v1 · padrão canônico

Lição 22 — Crescimento, Decrescimento e Teste da 1ª Derivada

Uso da 1ª derivada para determinar intervalos de crescimento e decrescimento de funções. Teste da 1ª derivada para classificação de pontos críticos em mínimos e máximos locais.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 3 · USP MAC0105 · ITA MA-011

f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ crescente} \qquad f'(x_0) = 0 \Rightarrow x_0 \text{ ponto crítico}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exemplos

Example· Análise completa de f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 3

f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2).

Pontos críticos: $x = 1$ e $x = 2$ .

Intervalo	$f'$	$f$
$(-infty, 1)$	$+$	crescente
$(1, 2)$	$-$	decrescente
$(2, +infty)$	$+$	crescente

Máximo local: $x = 1$ , $f(1) = 2$ . Mínimo local: $x = 2$ , $f(2) = 1$ .

Fonte: Stewart §3.3, Exemplo 2

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 7Modeling 4Challenge 1

Ex. 22.1UnderstandingAnswer key
Se $c$ é ponto crítico de $f(x)$ , em qual situação não há máximo nem mínimo local em $c$ ?
Select the correct option
Quando $f'$ não muda de sinal ao redor de $c$ Quando $f'(c) < 0$ para todo $x$ próximo de $c$ Quando $f''(c) = 0$ Quando $f(c) = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 194
Show solution
Se $f'$ não muda de sinal em torno de $c$ (permanece positiva ou negativa em ambos os lados), o Teste da 1ª Derivada não classifica $c$ como extremo. Exemplo: $f(x)=x^3$ em $x=0$ .
Ex. 22.2Understanding
Para $y = x^3$ , o ponto $x = 0$ é máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão?
Select the correct option
$x=0$ é ponto de inflexão, mas não é máximo nem mínimo local $x=0$ é máximo local e ponto de inflexão $x=0$ é mínimo local e ponto de inflexão $x=0$ é máximo local, mas não é ponto de inflexão
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 195
Show solution
Para $y=x^3$ : $y'=3x^2 \ge 0$ não muda de sinal em $x=0$ , portanto não é extremo. Mas $y''=6x$ muda de sinal em $x=0$ , confirmando ponto de inflexão.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $y' = 3x^2$ : zero em $x=0$ , mas $y' \ge 0$ para todo $x$ .
2. Como $y'$ não muda de sinal, o Teste da 1ª Derivada diz: sem extremo local.
3. Calcule $y'' = 6x$ : muda de negativo para positivo em $x=0$ — ponto de inflexão.
Ex. 22.3UnderstandingAnswer key
Para $y = x^3$ , o ponto $x = 0$ é ponto de inflexão?
Select the correct option
Sim, $x=0$ é ponto de inflexão de $y=x^3$ Não, $y=x^3$ não tem pontos de inflexãoNão, $x=0$ é mínimo localNão, $x=0$ é máximo local
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 196
Show solution
$y'' = 6x$ muda de sinal em $x=0$ (negativo para positivo), portanto $x=0$ é ponto de inflexão de $y=x^3$ .
Ex. 22.4Understanding
É possível que um ponto $c$ seja simultaneamente ponto de inflexão e extremo local de uma função duas vezes diferenciável?
Select the correct option
Não, para funções duas vezes diferenciáveis isso é impossívelSim, qualquer ponto de inflexão pode também ser extremo localSim, mas somente se $f''(c) > 0$ Sim, mas somente se $f'(c) \neq 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 197
Show solution
Para uma função duas vezes diferenciável: se $c$ é ponto de inflexão, $f''(c) = 0$ . O Teste da 2ª Derivada para extremo requer $f''(c) \neq 0$ . Logo, em funções $C^2$ , um ponto de inflexão não pode ser extremo local se o critério da 2ª derivada for aplicável.
Ex. 22.5Understanding
Por que o Teste da 1ª Derivada exige que $f'$ seja contínua no intervalo?
