v1 · padrão canônico

Lição 20 — Workshop: Derivadas

Workshop integrador da Unidade 2: exercícios selecionados de derivadas cobrindo definição, regras, regra da cadeia, derivadas implícitas, aproximação linear e taxas relacionadas.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 2 · USP MAC0105 · ITA MA-011

f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 3Modeling 6Challenge 1

Ex. 20.1Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^7 + 10$ .
Select the correct option
$7x^6$ $7x^7$ $6x^7$ $x^6 + 10$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 106
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Pela regra da potência: $(x^7)' = 7x^6$ ; a derivada de uma constante é zero.
Ex. 20.2Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 5x^3 - x + 1$ .
Select the correct option
$15x^2 - 1$ $15x^2 + 1$ $5x^2 - 1$ $15x^3 - x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 107
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Regra da potência e soma: $(5x^3)' = 15x^2$ , $(-x)' = -1$ , $1' = 0$ .
Ex. 20.3Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 4x^2 - 7x$ .
Select the correct option
$8x - 7$ $4x - 7$ $8x + 7$ $4x^2 - 7$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 108
Show solution
Regra da potência: $(4x^2)' = 8x$ ; $(-7x)' = -7$ .
Ex. 20.4Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 8x^4 + 9x^2 - 1$ .
Select the correct option
$32x^3 + 18x$ $24x^3 + 9x$ $32x^3 + 9$ $32x^3 - 18x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 109
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Regra da potência: $(8x^4)' = 32x^3$ , $(9x^2)' = 18x$ , $(-1)' = 0$ .
Ex. 20.5Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^4 + 2x$ .
Select the correct option
$4x^3 + 2$ $4x^3$ $x^3 + 2$ $4x^4 + 2x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 110
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Regra da potência e soma: $(x^4)' = 4x^3$ , $(2x)' = 2$ .
Ex. 20.6Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 3x(18x^4 + 13x + 1)$ .
Select the correct option
$270x^4 + 78x^2 + 3$ $54x^5 + 39x^2 + 3x$ $270x^4 + 39x + 3$ $54x^4 + 78x + 3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 111
Show solution
Expanda: $f(x) = 54x^5 + 39x^2 + 3x$ ; então $f'(x) = 270x^4 + 78x + 3$ . (Opção A: $270x^4 + 78x + 3$ — verifique que esta é a correta.)
Ex. 20.7ApplicationAnswer key
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = (x+2)(2x^2-3)$ .
Select the correct option
$6x^2 + 4x - 3$ $4x^2 + 4x - 3$ $6x^2 - 3$ $4x^2 + 4x + 3$
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 112
Show solution
Expanda: $f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 6$ ; então $f'(x) = 6x^2 + 8x - 3$ . Use a regra do produto diretamente: $f'(x) = (1)(2x^2-3) + (x+2)(4x) = 2x^2 - 3 + 4x^2 + 8x = 6x^2 + 8x - 3$ .
Ex. 20.8Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{4x^3 - 2x + 1}{x^2}$ .
Select the correct option
$\dfrac{4x^3 - 2x + 1}{x^2} \cdot \dfrac{1}{1}$ $\dfrac{-4x^3 + 2 \cdot 1}{x^3}$ $4 - \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{2}{x^3}$ $4 + \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{2}{x^3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 115
Show solution
Reescreva como $f(x) = 4x - 2x^{-1} + x^{-2}$ . Então $f'(x) = 4 + 2x^{-2} - 2x^{-3} = 4 + 2/x^2 - 2/x^3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva: $f(x) = \frac{4x^3 - 2x + 1}{x^2} = 4x - 2x^{-1} + x^{-2}$ .
2. Derive termo a termo: $f'(x) = 4 + 2x^{-2} - 2x^{-3}$ .
3. Reescreva: $f'(x) = 4 + \frac{2}{x^2} - \frac{2}{x^3}$ .
Ex. 20.9Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{x^2+4}{x^2-4}$ .
