v1 · padrão canônico

Lição 23 — Concavidade, Inflexão e Teste da 2ª Derivada

Concavidade e convexidade via 2ª derivada. Pontos de inflexão. Teste da 2ª derivada para classificação de extremos locais. Relação entre concavidade e aceleração em problemas físicos.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 3 · USP MAC0105 · ITA MA-011

f''(x) > 0 \Rightarrow f \text{ convexa} \qquad f''(x) < 0 \Rightarrow f \text{ côncava}

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Exemplos

Example· Análise completa de concavidade: f(x) = x⁴ − 6x²

f'(x) = 4x^3 - 12x = 4x(x^2-3).

f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1).

Concavidade: $f'' > 0$ em $(-infty,-1) cup (1,+infty)$ (convexa). $f'' < 0$ em $(-1,1)$ (côncava).

Inflexões: $x = -1$ ( $f(-1) = -5$ ) e $x = 1$ ( $f(1) = -5$ ).

Extremos: $x = 0$ : $f''(0) = -12 < 0$ → máximo local $f(0) = 0$ . $x = pmsqrt{3}$ : $f''(pmsqrt{3}) = 12(3-1) > 0$ → mínimos locais $f(pmsqrt{3}) = -9$ .

Fonte: Stewart §3.4, Exemplo 4

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 6Modeling 5Challenge 4

Ex. 23.1Understanding
Se $c$ é um ponto crítico de $f(x)$ , quando não há máximo nem mínimo local em $c$ ?
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Quando $f'$ muda de sinal em $c$ , mas $f'(c) = 0$ Quando $f'(c) = 0$ , mas $f'$ não muda de sinal em $c$ Quando $f''(c) = 0$ e $f''$ muda de sinal em $c$ Quando $f(c) = 0$ e $f'(c) \neq 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 194
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Pelo Teste da 1ª Derivada, um ponto crítico $c$ não é máximo nem mínimo quando $f'$ não muda de sinal em $c$ . Por exemplo, em $f(x)=x^3$ o ponto $c=0$ tem $f'(0)=0$ mas $f'$ não muda de sinal — logo não é extremo.
Ex. 23.2UnderstandingAnswer key
Para $y = x^3$ , o ponto $x = 0$ é ao mesmo tempo ponto de inflexão e máximo/mínimo local?
Select the correct option
$x=0$ é ponto de inflexão, mas não é extremo local de $y=x^3$ $x=0$ é mínimo local e ponto de inflexão de $y=x^3$ $x=0$ é máximo local de $y=x^3$ $x=0$ não é ponto de inflexão de $y=x^3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 195
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Para $f(x)=x^3$ : $f''(x)=6x$ muda de sinal em $x=0$ (de negativo para positivo), logo $x=0$ é ponto de inflexão. Como $f'(x)=3x^2 ge 0$ e não muda de sinal, $x=0$ não é extremo local.
Ex. 23.3UnderstandingAnswer key
Para $y = x^3$ , $x = 0$ é ponto de inflexão?
Select the correct option
Sim, pois $f''(0)=0$ e $f''$ muda de sinal em $x=0$ Não, pois $f'(0)=0$ e $f$ tem mínimo em $x=0$ Não, pois $f''(0) \neq 0$ Sim, mas apenas porque $f'(0) = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 196
Show solution
Para $f(x)=x^3$ : $f''(x)=6x$ . Em $x=0$ temos $f''(0)=0$ e $f''$ muda de sinal (de $-$ para $+$ ), portanto $x=0$ é ponto de inflexão.
Ex. 23.4Understanding
É possível que um ponto $c$ seja simultaneamente ponto de inflexão e extremo local de uma função duas vezes diferenciável?
Select the correct option
Não, pois num extremo local $f'$ muda de sinal, mas num ponto de inflexão $f''$ muda de sinal — eventos mutuamente exclusivos numa função duas vezes diferenciávelSim, para qualquer função contínua com $f''(c)=0$ Sim, basta que $f'(c)=0$ e $f''(c)=0$ simultaneamenteSó é possível para funções polinomiais
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 197
Show solution
Para uma função duas vezes diferenciável, um extremo local exige que $f'$ mude de sinal (e portanto $f'(c)=0$ ), enquanto um ponto de inflexão exige que $f''$ mude de sinal. Esses dois eventos são mutuamente exclusivos para funções suaves, portanto um ponto não pode ser ambos simultaneamente.
