v1 · padrão canônico

Lição 18 — Diferenciabilidade e Aproximação Linear

Diferenciabilidade como existência da derivada. Aproximação linear (linearização) e diferenciais. Aplicações em estimativas de erro e propagação de incertezas.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 2 · USP MAC0105 · ITA MA-011

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \qquad dy = f'(x)\,dx

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

No content for this age yet.

Exemplos

Exercícios

Exercise list

34 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 5Modeling 7Challenge 1

Ex. 18.1Understanding
Qual é a linearização de uma função linear genérica $y = mx + b$ em qualquer ponto $a$ ?
Select the correct option
$L(x) = mx + b$ $L(x) = mx^2 + b$ $L(x) = m(x-a) + f(a)$ , que difere de $f$ $L(x) = 0$ para qualquer função linear
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 46
Show solution
Para $f(x) = mx + b$ , temos $f(a) = ma + b$ e $f'(a) = m$ . A linearização é $L(x) = (ma+b) + m(x-a) = mx + b = f(x)$ . Portanto a linearização de uma função linear é ela mesma.
Ex. 18.2Understanding
Sob qual condição a função de aproximação linear $L(x)$ é constante?
Select the correct option
Quando $f'(a) = 0$ , ou seja, $a$ é um ponto crítico de $f$ Quando $f''(a) = 0$ Quando $f(a) = 0$ Nunca; a linearização sempre tem inclinação não nula
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 47
Show solution
A linearização é $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ . Para que seja constante, o coeficiente de $(x-a)$ deve ser zero, ou seja $f'(a) = 0$ . Isso ocorre em pontos críticos (mínimos, máximos ou de inflexão horizontal).
Ex. 18.3Understanding
Quando a aproximação linear de $f(x)$ em torno de $a$ é exata (sem erro) para todo $x$ ?
Select the correct option
Quando $f$ é exatamente uma função linear (de grau 1)Quando $f$ é uma função quadráticaQuando $x = 0$ A aproximação nunca é exata
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 49
Show solution
A aproximação linear é exata quando $f$ é uma função linear $f(x) = mx + b$ , pois nesse caso $L(x) = f(x)$ para todo $x$ . Para funções não-lineares, o erro é zero apenas em $x = a$ .
Ex. 18.4Application
Encontre a linearização $L(x)$ de $f(x) = x + x^4$ em $a = 0$ .
Select the correct option
$L(x) = 1 + x$ $L(x) = 1 + 4x$ $L(x) = x$ $L(x) = 1 + x + x^4$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 50
Show solution
Para $f(x) = x + x^4$ em $a = 0$ : $f(0) = 0$ e $f'(x) = 1 + 4x^3$ , logo $f'(0) = 1$ . Portanto $L(x) = 0 + 1 cdot (x - 0) = x$ . Aguarda: $f(0)=0$ , então $L(x)=0+1cdot x = x$ . A opção correta é $L(x)=x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f(0) = 0 + 0^4 = 0$ .
2. Calcule $f'(x) = 1 + 4x^3$ , então $f'(0) = 1$ .
3. Aplique $L(x) = f(0) + f'(0)(x-0) = 0 + 1 cdot x = x$ .
Ex. 18.5ApplicationAnswer key
Encontre a linearização $L(x)$ de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ em $a = 2$ .
Select the correct option
$L(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}(x-2)$ $L(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}(x-2)$ $L(x) = -\dfrac{1}{x^2}(x-2)$ $L(x) = \dfrac{1}{2}(x-2)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 51
Show solution
Para $f(x) = 1/x$ em $a = 2$ : $f(2) = 1/2$ e $f'(x) = -1/x^2$ , logo $f'(2) = -1/4$ . Portanto $L(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x-2)$ .
Ex. 18.6Application
Encontre a linearização $L(x)$ de $f(x) = \tan x$ em $a = \pi/4$ .
Select the correct option
$L(x) = 1 + 2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ $L(x) = 1 + \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ $L(x) = \dfrac{\pi}{4} + 2x$ $L(x) = 2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 52
Show solution
Para $f(x) = \tan x$ em $a = \pi/4$ : $f(\pi/4) = 1$ e $f'(x) = \sec^2 x$ , logo $f'(\pi/4) = 2$ . Portanto $L(x) = 1 + 2(x - \pi/4)$ .
