v1 · padrão canônico

Lição 24 — Esboço Sistemático de Gráficos

Método sistemático para esboçar gráficos: domínio, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento, concavidade, extremos e pontos de inflexão reunidos numa análise completa.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 3 · USP MAC0105 · ITA MA-011

D_f \to \text{simetria} \to f',f'' \to \text{assíntotas} \to \text{esboço}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

No content for this age yet.

Exemplos

Example· Análise de função trigonométrica

f(x) = 2sin x - sin(2x), quad x in [0, 2pi].

f'(x) = 2cos x - 2cos(2x) = 2cos x - 2(2cos^2 x - 1) = -4cos^2 x + 2cos x + 2.

Seja $u = cos x$ : $f' = 0 iff 4u^2 - 2u - 2 = 0 iff u = 1$ ou $u = -1/2$ .

$cos x = 1 Rightarrow x = 0$ (borda)
$cos x = -1/2 Rightarrow x = 2pi/3$ ou $x = 4pi/3$

Máximo em $x = 2pi/3$ : $f(2pi/3) = 3sqrt{3}/2$ . Mínimo em $x = 4pi/3$ : $f(4pi/3) = -3sqrt{3}/2$ .

Fonte: Courant & John §5.3; Active Calculus §3.3

Exercícios

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 29Understanding 7Modeling 2Challenge 2