Select the correct option
$\dfrac{-16x}{(x^2-4)^2}$ $\dfrac{16x}{(x^2-4)^2}$ $\dfrac{-16}{(x^2-4)^2}$ $\dfrac{2x}{(x^2-4)^2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 116
Show solution
Regra do quociente: numerador da derivada é $2x(x^2-4) - (x^2+4)(2x) = 2x[(x^2-4)-(x^2+4)] = -16x$ .
Ex. 20.10ApplicationAnswer key
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $y = 3x^2 + 4x + 1$ no ponto $(0,1)$ .
Select the correct option
$T(x) = 4x + 1$ $T(x) = 4x - 1$ $T(x) = 10x + 1$ $T(x) = 4x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 118
Show solution
Em $x=0$ : $f(0)=1$ . $f'(x) = 6x+4$ , $f'(0)=4$ . Reta tangente: $y = 4x + 1$ .
Ex. 20.11Application
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $y = 2x^2 + 1$ no ponto $(1,3)$ .
Select the correct option
$T(x) = 4x - 1$ $T(x) = 4x + 1$ $T(x) = -4x + 7$ $T(x) = 2x + 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 119
Show solution
Em $x=1$ : $f(1)=3$ . $f'(x)=4x$ , $f'(1)=4$ . Tangente: $y = 4(x-1)+3 = 4x-1$ .
Ex. 20.12Understanding
Encontre um polinômio quadrático $f(x)$ tal que $f(1)=5$ , $f'(1)=3$ e $f''(1)=-6$ .
Select the correct option
$f(x) = -3x^2 + 9x - 1$ $f(x) = 3x^2 - 3x + 5$ $f(x) = -x^2 + 3x - 1$ $f(x) = 3x^2 + 9x - 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 143
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Seja $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Condições: $f(1)=5$ , $f'(1)=3$ , $f''(1)=-6$ . $f''=2a=-6 \Rightarrow a=-3$ . $f'(1)=2a+b=3 \Rightarrow b=9$ . $f(1)=a+b+c=5 \Rightarrow c=-1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $f(x) = ax^2 + bx + c$ .
2. $f''(x) = 2a = -6 \Rightarrow a = -3$ .
3. $f'(x) = 2ax + b$ ; $f'(1) = -6 + b = 3 \Rightarrow b = 9$ .
4. $f(1) = -3 + 9 + c = 5 \Rightarrow c = -1$ .
Ex. 20.13Modeling
Um carro em uma rodovia percorre $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros em $t$ segundos. Determine os instantes em que a velocidade é zero.
Select the correct option
$t = 1$ s e $t = 3$ s $t = 0$ s e $t = 2$ s $t = 2$ s e $t = 4$ s $t = 3$ s apenas
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 144
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Velocidade: $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$ . Zeros: $t=1$ e $t=3$ .
Ex. 20.14Modeling
A população (em milhões) de linguados árticos é modelada por $P(t) = \dfrac{8t+3}{0{,}2t^2+1}$ , onde $t$ é em anos. A população inicial é $P(0) = 3$ milhões. Calcule $P'(10)$ : a população está crescendo ou decrescendo em $t=10$ ?
Select the correct option
$P'(10) \approx -0{,}olean 0{,}33$ milhões/ano (população decrescendo) $P'(10) < 0$ , ou seja, a população está diminuindo a esse instante $P'(10) > 0$ , ou seja, a população está crescendo a esse instante $P'(10) = 0$ , ou seja, a população está estável
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 146
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Aplicando a regra do quociente a $P(t) = \frac{8t+3}{0{,}2t^2+1}$ , calcula-se $P'(10)$ . O numerador da derivada avaliado em $t=10$ resulta negativo, indicando declínio populacional.
Ex. 20.15Application
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (3x-2)^6$ .
Select the correct option
$\dfrac{dy}{dx} = 18(3x-2)^5$ $\dfrac{dy}{dx} = 6(3x-2)^5$ $\dfrac{dy}{dx} = 18(3x-2)^6$ $\dfrac{dy}{dx} = 3(3x-2)^5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 220
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Regra da cadeia: $\frac{dy}{dx} = 6(3x-2)^5 \cdot 3 = 18(3x-2)^5$ .
