v1 · padrão canônico

Lição 25 — Máximos e Mínimos Globais

Teorema de Weierstrass e existência de extremos globais em intervalos fechados. Método dos pontos críticos para encontrar máximos e mínimos globais. Aplicações em otimização.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 3 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\max_{x \in [a,b]} f(x) = \max\{f(a),\; f(b),\; f(x_c) : f'(x_c) = 0\}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

No content for this age yet.

Exemplos

Example· Extremo global em intervalo fechado

Encontre os extremos globais de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ em $[-1, 4]$ .

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3).

Pontos críticos em $(-1,4)$ : $x = 1$ e $x = 3$ .

$x$	$f(x)$
$-1$	$-14$
$1$	$6$
$3$	$2$
$4$	$6$

Máximo global: $f(1) = f(4) = 6$ . Mínimo global: $f(-1) = -14$ .

Fonte: Stewart §3.1, Exemplo 8

Exercícios

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 3Modeling 5Challenge 4

Ex. 25.1Application
Encontre os extremos globais de $y = 2x^2 - 2x + 5$ em $(-\infty, \infty)$ .
Select the correct option
$x = 1$ (mínimo) $x = 2$ (mínimo) e $x = -2$ (máximo) $x = 1$ (máximo) e $x = -1$ (mínimo) $x = 1/2$ (mínimo global); sem máximo global
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 129
Show solution
$f'(x) = 4x - 2 = 0 \implies x = 1/2$ . Como o domínio é $\mathbb{R}$ e $f \to +\infty$ nos extremos, $x = 1/2$ é mínimo global. Não há máximo global.
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $f'(x) = 2 \cdot 2x - 2 = 4x - 2$ .
2. Iguale a zero: $4x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1/2$ .
3. Segunda derivada: $f''(x) = 4 > 0$ , logo é mínimo local.
4. Como $f(x) \to +\infty$ para $|x| \to \infty$ , é mínimo global. Nenhum máximo global existe.
Ex. 25.2Application
Encontre os pontos críticos de $y = 4x - x^2$ no domínio.
Select the correct option
$x = \pm 2$ $x = 1/2$ e $x = -1$ $x = 1/\sqrt{2}$ $x = 1/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 109
Show solution
$y' = 4 - 2x = 0 \implies x = 2$ — mas o exercício é $y = 4x - x^2$ , portanto o ponto crítico é $x = 2$ . Para $y = 4x - x^2$ : $y' = 4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2$ .
Ex. 25.3Application
Encontre os extremos absolutos de $f(x) = x^2 + 3$ sobre $[-1, 4]$ .
Select the correct option
Mínimo global em $x = 0$ com $f(0) = 3$ ; máximo global em $x = 4$ com $f(4) = 19$ Mínimo global em $x = -1$ com $f(-1) = 4$ ; máximo global em $x = 4$ com $f(4) = 14$ Sem mínimo; máximo global em $x = 4$ Mínimo global em $x = 1$ ; máximo global em $x = -1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 118
Show solution
$f(x) = x^2 + 3$ em $[-1, 4]$ . $f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ . Candidatos: $f(-1)=4, f(0)=3, f(4)=19$ . Mínimo global: $f(0)=3$ ; máximo global: $f(4)=19$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derivada: $f'(x) = 2x$ ; ponto crítico interior: $x = 0 \in (-1,4)$ .
2. Avalie: $f(-1) = 1+3 = 4$ , $f(0) = 3$ , $f(4) = 16+3 = 19$ .
3. Menor valor: 3 em $x=0$ (mínimo global); maior valor: 19 em $x=4$ (máximo global).
Ex. 25.4Application
Encontre os extremos absolutos de $y = x^2 + 2x$ sobre $[1, 4]$ .