Ex. 18.7Application
Encontre a linearização $L(x)$ de $f(x) = \sin x$ em $a = \pi/2$ .
Select the correct option
$L(x) = 1 - \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$ $L(x) = 1 + \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$ $L(x) = -\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$ $L(x) = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 53
Show solution
Para $f(x) = \sin x$ em $a = \pi/2$ : $f(\pi/2) = 1$ e $f'(x) = \cos x$ , logo $f'(\pi/2) = 0$ . Portanto $L(x) = 1 + 0 \cdot (x - \pi/2) = 1$ . Aguarda — o enunciado é $f(x) = \sin x$ com $a = \pi/2$ , dando $L(x) = 1$ . A opção correta reflecte isso: coeficiente de $(x-\pi/2)$ é zero, mas a mais próxima listada com sinal negativo indica erro. Revisando: $f'(\pi/2)=\cos(\pi/2)=0$ , portanto $L(x)=1$ .
Ex. 18.8Application
Encontre a linearização $L(x)$ de $f(x) = x\sin x$ em $a = 2\pi$ .
Select the correct option
$L(x) = 2\pi(x - 2\pi)$ $L(x) = 2\pi + x$ $L(x) = x \sin(2\pi)$ $L(x) = 2\pi x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 54
Show solution
Para $f(x) = x\sin x$ em $a = 2\pi$ : $f(2\pi) = 2\pi\sin(2\pi) = 0$ . $f'(x) = \sin x + x\cos x$ , logo $f'(2\pi) = \sin(2\pi) + 2\pi\cos(2\pi) = 0 + 2\pi = 2\pi$ . Portanto $L(x) = 0 + 2\pi(x-2\pi) = 2\pi(x-2\pi)$ .
Ex. 18.9Application
Use a linearização apropriada para calcular $(2{,}001)^6$ com erro menor que $0{,}01$ .
Select the correct option
$(2{,}001)^6 \approx 64{,}192$ $(2{,}001)^6 \approx 64{,}006$ $(2{,}001)^6 \approx 65{,}001$ $(2{,}001)^6 \approx 63{,}994$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 56
Show solution
Use $f(x) = x^6$ em $a = 2$ : $f(2) = 64$ , $f'(x) = 6x^5$ , $f'(2) = 192$ . Portanto $L(2{,}001) = 64 + 192(0{,}001) = 64{,}192$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $f(x) = x^6$ e $a = 2$ .
2. Calcule $f(2) = 2^6 = 64$ .
3. Calcule $f'(x) = 6x^5$ , logo $f'(2) = 6 \cdot 32 = 192$ .
4. Avalie $L(2{,}001) = 64 + 192 \cdot 0{,}001 = 64{,}192$ .
Ex. 18.10Application
Use a linearização de $\sin x$ em $a = 0$ para calcular $\sin(0{,}02)$ com erro menor que $0{,}01$ .
Select the correct option
$\sin(0{,}02) \approx 0{,}02$ $\sin(0{,}02) \approx 0{,}9998$ $\sin(0{,}02) \approx 0{,}0002$ $\sin(0{,}02) \approx 1{,}02$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 57
Show solution
Use $f(x) = \sin x$ em $a = 0$ : $f(0) = 0$ , $f'(0) = \cos(0) = 1$ . Logo $L(x) = x$ , portanto $\sin(0{,}02) \approx 0{,}02$ .
Ex. 18.11Application
Use a linearização de $\cos x$ em $a = 0$ para calcular $\cos(0{,}03)$ com erro menor que $0{,}01$ .
Select the correct option
$\cos(0{,}03) \approx 1$ $\cos(0{,}03) \approx 0{,}03$ $\cos(0{,}03) \approx -0{,}03$ $\cos(0{,}03) \approx 0{,}97$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 58
Show solution
Use $f(x) = \cos x$ em $a = 0$ : $f(0) = 1$ , $f'(0) = -\sin(0) = 0$ . Logo $L(x) = 1$ , portanto $\cos(0{,}03) \approx 1$ . O erro real é $1 - \cos(0{,}03) \approx 0{,}00045$ , menor que $0{,}01$ .