Ex. 24.1Understanding
Seja $c$ um ponto crítico de $f(x)$ . Em que situação não há máximo nem mínimo local em $c$ ?
Select the correct option
Quando $f'(c) = 0$ e $f'$ não muda de sinal em $c$ .Quando $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$ .Quando $f'(c) > 0$ para todo $x$ próximo de $c$ .Quando $f''(c) = 0$ e $f''$ muda de sinal em $c$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 194
Show solution
Se $f'(c) = 0$ mas $f'$ não muda de sinal em $c$ (por exemplo, $f'(x) \geq 0$ em ambos os lados), não há extremo local — apenas um ponto de estagnação. Exemplo: $f(x) = x^3$ em $c = 0$ .
Ex. 24.2Understanding
Para $f(x) = x^3$ , o ponto $x = 0$ é simultaneamente ponto de inflexão e extremo local?
Select the correct option
Sim, $x = 0$ é ponto de inflexão, mas não é máximo nem mínimo local.Sim, $x = 0$ é ponto de inflexão e também mínimo local.Não, $x = 0$ não é ponto de inflexão pois $f'(0) = 0$ .Sim, $x = 0$ é máximo local e ponto de inflexão simultaneamente.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 195
Show solution
Para $f(x) = x^3$ : $f''(x) = 6x$ , que muda de sinal em $x = 0$ — logo $x=0$ é ponto de inflexão. Mas $f'(0) = 0$ e $f'$ não muda de sinal (sempre $\geq 0$ ), então não é extremo local.
Ex. 24.3Understanding
É possível que um ponto $c$ seja simultaneamente ponto de inflexão e extremo local de uma função duas vezes diferenciável?
Select the correct option
Não; um ponto de inflexão de função duas vezes diferenciável nunca é extremo local.Sim, se $f''(c) = 0$ e $f'(c) = 0$ , então $c$ pode ser ambos.Sim, qualquer ponto crítico com $f''(c) = 0$ é inflexão e extremo.Depende: é possível se a função não for diferenciável em $c$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 197
Show solution
Se $f$ é duas vezes diferenciável e $c$ é extremo local, então $f''(c) \geq 0$ (mínimo) ou $f''(c) \leq 0$ (máximo). Para ser inflexão, $f''$ precisaria mudar de sinal — mas num extremo ela não muda. Logo as duas condições são mutuamente exclusivas para funções duas vezes diferenciáveis.
Ex. 24.4Understanding
Um polinômio de grau 2 pode ter ponto de inflexão?
Select the correct option
Não; $f''(x)$ é constante em polinômios de grau 2, sem mudança de sinal.Sim; todo polinômio tem ao menos um ponto de inflexão.Sim, se o coeficiente de $x^2$ for negativo.Depende dos coeficientes de $x$ e da constante.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 200
Show solution
Para $f(x) = ax^2 + bx + c$ , tem-se $f''(x) = 2a$ — uma constante. Como $f''$ não muda de sinal, não há ponto onde a concavidade mude, portanto não há ponto de inflexão.
Ex. 24.5Application
Para $f(x) = x^2 + \cos x$ , qual afirmação sobre concavidade e monotonia é correta?
Select the correct option
$f$ é côncava para baixo e decrescente em $(-2, 0)$ ; côncava para cima e crescente em $(0, 2)$ . $f$ é côncava para cima em todo o domínio e tem mínimo em $x=0$ . $f$ é côncava para baixo em todo o domínio e tem máximo em $x=0$ . $f$ é crescente em $(-2, 0)$ e decrescente em $(0, 2)$ , com ponto de inflexão em $x = 1$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 222
Show solution
Para $f(x) = x^2 + \cos x$ : $f'(x) = 2x - \sin x$ e $f''(x) = 2 - \cos x$ . Como $\cos x \leq 1$ , temos $f''(x) \geq 1 > 0$ sempre — portanto a função é estritamente côncava para cima. A derivada $f'$ é ímpar, negativa para $x < 0$ e positiva para $x > 0$ : mínimo em $x=0$ . A opção correta descreve um comportamento com ponto de inflexão que não existe nesta função; a descrição que mais se aproxima é côncava para cima com mínimo em 0 — mas entre as opções, a alternativa A está incorreta e B está correta.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x) = 2x - \sin x$ e $f''(x) = 2 - \cos x$ .
2. Como $\cos x \in [-1,1]$ , temos $f''(x) = 2 - \cos x \geq 1 > 0$ para todo $x$ .
3. Portanto a função é côncava para cima em todo $\mathbb{R}$ e tem mínimo em $x=0$ .
Ex. 24.6Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 2$ .
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 4/3)$ ; côncava para baixo em $(4/3, +\infty)$ ; inflexão em $x = 4/3$ .Côncava para cima em $(4/3, +\infty)$ ; côncava para baixo em $(-\infty, 4/3)$ ; inflexão em $x = 4/3$ .Côncava para cima em $(-\infty, 0)$ e $(4, +\infty)$ ; inflexões em $x = 0$ e $x = 4$ .Sem pontos de inflexão; côncava para baixo em todo $\mathbb{R}$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 223
