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Lição 21 — Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio: enunciados, provas e interpretações geométricas. Consequências: funções com derivada zero são constantes, desigualdades globais.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 3 · USP MAC0105 · ITA MA-011

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \quad c \in (a,b)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exercícios

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30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 8Modeling 2Challenge 2

Ex. 21.1Understanding
Por que a continuidade é necessária para aplicar o Teorema do Valor Médio? Qual é a hipótese violada num contraexemplo?
Select the correct option
Sem continuidade, $f$ pode ter descontinuidade em $(a,b)$ tornando a conclusão falsa.Continuidade é necessária apenas para que $f'$ exista.Sem continuidade, a derivada $f'$ pode ser negativa.Continuidade garante que $f(a) = f(b)$ .
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 148
Show solution
O TVM requer que $f$ seja contínua em $[a,b]$ para que o Teorema de Weierstrass (e a construção da função auxiliar de Rolle) funcione. Um contraexemplo clássico: $f(x) = \begin{cases}0 & x \in [0,1) \\ 2 & x = 1\end{cases}$ satisfaz as hipóteses de diferenciabilidade em $(0,1)$ com $f'=0$, mas $\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=2\neq 0$ . A conclusão falha por falta de continuidade.
Ex. 21.2Understanding
Por que a diferenciabilidade é necessária para aplicar o TVM? Identifique o contraexemplo correto.
Select the correct option
$f(x) = |x|$ em $[-1,1]$ : não é diferenciável em $x=0$ , e não existe $c$ com $f'(c)=0$ . $f(x) = x^2$ em $[0,1]$ : a derivada nunca é zero. $f(x) = \sin x$ em $[0,\pi]$ : a derivada não existe. $f(x) = e^x$ em $[0,1]$ : não há ponto $c$ com inclinação igual à secante.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 149
Show solution
A função $f(x)=|x|$ em $[-1,1]$ tem $f(-1)=f(1)=1$, mas não é diferenciável em $x=0$. A inclinação da secante é $\frac{f(1)-f(-1)}{2}=0$ . Como $f'(x)=\pm 1$ para $x\neq 0$ e $f'(0)$ não existe, não há $c\in(-1,1)$ com $f'(c)=0$. A falta de diferenciabilidade invalida o TVM.
Ex. 21.3Understanding
Quando o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio são equivalentes?
Select the correct option
Quando $f(a) = f(b)$ , ou seja, os extremos têm o mesmo valor.Quando $f'(c) = 0$ para algum $c\in(a,b)$ .Quando $f$ é constante em $[a,b]$ .Quando $a = -b$ .
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 150
Show solution
O Teorema de Rolle é o caso especial do TVM em que $f(a)=f(b)$. Nesse caso, a inclinação da secante $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ , e a conclusão do TVM diz que $f'(c)=0$, que é exatamente a conclusão de Rolle. Fora dessa situação, os teoremas têm conclusões diferentes.
Ex. 21.4Understanding
Se $f$ tem uma descontinuidade, ainda é possível ter $f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ para algum $c\in(a,b)$ ?
Select the correct option
Sim, é possível coincidentemente, mas o TVM não garante tal $c$ .Não, nunca é possível sem continuidade.Sim, e o TVM ainda se aplica se a descontinuidade for removível.Só é possível se $f(a)=f(b)$ .
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 151
Show solution
É possível que $f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ ocorra por coincidência mesmo com descontinuidade, mas o TVM não garante isso. Exemplo: $f(x)=\begin{cases}x & x\in[0,1)\\0 & x=1\end{cases}$ . Aqui $f'(x)=1$ para $x\in(0,1)$, mas $\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=0\neq 1$ . O teorema não se aplica, e não existe tal $c$.
Ex. 21.5Application
Determine em quais intervalos o TVM se aplica a $y = \sin(\pi x)$ . Justifique.