Select the correct option
Mínimo em $x=1$ com $f(1)=3$ ; máximo em $x=4$ com $f(4)=24$ Mínimo em $x=-1$ com $f(-1)=1$ ; máximo em $x=4$ com $f(4)=24$ Mínimo em $x=0$ com $f(0)=0$ ; máximo em $x=4$ Mínimo em $x=1$ ; máximo em $x=1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 119
Show solution
$f(x) = x^2 + 2x$ , $[1,4]$ . $f'(x)=2x+2=0 \Rightarrow x=-1$ fora do intervalo. Candidatos: $f(1)=3$ , $f(4)=24$ . Mínimo global: 3 em $x=1$ ; máximo: 24 em $x=4$ .
Ex. 25.5ApplicationAnswer key
Encontre os extremos absolutos de $y = (x - x^2)^2$ sobre $[-1, 1]$ .
Select the correct option
Máximo global em $x = 1/2$ com $f = 1/16$ ; mínimo em extremosMínimo global em $x = 0$ com $f = 0$ ; máximo em $x = 1$ Mínimo global em $x = 1/2$ ; máximo em $x = -1$ Sem extremos globais
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 120
Show solution
$y=(x-x^2)^2$ , $[-1,1]$ . $y' = 2(x-x^2)(1-2x)=0$ : pontos críticos $x=0, 1/2, 1$ . Valores: $y(-1)=4, y(0)=0, y(1/2)=1/16, y(1)=0$ . Máximo: $y(-1)=4$ ; mínimo: 0 em $x=0$ e $x=1$ .
Ex. 25.6Application
Encontre os extremos absolutos de $y = 9 - x$ sobre $[1, 9]$ .
Select the correct option
Mínimo global em $x = 9$ , máximo em $x = 1$ Mínimo global em $x = 9$ com $f(9) = 0$ ; máximo global em $x = 1$ com $f(1) = 8$ Sem máximo; mínimo em $x = 9$ Mínimo em $x = 5$ ; máximo em $x = 1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 122
Show solution
$y = 9 - x$ é decrescente em $[1,9]$ . Máximo em $x=1$ : $y(1)=8$ . Mínimo em $x=9$ : $y(9)=0$ . Sem pontos críticos interiores ( $y'=-1 \neq 0$ ).
Ex. 25.7ApplicationAnswer key
Encontre os extremos absolutos de $y = x + \sin x$ sobre $[0, 2\pi]$ .
Select the correct option
Mínimo global em $x = 0$ com $f = 0$ ; máximo em $x = 2\pi$ com $f = 2\pi$ Máximo global em $x = \pi/2$ ; mínimo em $x = 3\pi/2$ Sem extremos globais no intervaloMínimo em $x = \pi$ ; máximo em $x = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 123
Show solution
$y = x + \sin x$ , $[0, 2\pi]$ . $y' = 1 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi$ . Valores: $y(0)=0$ , $y(\pi)=\pi$ , $y(2\pi)=2\pi$ . Mínimo: 0 em $x=0$ ; máximo: $2\pi$ em $x=2\pi$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $y' = 1 + \cos x$ .
2. Iguale a zero: $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi$ (no intervalo).
3. Avalie: $y(0)=0$ , $y(\pi)=\pi+0=\pi$ , $y(2\pi)=2\pi+0=2\pi$ .
4. Mínimo global: 0 em $x=0$ ; máximo global: $2\pi \approx 6{,}28$ em $x=2\pi$ .
Ex. 25.8Application
Encontre os extremos absolutos de $y = \dfrac{x}{1+x}$ sobre $[0, 100]$ .
Select the correct option
Mínimo em $x=0$ com $f=0$ ; máximo em $x=100$ com $f = 100/101$ Máximo em $x = 1$ ; sem mínimoMínimo em $x = 1/2$ ; máximo em $x = 100$ Máximo em $x = 0$ com $f=0$ ; mínimo em $x = 100$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 124
Show solution
$y = x/(1+x)$ , $[0,100]$ . $y' = 1/(1+x)^2 > 0$ para todo $x \geq 0$ : função crescente. Mínimo em $x=0$ : $y=0$ ; máximo em $x=100$ : $y=100/101$ .
Ex. 25.9Application
Encontre os extremos absolutos de $y = x - x^3$ sobre $[0, 4]$ .
Select the correct option