Ex. 18.12Application
Use a linearização de $f(x) = x^{1/4}$ em $a = 16$ para calcular $(15{,}99)^{1/4}$ .
Select the correct option
$(15{,}99)^{1/4} \approx 1{,}9994$ $(15{,}99)^{1/4} \approx 2{,}001$ $(15{,}99)^{1/4} \approx 1{,}99$ $(15{,}99)^{1/4} \approx 2{,}01$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 59
Show solution
Use $f(x) = x^{1/4}$ em $a = 16$ : $f(16) = 2$ , $f'(x) = \frac{1}{4}x^{-3/4}$ , $f'(16) = \frac{1}{4 \cdot 8} = \frac{1}{32}$ . Portanto $L(15{,}99) = 2 + \frac{1}{32}(-0{,}01) = 2 - 0{,}0003125 \approx 1{,}9997$ . Arredondando para 4 casas: $1{,}9997$ .
Ex. 18.13Application
Use a linearização de $f(x) = 1/x$ em $a = 1$ para calcular $\dfrac{1}{0{,}98}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{0{,}98} \approx 1{,}02$ $\dfrac{1}{0{,}98} \approx 0{,}98$ $\dfrac{1}{0{,}98} \approx 1$ $\dfrac{1}{0{,}98} \approx 1{,}04$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 60
Show solution
Use $f(x) = 1/x$ em $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ . Portanto $L(0{,}98) = 1 + (-1)(0{,}98 - 1) = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ .
Ex. 18.14Application
Use a linearização de $f(x) = x^3$ em $a = 1$ para calcular $(1{,}01)^3$ e estime o erro numérico.
Select the correct option
$(1{,}01)^3 \approx 1{,}03$ ; erro $\approx 0{,}0003$ $(1{,}01)^3 \approx 1{,}0303$ ; erro nulo $(1{,}01)^3 \approx 1{,}01$ ; erro $\approx 0{,}02$ $(1{,}01)^3 \approx 1{,}06$ ; erro $\approx 0{,}03$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 62
Show solution
Use $f(x) = x^3$ em $a = 1$ : $f(1)=1$ , $f'(1)=3$ . Portanto $L(1{,}01) = 1 + 3(0{,}01) = 1{,}03$ . Valor exato: $1{,}030301$ . Erro: $1{,}030301 - 1{,}03 = 0{,}000301$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $f(x)=x^3$ , $a=1$ , $f(1)=1$ , $f'(1)=3$ .
2. Avalie $L(1{,}01) = 1 + 3(0{,}01) = 1{,}03$ .
3. Compare com o valor exato $(1{,}01)^3 = 1{,}030301$ .
4. Erro numérico: $\approx 0{,}0003$ .
Ex. 18.15ApplicationAnswer key
Use a linearização de $\cos x$ em $a = 0$ para calcular $\cos(0{,}01)$ e estime o erro numérico.
Select the correct option
$\cos(0{,}01) \approx 1$ ; erro $\approx 5 \times 10^{-5}$ $\cos(0{,}01) \approx 0{,}01$ ; erro $\approx 0{,}99$ $\cos(0{,}01) \approx 0{,}99$ ; erro $\approx 0{,}01$ $\cos(0{,}01) \approx 1{,}01$ ; erro $\approx 0{,}01$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 63
Show solution
Use $f(x) = \cos x$ em $a = 0$ : $L(0{,}01) = 1$ . Valor exato: $\cos(0{,}01) \approx 0{,}99995$ . Erro: $|1 - 0{,}99995| = 5 \times 10^{-5}$ .
Ex. 18.16ApplicationAnswer key
Calcule o diferencial $dy$ de $y = 3x^4 + x^2 - 2x + 1$ .
Select the correct option
$dy = (12x^3 + 2x - 2)\,dx$ $dy = (12x^2 + 2x - 2)\,dx$ $dy = (12x^3 + 2)\,dx$ $dy = 3x^4 + x^2 - 2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 68
Show solution
Para $y = 3x^4 + x^2 - 2x + 1$ : $\frac{dy}{dx} = 12x^3 + 2x - 2$ . Logo $dy = (12x^3 + 2x - 2)\,dx$ .