Select the correct option
Porque sem continuidade de $f'$ , ela pode mudar de sinal sem ter zero — gerando falsos positivos ou falsos negativosPorque $f'$ precisa ser integrável no intervaloPorque funções descontínuas não têm derivadaPorque o Teorema Fundamental do Cálculo exige continuidade
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 198
Show solution
Se $f'$ não é contínua, ela pode pular de valor positivo para negativo sem passar por zero — nesse caso o Teste da 1ª Derivada falha, pois não há ponto crítico com $f'(c)=0$ mesmo havendo mudança de monotonia.
Ex. 22.6UnderstandingAnswer key
Uma função côncava para baixo necessariamente cruza $y = 0$ em algum ponto $x$ ?
Select the correct option
Não necessariamente; uma função côncava para baixo pode permanecer sempre positivaSim, toda função côncava para baixo cruza $y=0$ em algum pontoSim, pois funções côncavas para baixo têm máximo e então decrescem para $-\infty$ Depende: somente se o domínio for $\mathbb{R}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 199
Show solution
Contra-exemplo: $f(x) = -x^2 + 10$ é côncava para baixo ( $f''=-2 < 0$ ) mas $f(x) > 0$ para $|x| < \sqrt{10}$ . Restrinja o domínio a esse intervalo e a função nunca cruza $y=0$ .
Ex. 22.7Understanding
Um polinômio de grau 2 pode ter ponto de inflexão?
Select the correct option
Não; polinômios de grau 2 não têm ponto de inflexãoSim; o vértice da parábola é ponto de inflexãoSim; toda parábola tem exatamente um ponto de inflexãoDepende do sinal do coeficiente de $x^2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 200
Show solution
Para $f(x)=ax^2+bx+c$ com $a \neq 0$ : $f''(x) = 2a$ , que é constante e nunca muda de sinal. Logo não há ponto de inflexão em nenhum polinômio de grau 2.
Ex. 22.8Application
Para $f(x) = x^2 + \cos x$ , determine os intervalos de crescimento/decrescimento e classifique os extremos locais.
Select the correct option
Decrescente em $(-\infty, 0)$ ; crescente em $(0, +\infty)$ ; mínimo local em $x=0$ Crescente em $(-\infty, 0)$ ; decrescente em $(0, +\infty)$ ; máximo local em $x=0$ Crescente em toda a reta; sem extremos locaisPontos críticos em $x = \pm\pi/2$ ; mínimos locais em ambos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 222
Show solution
$f(x)=x^2+\cos x$ , logo $f'(x)=2x-\sin x$ . Crítico: $f'(0)=0$ . Para $x < 0$ pequeno: $f'(x) \approx 2x - x = x < 0$ (decrescente). Para $x > 0$ pequeno: $f'(x) > 0$ (crescente). Logo mínimo local em $x=0$ com $f(0)=1$ .
Ex. 22.9Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 2$ .
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 4/3)$ ; côncava para baixo em $(4/3, +\infty)$ ; inflexão em $x = 4/3$ Côncava para cima em $(-\infty, 0)$ ; côncava para baixo em $(0, +\infty)$ ; inflexão em $x=0$ Côncava para baixo em toda a reta; sem ponto de inflexãoCôncava para cima em toda a reta; sem ponto de inflexão
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 223
Show solution
$f(x)=x^3-4x^2+x+2$ . $f''(x)=6x-8$ . $f''(x)=0 \Rightarrow x=4/3$ . Para $x < 4/3$ : $f'' < 0$ (côncava para baixo). Para $x > 4/3$ : $f'' > 0$ (côncava para cima). Inflexão em $x = 4/3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x) = 3x^2 - 8x + 1$ .
2. Calcule $f''(x) = 6x - 8$ .
3. Resolva $f''(x) = 0$ : $x = 4/3$ .
4. Teste sinais: $f''(0) = -8 < 0$ (côncava para baixo); $f''(2) = 4 > 0$ (côncava para cima).
Ex. 22.10Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais de $f(x) = x^2 - 6x$ .