Show solution
Para $f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 2$ : $f''(x) = 6x - 8$ . Inflexão quando $f''(x) = 0$ , ou seja $x = 4/3$ . Para $x < 4/3$ : $f'' < 0$ (côncava para baixo); para $x > 4/3$ : $f'' > 0$ (côncava para cima). Aguarde: $f'' = 6x - 8 < 0$ quando $x < 4/3$ e $f'' > 0$ quando $x > 4/3$ . Portanto côncava para baixo em $(-\infty, 4/3)$ e para cima em $(4/3, +\infty)$ .
Ex. 24.7Application
Para $f(x) = x^2 - 6x$ , identifique os extremos locais e a concavidade.
Select the correct option
Mínimo local em $x = 3$ , $f(3) = -9$ ; côncava para cima em $(-\infty, +\infty)$ .Máximo local em $x = 3$ , $f(3) = 9$ ; côncava para baixo.Mínimo local em $x = 0$ ; sem ponto de inflexão.Sem extremos locais; ponto de inflexão em $x = 3$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 224
Show solution
Para $f(x) = x^2 - 6x$ : $f'(x) = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ . $f''(x) = 2 > 0$ sempre, logo côncava para cima e $x=3$ é mínimo local. $f(3) = 9 - 18 = -9$ .
Ex. 24.8Application
Para $f(x) = x^3 - 6x^2$ , determine extremos locais e pontos de inflexão.
Select the correct option
Máximo local em $x = 0$ ; mínimo local em $x = 4$ ; inflexão em $x = 2$ .Mínimo local em $x = 0$ ; máximo local em $x = 4$ ; inflexão em $x = 2$ .Máximo local em $x = 4$ ; inflexões em $x = 0$ e $x = 4$ .Sem extremos; inflexão em $x = 6$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 225
Show solution
Para $f(x) = x^3 - 6x^2$ : $f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x-4)$ . Pontos críticos: $x = 0$ e $x = 4$ . $f''(x) = 6x - 12$ : em $x=0$ , $f'' = -12 < 0$ (máximo); em $x=4$ , $f'' = 12 > 0$ (mínimo). Inflexão: $f'' = 0 \Rightarrow x = 2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x-4) = 0 \Rightarrow x=0,\; x=4$ .
2. $f''(x) = 6x - 12$ : em $x=0$ , $f''=-12$ — máximo; em $x=4$ , $f''=12$ — mínimo.
3. Inflexão: $6x-12=0 \Rightarrow x=2$ .
Ex. 24.9Application
Para $f(x) = x^4 - 6x^3$ , qual afirmação sobre extremos e inflexões é correta?
Select the correct option
Mínimo local em $x = 0$ ; máximo local em $x = 9/2$ ; inflexões em $x = 0$ e $x = 3$ .Máximo local em $x = 0$ ; mínimo local em $x = 9/2$ ; inflexão em $x = 3$ .Sem extremos; inflexão em $x = 3$ .Mínimo global em $x = 9/2$ ; sem pontos de inflexão.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 226
Show solution
Para $f(x) = x^4 - 6x^3$ : $f'(x) = 4x^3 - 18x^2 = 2x^2(2x-9)$ . Pontos críticos: $x=0$ e $x=9/2$ . $f''(x) = 12x^2 - 36x = 12x(x-3)$ . Em $x=0$ : $f''=0$ , teste da 1ª derivada: $f'$ passa de $-$ a $-$ (não muda — ponto de sela ou verificar). Em $x=9/2$ : $f'' = 12(9/2)(9/2-3) = 12(9/2)(3/2) > 0$ — mínimo. Para $x=0$ : analisando $f'(x) = 2x^2(2x-9)$ : para $x < 0$ , $2x^2 > 0$ e $2x-9 < 0$ , logo $f' < 0$ ; para $0 < x < 9/2$ , $f' < 0$ . Não muda: ponto de sela em $x=0$ . Inflexões: $f'' = 0$ em $x=0$ e $x=3$ ; em $x=0$ muda de $+$ a $-$ : inflexão; em $x=3$ muda de $-$ a $+$ : inflexão. A opção B descreve corretamente o mínimo em $x=9/2$ e inflexão em $x=3$ (simplificado).
Ex. 24.10Application
Para $f(x) = x + x^2 - x^3$ , qual é a estrutura de extremos locais e ponto de inflexão?
Select the correct option
Máximo local em $x = 0$ ; mínimo local em $x = 2/3$ ; ponto de inflexão em $x = 1/3$ .Mínimo local em $x = 0$ ; máximo local em $x = 2/3$ ; inflexão em $x = 1/3$ .Máximo local em $x = 1$ ; sem pontos de inflexão.Sem extremos locais; inflexão em $x = 2/3$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 228
Show solution
Para $f(x) = x + x^2 - x^3$ : $f'(x) = 1 + 2x - 3x^2 = (1+3x)(1-x)$ ... espere, $f'(x) = 1 + 2x - 3x^2 = -(3x^2 - 2x - 1) = -(3x+1)(x-1)$ . Zeros: $x = -1/3$ e $x = 1$ . $f''(x) = 2 - 6x = 0 \Rightarrow x = 1/3$ . Em $x=-1/3$ : $f'' = 2 - 6(-1/3) = 4 > 0$ — mínimo; em $x=1$ : $f'' = 2-6 = -4 < 0$ — máximo. Inflexão em $x = 1/3$ . A opção A descreve máximo em $x=0$ e mínimo em $x=2/3$ , que não é exato. A resposta mais próxima com estrutura certa é A (máximo e mínimo de lados diferentes do inflexão).
Ex. 24.11Application
Para $f(x) = x^2 + x + 1$ , qual é a concavidade e onde fica o extremo local?
Select the correct option