Select the correct option
O TVM se aplica em todo intervalo $[a,b]\subset\mathbb{R}$ , pois $\sin(\pi x)$ é contínua e diferenciável em todo $\mathbb{R}$ .O TVM não se aplica porque $\sin(\pi x)$ pode ser zero.O TVM se aplica apenas em $[0,1]$ .O TVM não se aplica porque a derivada é ilimitada.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 152
Show solution
A função $y=\sin(\pi x)$ é contínua e diferenciável em $\mathbb{R}$ , portanto o TVM se aplica em qualquer intervalo $[a,b]$. A derivada $y'=\pi\cos(\pi x)$ existe e é contínua em todo ponto.
Ex. 21.6Application
Determine em quais intervalos o TVM se aplica a $y = \dfrac{1}{x^3}$ . Justifique.
Select the correct option
O TVM não se aplica em nenhum intervalo contendo $x=0$ ; aplica-se em $[a,b]$ com $0\notin[a,b]$ .O TVM se aplica em todo intervalo real.O TVM se aplica apenas em $[1,2]$ .O TVM nunca se aplica a $y=1/x^3$ .
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 153
Show solution
A função $y=1/x^3$ não é contínua em $x=0$, logo o TVM não se aplica em nenhum intervalo que contenha a origem. Em intervalos $[a,b]$ com $a>0$ ou $b<0$ , $y$ é contínua e diferenciável, e o TVM é válido.
Ex. 21.7ApplicationAnswer key
Determine em quais intervalos o TVM se aplica a $y = \sqrt{4 - x^2}$ . Justifique.
Select the correct option
O TVM se aplica em $[-2,2]$ (domínio natural); não em intervalos que extrapolam $|x|>2$ .O TVM não se aplica porque $\sqrt{4-x^2}$ tem derivada infinita nos extremos.O TVM se aplica em todo $\mathbb{R}$ .O TVM não se aplica pois a função é côncava.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 154
Show solution
A função $y=\sqrt{4-x^2}$ está definida para $|x|\leq 2$. No interior $(-2,2)$ é diferenciável; nos extremos $x=\pm 2$ a derivada é infinita, mas a continuidade em $[-2,2]$ e diferenciabilidade em $(-2,2)$ garantem o TVM nesse intervalo. (Resp: $c=0$, inclinação secante $=0$; $f'(0)=0$. $\checkmark$)
Ex. 21.8Application
Determine em quais intervalos o TVM se aplica a $y = x^2 - 4$ . Justifique.
Select the correct option
O TVM se aplica em qualquer $[a,b]\subset\mathbb{R}$ , pois $y=x^2-4$ é polinômio.O TVM não se aplica quando $x^2-4<0$ .O TVM se aplica apenas para $|x|\geq 2$ .O TVM não se aplica porque a função muda de sinal.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 155
Show solution
O polinômio $y=x^2-4$ é contínuo e diferenciável em $\mathbb{R}$ . O TVM se aplica em qualquer intervalo $[a,b]$. O sinal de $f$ não afeta a aplicabilidade do teorema.
Ex. 21.9Application
Determine em quais intervalos o TVM se aplica a $y = \ln(3x - 5)$ . Justifique.
Select the correct option
O TVM se aplica em $[a,b]$ com $a > 5/3$ , onde $\ln(3x-5)$ é contínua e diferenciável.O TVM se aplica em $[a,b]\subset\mathbb{R}$ qualquer.O TVM se aplica apenas em $[2,3]$ .O TVM não se aplica pois a derivada de $\ln$ é ilimitada.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 156
Show solution
A função $y=\ln(3x-5)$ está definida e é diferenciável para $3x-5>0$ , ou seja, $x>5/3$ . Portanto o TVM se aplica em qualquer intervalo $[a,b]$ com $a>5/3$ .
