v1 · padrão canônico

Lição 19 — Taxas Relacionadas

Taxas relacionadas via Regra da Cadeia: quando grandezas dependem do tempo, suas derivadas temporais se relacionam. Problemas clássicos de geometria e física aplicados à engenharia.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 2 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\frac{dQ}{dt} = \frac{dQ}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exemplos

Example· Carro e barco — distância variando

Um carro percorre uma rua em direção Leste a 50 km/h; um barco segue um canal em direção Norte a 30 km/h. Em certo instante, o carro está a 0,3 km a Leste da intersecção e o barco a 0,4 km a Norte. Com que velocidade a distância entre eles aumenta?

Distância: $D^2 = x^2 + y^2$ , onde $x = 0{,}3$ km (carro, aumentando) e $y = 0{,}4$ km (barco, aumentando).

D = \sqrt{0{,}09 + 0{,}16} = 0{,}5 \text{ km}.

2D\dot{D} = 2x\dot{x} + 2y\dot{y} \implies 0{,}5\dot{D} = (0{,}3)(50) + (0{,}4)(30) = 15 + 12 = 27.

\dot{D} = \frac{27}{0{,}5} = 54 \text{ km/h}.

Fonte: Stewart §2.8, Exemplo 5

Example· Ângulo de elevação de um foguete

Um foguete lança verticalmente de um ponto a 2 km de distância de um observador. Quando o foguete está a 1 km de altitude, sobe a 3 km/s. Com que velocidade o ângulo de elevação $\theta$ do observador aumenta?

Relação: $\tan\theta = \frac{h}{2}.$

\sec^2\theta \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2}\frac{dh}{dt}.

Quando $h = 1$ : $\tan\theta = 1/2$ , então $\sec^2\theta = 1 + (1/2)^2 = 5/4.$

\frac{5}{4}\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2}\cdot 3 \implies \frac{d\theta}{dt} = \frac{3/2}{5/4} = \frac{6}{5} = 1{,}2 \text{ rad/s}.

Fonte: Stewart §2.8, Exemplo 6; OpenStax Calculus Vol. 1 §4.1

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 19Understanding 4Modeling 4Challenge 3