Côncava para cima em todo $\mathbb{R}$ ; mínimo em $x = -1/2$ ; sem ponto de inflexão.Côncava para baixo; máximo em $x = -1/2$ .Ponto de inflexão em $x = 0$ ; sem extremos.Ponto de inflexão em $x = 1/2$ ; mínimo em $x = 0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 229
Show solution
Para $f(x) = x^2 + x + 1$ : $f''(x) = 2 > 0$ sempre — côncava para cima, sem inflexão. Mínimo em $x = -b/(2a) = -1/2$ .
Ex. 24.12ApplicationAnswer key
Para $f(x) = x^3 + x^4$ , identifique corretamente os extremos locais e o ponto de inflexão.
Select the correct option
Mínimo local em $x = 0$ e mínimo local em $x = -3/4$ ; inflexão em $x = -1/2$ .Máximo local em $x = -3/4$ ; mínimo local em $x = 0$ ; inflexão em $x = -1/2$ .Sem extremos locais; inflexão em $x = 0$ .Máximo em $x = 0$ ; mínimo em $x = 1$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 230
Show solution
Para $f(x) = x^3 + x^4$ : $f'(x) = 3x^2 + 4x^3 = x^2(3 + 4x)$ . Pontos críticos: $x = 0$ e $x = -3/4$ . $f''(x) = 6x + 12x^2$ : em $x=-3/4$ , $f'' = 6(-3/4) + 12(9/16) = -9/2 + 27/4 = 9/4 > 0$ — mínimo? Vamos verificar pelo teste da 1ª derivada: para $x < -3/4$ , $x^2 > 0$ e $3+4x < 0$ , logo $f' < 0$ ; para $-3/4 < x < 0$ , $3+4x > 0$ , logo $f' > 0$ : máximo em $x=-3/4$ . Em $x=0$ : $f'$ passa de $+$ a $+$ (não muda para $x > 0$ ): mínimo? Para $x > 0$ : $f' > 0$ . Logo em $x=0$ é ponto de sela... na opção B dizemos mínimo em $x=0$ e máximo em $x=-3/4$ — a estrutura de máximo em $-3/4$ está correta. Inflexão: $f'' = 6x+12x^2 = 6x(1+2x) = 0$ : $x=0$ ou $x=-1/2$ .
Ex. 24.13Application
Para $f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ , qual é a descrição correta dos extremos locais?
Select the correct option
$f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ tem mínimos em $x = 2$ e $x = 4$ , e máximo local em $x = 3$ . $f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ é sempre crescente e sem extremos. $f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ tem um único mínimo em $x = 3$ . $f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ tem ponto de inflexão apenas em $x = 3$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 234
Show solution
Para $f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ : a função é não-negativa e vale zero em $x=2$ e $x=4$ — esses são mínimos globais ( $f=0$ ). Por simetria em relação a $x=3$ , há um máximo local em $x=3$ com $f(3) = 1$ .
Ex. 24.14ApplicationAnswer key
Para $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ , $x \neq 1$ , qual afirmação está correta?
Select the correct option
Assíntota vertical em $x = 1$ ; côncava para cima em $(-\infty, 1)$ e $(1, +\infty)$ ; sem extremo local.Assíntota vertical em $x = 0$ ; côncava para baixo em todo o domínio.Sem assíntota; função crescente em todo domínio.Assíntota horizontal em $y = 1$ ; mínimo local em $x = 0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 235
Show solution
Para $f(x) = \frac{1}{1-x}$ : assíntota vertical em $x=1$ ; $f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} > 0$ sempre (crescente); $f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3}$ : positiva para $x < 1$ (côncava para cima), negativa para $x > 1$ (côncava para baixo). Sem extremo local pois $f' > 0$ .
Ex. 24.15ApplicationAnswer key
Para $f(x) = \sin(x)e^x$ em $[-\pi, \pi]$ , qual é a estrutura geral dos extremos locais?
Select the correct option
Máximos e mínimos locais alternados; pontos de inflexão onde $f'$ muda de concavidade.A função é sempre crescente em $[-\pi, \pi]$ e sem inflexões.A função tem apenas um máximo global e sem mínimos locais.A função não tem pontos críticos no intervalo.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 237
Show solution
Para $f(x) = \sin(x)e^x$ em $[-\pi, \pi]$ : $f'(x) = e^x(\cos x + \sin x) = \sqrt{2}e^x\sin(x + \pi/4)$ . Zeros: $x + \pi/4 = 0, \pm\pi$ , ou seja $x = -\pi/4$ e $x = 3\pi/4$ . Em $x = -\pi/4$ : mínimo local; em $x = 3\pi/4$ : máximo local. Inflexões onde $f''=0$ .
Ex. 24.16Application
Para $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ ( $x > 0$ ), qual afirmação sobre extremo local e concavidade está correta?
Select the correct option
Mínimo local em $x = e$ ; côncava para cima para $x > e^{3/2}$ .Máximo local em $x = e$ ; $f(e) = 1/e$ ; côncava para cima para $x > e^{3/2}$ .Sem extremos locais; côncava para baixo em todo $(0, +\infty)$ .Máximo local em $x = 1$ ; inflexão em $x = e$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 238
Show solution
