v1 · padrão canônico

Lição 17 — Derivadas de ordem superior

Definição e cálculo de f'', f''' e f^(n). Notações de Leibniz e Lagrange. Aceleração, concavidade e equações diferenciais. Fórmula de Leibniz para a derivada do produto.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 2 · USP MAC0105 · ITA MA-011

f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n} = \underbrace{\frac{d}{dx}\!\left(\frac{d}{dx}\cdots\frac{d}{dx}f\right)}_{n \text{ vezes}}

A derivada de ordem $n$ é a derivada da derivada de ordem $n-1$ . Em física: posição → velocidade (1ª) → aceleração (2ª) → jerk (3ª). Em análise: a 2ª derivada determina a concavidade do gráfico, a 3ª o ponto de inflexão, e a $n$ -ésima aparece nas séries de Taylor.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Derivadas de ordem superior

Theorem· Derivadas de ordem n para funções elementares

Função	$n$ -ésima derivada
$x^m$ ( $m \geq n$ )	$\dfrac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$
$x^m$ ( $m < n$ )	$0$
$e^x$	$e^x$
$e^{ax}$	$a^n e^{ax}$
$\sin x$	$\sin\!\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$
$\cos x$	$\cos\!\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$
$\ln x$	$(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}$ ( $n\geq 1$ )

Exemplos resolvidos

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 6Modeling 5Challenge 4

Ex. 17.1Application
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = x^7 + 10$ .
Select the correct option
$f''(x) = 42x^5$ $f''(x) = 7x^6$ $f''(x) = 42x^6$ $f''(x) = 7x^5$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 106
Show solution
$f'(x)=7x^6$ , depois $f''(x)=42x^5$ . A constante 10 some na primeira derivada.
Ex. 17.2Application
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = 5x^3 - x + 1$ .
Select the correct option
$f''(x) = 30x$ $f''(x) = 15x^2 - 1$ $f''(x) = 5x^2$ $f''(x) = 30x^2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 107
Show solution
$f'(x)=15x^2-1$ , depois $f''(x)=30x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derivar termo a termo: $f'(x)=15x^2-1$ .
2. Derivar novamente: $f''(x)=30x$ . O termo constante $-1$ desaparece.
Ex. 17.3Application
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = 4x^2 - 7x$ .
Select the correct option
$f''(x) = 8$ $f''(x) = 8x - 7$ $f''(x) = 4$ $f''(x) = 16x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 108
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$f'(x)=8x-7$ , depois $f''(x)=8$ . A segunda derivada de um polinômio quadrático é constante (igual a $2a$ ).
Ex. 17.4Application
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = 8x^4 + 9x^2 - 1$ .
Select the correct option
$f''(x) = 96x^2 + 18$ $f''(x) = 32x^3 + 18x$ $f''(x) = 96x^3$ $f''(x) = 32x^2 + 18$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 109
Show solution
$f'(x)=32x^3+18x$ , depois $f''(x)=96x^2+18$ .
Ex. 17.5Application
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = x^4 + 2x$ .
Select the correct option
$f''(x) = 12x^2$ $f''(x) = 4x^3 + 2$ $f''(x) = 4x^2$ $f''(x) = 4x^3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 110
Show solution
$f'(x)=4x^3+2$ , depois $f''(x)=12x^2$ . O termo linear $2x$ gera derivada constante que desaparece na segunda derivação.
Ex. 17.6ApplicationAnswer key
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = 3x(18x^4 + 13x + 1)$ .
Select the correct option
$f''(x) = 1080x^3 + 78$ $f''(x) = 270x^4 + 78x + 3$ $f''(x) = 1080x^3$ $f''(x) = 270x^4 + 39x$
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OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 111
Show solution
Expandir: $f(x)=54x^5+39x^2+3x$ . Então $f'(x)=270x^4+78x+3$ e $f''(x)=1080x^3+78$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Expandir: $3x(18x^4+13x+1)=54x^5+39x^2+3x$ .
2. Primeira derivada: $f'(x)=270x^4+78x+3$ .
3. Segunda derivada: $f''(x)=1080x^3+78$ .
Ex. 17.7Application
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = (x+2)(2x^2-3)$ .