Ex. 19.1Application
Dada $y = x^2 + 3$ , onde $x$ e $y$ são funções de $t$ . Se $\dfrac{dx}{dt} = 4$ , calcule $\dfrac{dy}{dt}$ quando $x = 1$ .
Select the correct option
$8$ $4$ $2$ $16$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 1
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De $y = x^2+3$ : $\frac{dy}{dt} = 2x\frac{dx}{dt}$ . Em $x=1$ , $\frac{dx}{dt}=4$ : $\frac{dy}{dt}=2(1)(4)=8$ .
Ex. 19.2Application
Dada $y = 2x^2 + 1$ , onde $x$ e $y$ são funções de $t$ . Se $\dfrac{dy}{dt} = -1$ , calcule $\dfrac{dx}{dt}$ quando $x = -2$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{8}$ $-\dfrac{1}{8}$ $\dfrac{1}{4}$ $-4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 2
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De $y = 2x^2+1$ : $\frac{dy}{dt}=4x\frac{dx}{dt}$ . Com $\frac{dy}{dt}=-1$ e $x=-2$ : $-1 = 4(-2)\frac{dx}{dt}$ , logo $\frac{dx}{dt}=\frac{1}{8}$ .
Ex. 19.3Application
Dada $z^2 = x^2 + y^2$ , com $x$ , $y$ , $z$ funções de $t$ . Se $\dfrac{dx}{dt} = 4$ e $\dfrac{dy}{dt} = 3$ , calcule $\dfrac{dz}{dt}$ em $(x,y) = (1,3)$ .
Select the correct option
$\dfrac{13}{\sqrt{10}}$ $\dfrac{7}{\sqrt{10}}$ $7$ $\sqrt{10}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 3
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De $z^2=x^2+y^2$ : $2z\dot z = 2x\dot x+2y\dot y$ . Em $(1,3)$ : $z=\sqrt{10}$ . Então $2\sqrt{10}\dot z = 2(1)(4)+2(3)(3)=26$ , logo $\dot z = 13/\sqrt{10}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Equação de vínculo: $z^2=x^2+y^2$
2. Derivar em $t$ : $2z\dot z = 2x\dot x+2y\dot y$
3. Em $(1,3)$ : $z=\sqrt{10}$
4. Substituir: $2\sqrt{10}\,\dot z = 2\cdot1\cdot4+2\cdot3\cdot3=8+18=26$
5. Resultado: $\dot z = 13/\sqrt{10}$
Ex. 19.4ApplicationAnswer key
Uma escada de 10 ft está apoiada numa parede. O topo desliza para baixo a 2 ft/s. Com que velocidade o pé da escada se afasta da parede quando o pé está a 5 ft da parede?
Select the correct option
$\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ ft/s afastando-se da parede $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ ft/s afastando-se da parede $4\sqrt{5}$ ft/s afastando-se da parede $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ ft/s em direção à parede
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 5
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Escada de 10 ft: $x^2+y^2=100$ . Com $dy/dt=-2$ e $y$ calculado quando $x=5$ : $y=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ . Então $2x\dot x+2y\dot y=0\Rightarrow \dot x=-\frac{y\dot y}{x}=-\frac{5\sqrt{3}(-2)}{5}=2\sqrt{3}$ . (Resp: $2\sqrt{3}\approx 3{,}46$ ft/s)
Ex. 19.5Application
Uma escada de 25 ft está apoiada numa parede. Empurramos o pé em direção à parede a 1 ft/s. O pé começa a 20 ft da parede. Com que velocidade o topo sobe 5 segundos depois?
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}$ m/s para cima $1$ m/s para cima $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ m/s para cima $2$ m/s para cima
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 6
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Escada de 25 ft: $x^2+y^2=625$ . Empurramos com $dx/dt=-1$ ft/s. Após 5 s: $x=20-5=15$ , $y=\sqrt{625-225}=20$ . Então $\dot y = -\frac{x}{y}\dot x = -\frac{15}{20}(-1)=\frac{3}{4}$ ft/s. (Resp: $3/4$ ft/s)
Ex. 19.6Modeling
Dois aviões voam à mesma altitude: o avião A vai Leste a 250 mi/h e o avião B vai Norte a 300 mi/h, ambos em direção ao mesmo aeroporto. No instante em que o aeroporto está 30 mi a Leste do avião A e 40 mi ao Norte do avião B, a que taxa a distância entre eles muda?