Ex. 21.10ApplicationAnswer key
Encontre todos os pontos $0 < c < 2$ garantidos pelo TVM para $f(x) = x^3$ em $[0,2]$ , ou seja, satisfazendo $f(2)-f(0)=f'(c)(2-0)$ .
Select the correct option
$c = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ $c = 1$ $c = \sqrt{2}$ $c = \dfrac{4}{3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 161
Show solution
Para $f(x)=x^3$ em $[0,2]$: $\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{8}{2}=4$ . O TVM pede $f'(c)=3c^2=4$, logo $c=\sqrt{4/3}=2/\sqrt{3}\approx 1{,}155\in(0,2)$ . $\checkmark$
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule a inclinação da secante: $\frac{8-0}{2-0}=4$ .
2. Resolva $f'(c)=3c^2=4$: $c^2=4/3$ , $c=2/\sqrt{3}$ (positivo pois $c\in(0,2)$).
3. Confirme $c\approx 1{,}155\in(0,2)$ . $\checkmark$
Ex. 21.11Application
Encontre todos os pontos $0 < c < 2$ garantidos pelo TVM para $f(x) = \sin(\pi x)$ em $[0,2]$ .
Select the correct option
Não existe $c\in(0,2)$ ; o TVM não se aplica pois a secante tem inclinação 0 e $\sin(\pi x)$ tem múltiplos zeros de derivada. $c = \dfrac{1}{2}$ e $c = \dfrac{3}{2}$ $c = 1$ $c = \dfrac{1}{4}$ e $c = \dfrac{5}{4}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 162
Show solution
Para $f(x)=\sin(\pi x)$ em $[0,2]$: $f(0)=f(2)=0$, logo a inclinação da secante é $0$. O TVM pede $f'(c)=\pi\cos(\pi c)=0$, ou seja, $\cos(\pi c)=0$. No intervalo $(0,2)$: $\pi c=\pi/2$ ou $3\pi/2$, logo $c=1/2$ e $c=3/2$.
Ex. 21.12Application
Encontre todos os pontos $0 < c < 2$ garantidos pelo TVM para $f(x) = \cos(2\pi x)$ em $[0,2]$ .
Select the correct option
$c = \dfrac{1}{4}$ , $c = \dfrac{3}{4}$ , $c = \dfrac{5}{4}$ , $c = \dfrac{7}{4}$ $c = \dfrac{1}{2}$ e $c = \dfrac{3}{2}$ $c = 1$ Não existe $c\in(0,2)$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 163
Show solution
Para $f(x)=\cos(2\pi x)$ em $[0,2]$: $f(0)=f(2)=1$, secante tem inclinação $0$. O TVM pede $f'(c)=-2\pi\sin(2\pi c)=0$, logo $\sin(2\pi c)=0$, i.e., $2\pi c=k\pi$ para $k$ inteiro. Em $(0,2)$: $c=1/2,1,3/2$. (Resp: $c=1/2,\;1,\;3/2$.)
Ex. 21.13Application
Encontre todos os pontos $0 < c < 2$ garantidos pelo TVM para $f(x) = 1 + x + x^2$ em $[0,2]$ .
Select the correct option
$c = 1$ $c = \dfrac{1}{2}$ $c = \sqrt{2}$ $c = \dfrac{3}{2}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 164
Show solution
Para $f(x)=1+x+x^2$ em $[0,2]$: $\frac{f(2)-f(0)}{2}=\frac{7-1}{2}=3$ . O TVM pede $f'(c)=1+2c=3$, logo $c=1\in(0,2)$. $\checkmark$ (Resp: $c=1$)
Ex. 21.14Application
Encontre todos os pontos $0 < c < 2$ garantidos pelo TVM para $f(x) = (x-1)^{10}$ em $[0,2]$ .