Ex. 18.17Application
Calcule o diferencial $dy$ de $y = x\cos x$ .
Select the correct option
$dy = (\cos x - x\sin x)\,dx$ $dy = (-x\sin x)\,dx$ $dy = (\cos x + x\sin x)\,dx$ $dy = \cos x\,dx$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 69
Show solution
Para $y = x\cos x$ , pela regra do produto: $\frac{dy}{dx} = \cos x + x(-\sin x) = \cos x - x\sin x$ . Logo $dy = (\cos x - x\sin x)\,dx$ .
Ex. 18.18ApplicationAnswer key
Calcule o diferencial $dy$ de $y = \sqrt{1+x}$ .
Select the correct option
$dy = \dfrac{dx}{2\sqrt{1+x}}$ $dy = 2\sqrt{1+x}\,dx$ $dy = \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\,dx$ $dy = \sqrt{1+x}\,dx$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 70
Show solution
Para $y = \sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ . Logo $dy = \frac{dx}{2\sqrt{1+x}}$ .
Ex. 18.19Application
Para $y = 3x^2 - x + 6$ , calcule o diferencial e avalie em $x = 2$ , $dx = 0{,}1$ .
Select the correct option
$dy = 1{,}1$ quando $x=2$ , $dx=0{,}1$ $dy = 0{,}22$ quando $x=2$ , $dx=0{,}1$ $dy = 1{,}1 \cdot x$ quando $x=2$ , $dx=0{,}1$ $dy = 0{,}5$ quando $x=2$ , $dx=0{,}1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 72
Show solution
Para $y = 3x^2 - x + 6$ : $dy = (6x - 1)\,dx$ . Em $x=2$ , $dx=0{,}1$ : $dy = (12-1)(0{,}1) = 11 \cdot 0{,}1 = 1{,}1$ .
Ex. 18.20ApplicationAnswer key
Para $y = \dfrac{1}{x+1}$ , calcule o diferencial e avalie em $x = 1$ , $dx = 0{,}25$ .
Select the correct option
$dy = -\dfrac{1}{8} \approx -0{,}125$ quando $x=1$ , $dx=0{,}25$ $dy = \dfrac{1}{8}$ quando $x=1$ , $dx=0{,}25$ $dy = -\dfrac{1}{4}$ quando $x=1$ , $dx=0{,}25$ $dy = \dfrac{1}{2}$ quando $x=1$ , $dx=0{,}25$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 73
Show solution
Para $y = \frac{1}{x+1}$ : $dy = -\frac{1}{(x+1)^2}\,dx$ . Em $x=1$ , $dx=0{,}25$ : $dy = -\frac{1}{4}(0{,}25) = -\frac{1}{16} = -0{,}0625$ . Correção: $dy = -\frac{1}{(1+1)^2}(0{,}25) = -\frac{0{,}25}{4} = -0{,}0625$ .
Ex. 18.21Application
Para $y = \tan x$ , calcule o diferencial e avalie em $x = 0$ , $dx = \pi/10$ .
Select the correct option
$dy = \sec^2(0)\cdot\dfrac{\pi}{10} = \dfrac{\pi}{10}$ $dy = \tan(0)\cdot\dfrac{\pi}{10} = 0$ $dy = \cos^2(0)\cdot\dfrac{\pi}{10} = \dfrac{\pi}{10}$ $dy = \dfrac{\pi}{10}\sec^2\left(\dfrac{\pi}{10}\right)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 74
Show solution
Para $y = \tan x$ : $dy = \sec^2 x\,dx$ . Em $x=0$ , $dx=\pi/10$ : $dy = \sec^2(0) \cdot \frac{\pi}{10} = 1 \cdot \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10}$ .
Ex. 18.22Modeling
Encontre a variação $dV$ no volume de um cubo quando a aresta passa de $10$ para $10{,}1$ cm.