Select the correct option
Crescente em $(3, +\infty)$ ; decrescente em $(-\infty, 3)$ ; mínimo local em $x=3$ Crescente em $(-\infty, 3)$ ; decrescente em $(3, +\infty)$ ; máximo local em $x=3$ Crescente em toda a reta; sem extremosDecrescente em toda a reta; sem extremos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 224
Show solution
$f(x)=x^2-6x$ , logo $f'(x)=2x-6=0 \Rightarrow x=3$ . Para $x < 3$ : $f' < 0$ (decrescente). Para $x > 3$ : $f' > 0$ (crescente). Mínimo local em $x=3$ .
Ex. 22.11ApplicationAnswer key
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais de $f(x) = x^3 - 6x^2$ .
Select the correct option
Crescente em $(-\infty, 0)$ e $(4, +\infty)$ ; decrescente em $(0, 4)$ ; máximo local em $x=0$ , mínimo em $x=4$ Crescente em $(0, 4)$ ; decrescente fora; mínimo em $x=0$ , máximo em $x=4$ Crescente em $(4, +\infty)$ ; decrescente em $(-\infty, 4)$ ; mínimo em $x=4$ Crescente em toda a reta; sem extremos locais
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 225
Show solution
$f(x)=x^3-6x^2$ , $f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$ . Pontos críticos: $x=0$ e $x=4$ . Para $x < 0$ : $f' > 0$ ; para $0 < x < 4$ : $f' < 0$ ; para $x > 4$ : $f' > 0$ . Máximo local em $x=0$ , mínimo em $x=4$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derivada: $f'(x) = 3x(x-4)$ .
2. Críticos: $x=0$ e $x=4$ .
3. Teste: $f'(-1) = 3(-1)(-5) = 15 > 0$ ; $f'(2) = 3(2)(-2) = -12 < 0$ ; $f'(5) = 3(5)(1) = 15 > 0$ .
4. Em $x=0$ : muda de $+$ para $-$ → máximo local. Em $x=4$ : muda de $-$ para $+$ → mínimo local.
Ex. 22.12Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais de $f(x) = x^4 - 6x^3$ .
Select the correct option
Decrescente em $(-\infty, 9/2)$ ; crescente em $(9/2, +\infty)$ ; mínimo local em $x=9/2$ ; $x=0$ é ponto de sela (sem extremo)Máximo local em $x=0$ ; mínimo local em $x=9/2$ Crescente em toda a reta; sem extremosPontos críticos em $x=0$ e $x=6$ ; mínimo em $x=6$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 226
Show solution
$f(x)=x^4-6x^3$ , $f'(x)=4x^3-18x^2=2x^2(2x-9)$ . Críticos: $x=0$ e $x=9/2$ . Como $2x^2 \ge 0$ , o sinal de $f'$ depende de $(2x-9)$ . Para $x < 9/2$ : $f' \le 0$ . Para $x > 9/2$ : $f' > 0$ . Em $x=0$ : sem mudança de sinal — ponto de sela. Em $x=9/2$ : muda de $-$ para $+$ — mínimo local.
Ex. 22.13Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais de $f(x) = x^{11} - 6x^{10}$ .
Select the correct option
Crescente em $(-\infty, 0)$ e $(60/11, +\infty)$ ; decrescente em $(0, 60/11)$ ; máximo em $x=0$ , mínimo em $x=60/11$ Crescente em toda a reta; sem extremosPontos críticos em $x = 6$ apenas; mínimo em $x=6$ Crescente em $(0, 60/11)$ ; decrescente fora; mínimo em $x=0$ , máximo em $x=60/11$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 227
Show solution
$f(x)=x^{11}-6x^{10}$ , $f'(x)=11x^{10}-60x^9=x^9(11x-60)$ . Críticos: $x=0$ e $x=60/11$ . Para $x < 0$ : $x^9 < 0$ e $11x-60 < 0$ , logo $f' > 0$ . Para $0 < x < 60/11$ : $x^9 > 0$ , $11x-60 < 0$ , logo $f' < 0$ . Para $x > 60/11$ : $f' > 0$ .