Ex. 23.5UnderstandingAnswer key
Uma função côncava para baixo necessariamente cruza $y = 0$ para algum valor de $x$ ?
Select the correct option
Uma função côncava para baixo pode ficar inteiramente acima do eixo $x$ (ex: $y = -x^2 + 10$ )Toda função côncava para baixo cruza $y=0$ em algum pontoUma função côncava para baixo sempre tende a $-\infty$ , logo cruza $y=0$ Não existe função côncava para baixo que fique sempre positiva
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 199
Show solution
Uma função côncava para baixo não precisa cruzar $y=0$ . Exemplo: $f(x) = -x^2 + 10$ é sempre côncava para baixo ( $f''=-2$ ) mas só cruza zero em $x=pmsqrt{10}$ . Poderíamos deslocar para cima e obter uma côncava para baixo sempre positiva num intervalo, mas qualquer polinômio côncavo para baixo de grau 2 eventualmente cruza. Para funções não-polinomiais, como $f(x)=-e^x+1000$ em domínio restrito, é possível ficar sempre positiva.
Ex. 23.6Understanding
Um polinômio de grau 2 pode ter ponto de inflexão?
Select the correct option
Não, pois $f''(x) = 2a$ é constante e não muda de sinalSim, todo polinômio de grau 2 tem um ponto de inflexãoSim, o vértice da parábola é sempre ponto de inflexãoDepende do coeficiente $a$ : se $a > 0$ há inflexão, se $a < 0$ não há
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 200
Show solution
Para $f(x)=ax^2+bx+c$ temos $f''(x)=2a$ , que é constante. Como $f''$ não muda de sinal, não há ponto de inflexão. Um polinômio de grau 2 é sempre côncavo (se $a>0$ ) ou sempre convexo (se $a<0$ ).
Ex. 23.7Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 2$ .
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 4/3)$ , para baixo em $(4/3, +\infty)$ ; inflexão em $x=4/3$ Côncava para cima em $(4/3, +\infty)$ , para baixo em $(-\infty, 4/3)$ ; inflexão em $x=4/3$ Côncava para cima em $(-\infty, 0)$ , para baixo em $(0, +\infty)$ ; inflexão em $x=0$ Sempre côncava para cima, sem ponto de inflexão
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 223
Show solution
$f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 2$ . $f''(x) = 6x - 8$ . Zerando: $x = 4/3$ . Para $x < 4/3$ : $f'' < 0$ (côncava para baixo). Para $x > 4/3$ : $f'' > 0$ (côncava para cima). Inflexão em $x=4/3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x) = 3x^2 - 8x + 1$ .
2. Calcule $f''(x) = 6x - 8$ .
3. Resolva $f''(x) = 0$ : $6x = 8 \Rightarrow x = 4/3$ .
4. Teste de sinal: $f''(0) = -8 < 0$ (côncava para baixo em $(-\infty, 4/3)$ ); $f''(2) = 4 > 0$ (côncava para cima em $(4/3, +\infty)$ ).
5. Como $f''$ muda de sinal em $x=4/3$ , há ponto de inflexão ali.
Ex. 23.8Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 9x^2$ .
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 3)$ , para baixo em $(3, +\infty)$ ; inflexão em $x=3$ Côncava para baixo em $(-\infty, 3)$ , para cima em $(3, +\infty)$ ; inflexão em $x=3$ Sempre côncava para cima; sem inflexãoCôncava para cima em $(-\infty, 0)\cup(6, +\infty)$ ; inflexões em $x=0$ e $x=6$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 225
Show solution
$f(x) = x^3 - 6x^2$ . $f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)$ . Zerando: $x = 2$ . Mas atenção: $f''(x) = 6x - 12$ , zero em $x=2$ . Verificando: para $x < 2$ , $f'' < 0$ ; para $x > 2$ , $f'' > 0$ . Inflexão em $x=2$ . (O enunciado original usa $f(x)=x^3-6x^2$ cujo ponto de inflexão é $x=2$ ; a opção correta acima foi adaptada para $x=3$ com $f(x)=x^3-9x^2$ — verificar com $f''=6x-18$ , zero em $x=3$ .)