Select the correct option
$f''(x) = 12x + 8$ $f''(x) = 6x^2 + 8x - 3$ $f''(x) = 12x$ $f''(x) = 6x + 8$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 112
Show solution
Expandir: $f(x)=2x^3+4x^2-3x-6$ . Então $f'(x)=6x^2+8x-3$ e $f''(x)=12x+8$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Expandir: $(x+2)(2x^2-3)=2x^3+4x^2-3x-6$ .
2. Primeira derivada: $f'(x)=6x^2+8x-3$ .
3. Segunda derivada: $f''(x)=12x+8$ .
Ex. 17.8Application
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = x^2(2x^2 + 5x^3)$ .
Select the correct option
$f''(x) = 100x^3 + 24x^2$ $f''(x) = 25x^4 + 8x^3$ $f''(x) = 100x^2 + 24x$ $f''(x) = 20x^3 + 8x^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 113
Show solution
Expandir: $f(x)=5x^5+2x^4$ . Então $f'(x)=25x^4+8x^3$ e $f''(x)=100x^3+24x^2$ .
Ex. 17.9ApplicationAnswer key
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = \dfrac{x^3 + 2x^2 - 4}{3}$ .
Select the correct option
$f''(x) = 2x + \dfrac{4}{3}$ $f''(x) = x^2 + \dfrac{4x}{3}$ $f''(x) = 2x$ $f''(x) = x + \dfrac{4}{3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 114
Show solution
Reescrever: $f(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^2}{3}-\dfrac{4}{3}$ . Então $f'(x)=x^2+\dfrac{4x}{3}$ e $f''(x)=2x+\dfrac{4}{3}$ .
Ex. 17.10Application
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = \dfrac{4x^3 - 2x + 1}{x^2}$ .
Select the correct option
$f''(x) = -\dfrac{4}{x^3} + \dfrac{6}{x^4}$ $f''(x) = 4 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{2}{x^3}$ $f''(x) = \dfrac{4}{x^3}$ $f''(x) = -\dfrac{4}{x^3}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 115
Show solution
Reescrever: $f(x)=4x-2x^{-1}+x^{-2}$ . Então $f'(x)=4+2x^{-2}-2x^{-3}$ e $f''(x)=-4x^{-3}+6x^{-4}=-\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{6}{x^4}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Dividir cada termo por $x^2$ : $f(x)=4x-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}=4x-2x^{-1}+x^{-2}$ .
2. Primeira derivada: $f'(x)=4+2x^{-2}-2x^{-3}$ .
3. Segunda derivada: $f''(x)=-4x^{-3}+6x^{-4}$ .
Ex. 17.11Application
Encontre a reta tangente ao gráfico de $y = 3x^2 + 4x + 1$ no ponto $(0, 1)$ . (Observe que $f''(x) = 6$ indica concavidade constante para cima.)
Select the correct option
Reta tangente: $y = 4x + 1$ Reta tangente: $y = 6x + 1$ Reta tangente: $y = 4x$ Reta tangente: $y = 4x - 1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 118
Show solution
$f'(x)=6x+4$ . Em $x=0$ : inclinação $f'(0)=4$ , ponto $(0,1)$ . Reta: $y=4x+1$ .
Ex. 17.12UnderstandingAnswer key
Encontre o polinômio quadrático $f(x)$ tal que $f(1)=5$ , $f'(1)=3$ e $f''(1)=-6$ .
Select the correct option
$f''(1) = -6$ , logo $f(x) = -3x^2 + 9x - 1$ $f''(1) = -6$ , logo $f(x) = -3x^2 + 6x + 2$ $f''(1) = -6$ , logo $f(x) = -3x^2 + 3x + 5$ $f''(1) = -6$ , logo $f(x) = -6x^2 + 9x + 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 143
Show solution
Para $f(x)=ax^2+bx+c$ : $f''=2a=-6$ dá $a=-3$ . $f'(1)=2a+b=3$ dá $b=9$ . $f(1)=a+b+c=5$ dá $c=-1$ . Logo $f(x)=-3x^2+9x-1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $f(x)=ax^2+bx+c$ . Então $f''(x)=2a$ .
2. $f''(1)=-6 \Rightarrow 2a=-6 \Rightarrow a=-3$ .
3. $f'(1)=2(-3)+b=3 \Rightarrow b=9$ .
4. $f(1)=-3+9+c=5 \Rightarrow c=-1$ .
Ex. 17.13Modeling
Um carro percorre $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros em $t$ segundos. Determine os instantes em que a velocidade é zero e calcule a aceleração nesses instantes.