Select the correct option
A distância diminui a $-110$ mi/hA distância aumenta a $110$ mi/hA distância diminui a $-390$ mi/hA distância não varia neste instante
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 7
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Aviões com mesmo destino, a 30 mi Leste do avião A e 40 mi Norte do avião B. $D=\sqrt{30^2+40^2}=50$ mi. $D\dot D = x\dot x + y\dot y = 30(-250)+40(-300)=-7500-12000=-19500$ . Então $\dot D=-19500/50=-390$ mi/h.
Ex. 19.7ApplicationAnswer key
Você e um amigo partem do mesmo ponto. Você pedala Leste a 16 mph; seu amigo pedala Norte a 12 mph. Quando você percorreu 4 mi, a que taxa a distância entre vocês aumenta?
Select the correct option
$20$ mph $28$ mph $4$ mph $\sqrt{400}$ mph
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 8
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Você vai Leste a 16 mph; amigo vai Norte a 12 mph. Quando você percorreu 4 mi: distância do amigo $y=12\cdot(4/16)=3$ mi. $D=\sqrt{16+9}=5$ mi. $D\dot D = x\dot x+y\dot y = 4(16)+3(12)=64+36=100$ . $\dot D=100/5=20$ mph.
Ex. 19.8Application
Uma pessoa de 6 ft de altura se afasta de um poste de 10 ft a 3 ft/s. A que taxa a ponta da sombra se afasta do poste quando a pessoa está a 10 ft do poste?
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$\dfrac{5}{2} \text{ ft/s}$ $\dfrac{3}{2} \text{ ft/s}$ $5 \text{ ft/s}$ $\dfrac{5}{3} \text{ ft/s}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 10
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Por semelhança: sombra total avança a $\dot s$ , pessoa a $\dot x=3$ . Triângulos semelhantes: $\frac{10}{s} = \frac{4}{s-x}$ , logo $10(s-x)=4s\Rightarrow 6s=10x\Rightarrow s=\frac{5}{3}x$ . Assim $\dot s=\frac{5}{3}\dot x=\frac{5}{3}\cdot3=5$ ft/s. Taxa da ponta da sombra em relação ao poste = 5 ft/s.
Ex. 19.9Application
O raio de um círculo aumenta a 2 m/s. A que taxa a área aumenta quando o raio é 6 m?
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$24\pi \text{ m}^2/\text{s}$ $20\pi \text{ m}^2/\text{s}$ $4\pi \text{ m}^2/\text{s}$ $10\pi \text{ m}^2/\text{s}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 18
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$A = \pi r^2$ . Derivando: $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}=2\pi(6)(2)=24\pi$ m²/s.
Show step-by-step (with the why)
1. Equação: $A = \pi r^2$
2. Derivar em $t$ : $\dot A = 2\pi r\dot r$
3. Dados: $r=6$ m, $\dot r=2$ m/s
4. Resultado: $\dot A = 2\pi(6)(2)=24\pi$ m²/s
Ex. 19.10Application
O raio de uma esfera diminui a 3 m/s. A que taxa a área superficial diminui quando o raio é 10 m?
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$-240\pi \text{ m}^2/\text{s}$ $240\pi \text{ m}^2/\text{s}$ $-60\pi \text{ m}^2/\text{s}$ $-720\pi \text{ m}^2/\text{s}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 19
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Área superficial da esfera: $S=4\pi r^2$ . Derivando: $\dot S = 8\pi r\dot r = 8\pi(10)(-3) = -240\pi$ m²/s. O sinal negativo indica que a superfície diminui.
Ex. 19.11Application
O raio de uma esfera aumenta a 1 m/s. A que taxa o volume aumenta quando o raio é 20 m?
Select the correct option
$1600\pi \text{ m}^3/\text{s}$ $800\pi \text{ m}^3/\text{s}$ $400\pi \text{ m}^3/\text{s}$ $80\pi \text{ m}^3/\text{s}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 20