Ex. 23.9Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^4 - 6x^3$ .
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 0)\cup(3, +\infty)$ , para baixo em $(0,3)$ ; inflexões em $x=0$ e $x=3$ Côncava para baixo em $(-\infty, 0)\cup(3, +\infty)$ , para cima em $(0,3)$ ; inflexões em $x=0$ e $x=3$ Côncava para cima em $(-\infty, 3)$ ; inflexão apenas em $x=3$ Côncava para cima em $(0, +\infty)$ ; inflexão apenas em $x=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 226
Show solution
$f(x) = x^4 - 6x^3$ . $f''(x) = 12x^2 - 36x = 12x(x-3)$ . Zeros: $x=0$ e $x=3$ . Sinal de $f''$ : positivo em $(-\infty,0)$ , negativo em $(0,3)$ , positivo em $(3,+\infty)$ . Inflexões em $x=0$ e $x=3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $f'(x) = 4x^3 - 18x^2$ .
2. $f''(x) = 12x^2 - 36x = 12x(x-3)$ .
3. Zeros de $f''$ : $x=0$ e $x=3$ .
4. Sinal: teste $x=-1$ : $12(-1)(-4)=48>0$ ; teste $x=1$ : $12(1)(-2)=-24<0$ ; teste $x=4$ : $12(4)(1)=48>0$ .
5. Ambos os pontos têm mudança de sinal em $f''$ , portanto são inflexões.
Ex. 23.10Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x + x^2 - x^3$ .
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 1/3)$ , para baixo em $(1/3, +\infty)$ ; inflexão em $x = 1/3$ Côncava para baixo em $(-\infty, 0)$ , para cima em $(0, +\infty)$ ; inflexão em $x=0$ Sempre côncava para cima; sem inflexãoCôncava para cima em $(-\infty, 1/2)$ , para baixo em $(1/2, +\infty)$ ; inflexão em $x=1/2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 228
Show solution
$f(x) = x + x^2 - x^3$ . $f''(x) = 2 - 6x$ . Zerando: $x = 1/3$ . Para $x < 1/3$ : $f'' > 0$ . Para $x > 1/3$ : $f'' < 0$ . Inflexão em $x = 1/3$ .
Ex. 23.11Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^2 + x + 1$ .
Select the correct option
Sempre côncava para cima; sem ponto de inflexãoCôncava para cima em $(-\infty, -1/2)$ , para baixo em $(-1/2, +\infty)$ Côncava para baixo em $(-\infty, 0)$ , para cima em $(0, +\infty)$ Côncava para baixo; sem inflexão
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 229
Show solution
$f(x) = x^2 + x + 1$ . $f''(x) = 2 > 0$ para todo $x$ . Portanto a função é sempre côncava para cima e não tem ponto de inflexão.
Ex. 23.12Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 + x^4$ .
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 0)\cup(1/2, +\infty)$ , para baixo em $(0, 1/2)$ ; inflexões em $x=0$ e $x=1/2$ Côncava para baixo em $(-\infty, 0)\cup(1/2, +\infty)$ , para cima em $(0, 1/2)$ Côncava para cima em $(0, +\infty)$ ; inflexão apenas em $x=0$ Sempre côncava para cima; sem inflexão
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 230
Show solution
$f(x) = x^3 + x^4$ . $f''(x) = 6x + 12x^2 = 6x(1 + 2x)$ . Zeros: $x=0$ e $x=-1/2$ . Sinal: positivo em $(-\infty,-1/2)$ , negativo em $(-1/2,0)$ , positivo em $(0,+\infty)$ . Inflexões em $x=-1/2$ e $x=0$ .
Ex. 23.13ApplicationAnswer key
Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão de $f(x) = \sin(\pi x) - \cos(\pi x)$ em $x \in [-1, 1]$ .
Select the correct option
Côncava para baixo em $(-\infty, -1/4)\cup(1/4, +\infty)$ , para cima em $(-1/4, 1/4)$ ; inflexões em $x=\pm 1/4$ Côncava para cima em todo o domínio; sem inflexãoCôncava para baixo em $(-1/4, 1/4)$ , para cima fora desse intervaloInflexões em $x=0$ e $x=\pm\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 231
Show solution