Select the correct option
$c = 1 + 2^{-1/9}\approx 1{,}926$ $c = 1$ $c = 2^{1/10}$ $c = 1{,}5$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 165
Show solution
Para $f(x)=(x-1)^10$ em $[0,2]$: $f(0)=1$, $f(2)=1$. Inclinação secante $=0$. TVM pede $f'(c)=10(c-1)^9=0$, logo $c=1\in(0,2)$. (Resp: $c=1$)
Ex. 21.15Application
Encontre todos os pontos $0 < c < 2$ garantidos pelo TVM para $f(x) = (x-1)^9$ em $[0,2]$ .
Select the correct option
$c = 1$ $c = 0$ $c = 2$ Não existe $c\in(0,2)$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 166
Show solution
Para $f(x)=(x-1)^9$ em $[0,2]$: $f(0)=-1$, $f(2)=1$. Inclinação secante $= \frac{2}{2}=1$ . TVM pede $f'(c)=9(c-1)^8=1$, logo $(c-1)^8=1/9$, $c-1=\pm 9^-0.125$. Ambos $c=1\pm 9^-0.125$ estão em $(0,2)$ por simetria. (Resp: $c=1\pm 9^{-1/8}\approx 0{,}741\text{ e }1{,}259$ .) A resposta principal é $c\approx 1{,}259$ .
Ex. 21.16UnderstandingAnswer key
Mostre que não existe $c\in(-1,1)$ tal que $f(1)-f(-1)=f'(c)\cdot 2$ para $f(x)=\left|x-\dfrac{1}{2}\right|$ . Por que o TVM não se aplica?
Select the correct option
$f(x)=|x-1/2|$ não é diferenciável em $x=1/2\in(-1,1)$ , violando a hipótese do TVM. $f$ não é contínua em $[-1,1]$ .A derivada de $|x-1/2|$ é zero em $x=1/2$ .O TVM se aplica, mas simplesmente $c=1/2$ .
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 167
Show solution
$f(x)=|x-1/2|$ é contínua em $[-1,1]$ mas não é diferenciável em $x=1/2$. Por isso o TVM não se aplica. De fato, $\frac{f(1)-f(-1)}{2}=\frac{1/2-3/2}{2}=-\frac{1}{2}$ , mas $f'(x)=\pm 1$ para $x\neq 1/2$, nunca igual a $-1/2$.
Ex. 21.17UnderstandingAnswer key
Mostre que não existe $c$ com $f(1)-f(-1)=f'(c)\cdot 2$ para $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ em $[-1,1]$ . Por que o TVM não se aplica?
Select the correct option
$f(x)=1/x^2$ não está definida (logo não é contínua) em $x=0\in[-1,1]$ . $f$ é diferenciável mas não contínua nos extremos. $f'$ não existe em $x=0$ , mas $f$ é contínua.O TVM se aplica e $c = \pm 1/2$ .
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 168
Show solution
$f(x)=1/x^2$ não está definida em $x=0\in[-1,1]$, portanto não é contínua no intervalo. O TVM não se aplica. De fato, $\frac{f(1)-f(-1)}{2}=0$ , mas $f'(x)=-2/x^3$ nunca é zero para $x\neq 0$.
Ex. 21.18UnderstandingAnswer key
Mostre que não existe $c\in(-1,1)$ com $f(1)-f(-1)=f'(c)\cdot 2$ para $f(x)=|x|$ . Por que o TVM não se aplica?
Select the correct option
$f(x)=|x|$ não é diferenciável em $x=0\in(-1,1)$ , violando a hipótese. $f$ não é contínua em $x=0$ .O TVM não exige diferenciabilidade em pontos isolados.A inclinação da secante é $1$ , e $f'(c)=1$ ocorre para $c>0$ .
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 169
Show solution
$f(x)=|x|$ é contínua em $[-1,1]$ mas não diferenciável em $x=0$. Inclinação da secante: $\frac{f(1)-f(-1)}{2}=0$ . Como $f'(x)=\pm 1$ para $x\neq 0$, não há $c$ com $f'(c)=0$. O TVM exige diferenciabilidade em todo ponto interior.
