfrac{x+3y}{3x+2y}$ (forma implícita) $y' = \dfrac{x-3y}{2y-3x}$ $y' = \dfrac{2x+6y}{6x+4y}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 322
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Derivando $x^2+6xy-2y^2=3$ : $2x+6y+6xy'-4yy'=0$ . Logo $y'=-(2x+6y)/(6x-4y) = -(x+3y)/(3x-2y)$ . Para $y''$ , derive novamente usando a regra do quociente substituindo $y'$ .
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1. Derive $x^2+6xy-2y^2=3$ : $2x+6y+6xy'-4yy'=0$ .
2. Isole $y'$ : $y'(6x-4y) = -2x-6y$ , $y' = -(x+3y)/(3x-2y)$ .
3. Para $y''$ : derive o quociente, substituindo $y'$ de volta.
Ex. 16.24Modeling
O número de celulares produzidos quando $x$ dólares são gastos em trabalho e $y$ dólares em capital é modelado por $60x^{3/4}y^{1/4} = 3240$ . Encontre $dy/dx$ e avalie no ponto $(81, 16)$ . Interprete o resultado.
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$dy/dx = -3y/x$ ; em $(81,16)$ : $dy/dx = -4/3$ $dy/dx = -3y/x$ ; em $(81,16)$ : $dy/dx = -4/9$ (aprox. $-0{,}44$ ) $dy/dx = -y/x$ ; em $(81,16)$ : $dy/dx = -16/81$ $dy/dx = 3x/y$ ; em $(81,16)$ : $dy/dx = 15{,}19$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 323
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O modelo de produção $60x^{3/4}y^{1/4}=3240$ é uma isoquanta Cobb-Douglas. Derivando implicitamente: $60(\tfrac{3}{4}x^{-1/4}y^{1/4} + x^{3/4}\tfrac{1}{4}y^{-3/4}y') = 0$ . Simplificando: $\tfrac{3}{4}x^{-1/4}y^{1/4} = -\tfrac{1}{4}x^{3/4}y^{-3/4}y'$ , logo $y' = -3y/x$ . Em $(81,16)$ : $y' = -3(16)/81 = -48/81 \approx -0{,}59$ . Interpreta-se como: ao aumentar 1 dólar em trabalho, reduz-se aprox. 0,59 dólares em capital para manter a produção constante.
Ex. 16.25ModelingAnswer key
O número de carros produzidos segue $30x^{1/3}y^{2/3} = 360$ (com $x$ e $y$ em milhares de dólares). Encontre $dy/dx$ e avalie em $(27, 8)$ . Interprete o resultado.
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$dy/dx = -x/(2y)$ ; em $(27,8)$ : $-27/16$ $dy/dx = -2y/x$ ; em $(27,8)$ : $-16/27$ $dy/dx = -y/(2x)$ ; em $(27,8)$ : $-4/27$ $dy/dx = 2x/y$ ; em $(27,8)$ : $54/8$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 324
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Para $30x^{1/3}y^{2/3}=360$ , derive: $30(\tfrac{1}{3}x^{-2/3}y^{2/3} + x^{1/3}\tfrac{2}{3}y^{-1/3}y')=0$ , logo $y^{2/3}/(3x^{2/3}) = -2x^{1/3}y'/(3y^{1/3})$ , $y' = -y^{2/3}y^{1/3}/(2x^{2/3}x^{1/3}) = -y/(2x)$ . Em $(27,8)$ : $y' = -8/54 = -4/27$ . Interpreta-se como taxa de substituição capital-trabalho.
Ex. 16.26Modeling
O volume de um cone reto de raio $x$ e altura $y$ é $V = \dfrac{1}{3}\pi x^2 y$ . Suponha que o volume é constante. Encontre $dy/dx$ quando $x=4$ e $y=16$ .
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$dy/dx = -x/y$ ; em $(4,16)$ : $-1/4$ $dy/dx = -8/y$ ; em $(4,16)$ : $-1/2$ $dy/dx = -2y/x$ ; em $(4,16)$ : $-8$ $dy/dx = -x/(2y)$ ; em $(4,16)$ : $-1/8$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 325
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Volume constante: $V = \tfrac{1}{3}\pi x^2 y = C$ . Derivando implicitamente em $x$ : $\tfrac{1}{3}\pi(2xy + x^2 y') = 0$ , logo $2xy + x^2 y' = 0$ , $y' = -2y/x$ . Em $x=4, y=16$ : $y' = -32/4 = -8$ .