Select the correct option
$v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ ; $v = 0$ em $t = 1$ s e $t = 3$ s; $a(1) = -6$ m/s² $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ ; $v = 0$ em $t = 2$ s; $a(2) = 0$ m/s² $v(t) = t^2 - 6t + 9$ ; $v = 0$ em $t = 3$ s; $a(3) = 6$ m/s² $v(t) = 3t^2 - 12t$ ; $v = 0$ em $t = 4$ s; $a(4) = 12$ m/s²
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 144
Show solution
Velocidade: $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$ . Zeros: $3(t-1)(t-3)=0$ , ou seja $t=1$ e $t=3$ . Aceleração: $a(t)=6t-12$ ; em $t=1$ : $a(1)=-6$ m/s².
Show step-by-step (with the why)
1. $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$ .
2. Zerar: $3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0$ , logo $t=1$ e $t=3$ .
3. $a(t)=v'(t)=6t-12$ . Em $t=1$ : $a=-6$ m/s² (desacelerando).
Ex. 17.14Modeling
Um arenque nada ao longo de uma reta com posição $s(t) = \dfrac{t^2}{t^2+2}$ pés em $t$ segundos. Calcule a velocidade em $t=3$ s. (Dica: $v=s'$ é a primeira derivada; $a=s''$ é a segunda.)
Select the correct option
$v(3) = \dfrac{12}{121}$ pés/s $v(3) = \dfrac{6}{11}$ pés/s $v(3) = \dfrac{3}{11}$ pés/s $v(3) = \dfrac{4}{11}$ pés/s
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 145
Show solution
Pela regra do quociente: $v(t)=\dfrac{2t(t^2+2)-2t\cdot t^2}{(t^2+2)^2}=\dfrac{4t}{(t^2+2)^2}$ . Em $t=3$ : $v(3)=\dfrac{12}{(9+2)^2}=\dfrac{12}{121}$ .
Ex. 17.15Modeling
A população (em milhões) de um peixe no Atlântico é $P(t)=\dfrac{8t+3}{0{,}2t^2+1}$ , onde $t$ é em anos. Calcule $P'(10)$ e interprete o sinal.
Select the correct option
$P'(10) \approx -0{,}372$ milhões/ano (população caindo) $P'(10) \approx 0{,}372$ milhões/ano (população subindo) $P'(10) = 0$ (população estável) $P'(10) \approx -3{,}72$ milhões/ano
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 146
Show solution
$P'(t)=\dfrac{8(0{,}2t^2+1)-(8t+3)(0{,}4t)}{(0{,}2t^2+1)^2}$ . Em $t=10$ : numerador $=8(21)-(83)(4)=168-332=-164$ , denominador $=441$ . Logo $P'(10)\approx-0{,}372$ milhões/ano.
Ex. 17.16ModelingAnswer key
Uma editora tem custo por livro $C(x) = \dfrac{x^3+2x+3}{x^2}$ dólares, onde $x$ é o número de cópias em milhares. Calcule $C'(2)$ e interprete o resultado.
Select the correct option
$C'(2) = -0{,}25$ dólares por milhar (custo marginal decrescendo) $C'(2) = 0{,}25$ dólares por milhar $C'(2) = -2$ dólares por milhar $C'(2) = 1$ dólar por milhar
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 148
Show solution
Reescrever: $C(x)=x+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}$ . Então $C'(x)=1-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}$ . Em $x=2$ : $C'(2)=1-\dfrac{2}{4}-\dfrac{6}{8}=1-0{,}5-0{,}75=-0{,}25$ .
Ex. 17.17ModelingAnswer key
Pela lei de Newton da gravitação universal, $F = \dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$ . Calcule a taxa de variação de $F$ em relação à distância $d$ . O que indica o sinal do resultado?
Select the correct option
$\dfrac{dF}{dd} = -\dfrac{2Gm_1m_2}{d^3}$ (força diminui com distância) $\dfrac{dF}{dd} = \dfrac{2Gm_1m_2}{d^3}$ $\dfrac{dF}{dd} = -\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$ $\dfrac{dF}{dd} = \dfrac{Gm_1m_2}{d^3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 149
Show solution
$F=Gm_1m_2\cdot d^{-2}$ . Derivando: $\dfrac{dF}{dd}=-2Gm_1m_2\cdot d^{-3}=-\dfrac{2Gm_1m_2}{d^3}$ . Sinal negativo: força diminui ao aumentar a distância.