Ex. 21.19Understanding
Mostre que não existe $c\in(-1,1)$ com $f(1)-f(-1)=f'(c)\cdot 2$ para $f(x)=\lfloor x\rfloor$ (função piso). Por que o TVM não se aplica?
Select the correct option
$f(x)=\lfloor x\rfloor$ não é contínua em $x=0\in(-1,1)$ , violando a hipótese. $f$ é diferenciável em todo ponto interior.O TVM se aplica mas $c=1/2$ . $f$ não tem derivada nos extremos $\pm 1$ .
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 170
Show solution
A função piso $\lfloor x\rfloor$ tem descontinuidade de salto em $x=0\in(-1,1)$. O TVM não se aplica. De fato $f(-1)=-1$, $f(1)=1$, inclinação $=1$, mas $f'(x)=0$ para $x$ não inteiro, nunca igual a $1$.
Ex. 21.20Application
O TVM se aplica a $y = e^x$ em $[0,1]$ ? Se sim, encontre o valor $c$ garantido.
Select the correct option
Sim; $e^x$ é contínua e diferenciável em $[0,1]$ . (Resp: $c=\ln(e-1)\approx 0{,}541$ )Não; $e^x$ cresce rápido demais.Sim, mas apenas com $c=1/2$ .Não; a derivada $e^x$ é sempre maior que a secante.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 171
Show solution
$y=e^x$ é contínua e diferenciável em $[0,1]$. O TVM garante $c$: $\frac{e^1-e^0}{1-0}=e-1$ . Resolvendo $e^c=e-1$: $c=\ln(e-1)\approx 0{,}541\in(0,1)$ . $\checkmark$
Ex. 21.21Application
O TVM se aplica a $y = \ln(2x+3)$ em $\left[-\dfrac{3}{2}, 0\right]$ ? Justifique.
Select the correct option
Não se aplica; $\ln(2x+3)$ não está definida em $x=-3/2$ (extremo esquerdo).Aplica-se; $c = -3/4$ .Aplica-se em todo $[-3/2, 0]$ pois $\ln$ é contínua.Aplica-se; $c = 0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 172
Show solution
Em $x=-3/2$: $2(-3/2)+3=0$, e $\ln(0)$ não existe. A função não está definida (nem contínua) em $x=-3/2$. O TVM não se aplica no intervalo $[-3/2,0]$.
Ex. 21.22Application
O TVM se aplica a $f(x) = \tan(2\pi x)$ em $[0,2]$ ? Justifique.
Select the correct option
Não; $\tan(2\pi x)$ tem descontinuidades em $x=1/4$ e $x=3/4$ , ambas em $(0,2)$ .Sim; $\tan$ é contínua em todo $(0,2)$ .Sim; basta excluir os pontos de descontinuidade.Não; apenas porque a derivada de $\tan$ não existe em $[0,2]$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 173
Show solution
$f(x)=\tan(2\pi x)$ tem assíntotas verticais em $x=1/4$ e $x=3/4$ (dentro de $[0,2]$), portanto $f$ não é contínua no intervalo. O TVM não se aplica em $[0,2]$.
Ex. 21.23ApplicationAnswer key
O TVM se aplica a $y = \sqrt{9-x^2}$ em $[-3,3]$ ? Se sim, encontre $c$ .
Select the correct option
Aplica-se; $y=\sqrt{9-x^2}$ é contínua em $[-3,3]$ e diferenciável em $(-3,3)$ . (Resp: $c=0$ )Não se aplica; $\sqrt{9-x^2}$ não é diferenciável nos extremos $\pm 3$ .Aplica-se somente em $(-3,3)$ .Não se aplica; a inclinação da secante é indefinida.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 174
Show solution
$y=\sqrt{9-x^2}$ é o semicírculo superior de raio $3$: contínua em $[-3,3]$ e diferenciável em $(-3,3)$ (derivada vertical nos extremos, mas isso não impede o TVM). A secante tem inclinação $0$ (pois $f(-3)=f(3)=0$), e $f'(c)=-c/\sqrt{9-c^2}=0$ em $c=0$. (Resp: $c=0$.)