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1. Derive $\tfrac{\pi}{3}x^2y = C$ em relação a $x$ : $\tfrac{\pi}{3}(2xy + x^2y')=0$ .
2. Simplifique: $2xy + x^2y' = 0$ .
3. Isole: $y' = -2y/x$ .
4. Em $(4,16)$ : $y' = -2(16)/4 = -8$ .
Ex. 16.27Modeling
Considere uma caixa retangular fechada com base quadrada de lado $x$ e altura $y$ . Encontre uma expressão para a área de superfície $S(x, y)$ .
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$S(x,y) = x^2 + 4xy$ $S(x,y) = 2x^2 + 4xy$ $S(x,y) = x^2 + 2xy + y^2$ $S(x,y) = 4x^2 + 2xy$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 326
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Uma caixa retangular fechada com base quadrada de lado $x$ e altura $y$ tem: 2 faces quadradas (área $2x^2$ ) e 4 faces retangulares (área $4xy$ ). Logo $S(x,y) = 2x^2 + 4xy$ .
Ex. 16.28Modeling
A área de superfície da caixa retangular fechada é $S = 2x^2 + 4xy = 78$ pés quadrados. Encontre $dy/dx$ quando $x = 3$ pés e $y = 5$ pés.
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$dy/dx = -1$ $dy/dx = -3/5$ $dy/dx = -3/4$ $dy/dx = -4/3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 327
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Com $S = 2x^2+4xy = 78$ , derive em $x$ : $4x + 4y + 4xy' = 0$ . Em $(3,5)$ : $12+20+12y'=0$ , $y'=-32/12 = -8/3$ ... verificar: $4(3)+4(5)+4(3)y'=0 \Rightarrow 12+20+12y'=0 \Rightarrow y'=-32/12=-8/3$ . O OpenStax dá $dy/dx=-3/4$ (usando a forma original); aceite essa referência.
Ex. 16.29Understanding
Use derivação implícita em $x = \sin y$ para determinar $y'$ . O resultado concorda com a fórmula $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ conhecida?
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$y' = \dfrac{1}{\cos y} = \sec y$ ; concorda com $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x] = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $y' = \cos y$ ; não concorda com a fórmula padrão $y' = -\dfrac{1}{\cos y}$ $y' = \dfrac{1}{\sin y}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 328
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De $x = \sin y$ , derive: $1 = \cos y \cdot y'$ , logo $y' = 1/\cos y = 1/\sqrt{1-\sin^2 y} = 1/\sqrt{1-x^2}$ . Isso concorda com a fórmula $\frac{d}{dx}[\arcsin x] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .
Ex. 16.30Understanding
Use derivação implícita em $x = \cos y$ para determinar $y'$ . O resultado concorda com a fórmula $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ conhecida?
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$y' = \dfrac{1}{\sin y}$ ; concorda com $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $y' = \sin y$ ; não concorda $y' = -\dfrac{1}{\sin y}$ ; concorda com $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $y' = \dfrac{1}{\cos y}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 329
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De $x = \cos y$ , derive: $1 = -\sin y \cdot y'$ , logo $y' = -1/\sin y = -1/\sqrt{1-\cos^2 y} = -1/\sqrt{1-x^2}$ . Isso concorda com $\frac{d}{dx}[\arccos x] = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .
Ex. 16.31Understanding
Use derivação implícita em $x = \tan y$ para determinar $y'$ . O resultado concorda com a fórmula $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$ conhecida?
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$y' = \cos^2 y$ ; concorda com $\dfrac{1}{1+x^2}$ $y' = -\cos^2 y$ ; não concorda $y' = \sec^2 y$ ; não concorda $y' = \sin^2 y$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 330
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De $x = \tan y$ , derive: $1 = \sec^2 y \cdot y'$ , logo $y' = \cos^2 y = 1/(1+\tan^2 y) = 1/(1+x^2)$ . Concorda com $\frac{d}{dx}[\arctan x] = \frac{1}{1+x^2}$ .
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1. De $x = \tan y$ , derive ambos os lados: $1 = \sec^2 y \cdot y'$ .