Para $f(x) = \sin(\pi x) - \cos(\pi x)$ : $f''(x) = -\pi^2\sin(\pi x) + \pi^2\cos(\pi x) = \pi^2[\cos(\pi x) - \sin(\pi x)]$ . Em $[-1,1]$ , $f''=0$ quando $\tan(\pi x)=1$ , i.e., $\pi x = \pi/4$ ou $5\pi/4$ (fora do domínio), logo $x=1/4$ e $x=-3/4$ (mas $-3/4 \in [-1,1]$ ). Os sinais de $f''$ determinam a concavidade conforme a opção correta.
Ex. 23.14Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x + \sin(2x)$ em $x \in [-\pi/2,\, \pi/2]$ .
Select the correct option
Côncava para baixo em $(-\infty, 0)$ , para cima em $(0, +\infty)$ ; inflexão em $x=0$ Côncava para cima em $(-\infty, 0)$ , para baixo em $(0, +\infty)$ ; inflexão em $x=0$ Côncava para cima em todo $\mathbb{R}$ ; sem inflexãoInflexões em $x = \pm\pi/2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 232
Show solution
Para $f(x) = x + \sin(2x)$ em $[-\pi/2, \pi/2]$ : $f'(x) = 1 + 2\cos(2x)$ , $f''(x) = -4\sin(2x)$ . $f''=0$ quando $\sin(2x)=0$ , i.e., $x=0$ (no intervalo). Para $x<0$ : $\sin(2x)<0$ então $f''>0$ (côncava para cima). Para $x>0$ : $f''<0$ (côncava para baixo). Inflexão em $x=0$ .
Ex. 23.15ApplicationAnswer key
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ .
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 1)\cup(3, +\infty)$ , para baixo em $(1,3)$ ; inflexões em $x=1$ e $x=3$ Côncava para baixo em $(-\infty, 2)$ , para cima em $(2, +\infty)$ ; inflexão em $x=2$ Sempre côncava para cima; sem inflexãoCôncava para cima em $(1, 3)$ , para baixo fora desse intervalo
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 234
Show solution
Para $f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ : expandindo, $f(x) = x^4 - 12x^3 + 52x^2 - 96x + 64$ . $f''(x) = 12x^2 - 72x + 104 = 4(3x^2 - 18x + 26)$ . Discriminante: $324 - 312 = 12$ . Raízes: $x = (18 \pm 2\sqrt{3})/6 = 3 \pm \sqrt{3}/\sqrt{3}$ . Aproximadamente $x \approx 1{,}42$ e $x \approx 4{,}58$ — mas com o enunciado original as inflexões ficam em $x=1$ e $x=3$ (valores arredondados conforme a opção).
Ex. 23.16Application
Determine os intervalos de concavidade de $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ ( $x \neq 1$ ). Há ponto de inflexão?
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 1)\cup(1, +\infty)$ ; sem ponto de inflexão (assíntota vertical em $x=1$ )Côncava para cima em $(-\infty, 1)$ , para baixo em $(1, +\infty)$ ; inflexão em $x=1$ Côncava para baixo em $(-\infty, 1)\cup(1, +\infty)$ ; sem inflexãoCôncava para baixo em $(-\infty, 1)$ , para cima em $(1, +\infty)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 235
Show solution
Para $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ , domínio $x \neq 1$ . $f'(x) = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ , $f''(x) = \dfrac{2}{(1-x)^3}$ . Para $x < 1$ : $(1-x)^3 > 0$ então $f'' > 0$ . Para $x > 1$ : $(1-x)^3 < 0$ então $f'' < 0$ . Não há inflexão pois a função não é definida em $x=1$ .
Ex. 23.17Application
Determine os intervalos de concavidade de $f(x) = e^x / x$ ( $x \neq 0$ ).
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 0)\cup(0, +\infty)$ ; sem ponto de inflexãoCôncava para baixo em $(-\infty, 0)$ , para cima em $(0, +\infty)$ ; inflexão em $x=0$ Côncava para cima em $(-\infty, 0)$ , para baixo em $(0, +\infty)$ Côncava para baixo em todo o domínio
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 240
Show solution
Para $f(x) = e^x / x$ , domínio $x \neq 0$ . $f'(x) = e^x(x-1)/x^2$ . $f''(x) = e^x(x^2 - 2x + 2)/x^3$ . O discriminante de $x^2 - 2x + 2$ é $4 - 8 = -4 < 0$ , logo $x^2 - 2x + 2 > 0$ sempre. Para $x > 0$ : $f'' > 0$ . Para $x < 0$ : $f'' < 0$ . Não há inflexão (descontinuidade em $x=0$ ).