Show step-by-step (with the why)
1. Escrever $F=Gm_1m_2 d^{-2}$ .
2. Derivar: $dF/dd=-2Gm_1m_2 d^{-3}$ .
3. Em $G=6{,}67\times10^{-11}$ , $m_1=m_2=1000$ kg, $d=10$ m: $dF/dd=-2(6{,}67\times10^{-11})(10^6)/10^3\approx-1{,}334\times10^{-8}$ N/m.
Ex. 17.18Application
A posição de uma partícula no eixo $x$ é dada por $s(t) = 8t^2 + 5$ . Calcule a aceleração $a(t) = s''(t)$ .
Select the correct option
$a(t) = 16$ pés/s² (constante) $a(t) = 16t$ $a(t) = 8$ $a(t) = 16t + 5$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 3
Show solution
Velocidade: $v(t)=s'(t)=16t$ . Aceleração: $a(t)=v'(t)=s''(t)=16$ pés/s². Constante — movimento uniformemente acelerado.
Ex. 17.19Understanding
O preço de uma ação está caindo cada vez mais devagar. Quais são os sinais de $P'(t)$ e $P''(t)$ ?
Select the correct option
$f'$ negativa e $f''$ positiva $f'$ negativa e $f''$ negativa $f'$ positiva e $f''$ positiva $f'$ positiva e $f''$ negativa
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Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 4
Show solution
O preço cai (tendência decrescente): $P'<0$ . Mas cai cada vez mais devagar (queda desacelerando): a taxa de queda está aumentando (tornando-se menos negativa), logo $P''>0$ .
Ex. 17.20UnderstandingAnswer key
Para uma função duas vezes diferenciável, sabe-se que $f(2)=-3$ , $f'(2)=1{,}5$ , $f''(2)=-0{,}25$ . A função é crescente ou decrescente em $x=2$ ? Côncava para cima ou para baixo? Espera-se $f(2{,}1)$ maior ou menor que $-3$ ?
Select the correct option
$f(2) = -3$ (decresc.), concavidade para baixo; $f(2{,}1) < -3$ $f(2) = -3$ (decresc.), concavidade para baixo; $f(2{,}1) > -3$ $f(2) = -3$ (aument.), concavidade para cima; $f(2{,}1) > -3$ $f(2) = -3$ (decresc.), concavidade para cima; $f(2{,}1) > -3$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 10
Show solution
$f'(2)=1{,}5>0$ : função crescente. $f''(2)=-0{,}25<0$ : côncava para baixo. Como cresce mas com concavidade negativa, $f(2{,}1)>f(2)=-3$ (ligeiramente acima), mas a taxa de crescimento diminuirá.
Ex. 17.21Understanding
A altura de um saltador de bungee em pés é dada por uma tabela de valores de $h(t)$ . O que representa fisicamente $h''(t)$ ? Em que instante a velocidade muda de sinal?
Select the correct option
A aceleração é a segunda derivada de $h$ ; em $t=5$ a velocidade muda de sentido (mínimo de $h$ )A aceleração é a primeira derivada de $h$ ; em $t=5$ o paraquedista está no ponto mais altoA aceleração é a segunda derivada de $h$ ; em $t=5$ a velocidade é máximaA aceleração é a terceira derivada de $h$ ; em $t=5$ o paraquedista toca o solo
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 12
Show solution
A aceleração $a=h''(t)=s''$ é a segunda derivada da posição. Em $t\approx4{,}5$ (mínimo de $h$ ) a velocidade $h'$ muda de negativa para positiva, indicando que o paraquedista chegou ao ponto mais baixo e começa a subir.
Ex. 17.22Understanding
Uma função $y=f(x)$ é crescente em $(-3,3)$ , côncava para cima em $(-3,0)$ e côncava para baixo em $(0,3)$ . Qual é o sinal de $f''$ em cada intervalo?
Select the correct option
$f'' > 0$ em todo $(-3, 3)$ , com troca de concavidade em $x = 0$ $f'' > 0$ em $(-3, 0)$ e $f'' < 0$ em $(0, 3)$ (ponto de inflexão em $x = 0$ ) $f'' < 0$ em todo $(-3, 3)$ $f'' > 0$ em todo $(-3, 3)$
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Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 13
Show solution
Côncava para cima em $(-3,0)$ significa $f''>0$ ali. Côncava para baixo em $(0,3)$ significa $f''<0$ ali. Em $x=0$ ocorre ponto de inflexão (troca de sinal de $f''$ ).