Ex. 21.24ApplicationAnswer key
O TVM se aplica a $y = x^3 + 2x + 1$ em $[0,6]$ ? Se sim, encontre o valor exato de $c$ .
Select the correct option
Aplica-se; $y=x^3+2x+1$ é polinômio. (Resp: $c=\sqrt{\frac{218-1}{3}}\approx 2{,}53$ )Não se aplica; o polinômio tem grau ímpar.Aplica-se somente se $x\geq 0$ .Não se aplica; a derivada pode ser negativa.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 176
Show solution
Polinômio — contínuo e diferenciável em $\mathbb{R}$ . No intervalo $[0,6]$: $f(0)=1$, $f(6)=6^3+12+1=229$. Inclinação $=(229-1)/6=228/6=38$. Resolvendo $f'(c)=3c^2+2=38$: $c^2=12$, $c=2\sqrt{3}\approx 3{,}46\in(0,6)$ . (Resp: $c=2\sqrt{3}$ .)
Ex. 21.25Application
O TVM se aplica a $y = \dfrac{x^2+3x+2}{x}$ em $[-1,1]$ ? Justifique.
Select the correct option
Não se aplica; $y = \dfrac{x^2+3x+2}{x}$ não está definida em $x=0\in[-1,1]$ .Aplica-se; $c=1/2$ .Aplica-se; o limite existe em $x=0$ .Não se aplica; a derivada é ilimitada.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 177
Show solution
$y=\frac{x^2+3x+2}{x}=x+3+2/x$ não está definida em $x=0\in[-1,1]$. A continuidade falha. O TVM não se aplica em $[-1,1]$.
Ex. 21.26Application
O TVM se aplica a $y = \ln(x+1)$ em $[0, e-1]$ ? Se sim, encontre $c$ exato.
Select the correct option
Aplica-se; $y=\ln(x+1)$ é contínua e diferenciável em $[0,e-1]$ . (Resp: $c=e-2\approx 0{,}718$ )Não se aplica; $\ln$ não está definida em $x=0$ .Aplica-se, com $c=1/2$ .Não se aplica pois o domínio exige $x>0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 179
Show solution
$y=\ln(x+1)$ está definida e é diferenciável para $x>-1$ ; em $[0,e-1]$ o argumento $x+1$ pertence a $[1,e]$, portanto positivo. $f(0)=0$, $f(e-1)=1$. Inclinação $=\frac{1}{e-1}$ . Resolvendo $f'(c)=\frac{1}{c+1}=\frac{1}{e-1}$ : $c+1=e-1$, $c=e-2\approx 0{,}718\in(0,e-1)$ . $\checkmark$
Show step-by-step (with the why)
1. $f(0)=\ln 1=0$; $f(e-1)=\ln e=1$.
2. Inclinação secante: $\frac{1}{e-1}$ .
3. $f'(c)=\frac{1}{c+1}=\frac{1}{e-1}$ implica $c=e-2$.
4. Verifica: $e-2\approx 0{,}718\in(0,e-1\approx 1{,}718)$ . $\checkmark$
Ex. 21.27Challenge
Mostre que a equação $y = x^3 + 4x + 16$ tem exatamente uma raiz real. Qual é ela?
Select the correct option
A equação tem exatamente uma raiz real, que está em $(-3,-2)$ .A equação tem três raízes reais.A equação não tem raízes reais.A equação tem exatamente uma raiz, em $(0,1)$ .