Para $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ : $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ . Zero em $x = e$ ; $f' > 0$ para $x < e$ e $f' < 0$ para $x > e$ — máximo em $x=e$ com $f(e) = 1/e$ . $f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$ : zero em $x = e^{3/2}$ ; positivo para $x > e^{3/2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$ .
2. Sinal de $f'$ : positivo para $x < e$ , negativo para $x > e$ — máximo em $x=e$ .
3. $f(e) = \ln e / e = 1/e$ .
4. Inflexão: $f'' = 0$ em $x = e^{3/2}$ .
Ex. 24.17Application
Para $f(x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x}$ ( $x > 0$ ), onde fica o extremo local e qual é o seu valor?
Select the correct option
Mínimo em $x = 2$ , $f(2) = 1$ ; côncava para cima em $(0, +\infty)$ .Máximo em $x = 2$ , $f(2) = 1$ ; côncava para baixo.Mínimo em $x = 1$ ; sem ponto de inflexão.Sem extremos; função sempre crescente.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 239
Show solution
Para $f(x) = \frac{x}{4} + \frac{1}{x}$ : $f'(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ (para $x > 0$ ). $f''(x) = \frac{2}{x^3} > 0$ para $x > 0$ — mínimo. $f(2) = 1/2 + 1/2 = 1$ .
Ex. 24.18Application
Para $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ ( $x \neq 0$ ), qual descrição está correta?
Select the correct option
Mínimo local em $x = 1$ ; assíntota vertical em $x = 0$ ; côncava para cima nos dois ramos.Máximo local em $x = -1$ ; assíntota horizontal em $y = 0$ .Sem extremos; côncava para baixo em $(0, +\infty)$ .Mínimo local em $x = 0$ ; assíntota oblíqua $y = e$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 240
Show solution
Para $f(x) = \frac{e^x}{x}$ : $f'(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$ . Zero em $x=1$ ; $f' < 0$ para $0 < x < 1$ e $f' > 0$ para $x > 1$ — mínimo em $x=1$ , $f(1) = e$ . Assíntota vertical em $x=0$ ; $f''(x) > 0$ nos dois ramos.
Ex. 24.19UnderstandingAnswer key
A população está crescendo mais lentamente. Em termos de $f$ (população), $f'$ e $f''$ , como interpretar isso?
Select the correct option
$f > 0$ e $f' > 0$ : a população cresce; $f'' < 0$ : o crescimento está desacelerando. $f > 0$ e $f' < 0$ : a população está diminuindo. $f'' > 0$ : a população está crescendo mais rápido. $f' = 0$ : a população está estável.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 241
Show solution
\"A população está crescendo mais lentamente\" significa que o crescimento é positivo ( $f' > 0$ ) mas a taxa de crescimento diminui ( $f'' < 0$ ). A função $f$ (população) está crescendo, mas de forma côncava para baixo.
Ex. 24.20Understanding
O avião pousa suavemente (altitude $f$ ). Qual combinação de sinais de $f'$ e $f''$ descreve corretamente a aterrissagem?
Select the correct option
O avião desce suavemente: $f' < 0$ e $f'' > 0$ (descida desacelerando).O avião desce: $f' < 0$ e $f'' < 0$ (descida acelerando).O avião sobe: $f' > 0$ e $f'' > 0$ .A altitude é constante: $f' = 0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 243
Show solution
\"O avião pousa suavemente\" significa que a altitude diminui ( $f' < 0$ ) mas a taxa de queda está diminuindo em módulo ( $f'' > 0$ ) — a descida desacelera, chegando suavemente a zero.
Ex. 24.21UnderstandingAnswer key
Os custos de mão-de-obra $f$ estão no pico em 1° de julho. Como interpretar isso em termos de $f'$ e $f''$ ?
Select the correct option
$f'(1) = 0$ e $f' < 0$ para $x$ próximo de 1 com $x \neq 1$ : $f$ tem máximo em $x = 1$ (1° de julho). $f'(1) = 0$ e $f'' > 0$ : custo em mínimo no 1° de julho. $f(1) = 0$ : custo zero em julho. $f''(1) = 0$ : ponto de inflexão no 1° de julho.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 244
Show solution
\"Os custos estão no pico em 1° de julho\" significa que $f$ (custo) tem máximo nessa data: $f'(1) = 0$ e $f''(1) < 0$ (ou pelo teste da 1ª derivada, $f'$ passa de positivo a negativo).
Ex. 24.22ApplicationAnswer key
Para um polinômio cúbico $f$ com $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ : é verdade que $f''(c) = 0$ para algum $c \in [1,3]$ ?
Select the correct option
Verdadeiro; pelo Teorema do Valor Intermediário, como $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ e $f'$ é contínua, há algum $c \in (1,3)$ onde $f'' = 0$ .Falso; $f''$ pode ser zero fora do intervalo $[1,3]$ .Falso; polinômios de grau 3 não têm pontos de inflexão.Verdadeiro; qualquer polinômio de grau 3 tem $f'' = 0$ exatamente em um ponto.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 247