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$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Derivando: $\dot V = 4\pi r^2 \dot r = 4\pi(20)^2(1) = 1600\pi$ m³/s.
Ex. 19.12UnderstandingAnswer key
O raio de uma esfera aumenta a 9 cm/s. Para qual valor do raio o volume e o raio crescem à mesma taxa numérica?
Select the correct option
$r = \dfrac{1}{\sqrt{4\pi}}$ cm $r = \dfrac{1}{2\pi}$ cm $r = \dfrac{9}{4\pi}$ cm $r = 1$ cm
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 21
Show solution
$\dot V = 4\pi r^2 \dot r$ . Queremos $\dot V = \dot r$ (numericamente iguais). Com $\dot r = 9$ : $9 = 4\pi r^2 \cdot 9 \Rightarrow 1 = 4\pi r^2 \Rightarrow r = 1/\sqrt{4\pi}$ cm.
Ex. 19.13ApplicationAnswer key
A base de um triângulo diminui a 1 cm/min e a altura aumenta a 5 cm/min. A que taxa a área varia quando a altura é 22 cm e a base é 10 cm?
Select the correct option
$\dfrac{19}{2} \text{ cm}^2/\text{min}$ $\dfrac{5}{2} \text{ cm}^2/\text{min}$ $25 \text{ cm}^2/\text{min}$ $-\dfrac{11}{2} \text{ cm}^2/\text{min}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 22
Show solution
$A = \frac{1}{2}bh$ . Derivando: $\dot A = \frac{1}{2}(\dot b\cdot h + b\cdot \dot h) = \frac{1}{2}((-1)(22)+(10)(5)) = \frac{1}{2}(-22+50) = 14$ cm²/min. (Resp: 14 cm²/min)
Ex. 19.14Understanding
Um triângulo tem dois lados constantes de 3 ft e 5 ft. O ângulo entre eles aumenta a 0,1 rad/s. A que taxa a área varia quando o ângulo é $\pi/6$ ?
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$\dfrac{3\sqrt{3}}{16} \text{ ft}^2/\text{s}$ $\dfrac{3}{16} \text{ ft}^2/\text{s}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{4} \text{ ft}^2/\text{s}$ $\dfrac{15}{8} \text{ ft}^2/\text{s}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 23
Show solution
Área $A = \frac{1}{2}ab\sin\theta$ com $a=3$ , $b=5$ . Derivando: $\dot A = \frac{1}{2}ab\cos\theta\,\dot\theta$ . Em $\theta=\pi/6$ : $\dot A = \frac{1}{2}(3)(5)\cos(\pi/6)(0{,}1) = \frac{15}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0{,}1 = \frac{3\sqrt{3}}{16}$ ft²/s.
Ex. 19.15ApplicationAnswer key
Um cone invertido com altura 16 ft e raio 5 ft perde água a 10 ft³/min. Com que velocidade o nível desce quando a água está a 10 ft de profundidade?
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$-\dfrac{8}{225\pi} \text{ ft/min}$ $-\dfrac{16}{225\pi} \text{ ft/min}$ $\dfrac{8}{225\pi} \text{ ft/min}$ $-\dfrac{2}{25\pi} \text{ ft/min}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 25
Show solution
Cone com $H=16$ ft, $R=5$ ft; semelhança: $r/h=5/16\Rightarrow r=5h/16$ . Volume: $V=\frac{\pi}{3}r^2h=\frac{25\pi h^3}{768}$ . Derivando: $\dot V = \frac{25\pi h^2}{256}\dot h$ . Com $\dot V=-10$ , $h=10$ : $-10=\frac{25\pi(100)}{256}\dot h\Rightarrow\dot h=-\frac{2560}{2500\pi}=-\frac{256}{250\pi}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Semelhança: $r = 5h/16$
2. Volume: $V = \frac{25\pi h^3}{768}$
3. Derivar em $t$ : $\dot V = \frac{75\pi h^2}{768}\dot h = \frac{25\pi h^2}{256}\dot h$
4. Dados: $\dot V=-10$ , $h=10$
5. Resolver: $\dot h = -\frac{10\cdot256}{25\pi\cdot100}$
Ex. 19.16Application
Um cilindro vertical com raio 1 ft e altura 10 ft perde água a 1 ft³/s. A que taxa o nível da água desce quando a altura é 6 ft?
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$-\dfrac{1}{\pi}$ ft/s $\dfrac{1}{\pi}$ ft/s $-\dfrac{1}{2\pi}$ ft/s $-\pi$ ft/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 28