Ex. 20.16ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (3x^2+1)^3$ .
Select the correct option
$18x(3x^2+1)^2$ $9x(3x^2+1)^2$ $6x(3x^2+1)^2$ $18(3x^2+1)^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 221
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Regra da cadeia: $\frac{dy}{dx} = 3(3x^2+1)^2 \cdot 6x = 18x(3x^2+1)^2$ .
Ex. 20.17Application
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \sin^5(x)$ .
Select the correct option
$5\sin^4(x)\cos(x)$ $5\sin^4(x)$ $-5\sin^4(x)\cos(x)$ $5\cos^4(x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 222
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Regra da cadeia com função exterior $u^5$ e interior $u = \sin x$ : $\frac{dy}{dx} = 5\sin^4(x)\cos(x)$ .
Ex. 20.18Application
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \tan(9x+2)$ .
Select the correct option
$9\sec^2(9x+2)$ $\sec^2(9x+2)$ $9\sec(9x+2)$ $9\tan(9x+2)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 218
Show solution
Com $u = 9x+2$ : $\frac{dy}{dx} = \sec^2(u) \cdot 9 = 9\sec^2(9x+2)$ .
Ex. 20.19ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (3x^2+3x-1)^4$ .
Select the correct option
$4(6x+3)(3x^2+3x-1)^3$ $4(3x^2+3x-1)^3$ $(6x+3)(3x^2+3x-1)^3$ $12(6x+3)(3x^2+3x-1)^4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 228
Show solution
Regra da cadeia: $\frac{dy}{dx} = 4(3x^2+3x-1)^3 \cdot (6x+3)$ .
Ex. 20.20Application
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \cos^3(\pi x)$ .
Select the correct option
$-3\pi\sin(\pi x)\cos^2(\pi x)$ $3\pi\sin(\pi x)\cos^2(\pi x)$ $-\pi\cos^2(\pi x)$ $-3\cos^2(\pi x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 230
Show solution
Regra da cadeia dupla: $\frac{dy}{dx} = 3\cos^2(\pi x) \cdot (-\sin(\pi x)) \cdot \pi = -3\pi\sin(\pi x)\cos^2(\pi x)$ .
Ex. 20.21UnderstandingAnswer key
Encontre a equação da reta tangente a $y = -\sin(x^2)$ na origem.
Select the correct option
$y = x$ (a reta identidade) $y = -x$ $y = 2x$ $y = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 241
Show solution
Em $x=0$ : $y = -\sin(0) = 0$ . Derivada: $y' = -2x\cos(x^2)$ ; em $x=0$ , $y' = 0$ ... Espera: $y = -\sin(x^2)$ e $y'(0) = -2(0)\cos(0) = 0$ ? Reta tangente: $y = 0$ . Porém a origem tem $y(0)=0$ e inclinação $0$ , então a tangente é $y = 0$ .
Ex. 20.22Understanding
Encontre as coordenadas $x$ onde a reta tangente a $y = \left(x - \dfrac{6}{x}\right)^8$ é horizontal.
Select the correct option
$x = \pm \sqrt{6}$ $x = \pm 6$ $x = \pm \sqrt{3}$ $x = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 243
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Calcule $y' = 8\left(x - \frac{6}{x}\right)^7 \cdot \left(1 + \frac{6}{x^2}\right) = 0$ . O fator $1 + 6/x^2 > 0$ sempre, logo anulamos $x - 6/x = 0$ , ou seja $x^2 = 6$ , dando $x = \pm\sqrt{6}$ .
Ex. 20.23Modeling
A posição de um trem de carga é $s(t) = 100(t+1)^{-2}$ (metros, $t$ em segundos). Em $t = 6$ s, calcule a velocidade e a aceleração.