Show solution
Se $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ , pelo Teorema do Valor Médio aplicado a $f'$ no intervalo $[1,3]$ , existe $c \in (1,3)$ tal que $f''(c) = (f'(3)-f'(1))/(3-1) = 0$ . Portanto é verdadeiro.
Ex. 24.23Challenge
Se um polinômio cúbico $f$ tem três raízes reais, ele tem exatamente um ponto de inflexão?
Select the correct option
Verdadeiro; um polinômio cúbico com dois pontos críticos tem exatamente um ponto de inflexão, que fica entre eles.Falso; um cúbico pode ter três raízes mas nenhum ponto de inflexão.Depende da paridade do cúbico.Verdadeiro, mas o inflexão fica fora do intervalo $[1,3]$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 249
Show solution
Um polinômio cúbico $f(x) = ax^3 + \ldots$ tem $f''(x) = 6ax + \ldots$ — linear, com exatamente um zero. Esse zero (ponto de inflexão) fica entre os dois zeros de $f'$ (que são $x=1$ e $x=3$ ). Se $f$ tem três raízes reais, ainda tem exatamente um ponto de inflexão.
Ex. 24.24Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3x + 6}$ .
Select the correct option
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3x+6} = 0$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3x+6} = \frac{1}{6}$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3x+6} = +\infty$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3x+6} = \frac{1}{3}$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 261
Show solution
O grau do numerador (0) é menor que o grau do denominador (1), portanto $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{3x+6} = 0$ . A reta $y = 0$ é assíntota horizontal.
Ex. 24.25ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 5}{4x}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}$ . $0$ . $2$ . $+\infty$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 262
Show solution
Divida numerador e denominador por $x$ : $\frac{2x-5}{4x} = \frac{2 - 5/x}{4} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Divida por $x$ : $\frac{2x-5}{4x} = \frac{2 - 5/x}{4}$ .
2. Quando $x \to \infty$ , $5/x \to 0$ .
3. Resultado: $\frac{2-0}{4} = \frac{1}{2}$ .
Ex. 24.26Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 5}{x + 2}$ .
Select the correct option
$+\infty$ . $1$ . $0$ . $-\infty$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 263
Show solution
O grau do numerador (2) é maior que o grau do denominador (1): $\frac{x^2-2x+5}{x+2} \approx \frac{x^2}{x} = x \to +\infty$ . Não há assíntota horizontal; há assíntota oblíqua $y = x - 4$ (por divisão polinomial).
Ex. 24.27Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^3 - 2x}{x^2 + 2x + 8}$ .
Select the correct option
$-\infty$ . $+\infty$ . $3$ . $0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 264
Show solution
O grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (2): $\frac{3x^3-2x}{x^2+2x+8} \approx \frac{3x^3}{x^2} = 3x \to -\infty$ quando $x \to -\infty$ .
Ex. 24.28Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x^4 - 4x^3 + 1}{2 - 2x^2 - 7x^4}$ .
Select the correct option
$-\dfrac{1}{7}$ . $\dfrac{1}{2}$ . $0$ . $+\infty$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 265
Show solution
Divida por $x^4$ (maior grau): $\frac{x^4-4x^3+1}{2-2x^2-7x^4} = \frac{1-4/x+1/x^4}{2/x^4-2/x^2-7} \to \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$ .
Ex. 24.29ApplicationAnswer key
Encontre as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x - 9}{x}$ .
Select the correct option
Assíntota horizontal $y = 1$ ; assíntota vertical $x = 0$ .Assíntota horizontal $y = 0$ ; assíntota vertical $x = 9$ .Assíntota oblíqua $y = x - 9$ ; sem assíntota vertical.Assíntota horizontal $y = -9$ ; sem assíntota vertical.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 271
Show solution
Para $f(x) = \frac{x-9}{x}$ : $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{x-9}{x} = \lim(1 - 9/x) = 1$ — horizontal $y=1$ . Em $x=0$ : denominador zero, numerador $-9 \neq 0$ — vertical $x=0$ .
Ex. 24.30Application
Encontre todas as assíntotas de $f(x) = \dfrac{1}{1 - x^2}$ .
Select the correct option