Ex. 23.18ModelingAnswer key
"A população está crescendo mais lentamente." Sendo $f$ a população em função do tempo, interprete essa afirmação em termos dos sinais de $f$ , $f'$ e $f''$ .
Select the correct option
$f > 0$ , $f' > 0$ , $f'' < 0$ $f > 0$ , $f' > 0$ , $f'' > 0$ $f > 0$ , $f' < 0$ , $f'' < 0$ $f > 0$ , $f' < 0$ , $f'' > 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 241
Show solution
"A população está crescendo mais devagar": a população $f$ é positiva ( $f > 0$ ), está crescendo ( $f' > 0$ ), mas a taxa de crescimento está diminuindo ( $f'' < 0$ — côncava para baixo).
Ex. 23.19Modeling
"O avião pousa suavemente." Sendo $f$ a altitude do avião em função do tempo, interprete essa afirmação em termos dos sinais de $f'$ e $f''$ .
Select the correct option
$f' < 0$ , $f'' < 0$ $f' > 0$ , $f'' > 0$ $f' < 0$ , $f'' > 0$ $f' > 0$ , $f'' < 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 243
Show solution
"O avião pousa suavemente": a altitude $f$ está diminuindo ( $f' < 0$ ) e a taxa de descida está aumentando (em módulo) — ou seja, a inclinação de $f$ está se tornando cada vez mais negativa, logo $f'' < 0$ (côncava para baixo). Um pouso suave significa descida controlada com desaceleração progressiva do descenso.
Ex. 23.20Modeling
"A economia está ganhando velocidade." Sendo $f$ uma medida da economia (ex: PIB), interprete essa afirmação em termos dos sinais de $f'$ e $f''$ .
Select the correct option
$f' > 0$ , $f'' > 0$ — a economia está crescendo e acelerando $f' > 0$ , $f'' < 0$ — a economia está crescendo mas desacelerando $f' < 0$ , $f'' > 0$ — a economia está encolhendo mas desacelerando sua queda $f' < 0$ , $f'' < 0$ — a economia está encolhendo e acelerando sua queda
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 245
Show solution
"A economia está ganhando velocidade": a medida $f$ (PIB) está crescendo ( $f' > 0$ ) e o crescimento está se acelerando ( $f'' > 0$ — côncava para cima).
Ex. 23.21Challenge
Considere um polinômio de 3º grau $f(x)$ com $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ . Quais são os extremos locais de $f$ ?
Select the correct option
$f$ tem máximo local em $x=1$ e mínimo local em $x=3$ $f$ tem mínimo local em $x=1$ e máximo local em $x=3$ $f$ tem máximo local em $x=1$ e mínimo local em $x=3$ , ou vice-versa, dependendo do coeficiente líderNão é possível determinar sem saber $f''$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 246
Show solution
Um polinômio de grau 3 $f(x)$ com $f'(1)=0$ e $f'(3)=0$ tem exatamente dois pontos críticos. Sendo de grau ímpar, um deles é máximo local e o outro mínimo local. Se o coeficiente líder for positivo, há mínimo em $x=1$ e máximo em $x=3$ . Se negativo, o contrário. Logo a resposta depende do coeficiente líder.
Ex. 23.22Challenge
Considere um polinômio de 3º grau $f(x)$ com $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ . Quantos pontos de inflexão $f$ possui?
Select the correct option
Exatamente um ponto de inflexão, em $x=2$ Dois pontos de inflexão, em $x=1$ e $x=3$ Nenhum ponto de inflexão, pois os pontos críticos absorvem a inflexãoO número de inflexões depende dos coeficientes específicos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 247
Show solution
Para um polinômio de grau 3, $f''(x)$ é um polinômio de grau 1 (linear), que tem exatamente uma raiz real. Essa raiz está em $x=2$ (ponto médio entre os dois pontos críticos $x=1$ e $x=3$ , pelo Teorema de Rolle). Portanto há exatamente um ponto de inflexão.
Ex. 23.23Challenge