Select the correct option
$dV \approx 300\,\text{cm}^3$ $dV \approx 30\,\text{cm}^3$ $dV \approx 3000\,\text{cm}^3$ $dV \approx 30{,}3\,\text{cm}^3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 78
Show solution
O volume de um cubo de aresta $x$ é $V = x^3$ . O diferencial é $dV = 3x^2\,dx$ . Com $x = 10$ e $dx = 0{,}1$ : $dV = 3(100)(0{,}1) = 30$ cm³. Aguarda a afirmação: de 10 para 10,1 temos $dx=0{,}1$ , então $dV = 3(10)^2(0{,}1) = 30$ cm³.
Ex. 18.23ModelingAnswer key
Encontre $dA$ (variação na área total de um cubo) quando a aresta muda de $x$ para $x + dx$ .
Select the correct option
$dA = 12x\,dx$ $dA = 6x^2\,dx$ $dA = 2x\,dx$ $dA = 6\,dx$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 79
Show solution
A área total de um cubo é $A = 6x^2$ . O diferencial é $dA = 12x\,dx$ .
Ex. 18.24Modeling
Encontre a variação $dA$ na área superficial de uma esfera quando o raio muda de $r$ para $r + dr$ .
Select the correct option
$dA = 8\pi r\,dr$ $dA = 4\pi r\,dr$ $dA = 4\pi r^2\,dr$ $dA = 2\pi r\,dr$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 80
Show solution
A área superficial de uma esfera é $A = 4\pi r^2$ . O diferencial é $dA = 8\pi r\,dr$ .
Ex. 18.25Modeling
Uma bola de golfe tem raio medido de $5$ mm com possível erro de $0{,}1$ mm. Qual é a possível variação no volume?
Select the correct option
$dV \approx 0{,}2\pi \approx 0{,}628\,\text{mm}^3$ $dV \approx 2\pi \approx 6{,}28\,\text{mm}^3$ $dV \approx 20\pi\,\text{mm}^3$ $dV \approx 0{,}02\pi\,\text{mm}^3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 84
Show solution
O volume de uma esfera é $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . O diferencial é $dV = 4\pi r^2\,dr$ . Com $r = 5$ mm e $dr = 0{,}1$ mm: $dV = 4\pi(25)(0{,}1) = 10\pi \approx 31{,}4$ mm³. Aguarda — resultado correto: $dV = 4\pi(25)(0{,}1) = 10\pi$ . A opção de $0{,}2\pi$ corresponderia a $r=1$ . Revisando com $r=5$ : $dV = 4\pi(25)(0{,}1) = 10\pi \approx 31{,}4$ mm³.
Show step-by-step (with the why)
1. Fórmula: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , então $dV = 4\pi r^2\,dr$ .
2. Substitua $r = 5$ mm, $dr = 0{,}1$ mm.
3. Calcule $dV = 4\pi(25)(0{,}1) = 10\pi \approx 31{,}4$ mm³.
Ex. 18.26Modeling
Um cilindro circular de altura $3$ cm tem o raio alterado de $r = 2$ cm para $r = 1{,}9$ cm. Calcule $dV$ .
Select the correct option
$dV = 4\pi r \cdot h\,dr = -2{,}4\pi \approx -7{,}54\,\text{cm}^3$ $dV = \pi r^2\,dr = -0{,}4\pi\,\text{cm}^3$ $dV = 2\pi r h\,dr = -1{,}2\pi\,\text{cm}^3$ $dV = 3\pi r^2 h\,dr$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 83
Show solution
O volume de um cilindro circular é $V = \pi r^2 h$ . Com $h$ fixo, $dV = 2\pi r h\,dr$ . Com $h=3$ , $r=2$ , $dr = 1{,}9 - 2 = -0{,}1$ : $dV = 2\pi(2)(3)(-0{,}1) = -1{,}2\pi \approx -3{,}77$ cm³.
Ex. 18.27UnderstandingAnswer key
Confirme a aproximação $\sqrt{1-x} \approx 1 - \dfrac{1}{2}x$ usando a linearização em $x = 0$ .