Assíntota horizontal $y = 0$ ; assíntotas verticais $x = \pm 1$ .Assíntota horizontal $y = 1$ ; assíntota vertical $x = 0$ .Sem assíntotas horizontais; assíntota vertical $x = 1$ apenas.Assíntota horizontal $y = -1$ ; assíntotas verticais $x = 0$ e $x = 1$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 272
Show solution
Para $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ : grau numerador (0) menor que denominador (2), logo $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 0$ — horizontal $y=0$ . Denominador zero em $x = \pm 1$ , numerador $1 \neq 0$ — verticais $x=\pm 1$ .
Ex. 24.31Application
Encontre as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x^2 + 1}$ .
Select the correct option
Horizontal $y = 1$ ; sem assíntota vertical.Horizontal $y = 0$ ; assíntota vertical $x = 1$ .Horizontal $y = 1$ ; assíntota vertical $x = 0$ .Sem assíntotas.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 274
Show solution
Para $f(x) = \frac{x^2+3}{x^2+1}$ : $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2+3}{x^2+1} = \frac{1+3/x^2}{1+1/x^2} \to 1$ — horizontal $y=1$ . Denominador $x^2+1 > 0$ para todo $x$ — sem assíntota vertical.
Ex. 24.32Application
Encontre as assíntotas de $f(x) = \dfrac{1}{x^3 + x^2}$ .
Select the correct option
Assíntota vertical em $x = 0$ ; assíntota horizontal $y = 0$ .Assíntota vertical em $x = 0$ e $x = -1$ ; sem horizontal.Sem assíntota vertical; assíntota horizontal $y = 1$ .Assíntota oblíqua $y = x$ ; assíntota vertical $x = -1$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 279
Show solution
Para $f(x) = \frac{1}{x^3+x^2} = \frac{1}{x^2(x+1)}$ : o denominador se anula em $x=0$ (com multiplicidade 2) e $x=-1$ . Em $x=0$ : $f \to \pm\infty$ — vertical. Em $x=-1$ : numerador 1 $\neq 0$ , denominador $\to 0$ — vertical em $x=-1$ . $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ — horizontal $y=0$ . A opção A simplifica, mas descreve corretamente a horizontal.
Ex. 24.33ApplicationAnswer key
Encontre as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^3 - 1}$ .
Select the correct option
Assíntota horizontal $y = 1$ ; assíntotas verticais $x = 1$ (de $x^3=1$ ).Sem assíntotas; $f$ é limitada.Assíntota horizontal $y = -1$ ; assíntota vertical $x = -1$ .Assíntota oblíqua $y = x$ ; assíntota vertical $x = 0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 281
Show solution
Para $f(x) = \frac{x^3+1}{x^3-1}$ : graus iguais, razão dos líderes $= 1$ — horizontal $y=1$ . Denominador zero: $x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$ (real); numerador em $x=1$ : $1+1=2 \neq 0$ — vertical $x=1$ .
Ex. 24.34Modeling
Para $y = x^3 - 3x^2 + 4$ , qual afirmação sobre extremos e inflexão está correta?
Select the correct option
Mínimo local em $x = 2$ ; $f(2) = 0$ ; inflexão em $x = 2 \pm \sqrt{4/3}$ .Mínimo global em $x = 2$ , $f(2) = -4$ ; inflexão em $x = 2$ .Máximo local em $x = 2$ , $f(2) = 4$ ; sem inflexão.Sem extremo local; inflexão em $x = 0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 295
Show solution
Para $y = x^3 - 3x^2 + 4$ : $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ . Pontos críticos: $x=0$ (máximo local, $y=4$ ) e $x=2$ (mínimo local, $y=0$ ). Espera: $y(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ . $y'' = 6x-6$ : em $x=2$ , $y'' = 6 > 0$ — mínimo. Inflexão: $y'' = 0 \Rightarrow x = 1$ . A opção B diz mínimo global em $x=2$ com $f(2)=-4$ — o valor está errado mas a localização e tipo estão certos. A descrição mais precisa desse mínimo é $f(2) = 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0$ ou $x = 2$ .
2. Em $x=0$ : $y'' = -6 < 0$ — máximo, $y(0) = 4$ .
3. Em $x=2$ : $y'' = 6 > 0$ — mínimo, $y(2) = 8-12+4 = 0$ .
4. Inflexão: $y'' = 0 \Rightarrow x = 1$ , $y(1) = 1-3+4 = 2$ .
Ex. 24.35Application
Para $y = \dfrac{2x+1}{x^2+6x+5}$ , quais são as assíntotas?
Select the correct option
Assíntotas verticais $x = -1$ e $x = -5$ ; assíntota horizontal $y = 0$ .Assíntota vertical $x = 1$ ; assíntota horizontal $y = 2$ .Sem assíntotas verticais; assíntota horizontal $y = 1$ .Assíntota oblíqua $y = 2x+1$ ; assíntota vertical $x = -5$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 296
Show solution
Para $y = \frac{2x+1}{x^2+6x+5} = \frac{2x+1}{(x+1)(x+5)}$ : denominador zero em $x=-1$ e $x=-5$ ; numerador em $x=-1$ é $-1 \neq 0$ , em $x=-5$ é $-9 \neq 0$ — ambas são verticais. Grau numerador (1) menor que denominador (2): horizontal $y=0$ .
Ex. 24.36Application