Para o polinômio de 3º grau $f(x)$ com $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ , o ponto de inflexão coincide com o ponto médio entre os dois pontos críticos?
Select the correct option
Sim, o ponto de inflexão é $x=2$ , que é o ponto médio entre $x=1$ e $x=3$ Não, o ponto de inflexão não tem relação com os pontos críticosO ponto de inflexão é $x=1$ , que é o mínimo dos dois críticosO ponto de inflexão é $x=3$ , o máximo dos dois críticos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 248
Show solution
Para $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ , $f''(x) = 6ax + 2b$ tem raiz em $x = -b/(3a)$ . Os pontos críticos $x=1$ e $x=3$ são raízes de $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ . Pela fórmula de Vieta, sua soma é $1+3=4 = -2b/(3a)$ , logo $-b/(3a) = 2$ . Portanto o ponto de inflexão está exatamente em $x=2$ , o ponto médio.
Ex. 23.24Modeling
A posição de uma partícula no eixo $x$ é dada por $s(t) = 8t^2 + 5$ . Quais são a velocidade $v(t)$ e a aceleração $a(t)$ ?
Select the correct option
$s(t) = 8t^2 + 5$ implica velocidade $v(t) = 16t$ e aceleração $a(t) = 16$ (constante) $v(t) = 16t + 5$ e $a(t) = 16$ $v(t) = 8t$ e $a(t) = 8$ $v(t) = 16t^2$ e $a(t) = 32t$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 3
Show solution
A posição é $s(t) = 8t^2 + 5$ . A velocidade é $v(t) = s'(t) = 16t$ . A aceleração é $a(t) = v'(t) = s''(t) = 16$ , constante. Isso corresponde a movimento uniformemente acelerado.
Ex. 23.25Modeling
"O preço de uma ação está subindo mais rápido a cada dia." Sendo $P(t)$ o preço em função do tempo, quais são os sinais de $P'$ e $P''$ ?
Select the correct option
$P' > 0$ e $P'' > 0$ — o preço está subindo e subindo cada vez mais rápido $P' > 0$ e $P'' < 0$ — o preço está subindo, mas mais devagar $P' < 0$ e $P'' < 0$ — o preço está caindo e acelerando sua queda $P' = 0$ e $P'' > 0$ — o preço está estável mas prestes a subir
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 4
Show solution
"O preço de uma ação está subindo mais rápido a cada dia": o preço $P$ está crescendo ( $P' > 0$ ) e a taxa de crescimento está aumentando ( $P'' > 0$ — a função é côncava para cima).
Ex. 23.26Application
Sabe-se que $f(2) = -3$ , $f'(2) = 1{,}5$ e $f''(2) = -0{,}25$ . Qual é o comportamento de $f$ em $x = 2$ ?
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$f(2) = -3$ , $f'(2) > 0$ , $f''(2) < 0$ — crescente e côncava para baixo $f(2) = -3$ , $f'(2) > 0$ , $f''(2) > 0$ — crescente e côncava para cima $f(2) = -3$ , $f'(2) < 0$ , $f''(2) < 0$ — decrescente e côncava para baixo $f(2) = -3$ , $f'(2) < 0$ , $f''(2) > 0$ — decrescente e côncava para cima
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Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 10
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Com $f(2) = -3$ , $f'(2) = 1{,}5$ e $f''(2) = -0{,}25$ : a função passa pelo ponto $(2,-3)$ , está crescendo em $x=2$ ( $f'>0$ ), e é côncava para baixo ( $f''<0$ ) — ou seja, a taxa de crescimento está diminuindo.
Ex. 23.27Application
Para $f(x) = \sin(x)\,e^x$ em $[-\pi, \pi]$ , qual é o comportamento de concavidade em torno de $x = 0$ ?
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Côncava para cima em $(-\infty, 0)$ , côncava para baixo em $(0, +\infty)$ ; inflexão em $x=0$ com $f(0)=0$ Sempre côncava para cima, sem ponto de inflexãoCôncava para baixo em $(-\infty, 0)$ , côncava para cima em $(0, +\infty)$ Pontos de inflexão em $x = \pm 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 237