Ex. 22.14Application
Determine os extremos locais de $f(x) = x + x^2 - x^3$ .
Select the correct option
Máximo local em $x = (1+\sqrt{13})/6$ ; mínimo local em $x = (1-\sqrt{13})/6$ (aprox. máximo em $x \approx 0{,}77$ , mínimo em $x \approx -0{,}44$ )Sem extremos locais; função sempre crescenteMáximo local em $x=1/3$ ; mínimo local em $x=-1/3$ Mínimo local em $x=0$ ; máximo local em $x=1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 228
Show solution
$f(x)=x+x^2-x^3$ , $f'(x)=1+2x-3x^2=-3(x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3})$ . Críticos via fórmula quadrática: $x=(1\pm\sqrt{13})/6$ . Teste de sinais confirma máximo no maior e mínimo no menor.
Ex. 22.15Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais de $f(x) = x^2 + x + 1$ .
Select the correct option
Decrescente em $(-\infty, -1/2)$ ; crescente em $(-1/2, +\infty)$ ; mínimo local em $x=-1/2$ com $f(-1/2)=3/4$ Crescente em toda a reta; sem extremos locaisMáximo local em $x = 0$ ; mínimo local em $x = -1/2$ Máximo local em $x = -1/2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 229
Show solution
$f(x)=x^2+x+1$ , $f'(x)=2x+1=0 \Rightarrow x=-1/2$ . $f'$ muda de negativo (para $x < -1/2$ ) para positivo (para $x > -1/2$ ). Logo $x=-1/2$ é mínimo local com $f(-1/2)=1/4-1/2+1=3/4$ .
Ex. 22.16Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais de $f(x) = x^3 + x^4$ .
Select the correct option
Decrescente em $(-\infty, -3/4)$ ; crescente em $(-3/4, +\infty)$ ; mínimo local em $x=-3/4$ ; $x=0$ é ponto de sela (sem extremo)Máximo local em $x = -3/4$ ; mínimo local em $x=0$ Crescente em toda a reta; sem extremosMínimo local em $x=-3/4$ e em $x=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 230
Show solution
$f(x)=x^3+x^4$ , $f'(x)=3x^2+4x^3=x^2(3+4x)$ . Para $x < -3/4$ : $f' < 0$ . Para $-3/4 < x < 0$ : $f' > 0$ . Para $x > 0$ : $f' > 0$ . Em $x=-3/4$ : muda de $-$ para $+$ → mínimo local. Em $x=0$ : $f'$ não muda de sinal (fica positivo) → ponto de sela, sem extremo.
Ex. 22.17ApplicationAnswer key
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais de $f(x) = \sin(\pi x) - \cos(\pi x)$ em $[-1, 1]$ .
Select the correct option
Crescente em $(-1, -3/4) \cup (1/4, 1)$ ; decrescente em $(-3/4, 1/4)$ ; máximo local em $x=-3/4$ , mínimo em $x=1/4$ Sem extremos; $f$ cresce em todo $[-1,1]$ Máximo local em $x=1/4$ ; mínimo em $x=-3/4$ Crítico único em $x=0$ ; mínimo em $x=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 231
Show solution
$f(x)=\sin(\pi x)-\cos(\pi x)$ em $[-1,1]$ . $f'(x)=\pi\cos(\pi x)+\pi\sin(\pi x)=\pi\sqrt{2}\sin(\pi x+\pi/4)$ . Críticos quando $\sin(\pi x + \pi/4)=0$ : $\pi x+\pi/4 = k\pi$ , logo $x=-1/4+k$ . Em $[-1,1]$ : $x=-3/4$ e $x=1/4$ .
Ex. 22.18Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de $f(x) = x + \sin(2x)$ em $[-\pi/2, \pi/2]$ .