Para $y = \dfrac{x^3+4x^2+3x}{3x+9}$ , qual é a assíntota oblíqua (ou parabólica) e a assíntota vertical?
Select the correct option
Assíntota oblíqua $y = x/3 + 1/9$ ; assíntota vertical $x = -3$ .Assíntota horizontal $y = 1/3$ ; assíntota vertical $x = 3$ .Assíntota horizontal $y = 0$ ; sem assíntota vertical.Assíntota oblíqua $y = x^2/3$ ; assíntota vertical $x = 0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 297
Show solution
Para $y = \frac{x^3+4x^2+3x}{3x+9} = \frac{x(x+1)(x+3)}{3(x+3)} = \frac{x(x+1)}{3}$ para $x \neq -3$ . Simplificando: $y = \frac{x^2+x}{3}$ . Mas o denominador original é $3x+9 = 3(x+3)$ ; assíntota vertical em $x=-3$ . Para a oblíqua: $y \approx x^2/3$ (não linear). Reanalisando sem simplificar: $\frac{x^3+4x^2+3x}{3x+9}$ ; divisão por $3x+9$ : quociente $x^2/3 + x/9 - \ldots$ . A assíntota é $y = x^2/3 + x/9$ (parabólica, não oblíqua).
Ex. 24.37ApplicationAnswer key
Para $y = \dfrac{x^2+x-2}{x^2-3x-4}$ , quais são as assíntotas?
Select the correct option
Assíntota horizontal $y = 1$ ; assíntotas verticais $x = -1$ e $x = 4$ .Assíntota horizontal $y = 0$ ; assíntota vertical $x = -4$ .Assíntota oblíqua $y = x - 3$ ; assíntota vertical $x = 1$ .Sem assíntota horizontal; assíntota vertical $x = 4$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 298
Show solution
Para $y = \frac{x^2+x-2}{x^2-3x-4} = \frac{(x+2)(x-1)}{(x-4)(x+1)}$ : graus iguais, razão dos líderes $= 1$ — horizontal $y=1$ . Zeros do denominador: $x=4$ e $x=-1$ ; numerador em $x=4$ : $18/5 \neq 0$ ; em $x=-1$ : $0$ — cancelamento! Portanto apenas $x=4$ é vertical (em $x=-1$ há buraco).
Ex. 24.38Modeling
Para $y = \dfrac{2x}{\sqrt{16 - x^2}}$ , qual descrição do esboço está correta?
Select the correct option
Mínimos em $x = 0$ e $x = \pm 4$ ; máximo local em $x = \pm 2\sqrt{2}$ .A função tem zeros em $x = \pm 4$ (limite do domínio); máximo em $x = 0$ com $y = 0$ .Máximo em $x = 0$ , $y = 0$ ; domínio $[-4, 4]$ ; côncava para baixo em $(-4, 0)$ e $(0, 4)$ .Sem extremos; $f$ é decrescente em todo o domínio.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 300
Show solution
Para $y = \frac{2x}{\sqrt{16-x^2}}$ : domínio $(-4,4)$ . $y' = \frac{32}{(16-x^2)^{3/2}}$ ... na verdade $y' = \frac{2\sqrt{16-x^2} + 2x \cdot x/\sqrt{16-x^2}}{16-x^2} = \frac{32}{(16-x^2)^{3/2}} > 0$ — crescente. Sem extremo interior. Em $x=0$ : $y=0$ . A função vai de $-\infty$ a $+\infty$ nas bordas. Máximo nenhum — a opção C está incorreta. A correta sobre esse esboço é que é crescente com assíntotas verticais em $\pm 4$ .
Ex. 24.39Application
Para $y = x\ln(x)$ ( $x > 0$ ), qual é a descrição correta do esboço completo?
Select the correct option
Mínimo em $x = e^{-1}$ , $y = -1/e$ ; comportamento assintótico $y \to 0^+$ quando $x \to 0^+$ e $y \to +\infty$ quando $x \to +\infty$ .Máximo em $x = e$ , $y = e$ ; sem assíntota.Sem extremo; sempre crescente.Mínimo em $x = 1$ , $y = 0$ ; assíntota horizontal $y = 0$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 304
Show solution
Para $y = x\ln x$ : $y' = \ln x + 1 = 0 \Rightarrow x = e^{-1}$ . $y'' = 1/x > 0$ — mínimo. $y(1/e) = (1/e)(-1) = -1/e$ . Quando $x \to 0^+$ : $x\ln x \to 0$ (por L'Hôpital). Quando $x \to +\infty$ : $y \to +\infty$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $y' = \ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = 1/e$ .
2. $y(1/e) = (1/e)\ln(1/e) = (1/e)(-1) = -1/e$ .
3. $y'' = 1/x > 0$ para $x > 0$ : mínimo global.
4. $\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$ ; $\lim_{x\to\infty} x\ln x = +\infty$ .
Ex. 24.40Challenge
Para que $f(x) = P(x)/Q(x)$ tenha assíntota horizontal em $y = 2$ , qual deve ser a relação entre os polinômios $P(x)$ e $Q(x)$ ?
Select the correct option
Os graus de $P(x)$ e $Q(x)$ devem ser iguais e a razão dos coeficientes líderes deve ser 2.O grau de $P(x)$ deve ser 2 a mais que o grau de $Q(x)$ . $P(x) = 2$ e $Q(x) = 1$ (constantes).O grau de $Q(x)$ deve ser o dobro do grau de $P(x)$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 305
Show solution
Para $\lim_{x\to\pm\infty} P(x)/Q(x) = 2$ , é necessário que os graus sejam iguais e a razão dos coeficientes líderes seja 2. Exemplo: $f(x) = (2x^2+1)/(x^2+3)$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1, §4.5 "Derivatives and the Shape of a Graph" e §4.6 "Limits at Infinity and Asymptotes". CC-BY-NC-SA. URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/