Ex. 17.23Application
Calcule $f'''(x)$ (terceira derivada) para $f(x) = 2x^4 - x^3 + 5x^2 - 3$ .
Select the correct option
$f'''(x) = 48x - 6$ $f'''(x) = 24x^2 - 6x + 10$ $f'''(x) = 48x$ $f'''(x) = 8x^3 - 3x^2 + 10x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 109
Show solution
$f'(x)=8x^3-3x^2+10x$ , $f''(x)=24x^2-6x+10$ , $f'''(x)=48x-6$ .
Ex. 17.24Application
Seja $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7$ . Calcule $f^{(4)}(x)$ (quarta derivada).
Select the correct option
$f^{(4)}(x) = 0$ $f^{(4)}(x) = 120$ $f^{(4)}(x) = 24$ $f^{(4)}(x) = 6$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 107
Show solution
Para $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ , a terceira derivada é constante e a quarta é zero: $f^{(4)}(x)=0$ . Polinômios de grau $n$ têm $f^{(n+1)}=0$ .
Ex. 17.25Challenge
Calcule $f''(x)$ para $f(x) = \dfrac{x^2+4}{x^2-4}$ .
Select the correct option
$f''(x) = \dfrac{-2(x^2+4)}{(x^2-4)^2}$ ... Nota: a resposta correta é $f''(x) = \dfrac{2(3x^2+4)}{(x^2-4)^2}$ $f''(x) = \dfrac{2(3x^2+4)}{(x^2-4)^2}$ $f''(x) = \dfrac{-2x}{(x^2-4)^2}$ $f''(x) = \dfrac{4x}{(x^2-4)^2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 116
Show solution
Pela regra do quociente: $f'(x)=\dfrac{2x(x^2-4)-(x^2+4)\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\dfrac{-16x}{(x^2-4)^2}$ . Derivando novamente com a regra do quociente obtém-se $f''(x)=\dfrac{2(3x^2+4)}{(x^2-4)^2}$ após simplificação.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcular $f'(x)$ pela regra do quociente: numerador $2x(x^2-4)-(x^2+4)(2x)=-16x$ . Logo $f'(x)=\dfrac{-16x}{(x^2-4)^2}$ .
2. Calcular $f''(x)$ : $f''(x)=\dfrac{-16(x^2-4)^2-(-16x)\cdot 2(x^2-4)\cdot 2x}{(x^2-4)^4}$ .
3. Simplificar fatorando $(x^2-4)$ : resultado $\dfrac{2(3x^2+4)}{(x^2-4)^2}$ ... verificar numericamente em $x=0$ : $f''(0)=2(4)/16=1/2$ .
Ex. 17.26ApplicationAnswer key
Para o carro com $s(t)=t^3-6t^2+9t$ metros (ex. 17.13), em que instante a aceleração é zero? Qual é a velocidade nesse instante?
Select the correct option
$a = 6t - 12$ ; zero em $t = 2$ s; $v(2) = -3$ m/s $a = 6t - 12$ ; zero em $t = 2$ s; $v(2) = 0$ m/s $a = 3t - 6$ ; zero em $t = 2$ s; $v(2) = -3$ m/s $a = 6t$ ; zero em $t = 0$ s; $v(0) = 9$ m/s
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 144
Show solution
Do ex. 17.13: $a(t)=6t-12$ . Zero da aceleração: $6t-12=0\Rightarrow t=2$ . Velocidade nesse instante: $v(2)=3(4)-24+9=-3$ m/s (ainda negativa, carro recuando).
Ex. 17.27Understanding
Com $f(2)=-3$ e $f'(2)=1{,}5$ , use a aproximação linear para estimar $f(2{,}1)$ . O sinal de $f''(2)=-0{,}25$ indica que a estimativa é uma super- ou subestimativa?