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Para $f(x) = \sin(x) e^x$ : $f'(x) = e^x(\cos x + \sin x)$ . $f''(x) = e^x(\cos x + \sin x + (-\sin x + \cos x)) = 2e^x\cos x$ . $f''=0$ quando $\cos x = 0$ , i.e., $x = \pi/2 + k\pi$ . No intervalo $[-\pi,\pi]$ , as inflexões ocorrem em $x = -\pi/2$ e $x = \pi/2$ . (A opção acima refere-se a comportamento local em torno de $x=0$ que é côncava para cima pois $f''(0) = 2 > 0$ .)
Ex. 23.28ApplicationAnswer key
Para $f(x) = x\ln x$ ( $x > 0$ ), determine a concavidade.
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Côncava para cima em $(0, e^{1/2})$ , para baixo em $(e^{1/2}, +\infty)$ ; inflexão em $x = \sqrt{e}$ Côncava para baixo em $(0, e)$ , para cima em $(e, +\infty)$ ; inflexão em $x=e$ Sempre côncava para baixo; sem inflexãoCôncava para cima em todo o domínio; sem inflexão
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 238
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Para $f(x) = (\ln x) \cdot x$ , $x > 0$ : $f'(x) = \ln x + 1$ . $f''(x) = 1/x$ . Como $1/x > 0$ para todo $x > 0$ , a função é sempre côncava para cima — sem inflexão. (Nota: o enunciado refere-se à função $f(x) = x \ln x$ cujo $f'' = 1/x > 0$ sempre.)
Ex. 23.29Application
Para $f(x) = \dfrac{1}{4x} + x$ ( $x > 0$ ), determine a concavidade e os pontos de inflexão.
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Côncava para cima em $(0, 2)$ , para baixo em $(2, +\infty)$ ; inflexão em $x = 2$ Côncava para cima em $(0, +\infty)$ ; sem inflexãoCôncava para baixo em todo o domínio; sem inflexãoInflexão em $x = 1$ e $x = 4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 239
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Para $f(x) = \dfrac{1}{4x} + \dfrac{1}{x}$ com $x > 0$ : simplificando, $f(x) = \dfrac{5}{4x}$ . $f'(x) = -\dfrac{5}{4x^2}$ . $f''(x) = \dfrac{10}{4x^3} = \dfrac{5}{2x^3} > 0$ para todo $x > 0$ . Portanto côncava para cima em todo o domínio, sem inflexão. (Resposta correta ajustada: côncava para cima em todo domínio.)
Ex. 23.30Challenge
Dado que $f(2) = -3$ , $f'(2) = 1{,}5$ e $f''(2) = -0{,}25$ , qual é a melhor estimativa para $f(2{,}1)$ ? O que a concavidade implica sobre essa estimativa?
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$f(2.1) \approx -2{,}7$ — pois $f(2.1) \approx f(2) + f'(2)(0{,}1) = -3 + 1{,}5(0{,}1) = -2{,}85$ , e a concavidade para baixo significa que o valor real é menor que essa estimativa linear $f(2.1) \approx -1{,}5$ — pois a função cresce linearmente a partir de $(2, -3)$ $f(2.1) \approx -3{,}1$ — a concavidade para baixo reduz o valor abaixo de $f(2)$ $f(2.1) \approx -2{,}85$ exatamente, sem correção pela concavidade
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Solve online Active Calculus · §1.6 · ex. 10
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A aproximação linear dá $f(2{,}1) \approx f(2) + f'(2)(0{,}1) = -3 + 1{,}5(0{,}1) = -2{,}85$ . Como $f''(2) = -0{,}25 < 0$ (côncava para baixo), o gráfico curva para baixo — logo o valor real é ligeiramente menor que a estimativa linear: $f(2{,}1) \lesssim -2{,}85$ , aprox. $-2{,}87$ incluindo o termo quadrático $\tfrac{1}{2}f''(2)(0{,}1)^2 = -0{,}00125$ .
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1. Aproximação de 1ª ordem (tangente): $L(x) = f(2) + f'(2)(x-2) = -3 + 1{,}5(x-2)$ .
2. Em $x=2{,}1$ : $L(2{,}1) = -3 + 1{,}5(0{,}1) = -2{,}85$ .
3. Correção de 2ª ordem: $\frac{1}{2}f''(2)(0{,}1)^2 = \frac{1}{2}(-0{,}25)(0{,}01) = -0{,}00125$ .
4. Como $f'' < 0$ , o valor real fica abaixo da reta tangente: $f(2{,}1) \approx -2{,}8513$ .