Select the correct option
$f$ é crescente em todo $[-\pi/2, \pi/2]$ ; sem extremos locais no interiorMáximo local em $x=0$ ; decrescente fora de $x=0$ Crescente em $(-\pi/2, 0)$ ; decrescente em $(0, \pi/2)$ ; máximo em $x=0$ Mínimo local em $x=0$ ; crescente fora de $x=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 232
Show solution
$f(x)=x+\sin(2x)$ , $f'(x)=1+2\cos(2x)$ . Em $[-\pi/2,\pi/2]$ : $\cos(2x) \ge -1/2$ somente quando $|2x| \le 2\pi/3$ , i.e. $|x| \le \pi/3$ . Em $|x| > \pi/3$ , $f' < 0$ e em $|x| < \pi/3$ , $f' > 0$ . Há mínimos/máximos locais em $x = \pm \pi/3$ .
Ex. 22.19Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de $f(x) = \sin x + \tan x$ em $(-\pi/2, \pi/2)$ .
Select the correct option
$f$ é crescente em todo $(-\pi/2, \pi/2)$ ; sem extremos locaisCrescente em $(-\pi/2, 0)$ ; decrescente em $(0, \pi/2)$ ; máximo em $x=0$ Decrescente em todo o intervalo; sem extremosMínimo local em $x=0$ ; crescente nos dois lados de $x=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 233
Show solution
$f(x)=\sin x + \tan x$ , $f'(x)=\cos x + \sec^2 x$ . Para $x \in (-\pi/2,\pi/2)$ : $\cos x > 0$ e $\sec^2 x \ge 1$ , logo $f'(x) > 1 > 0$ . A função é estritamente crescente sem extremos locais no interior.
Ex. 22.20Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais de $f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ .
Select the correct option
Críticos em $x=2$ , $x=3$ e $x=4$ ; máximo local em $x=3$ ; mínimos locais em $x=2$ e $x=4$ Críticos apenas em $x=2$ e $x=4$ ; mínimos locais em ambosSem extremos locais; $f$ é sempre crescenteMáximo global em $x=3$ ; sem mínimos locais
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 234
Show solution
$f(x)=(x-2)^2(x-4)^2$ , $f'(x)=2(x-2)(x-4)^2+2(x-2)^2(x-4)=2(x-2)(x-4)(2x-6)=4(x-2)(x-4)(x-3)$ . Críticos: $x=2, 3, 4$ . Em $x=3$ : $f'$ muda de $-$ para $+$ ? Não — de $+$ para $-$ : máximo local. Em $x=2$ e $x=4$ : $f'$ muda de $-$ para $+$ e de $-$ para $+$ respectivamente — mínimos locais (ambos zero).
Ex. 22.21Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais de $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ , $x \neq 1$ .
Select the correct option
$f$ é crescente em $(-\infty,1)$ e $(1,+\infty)$ (sem extremos; $f'(x) > 0$ para todo $x \neq 1$ )Máximo local em $x=1$ ; decrescente após $x=1$ Mínimo local em $x=1$ ; crescente após $x=1$ $f$ é decrescente em todo o domínio
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 235
Show solution
$f(x)=\frac{1}{1-x}$ (domínio: $x \neq 1$ ). $f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2} > 0$ para todo $x \neq 1$ . Logo $f$ é crescente em cada componente de seu domínio; sem extremos locais.
Ex. 22.22Application
Determine os extremos locais de $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ no domínio $[-2\pi, 0)\cup(0, 2\pi]$ .
Select the correct option
Máximo local em $x = \tan^{-1}(1) = \pi/4$ e mínimo local em $x = -\pi/4$ (dentro do domínio)Decrescente no intervalo $(0, 2\pi)$ ; crescente em $(-2\pi, 0)$ ; mínimo local em $x \approx \pi$ e máximo em $x \approx -\pi$ Críticos em $x = \pm\tan^{-1}(1/x)$ ; sem extremos locais $f$ tem máximo local em $x \approx 1{,}17$ e mínimo local em $x \approx -1{,}17$ dentro do domínio $[-2\pi,0)\cup(0,2\pi]$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 236
Show solution
$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ em $[-2\pi,0)\cup(0,2\pi]$ . $f'(x)=\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ . Críticos quando $x\cos x = \sin x$ , i.e. $\tan x = x$ . Solução não-trivial: $x \approx \pm 1{,}17$ (numericamente). Analise sinal de $f'$ para classificar.