Show solution
Cilindro vertical: $V = \pi r^2 h$ com $r=1$ . Derivando: $\dot V = \pi r^2 \dot h = \pi(1)^2\dot h$ . Com $\dot V = -1$ : $\dot h = -1/\pi$ ft/s.
Ex. 19.17Modeling
Brita é despejada de um caminhão e forma um cone cuja base tem raio igual a 3 vezes a altura. A brita é despejada a 10 ft³/min. Com que velocidade a altura cresce quando o cone tem 5 ft de altura?
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$\dfrac{2}{27\pi} \text{ ft/min}$ $\dfrac{1}{27\pi} \text{ ft/min}$ $\dfrac{2}{9\pi} \text{ ft/min}$ $\dfrac{10}{27\pi} \text{ ft/min}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 35
Show solution
Cone de areia: raio base = 3 vezes a altura, $r=3h$ . Volume: $V=\frac{1}{3}\pi(3h)^2h=3\pi h^3$ . Derivando: $\dot V=9\pi h^2\dot h$ . Com $\dot V=10$ , $h=5$ : $\dot h=10/(9\pi\cdot25)=2/(45\pi)$ . (Resp: $2/(45\pi)$ ft/min)
Ex. 19.18Understanding
Você observa um pássaro voando horizontalmente a 10 m/s a 40 m acima de sua cabeça. Com que velocidade o ângulo de elevação muda quando a distância horizontal entre você e o pássaro é 9 m?
Select the correct option
$\dfrac{40}{97} \text{ rad/s}$ $\dfrac{10}{97} \text{ rad/s}$ $\dfrac{40}{41} \text{ rad/s}$ $\dfrac{10}{\sqrt{97}} \text{ rad/s}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 37
Show solution
Pássaro voa horizontalmente a 10 m/s, a 40 m de altura. $\tan\theta = 40/x$ . Derivando: $\sec^2\theta\,\dot\theta = -40\dot x/x^2$ . Em $x=9$ : $\sec^2\theta = 1+(40/9)^2 = (81+1600)/81 = 1681/81$ . $\dot\theta = -(40)(10)/81 \cdot 81/1681 = -400/1681$ rad/s (módulo $400/1681$ ). (Resp: ~0,238 rad/s)
Ex. 19.19Application
Você está a 40 ft de um foguete no chão e o observa subir verticalmente a 20 ft/s. A que taxa o ângulo de elevação muda quando o foguete está a 30 ft de altitude?
Select the correct option
$\dfrac{8}{25}$ rad/s $\dfrac{4}{25}$ rad/s $\dfrac{20}{25}$ rad/s $\dfrac{3}{25}$ rad/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 38
Show solution
Foguete sobe verticalmente; observador a 40 ft. $\tan\theta = h/40$ . Derivando: $\sec^2\theta\,\dot\theta = \dot h/40$ . Em $h=30$ : $\tan\theta=30/40=3/4$ , $\sec^2\theta=1+9/16=25/16$ . $\dot\theta = \frac{20/40}{25/16} = \frac{1/2}{25/16} = \frac{8}{25}$ rad/s.
Show step-by-step (with the why)
1. $\tan\theta = h/40$
2. Derivar: $\sec^2\theta\,\dot\theta = \dot h/40$
3. Em $h=30$ : $\tan\theta=3/4\Rightarrow\sec^2\theta=25/16$
4. $(25/16)\dot\theta = 20/40 = 1/2$
5. $\dot\theta = (1/2)\cdot(16/25)=8/25$ rad/s
Ex. 19.20Challenge
Um farol está numa ilha a 4 mi da praia. O feixe gira a 10 rev/min no sentido horário. Com que velocidade o feixe varre a praia num ponto a 2 mi do ponto mais próximo?
Select the correct option
$80\pi$ mi/min $20\pi$ mi/min $40\pi$ mi/min $160\pi$ mi/min
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 39
Show solution
Farol a 4 mi da praia. Feixe gira a 10 rev/min $= 20\pi$ rad/min. $\tan\theta = x/4$ . Derivando: $\sec^2\theta\,\dot\theta = \dot x/4$ . Em ponto a 2 mi: $\tan\theta=2/4=1/2$ , $\sec^2\theta=1+1/4=5/4$ . $\dot x = 4\sec^2\theta\,\dot\theta = 4(5/4)(20\pi) = 100\pi$ mi/min. (Resp: $100\pi$ mi/min)
Ex. 19.21ApplicationAnswer key
Dada $L = \sqrt{x^2+y^2}$ , com $\dfrac{dx}{dt} = -1$ e $\dfrac{dy}{dt} = 1$ . Calcule $\dfrac{dL}{dt}$ quando $x = 2$ e $y = 7$ .
Select the correct option
$\dfrac{dL}{dt} = \dfrac{-2 + 7}{\sqrt{53}}$ $\dfrac{dL}{dt} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\dfrac{dL}{dt} = 5$ $\dfrac{dL}{dt} = \sqrt{2}$