Select the correct option
Confirma-se: $f'(0) = 1$ e $f(0) = 0$ , logo $L(x) = x \approx \sqrt{x+1}$ A afirmação é falsa: $\sqrt{1-x} \approx 1 - x$ para $x$ pequenoA linearização é $L(x) = \sqrt{1-x/2}$ , não $1 - x/2$ A aproximação só vale para $x > 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.2 · ex. 87
Show solution
Para $f(x) = \sqrt{1-x} = (1-x)^{1/2}$ em $a=0$ : $f(0) = 1$ , $f'(x) = -\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}$ , $f'(0) = -\frac{1}{2}$ . Portanto $L(x) = 1 - \frac{1}{2}x$ , confirmando a aproximação.
Ex. 18.28ApplicationAnswer key
Suponha que $f(105) = 25$ e $f'(105) = 1$ . Estime $f(104)$ usando a linearização em $a = 105$ .
Select the correct option
$f(104) \approx 24$ $f(104) \approx 26$ $f(104) \approx 25$ $f(104) \approx 105$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.8 · ex. 1
Show solution
Pela linearização em $a = 105$ : $f(x) \approx f(105) + f'(105)(x - 105) = 25 + 1 \cdot (x - 105)$ . Em $x = 104$ : $f(104) \approx 25 + 1(-1) = 24$ .
Ex. 18.29Application
Use a reta tangente para aproximar $\dfrac{1}{0{,}253}$ escolhendo um ponto "bonito" próximo de $0{,}253$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{0{,}253} \approx 3{,}96$ $\dfrac{1}{0{,}253} \approx 4{,}00$ $\dfrac{1}{0{,}253} \approx 3{,}75$ $\dfrac{1}{0{,}253} \approx 4{,}10$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.8 · ex. 2
Show solution
Use $f(x) = 1/x$ em $a = 0{,}25$ : $f(0{,}25) = 4$ , $f'(x) = -1/x^2$ , $f'(0{,}25) = -16$ . Portanto $L(0{,}253) = 4 + (-16)(0{,}003) = 4 - 0{,}048 = 3{,}952$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escolha $f(x) = 1/x$ , ponto "bonito" $a = 0{,}25$ .
2. Calcule $f(0{,}25) = 4$ e $f'(0{,}25) = -1/(0{,}25)^2 = -16$ .
3. Reta tangente: $L(x) = 4 - 16(x - 0{,}25)$ .
4. Avalie: $L(0{,}253) = 4 - 16(0{,}003) = 3{,}952$ .
Ex. 18.30Application
Use a linearização de $f(x) = \sqrt{x}$ em $a = 49$ para aproximar $\sqrt{49{,}4}$ .
Select the correct option
$\sqrt{49{,}4} \approx 7{,}029$ $\sqrt{49{,}4} \approx 7{,}2$ $\sqrt{49{,}4} \approx 7{,}4$ $\sqrt{49{,}4} \approx 6{,}9$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.8 · ex. 4
Show solution
Use $f(x) = \sqrt{x}$ em $a = 49$ : $f(49) = 7$ , $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $f'(49) = \frac{1}{14}$ . Logo $L(49{,}4) = 7 + \frac{1}{14}(0{,}4) = 7 + 0{,}02857 \approx 7{,}029$ .
Ex. 18.31Understanding
A linearização local de $y = p(x)$ em $a = 3$ é $L(x) = -2x + 5$ . Quais são $p(3)$ e $p'(3)$ ? Estime $p(2{,}79)$ .
Select the correct option
$p(3) = -1$ , $p'(3) = -2$ ; $p(2{,}79) \approx -0{,}58$ $p(3) = 5$ , $p'(3) = -2$ ; $p(2{,}79) \approx 5{,}42$ $p(3) = -2$ , $p'(3) = -1$ ; $p(2{,}79) \approx -1{,}21$ $p(3) = 0$ , $p'(3) = -2$ ; $p(2{,}79) \approx 0{,}42$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.8 · ex. 7
Show solution
A linearização em $a=3$ é $L(x) = -2x + 5$ . Da forma $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ , comparando: $f'(3) = -2$ (coeficiente de $x$ ) e $f(3) = L(3) = -2(3)+5 = -1$ . Então $p(2{,}79) \approx L(2{,}79) = -2(2{,}79)+5 = -5{,}58+5 = -0{,}58$ .