Ex. 22.23Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais de $f(x) = \sin(x)e^x$ em $[-\pi, \pi]$ .
Select the correct option
Máximo local em $x = \pi/4$ e mínimo local em $x = -3\pi/4$ (dentro de $[-\pi,\pi]$ )Máximo local em $x = 3\pi/4$ e mínimo local em $x = -\pi/4$ (dentro de $[-\pi,\pi]$ )Crescente em $(-\pi, -3\pi/4)$ e $(\pi/4, \pi)$ ; decrescente em $(-3\pi/4, \pi/4)$ ; máximo em $x=-3\pi/4$ , mínimo em $x=\pi/4$ Sem extremos locais no interior de $[-\pi,\pi]$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 237
Show solution
$f(x)=\sin(x)e^x$ , $f'(x)=e^x(\cos x + \sin x)=\sqrt{2}e^x\sin(x+\pi/4)$ . Críticos quando $\sin(x+\pi/4)=0$ : $x+\pi/4=k\pi$ , logo $x=k\pi-\pi/4$ . Em $[-\pi,\pi]$ : $x=-3\pi/4$ e $x=\pi/4$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x) = e^x(\cos x + \sin x)$ .
2. Como $e^x > 0$ , o sinal de $f'$ depende de $\cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)$ .
3. Críticos em $[-\pi,\pi]$ : $x = -3\pi/4$ e $x = \pi/4$ .
4. Em $x=-3\pi/4$ : muda de $+$ para $-$ → máximo local. Em $x=\pi/4$ : muda de $-$ para $+$ → mínimo local.
Ex. 22.24Application
Determine os extremos locais de $f(x) = (\ln x)^x$ para $x > 0$ .
Select the correct option
Mínimo local em $x = e^{1/2} = \sqrt{e}$ ; crescente para $x > \sqrt{e}$ , decrescente para $0 < x < \sqrt{e}$ Máximo local em $x = e$ ; decrescente para $x > e$ Sem extremos locais; $f$ é estritamente crescente para $x > 0$ Mínimo local em $x = 1$ ; crescente para $x > 1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 238
Show solution
$f(x)=(\ln x)^x = e^{x\ln(\ln x)}$ para $x > 1$ . Equivalente: minimize/maximize via $\ln f = x\ln(\ln x)$ . Diferenciando: $\frac{f'}{f}=\ln(\ln x)+\frac{1}{\ln x}$ . Igualando a zero: $\ln(\ln x)=-1/\ln x$ . Solução numérica: $x \approx \sqrt{e}$ .
Ex. 22.25Application
Determine os extremos locais de $f(x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x}$ para $x > 0$ .
Select the correct option
Mínimo local em $x = 2$ com $f(2) = 1$ Máximo local em $x = 2$ com $f(2) = 1$ Sem extremos; $f$ crescente para todo $x > 0$ Mínimo local em $x = 1/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 239
Show solution
$f(x)=\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$ , $f'(x)=\frac{1}{4}-\frac{1}{x^2}$ . Crítico: $f'(x)=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2$ (pois $x > 0$ ). Para $0 < x < 2$ : $f' < 0$ . Para $x > 2$ : $f' > 0$ . Mínimo local em $x=2$ , $f(2)=1/2+1/2=1$ .
Ex. 22.26Challenge
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais de $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ , $x \neq 0$ .
Select the correct option
Mínimo local em $x = -1$ e $x = 1$ ; máximo local em $x \to 0^+$ e $x \to 0^-$ (sem máximo em $x=0$ , pois $f$ não está definida)Mínimo local em $x = 1$ ; máximo local em $x = -1$ ; sem extremo em $x=0$ Sem extremos locais; $f$ crescente em $(-\infty,0)$ e $(0,+\infty)$ separadamenteMínimo local em $x=1$ e máximo local em $x=-1$ ; $f$ decrescente em $(-1,0)$ e $(0,1)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 240
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$f(x)=\frac{e^x}{x}$ ( $x \neq 0$ ). $f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$ . Crítico: $x=1$ . Para $x > 0$ : $f'$ muda de $-$ para $+$ em $x=1$ — mínimo local. Para $x < 0$ : $f'(x) < 0$ (pois $x-1 < 0$ e $x^2 > 0$ ) — sem extremo para $x < 0$ .