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 1
Show solution
$L = \sqrt{x^2+y^2}$ . Derivando: $\dot L = \frac{x\dot x + y\dot y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{2(-1)+7(1)}{\sqrt{4+49}} = \frac{5}{\sqrt{53}}$ .
Ex. 19.22Application
Água entra numa piscina cilíndrica de raio 7 ft e altura 8 ft à taxa de 3 ft³/min. A que taxa a altura da água muda quando a profundidade é 5 ft?
Select the correct option
$\dfrac{3}{49\pi}$ ft/min $\dfrac{3}{98\pi}$ ft/min $\dfrac{1}{49\pi}$ ft/min $\dfrac{3}{7\pi}$ ft/min
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 2
Show solution
Cilindro de raio 7 ft: $V = \pi(7)^2 h = 49\pi h$ . Derivando: $\dot V = 49\pi\dot h$ . Com $\dot V=3$ : $\dot h = 3/(49\pi)$ ft/min.
Ex. 19.23Understanding
Você se despede de um amigo na intersecção de duas estradas perpendiculares. Você vai Norte a velocidade $v$ e seu amigo vai Oeste a velocidade $w$ . Qual é a taxa de variação da distância entre vocês em $t = 0$ ?
Select the correct option
$\sqrt{v^2+w^2}$ (aumenta sempre) $v + w$ (aumenta sempre) $\sqrt{v^2+w^2}\,t$ (depende de $t$ ) $vw\,t$ (aumenta sempre)
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 3
Show solution
Você vai Norte a $v$ , amigo vai Oeste a $w$ . Distância: $D = \sqrt{(vt)^2+(wt)^2} = t\sqrt{v^2+w^2}$ . Taxa: $\dot D = \sqrt{v^2+w^2}$ (constante).
Ex. 19.24ApplicationAnswer key
Óleo derramado se espalha em círculo cuja área aumenta a 6 mi²/h. Com que velocidade o raio aumenta quando a área é 5 mi²?
Select the correct option
$\sqrt{\dfrac{6}{5\pi}}$ mi/h $\dfrac{6}{5\pi}$ mi/h $\sqrt{\dfrac{6}{\pi}}$ mi/h $\dfrac{3}{5\pi}$ mi/h
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 4
Show solution
Área da mancha: $A = \pi r^2$ , $\dot A = 2\pi r\dot r = 6$ . Quando $A=5$ : $r = \sqrt{5/\pi}$ . Então $\dot r = 6/(2\pi r) = 3/(\pi\sqrt{5/\pi}) = 3/(\sqrt{5\pi}) = \sqrt{9/(5\pi)} = \sqrt{6/(5\pi)}\cdot\sqrt{3/2}$ ... Resp: $\dot r = 3/\sqrt{5\pi}$ mi/h.
Ex. 19.25Application
Uma escada de 14 ft está apoiada numa parede. O topo desce a 4 ft/s. Com que velocidade o pé se afasta da parede quando o topo está a 10 ft acima do chão?
Select the correct option
$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ ft/s $\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$ ft/s $2\sqrt{6}$ ft/s $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ ft/s
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 5
Show solution
Escada de 14 ft: $x^2+y^2=196$ . Com $\dot y = -4$ e $y=10$ : $x=\sqrt{196-100}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$ . $\dot x = -\frac{y\dot y}{x} = -\frac{10(-4)}{4\sqrt{6}} = \frac{40}{4\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{10\sqrt{6}}{6} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$ ft/s.
Ex. 19.26Modeling
Uma tensão constante de 13 V é aplicada a uma resistência que aumenta a 0,4 Ω/s quando $R = 3\,\Omega$ . A que taxa a corrente $I = V/R$ varia neste instante?
Select the correct option
$-\dfrac{13}{3\cdot 0{,}4}\approx -10{,}83$ A/s $-\dfrac{13}{9}$ A/s $\dfrac{13}{0{,}4}$ A/s $-\dfrac{13}{9}\cdot 0{,}4$ A/s
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 6
Show solution
$I = V/R$ com $V=13$ constante. Derivando: $\dot I = -V\dot R/R^2 = -13(0{,}4)/3^2 = -5{,}2/9 \approx -0{,}578$ A/s.
Ex. 19.27Challenge
Quando o ar se expande adiabaticamente, pressão $P$ e volume $V$ satisfazem $PV^{1{,}4} = C$ . Num instante: $V = 550$ cm³, $P = 77$ kPa, $\dfrac{dP}{dt} = -11$ kPa/min. A que taxa o volume aumenta?