Select the correct option
Reta tangente em $(2, f(2))$ tem inclinação $f'(2) = 1{,}5$ — aproximação linear: $f(2{,}1) \approx -2{,}85$ Reta tangente em $(2, f(2))$ tem inclinação $f''(2) = -0{,}25$ — aproximação linear: $f(2{,}1) \approx -3{,}025$ Reta tangente em $(2, f(2))$ tem inclinação $f'(2) = -0{,}25$ — aproximação linear: $f(2{,}1) \approx -3{,}025$ Reta tangente em $(2, f(2))$ tem inclinação $f'(2) = 1{,}5$ — aproximação linear: $f(2{,}1) \approx -3{,}15$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 10
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Aproximação de 1ª ordem: $f(2{,}1)\approx f(2)+f'(2)\cdot0{,}1=-3+1{,}5\cdot0{,}1=-3+0{,}15=-2{,}85$ . O sinal de $f''$ informa que a aproximação linear superestima $f$ (côncava para baixo).
Ex. 17.28Challenge
Encontre a fórmula geral para a $n$ -ésima derivada de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .
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$f^{(n)}(x) = (-1)^n \dfrac{n!}{x^{n+1}}$ $f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} \dfrac{n!}{x^{n+1}}$ $f^{(n)}(x) = \dfrac{n!}{x^{n+1}}$ $f^{(n)}(x) = (-1)^n \dfrac{(n-1)!}{x^n}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 106
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$f'=-x^{-2}$ , $f''=2x^{-3}$ , $f'''=-6x^{-4}$ . Padrão: $f^{(n)}(x)=(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}$ . Verificar por indução: se válido para $n$ , derivar dá $(-1)^n n!\cdot(-(n+1))x^{-(n+2)}=(-1)^{n+1}(n+1)!/x^{n+2}$ . $\checkmark$
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1. $f(x)=x^{-1}$ : $f'=-x^{-2}$ , $f''=2x^{-3}$ , $f'''=-6x^{-4}$ .
2. Padrão: alternância de sinal $(-1)^n$ , fatorial $n!$ , potência $x^{n+1}$ no denominador.
3. Fórmula: $f^{(n)}(x)=(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}$ .
Ex. 17.29Challenge
Encontre a fórmula para a $n$ -ésima derivada de $f(x) = e^{3x}$ .
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$f^{(n)}(x) = 3^n e^{3x}$ $f^{(n)}(x) = n \cdot 3^{n-1} e^{3x}$ $f^{(n)}(x) = 3 e^{3x}$ $f^{(n)}(x) = e^{3nx}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 107
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$f'=3e^{3x}$ , $f''=9e^{3x}=3^2e^{3x}$ , $f'''=27e^{3x}=3^3e^{3x}$ . Padrão: $f^{(n)}(x)=3^n e^{3x}$ . Caso geral: $(e^{ax})^{(n)}=a^n e^{ax}$ .
Ex. 17.30Challenge
Para $f(x) = x^3 + x^2 - x - 1$ : (a) encontre todos os pontos onde a tangente é horizontal; (b) encontre todos os pontos onde a tangente tem inclinação $-1$ . Use $f''$ para classificar os extremos.
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Pontos em que a tangente é horizontal: $(-\frac{1}{3}, -\frac{20}{27})$ e $(1, 0)$ ; tangente com inclinação $-1$ : $x = 0$ e $x = -\frac{2}{3}$ Pontos em que a tangente é horizontal: $(0, -1)$ e $(1, 0)$ ; tangente com inclinação $-1$ : $x = 1$ Pontos em que a tangente é horizontal: $(-\frac{1}{3}, -1)$ e $(1, 0)$ ; tangente com inclinação $-1$ : $x = 0$ Pontos em que a tangente é horizontal: $(0, -1)$ e $(\frac{1}{3}, 0)$ ; tangente com inclinação $-1$ : $x = 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 142
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$f'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$ . Horizontal: $f'=0\Rightarrow x=1/3$ ou $x=-1$ . Valores: $f(1/3)=-20/27$ , $f(-1)=0$ . Inclinação $-1$ : $3x^2+2x-1=-1\Rightarrow 3x^2+2x=0\Rightarrow x(3x+2)=0$ , logo $x=0$ ou $x=-2/3$ . A segunda derivada $f''=6x+2$ confirma a natureza dos extremos.
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1. $f'(x)=3x^2+2x-1$ .
2. Tangente horizontal: $f'=0\Rightarrow x=1/3$ e $x=-1$ .
3. Inclinação $-1$ : $3x^2+2x-1=-1\Rightarrow x=0$ e $x=-2/3$ .
4. $f''(1/3)=4>0$ : mínimo local; $f''(-1)=-4<0$ : máximo local.