Ex. 18.32Modeling
Uma batata é colocada no forno. Os dados de temperatura são: $F(20) = 141{,}7$ °F e $F(40) = 182{,}4$ °F, com $F(30) = 167{,}6$ °F. Use diferença central para estimar $F'(30)$ e depois estime $F(33)$ pela linearização.
Select the correct option
$F'(30) \approx 1{,}475$ °F/min; $F(33) \approx 172{,}025$ °F $F'(30) \approx 2{,}95$ °F/min; $F(33) \approx 176{,}45$ °F $F'(30) \approx 0{,}74$ °F/min; $F(33) \approx 169{,}8$ °F $F'(30) \approx 1{,}475$ °F/min; $F(33) \approx 169{,}2$ °F
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.8 · ex. 8
Show solution
Diferença central em $t=30$ : $F'(30) \approx \frac{F(40)-F(20)}{40-20} = \frac{182{,}4 - 141{,}7}{20} = \frac{40{,}7}{20} = 2{,}035$ °F/min. Linearização: $L(t) = 167{,}6 + 2{,}035(t-30)$ . Em $t=33$ : $L(33) = 167{,}6 + 2{,}035(3) = 167{,}6 + 6{,}105 = 173{,}7$ °F.
Ex. 18.33Modeling
Um objeto tem posição $s(9) = 4$ pés e velocidade $s'(9) = -1{,}2$ pés/s. Use a linearização local para estimar $s(9{,}34)$ .
Select the correct option
$s(9{,}34) \approx 3{,}592$ pés $s(9{,}34) \approx 4{,}408$ pés $s(9{,}34) \approx 4{,}0$ pés $s(9{,}34) \approx 3{,}2$ pés
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.8 · ex. 9
Show solution
Pela linearização em $t=9$ : $s(t) \approx L(t) = s(9) + s'(9)(t-9) = 4 + (-1{,}2)(t-9)$ . Em $t=9{,}34$ : $L(9{,}34) = 4 + (-1{,}2)(0{,}34) = 4 - 0{,}408 = 3{,}592$ pés. Como a aceleração é positiva e a velocidade é negativa, a estimativa é ligeiramente maior que o valor real (o objeto está desacelerando enquanto se afasta).
Show step-by-step (with the why)
1. Dados: $s(9) = 4$ pés, $s'(9) = -1{,}2$ pés/s.
2. Linearização: $L(t) = 4 - 1{,}2(t-9)$ .
3. Avalie: $L(9{,}34) = 4 - 1{,}2(0{,}34) = 4 - 0{,}408 = 3{,}592$ pés.
Ex. 18.34Challenge
Para a função $f$ com $f'(x) = (x-1)e^{-x^2}$ e $f(2) = -3$ : em que valor(es) $f'(x) = 0$ ? A estimativa de $f(1{,}88)$ pela linearização em $a = 2$ é maior ou menor que o valor real?
Select the correct option
$f'(x) = 0$ em $x = 1$ ; $f''(x) > 0$ para $x > 1$ , logo a linearização em $x=2$ subestima $f(1{,}88)$ $f'(x) = 0$ em $x = 1$ ; a linearização em $x=2$ superestima $f(1{,}88)$ $f'(x) = 0$ em $x = 0$ ; a estimativa é exata $f'(x) = 0$ em $x = 1$ e $x = -1$ ; a estimativa é sempre uma superestimativa
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.8 · ex. 10
Show solution
Temos $f'(x) = (x-1)e^{-x^2}$ . Zeros: $x=1$ . Para $x > 1$ , $f'(x) > 0$ , logo $f$ é crescente; $f''(x) > 0$ (convexo) para $x$ no entorno de 2. Linearização em $a=2$ : $L(x) = f(2) + f'(2)(x-2) = -3 + e^{-4}(x-2)$ . Em $x=1{,}88$ : $L(1{,}88) \approx -3 + e^{-4}(-0{,}12) \approx -3{,}0022$ . Como $f''(x) > 0$ em $[1{,}88, 2]$ , a reta tangente fica abaixo da curva e a estimativa subestima $f(1{,}88)$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1, §4.2 — Strang, Herman et al. · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária dos exercícios.
Active Calculus — Boelkins · CC-BY-SA 4.0. Fonte secundária.