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1. Calcule $f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$ .
2. Como $e^x > 0$ e $x^2 > 0$ , o sinal de $f'$ é o sinal de $(x-1)$ .
3. Para $x > 0$ : $f' < 0$ se $x < 1$ ; $f' > 0$ se $x > 1$ . Mínimo local em $x=1$ .
4. Para $x < 0$ : $x-1 < 0$ , logo $f' < 0$ em todo $(-\infty,0)$ — decrescente, sem extremo.
Ex. 22.27Modeling
A população está crescendo mais lentamente (sendo $f$ a população). Que condições sobre $f$ , $f'$ e $f''$ descrevem essa situação?
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$f > 0$ , $f' > 0$ , $f'' < 0$ $f > 0$ , $f' < 0$ , $f'' < 0$ $f > 0$ , $f' > 0$ , $f'' > 0$ $f > 0$ , $f' < 0$ , $f'' > 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 241
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Se a população está crescendo mais lentamente: o tamanho $f > 0$ (positivo), está crescendo ( $f' > 0$ ), mas a taxa de crescimento diminui ( $f'' < 0$ ).
Ex. 22.28ModelingAnswer key
Uma bicicleta acelera mais rápido, mas um carro vai mais rápido. Seja $f$ = posição da bicicleta menos posição do carro. Que condições sobre $f$ , $f'$ e $f''$ descrevem esta situação?
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$f < 0$ , $f' < 0$ , $f'' < 0$ $f < 0$ , $f' > 0$ , $f'' > 0$ $f > 0$ , $f' > 0$ , $f'' < 0$ $f < 0$ , $f' < 0$ , $f'' > 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 242
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Definindo $f =$ posição da bicicleta menos posição do carro: a bicicleta fica cada vez mais atrás ( $f < 0$ ), pois o carro vai mais rápido ( $f' < 0$ ). Mas a bicicleta acelera mais rápido ( $f'' < 0$ pois a diferença de velocidade piora). Resposta: $f < 0, f' < 0, f'' < 0$ .
Ex. 22.29ModelingAnswer key
O avião pousa suavemente (sendo $f$ a altitude do avião). Que condições sobre $f'$ e $f''$ descrevem uma aterrissagem suave?
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$f' < 0$ e $f'' > 0$ : altitude decrescente a uma taxa decrescente (em módulo) $f' < 0$ e $f'' < 0$ : altitude decrescente a uma taxa crescente $f' > 0$ e $f'' < 0$ : subindo cada vez mais devagar $f' = 0$ e $f'' > 0$ : em altitude constante
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 243
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O avião pousa suavemente: a altitude $f$ decresce ( $f' < 0$ ), mas a taxa de descida vai diminuindo em módulo (deceleração vertical) — portanto $f'' > 0$ (a derivada está aumentando, ficando menos negativa).
Ex. 22.30Modeling
Uma empresa registra custos de mão de obra ao longo do ano. Em 1 de julho, os custos estão no pico (sendo $f$ o custo de mão de obra). Que condições sobre $f'$ e $f''$ descrevem esse pico?
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Em 1 de julho: $f' = 0$ e $f'' < 0$ (máximo local de custos)Em 1 de julho: $f' = 0$ e $f'' > 0$ (mínimo local de custos)Em 1 de julho: $f' > 0$ (custos ainda crescendo no pico)Em 1 de julho: $f'' = 0$ (ponto de inflexão)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 244
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Se os custos de mão de obra atingem o pico em 1 de julho, então nesse dia $f'=0$ (ponto crítico) e $f'' < 0$ (teste da 2ª derivada indica máximo local — os custos eram crescentes antes e decrescentes depois).

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · 2023 · CC-BY-NC-SA. Fonte principal dos exercícios (§4.5, ex. 194–244).