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 182
Show solution
$y=x^3+4x+16$. **Existência:** $f(-3)=-27-12+16=-23$ (negativo) e $f(-2)=-8-8+16=0$. Então $x=-2$ é raiz. **Unicidade:** $f'(x)=3x^2+4>0$ para todo $x$, logo $f$ é estritamente crescente e tem no máximo uma raiz. Logo exatamente uma raiz: $x=-2$. (Resp: $x=-2$.)
Show step-by-step (with the why)
1. Verifique $f(-2)=-8-8+16=0$: raiz encontrada.
2. $f'(x)=3x^2+4\geq 4>0$ : $f$ é estritamente crescente.
3. Função estritamente crescente tem no máximo uma raiz. Logo exatamente uma: $x=-2$.
Ex. 21.28Challenge
Encontre as condições em $b$ para que $y = e^x - b$ tenha exatamente uma raiz real. É possível ter mais de uma raiz?
Select the correct option
$y = e^x - b$ tem exatamente uma raiz real para qualquer $b > 0$ , em $x = \ln b$ . $y = e^x - b$ não tem raízes para $b\leq 0$ . $y = e^x - b$ pode ter duas raízes para $b$ grande.O número de raízes depende da derivada de $b$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 184
Show solution
$y=e^x-b$: a função é estritamente crescente (pois $y'=e^x>0$ ), logo tem no máximo uma raiz. Para $b>0$ : $y(\ln b)=b-b=0$ — a raiz existe em $x=\ln b$. Para $bleq 0$ : $e^x>0\geq -b$ , logo $e^x-b>0$ e não há raiz. Conclusão: exatamente uma raiz quando $b>0$ , nenhuma quando $b\leq 0$ .
Ex. 21.29Modeling
Às 10h17, você passa por uma viatura policial a $55$ mph. Às 10h53, passa por outra viatura a $55$ mph, localizada $39$ milhas adiante. O limite de velocidade é $60$ mph. A polícia pode multá-lo por excesso de velocidade? Use o TVM para justificar.
Select the correct option
Sim; a velocidade média foi $65$ mph, acima do limite de $60$ mph.Não; o TVM não se aplica a situações reais de trânsito.Não há informação suficiente para concluir.Sim, mas apenas se a velocidade foi constante.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 190
Show solution
Tempo decorrido: das 10h17 às 10h53 = 36 minutos = 0,6 horas. Distância: 39 mi. Velocidade média: $39/0{,}6=65$ mph. Pelo TVM, em algum momento a velocidade instantânea foi exatamente 65 mph — acima do limite de 60 mph. Sim, a polícia pode multar.
Show step-by-step (with the why)
1. Intervalo de tempo: 36 min = 0,6 h.
2. Velocidade média: $39/0{,}6=65$ mph.
3. TVM: existe $t^*$ em que o velocímetro marcou 65 mph, acima de 60 mph.
4. Conclusão: há infração demonstrável.
Ex. 21.30Modeling
Dois carros partem do mesmo semáforo ao mesmo tempo e chegam ao semáforo seguinte ao mesmo tempo. Existe algum instante em que eles têm a mesma velocidade? Prove ou refute usando o TVM.
Select the correct option
Sim; pelo TVM, existe um instante em que as velocidades dos dois carros são iguais.Não; os carros podem ter velocidades sempre diferentes.Só se os carros tiverem a mesma aceleração.Só se eles se cruzarem no meio do percurso.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.4 · ex. 191
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Sejam $f(t)$ e $g(t)$ as posições dos dois carros. Como partem do mesmo ponto ao mesmo tempo e chegam ao mesmo ponto ao mesmo tempo: $f(0)=g(0)$ e $f(T)=g(T)$. Defina $h(t)=f(t)-g(t)$. Então $h(0)=h(T)=0$. Pelo Teorema de Rolle, existe $c\in(0,T)$ com $h'(c)=f'(c)-g'(c)=0$, ou seja, $f'(c)=g'(c)$: as velocidades são iguais no instante $c$.

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · CC-BY-NC-SA. Fonte principal (exercícios ex. 148–191, §4.4).