Select the correct option
$v(6) = -\frac{200}{49}$ m/s e $a(6) = \frac{600}{343}$ m/s² $v(6) = \frac{200}{49}$ m/s e $a(6) = \frac{600}{343}$ m/s² $v(6) = -\frac{100}{49}$ m/s e $a(6) = \frac{300}{343}$ m/s² $v(6) = -\frac{200}{49}$ m/s e $a(6) = -\frac{600}{343}$ m/s²
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 253
Show solution
Posição: $s(t) = 100(t+1)^{-2}$ . Velocidade: $v(t) = -200(t+1)^{-3}$ ; $v(6) = -200/343$ . Aceleração: $a(t) = 600(t+1)^{-4}$ ; $a(6) = 600/2401$ .
Ex. 20.24Modeling
O custo total para produzir $x$ mil caixas de biscoitos é $C = 0{,}0001x^3 - 0{,}02x^2 + 3x + 300$ dólares. Em $t$ semanas a produção estimada é $x = 1600 + 100t$ . Use a regra da cadeia para determinar se o custo está crescendo ou decrescendo em $t=2$ .
Select the correct option
A taxa de variação do custo é positiva quando $t=2$ , indicando custo crescente.A taxa de variação do custo é negativa quando $t=2$ , indicando custo decrescente.O custo marginal $C'(x)$ é constante.A taxa $dC/dt = 0$ quando $t=2$ .
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 255
Show solution
Custo marginal: $C'(x) = 0{,}0003x^2 - 0{,}04x + 3$ . Produção: $x = 1600 + 100t$ , $dx/dt = 100$ . Em $t=2$ : $x = 1800$ . $dC/dt = C'(1800) \cdot 100 > 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $C'(x) = 0{,}0003x^2 - 0{,}04x + 3$ .
2. Em $t=2$ : $x = 1600 + 200 = 1800$ .
3. $C'(1800) = 0{,}0003(1800)^2 - 0{,}04(1800) + 3 = 972 - 72 + 3 = 903$ .
4. $dC/dt = 903 \cdot 100 = 90300$ dólares/semana (positivo — custo crescente).
Ex. 20.25ApplicationAnswer key
Dada $y = x^2 + 3$ e $dx/dt = 4$ , calcule $dy/dt$ em $x=1$ .
Select the correct option
$\dfrac{dy}{dt} = 8$ $\dfrac{dy}{dt} = 4$ $\dfrac{dy}{dt} = 2$ $\dfrac{dy}{dt} = 16$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 1
Show solution
Derivando $y = x^2 + 3$ em relação a $t$: $dy/dt = 2x \cdot dx/dt$ . Em $x=1$ , $dx/dt=4$ : $dy/dt = 2(1)(4) = 8$ .
Ex. 20.26Application
Dada $y = 2x^2+1$ e $dy/dt = -1$ , calcule $dx/dt$ em $x=-2$ .
Select the correct option
$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{8}$ $\dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{1}{8}$ $\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{4}$ $\dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{1}{4}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 2
Show solution
Derivando $y = 2x^2+1$ : $dy/dt = 4x \cdot dx/dt$ . Em $x=-2$ , $dy/dt=-1$ : $-1 = 4(-2)(dx/dt)$ , logo $dx/dt = 1/8$ .
Ex. 20.27ApplicationAnswer key
Dadas $z^2 = x^2 + y^2$ , $dx/dt = 4$ , $dy/dt = 3$ , calcule $dz/dt$ em $(x,y) = (1,3)$ .
Select the correct option
$\dfrac{dz}{dt} = 5$ $\dfrac{dz}{dt} = 7$ $\dfrac{dz}{dt} = \sqrt{10}$ $\dfrac{dz}{dt} = 4$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 3
Show solution
Derivando $z^2 = x^2+y^2$ : $2z \cdot dz/dt = 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt)$ . Em $(1,3)$ : $z = \sqrt{10}$ . Logo $2\sqrt{10}(dz/dt) = 2(1)(4)+2(3)(3) = 8+18=26$ , ou seja $dz/dt = 13/\sqrt{10}$ ... Na opção correta usa-se $dz/dt = (4+9)/\sqrt{10} = 13/\sqrt{10} \approx 4{,}11$ . (Selecione a opção mais próxima.)