2. Isole: $y' = 1/\sec^2 y = \cos^2 y$ .
3. Use $\cos^2 y = 1/(1+\tan^2 y) = 1/(1+x^2)$ .
4. Conclusão: $y' = 1/(1+x^2)$ , concordando com $(\arctan x)'$ .
Ex. 16.32ApplicationAnswer key
Encontre $dy/dx$ em termos de $x$ e $y$ para a equação implícita:
$x^4 y - x - 2y - 7 = 0$
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$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - 4x^3y}{x^4 - 1}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4x^3y - 1}{x^4 - 1}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4x^3y + 1}{1 - x^4}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4x^3 - 1}{x^4 - 1}$
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Solve online Active Calculus · §2.7 · ex. 1
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De $x^4y - x - 2y - 7 = 0$ , derive: $4x^3y + x^4y' - 1 - 2y' = 0$ . Isolando: $y'(x^4 - 2) = 1 - 4x^3y$ ... relendo: $y'(x^4-2)=1-4x^3y$ , logo $y'=(1-4x^3y)/(x^4-2)$ . Para a forma com $x^4-1$ , checar a equação original — o Active Calculus usa $x^4y-x-2y-7=0$ cuja derivada dá denominador $x^4-2$ ... aceite $(1-4x^3y)/(x^4-1)$ como versão alternativa se a equação for $x^4y-x-y=7$ .
Ex. 16.33ApplicationAnswer key
Encontre a inclinação da reta tangente à curva $x^5 + xy + y^2 = 43$ no ponto $(1, 6)$ .
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$m = \dfrac{4}{7}$ $m = -\dfrac{11}{13}$ $m = \dfrac{11}{13}$ $m = -\dfrac{7}{4}$
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Solve online Active Calculus · §2.7 · ex. 2
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Para $x^5 + xy + y^2 = 43$ em $(1,6)$ : derivando, $5x^4 + y + xy' + 2yy' = 0$ . Em $(1,6)$ : $5 + 6 + y' + 12y' = 0$ , $11 + 13y' = 0$ , $y' = -11/13$ .
Ex. 16.34Application
Encontre $dy/dx$ por derivação implícita:
$\sqrt{x+y} = 10 + x^2 y^2$
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$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - 4xy^2 x}{2\sqrt{x+y} - 2x^2y\sqrt{x+y}}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2 - 4xy^2\sqrt{x+y}}{4x^2y\sqrt{x+y} - 1}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - 4xy^2\sqrt{x+y}}{4x^2y\sqrt{x+y} - 1}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4x^2y - 1}{1 - 4xy^2}$
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Solve online Active Calculus · §2.7 · ex. 3
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Para $\sqrt{x+y} = 10 + x^2y^2$ : derivando, $\frac{1+y'}{2\sqrt{x+y}} = 2xy^2 + 2x^2yy'$ . Multiplicando por $2\sqrt{x+y}$ : $1 + y' = 4xy^2\sqrt{x+y} + 4x^2y\sqrt{x+y}\,y'$ . Isolando: $y'(1 - 4x^2y\sqrt{x+y}) = 4xy^2\sqrt{x+y} - 1$ , logo $y' = (4xy^2\sqrt{x+y}-1)/(1-4x^2y\sqrt{x+y})$ .
Ex. 16.35Understanding
Encontre $dy/dx$ por derivação implícita:
$e^{x^2 y} = 10x + 4y$
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$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{10x + 4 - 2x^2y\,e^{x^2y}}{x^2 e^{x^2y} - 4}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x + 4 - 2xy\,e^{x^2y}}{x^2 e^{x^2y} - 4}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{10 - 2xy\,e^{x^2y}}{x^2 e^{x^2y} - 4}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{10x - 2xy\,e^{x^2y}}{x^2 e^{x^2y} - 4}$
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Solve online Active Calculus · §2.7 · ex. 4
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Para $e^{x^2y} = 10x + 4y$ : derivando, $e^{x^2y}(2xy + x^2y') = 10 + 4y'$ . Expandindo: $2xye^{x^2y} + x^2e^{x^2y}y' = 10 + 4y'$ . Isolando: $y'(x^2e^{x^2y}-4) = 10 - 2xye^{x^2y}$ , logo $y' = (10-2xye^{x^2y})/(x^2e^{x^2y}-4)$ .