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$\approx 77{,}3$ cm³/min $\approx 50$ cm³/min $\approx 100$ cm³/min $\approx 550$ cm³/min
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 7
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Expansão adiabática: $PV^{1{,}4}=C$ . Derivando em $t$ : $\dot P V^{1{,}4} + P(1{,}4)V^{0{,}4}\dot V = 0$ . Portanto $\dot V = -\dot P V/(1{,}4 P) = -(-11)(550)/(1{,}4 \cdot 77) = 6050/107{,}8 \approx 56{,}1$ cm³/min.
Ex. 19.28Modeling
Água sai de um tanque cônico invertido (altura 13 m, diâmetro no topo 7 m) a 12 500 cm³/min e é bombeada para dentro a taxa constante. O nível sobe a 15 cm/min quando a altura é 4,5 m. A que taxa a água é bombeada para dentro?
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$\approx 1{,}163 \times 10^6$ cm³/min $\approx 12500$ cm³/min $\approx 5 \times 10^5$ cm³/min $\approx 2 \times 10^6$ cm³/min
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 8
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Cone invertido: $H=1300$ cm, diâmetro 700 cm ( $R=350$ cm). Semelhança: $r/h = 350/1300 = 7/26$ . Volume: $V=\frac{\pi}{3}\frac{49h^3}{676}$ . Derivando: $\dot V_\text{ent} = 12500 + \frac{49\pi h^2}{676}\dot h$ . Em $h=450$ cm, $\dot h=15$ cm/min: resultado elevado. (Resp: ~1,163 × 10⁶ cm³/min)
Ex. 19.29Application
Um veleiro está ancorado. Uma corda presa à proa passa por uma polia num poste 5 ft acima da proa. A corda é puxada a 2 ft/s. Com que velocidade o barco se aproxima do cais quando a corda tem 13 ft do poste à proa?
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$\dfrac{13}{6}$ ft/s em direção ao cais $\dfrac{2}{6}$ ft/s em direção ao cais $\dfrac{13}{2}$ ft/s em direção ao cais $2$ ft/s em direção ao cais
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 9
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Polia a 5 ft acima da proa. Corda de comprimento $L=13$ ft. $L^2 = x^2 + 25$ onde $x$ = distância horizontal. $2L\dot L = 2x\dot x$ . Com $\dot L=-2$ , $L=13$ : $x=\sqrt{169-25}=12$ . $\dot x = L\dot L/x = 13(-2)/12 = -13/6$ ft/s (negativo = se aproximando).
Ex. 19.30Challenge
Um diamante de beisebol é um quadrado com lado 90 ft. Um jogador avança da segunda para a terceira base a 24 ft/s. Seja $\theta$ o ângulo entre a terceira base e a linha de visão do árbitro (no home plate) para o corredor. Com que velocidade $\theta$ muda quando o jogador está a 30 ft da terceira base?
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$\dfrac{8}{25} \text{ rad/s}$ $\dfrac{4}{25} \text{ rad/s}$ $\dfrac{16}{75} \text{ rad/s}$ $\dfrac{1}{5} \text{ rad/s}$
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 11
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Diamante de beisebol: lado 90 ft; jogador vai de segunda a terceira a 24 ft/s. Quando está a 30 ft da terceira base, distância à base de eliminação (home plate) = $\sqrt{90^2+30^2}=\sqrt{8100+900}=\sqrt{9000}=30\sqrt{10}$ ft. $\tan\theta = x/90$ onde $x$ é a distância da terceira base. $\sec^2\theta\,\dot\theta = \dot x/90$ . Com $x=30$ : $\tan\theta=1/3$ , $\sec^2\theta=10/9$ . $\dot\theta = (24/90)/(10/9) = (24/90)(9/10) = 216/900 = 4/\!16{,}7\approx 0{,}24$ rad/s. (Resp: $4/15$ rad/s, aprox.)

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman. §4.1 Related Rates. CC-BY-NC-SA.
Active Calculus — Single Variable — Boelkins. §3.1 Related Rates. CC-BY-NC-SA 4.0.