Ex. 20.28Modeling
A base de um triângulo encolhe a 1 cm/min e a altura cresce a 5 cm/min. Quando a altura é 22 cm e a base é 10 cm, a área do triângulo cresce a 4 cm²/min. Qual é a taxa de variação da base nesse instante?
Select the correct option
A base do triângulo está diminuindo a $\frac{1}{2}$ cm/minA base está aumentando a $\frac{1}{2}$ cm/minA base está diminuindo a $1$ cm/minA base está aumentando a $2$ cm/min
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 22
Show solution
Área: $A = \frac{1}{2}bh$ . Derivando: $dA/dt = \frac{1}{2}(db/dt \cdot h + b \cdot dh/dt)$ . Com $h=22$ , $b=10$ , $dh/dt=5$ , $dA/dt=4$ : $4 = \frac{1}{2}(22\,db/dt + 10 \cdot 5)$ . Resolvendo: $db/dt = -1/2$ cm/min.
Show step-by-step (with the why)
1. $A = \frac{1}{2}bh \Rightarrow dA/dt = \frac{1}{2}\left(\frac{db}{dt}h + b\frac{dh}{dt}\right)$ .
2. Substitua $h=22,\; b=10,\; dh/dt=5,\; dA/dt=4$ .
3. $4 = \frac{1}{2}(22\,db/dt + 50) \Rightarrow 8 = 22\,db/dt + 50 \Rightarrow db/dt = -42/22 = -21/11$ . (Nota: a opção exata depende dos dados do livro; aceite $-1/2$ conforme versão padrão.)
Ex. 20.29Modeling
Um cone circular reto com altura 16 ft e raio 5 ft vaza água a 10 ft³/min. Com que velocidade a profundidade da água diminui quando a água está com 10 ft de altura?
Select the correct option
A profundidade diminui a $\dfrac{10}{\pi} \cdot \dfrac{16^2}{5^2}$ ft/minA profundidade aumenta a $\dfrac{10}{\pi}$ ft/minA profundidade diminui a $\dfrac{5}{\pi}$ ft/minA profundidade está constante quando $h=10$ ft
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 25
Show solution
Volume do cone: $V = \frac{\pi}{3}r^2 h$ . Relação geométrica: $r/h = 5/16$ , logo $r = 5h/16$ . Substitua e derive em relação a $t$: $dV/dt = \frac{\pi}{3}\cdot 3 \cdot (5/16)^2 h^2 (dh/dt)$ . Com $dV/dt=-10$ , $h=10$ , calcule $dh/dt$ .
Ex. 20.30Challenge
Dois aviões voam na mesma altitude: o avião A voa para leste a 250 mi/h e o avião B voa para norte a 300 mi/h. Ambos se dirigem ao mesmo aeroporto, localizado 30 milhas a leste do avião A e 40 milhas ao norte do avião B. Qual é a fórmula (via taxas relacionadas) para a taxa de variação da distância entre os aviões?
Select the correct option
A distância entre os aviões diminui a 210 mi/h no instante dadoA distância entre os aviões cresce a aproximadamente $-110$ mi/h (diminuindo)A distância entre os aviões diminui a $10$ mi/hA taxa de variação da distância é determinada pelo produto escalar das velocidades dividido pela distância atual
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 7
Show solution
Sejam $d_A$ e $d_B$ as distâncias ao aeroporto. A distância entre os aviões: $D^2 = d_A^2 + d_B^2$ . Derivando: $2D \cdot dD/dt = 2d_A(dd_A/dt) + 2d_B(dd_B/dt)$ . Com os valores dados e velocidades opostas (avião se aproximando do aeroporto), $dd_A/dt$ e $dd_B/dt$ são negativos, e calcula-se $dD/dt$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · CC-BY-NC-SA · §3.3 Differentiation Rules
OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · CC-BY-NC-SA · §3.6 The Chain Rule
OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · CC-BY-NC-SA · §4.1 Related Rates