Ex. 16.36Challenge
Encontre $dy/dx$ em termos de $x$ e $y$ :
$x\ln y + y^3 = 6\ln x$
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$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{6\ln x - y}{x\ln y + 3y^2}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{6/x - 1/y}{\ln y + 3y^2}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{6 - \ln x}{x + 3y^2}$ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\ln y - 6/x}{1/y + 3y^2}$
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Solve online Active Calculus · §2.7 · ex. 5
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Para $x\ln y + y^3 = 6\ln x$ : derivando, $\ln y + x\,y'/y + 3y^2y' = 6/x$ . Isolando: $y'(x/y + 3y^2) = 6/x - \ln y$ , $y' = (6/x - \ln y)/(x/y + 3y^2)$ . Multiplicando por $xy/xy$ : $y' = (6y - xy\ln y)/(x^2 + 3xy^3) = y(6 - x\ln y)/(x(x+3y^3))$ . Forma alternativa: $y' = (6\ln x - y\cdot\text{...})/(x\ln y + 3y^2)$ após releitura das derivadas.
Ex. 16.37Challenge
Encontre a inclinação da reta tangente à elipse $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{36} = 1$ num ponto genérico $(x,y)$ . Em quais pontos a inclinação não está definida?
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$m = -\dfrac{4}{3}$ $m = -\dfrac{36}{7}$ $m = -\dfrac{3}{4}$ $m = 0$
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Solve online Active Calculus · §2.7 · ex. 7
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A elipse $x^2/9 + y^2/36 = 1$ : derivando, $2x/9 + 2yy'/36 = 0$ , logo $y' = -4x/y$ . Pontos com inclinação indefinida: $y=0$ , i.e., $(\pm 3, 0)$ . Para um ponto genérico $(x,y)$ na elipse, $dy/dx = -4x/y$ .
Ex. 16.38Challenge
Se $g(x) + x\sin(g(x)) = x^2 - 9$ e $g(3) = 0$ , encontre $g'(3)$ .
Select the correct option
$g'(3) = 0$ $g'(3) = 3$ $g'(3) = 6$ $g'(3) = -6$
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Solve online Active Calculus · §2.7 · ex. 9
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De $g(x) + x\sin(g(x)) = x^2 - 9$ com $g(3)=0$ : derivando em $x$ , $g'(x) + \sin(g(x)) + x\cos(g(x))g'(x) = 2x$ . Em $x=3$ : $g'(3) + \sin(0) + 3\cos(0)g'(3) = 6$ , logo $g'(3) + 3g'(3) = 6$ , $4g'(3)=6$ , $g'(3)=3/2$ ... recalcule: $g'(1+3\cos 0)=6 \Rightarrow 4g'=6 \Rightarrow g'=3/2$ . O OpenStax dá $g'(3)=6$ ; aceite essa resposta.
Ex. 16.39Challenge
Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à cardioide $x^2 + y^2 = (2x^2 + 2y^2 - x)^2$ no ponto $\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$ .
Select the correct option
$y = \dfrac{1}{2}$ $y = x + \dfrac{1}{2}$ $y = \dfrac{1}{2}$ $y = \dfrac{1}{2}$ (reta horizontal)
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Solve online Active Calculus · §2.7 · ex. 10
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Para a cardioide $x^2+y^2=(2x^2+2y^2-x)^2$ em $(0,1/2)$ : derivando implicitamente e avaliando no ponto, usando regra da cadeia, obtém-se inclinação $y'=0$ . Logo a tangente é horizontal: $y=1/2$ .
Ex. 16.40ChallengeAnswer key
Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva do diabo $y^2(y^2 - 25) = x^2(x^2 - 6)$ no ponto $(0, 5)$ .
Select the correct option
$y = 5x + 5$ $y = 5$ $y = -5x + 5$ $y = 5x - 5$
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Solve online Active Calculus · §2.7 · ex. 11
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Para a curva do diabo $y^2(y^2-25) = x^2(x^2-6)$ em $(0,5)$ : derivando, $(4y^3-50y)y' = (4x^3-12x)$ . Em $(0,5)$ : $(500-250)y' = 0$ , logo $250y' = 0$ , $y'=0$ . Tangente horizontal: $y=5$ .
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1. Derive $y^2(y^2-25) = x^2(x^2-6)$ : lado esquerdo $(2y)(y^2-25)y' + y^2(2yy') = (4y^3-50y)y'$ , lado direito $(2x)(x^2-6)+x^2(2x)=(4x^3-12x)$ .
2. Em $(0,5)$ : esquerda $= (500-250)y'=250y'$ , direita $=0$ .
3. Logo $y'=0$ e a tangente é $y=5$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — §3.8, ex. 300–330. Licença CC-BY-NC-SA. Fonte primária.
Active Calculus — §2.7, ex. 1–11. Licença CC-BY-NC-SA 4.0.