Mínimo global em $x = -1/3$ com $f = 1/3^{1/3}$ ; máximo em $x=0$ Mínimo global em $x = 1/3$ ; máximo global em $x = 0$ com $f(0)=0$ Máximo local em $x = 0$ ; mínimo local em $x = 4$ ; sem extremos globais em $(-\infty,\infty)$ Máximo global em $x = 0$ ; mínimo global em $x = 4$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 126
Show solution
$y = x - x^3$ sobre $[0,4]$ . $y' = 1 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x = 1/\sqrt{3}$ . Valores: $y(0)=0$ , $y(1/\sqrt{3}) = 2/(3\sqrt{3})$ , $y(4)=4-64=-60$ . Mínimo global: $-60$ em $x=4$ ; máximo global: $2/(3\sqrt{3})$ em $x=1/\sqrt{3}$ .
Ex. 25.10ApplicationAnswer key
Encontre os extremos absolutos de $y = \sin x + \cos x$ sobre $[0, 2\pi]$ .
Select the correct option
Máximo global em $x = \pi/4$ com $f = \sqrt{2}$ ; mínimo em $x = 5\pi/4$ com $f = -\sqrt{2}$ Máximo em $x = 0$ ; mínimo em $x = \pi$ Máximo em $x = \pi/2$ ; mínimo em $x = 3\pi/2$ Máximo em $x = \pi/4$ com $f = 1$ ; mínimo em $x = 5\pi/4$ com $f = -1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 127
Show solution
$y = \sin x + \cos x$ , $[0, 2\pi]$ . $y' = \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi/4, 5\pi/4$ . $y(\pi/4) = \sqrt{2}$ , $y(5\pi/4) = -\sqrt{2}$ . Máximo: $\sqrt{2}$ ; mínimo: $-\sqrt{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $y' = \cos x - \sin x$ .
2. Iguale a zero: $\tan x = 1 \Rightarrow x = \pi/4 + n\pi$ ; no intervalo: $x = \pi/4$ e $x = 5\pi/4$ .
3. Avalie: $y(0)=1$ , $y(\pi/4)=\sqrt{2}$ , $y(5\pi/4)=-\sqrt{2}$ , $y(2\pi)=1$ .
4. Máximo global: $\sqrt{2}$ em $x=\pi/4$ ; mínimo global: $-\sqrt{2}$ em $x=5\pi/4$ .
Ex. 25.11Application
Encontre os extremos absolutos de $y = 4\sin\theta - 3\cos\theta$ sobre $[0, 2\pi]$ .
Select the correct option
Máximo em $\theta = \arctan(4/3)$ ; mínimo em $\theta = \pi + \arctan(4/3)$ Máximo em $\theta = \pi/4$ ; mínimo em $\theta = 5\pi/4$ Máximo em $\theta = \pi/2$ ; mínimo em $\theta = 3\pi/2$ Máximo global em $\theta = 0$ ; mínimo em $\theta = \pi$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 128
Show solution
$y = 4\sin\theta - 3\cos\theta$ , $[0,2\pi]$ . $y' = 4\cos\theta + 3\sin\theta = 0 \Rightarrow \tan\theta = -4/3$ . Amplitude: $\sqrt{16+9} = 5$ . Máximo: 5; mínimo: $-5$ .
Ex. 25.12ApplicationAnswer key
Encontre os extremos globais de $y = x^2 + 4x + 5$ em $(-\infty, \infty)$ .
Select the correct option
Mínimo global em $x = -2$ com $f(-2) = 1$ ; sem máximo globalMínimo global em $x = 0$ ; máximo em $x = \pm 2$ Máximo global em $x = -2$ com $f = 5$ ; sem mínimoMínimo em $x = -2$ ; máximo em $x = 2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 129
Show solution
$y = x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1$ . Vértice em $x = -2$ : mínimo global $f(-2) = 1$ . Como parábola abre para cima, $f \to +\infty$ : sem máximo global.
Ex. 25.13Application
Encontre os extremos locais e globais de $y = x^3 - 12x$ em $(-\infty, \infty)$ .
Select the correct option
Máximo local em $x = -2$ com $f = 16$ ; mínimo local em $x = 2$ com $f = -16$ ; sem extremos globaisMínimo global em $x = 2$ ; máximo global em $x = -2$ Máximo global em $x = 0$ ; sem mínimoMínimo local em $x = -2$ ; máximo local em $x = 2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 130
Show solution
$y = x^3 - 12x$ , $(-\infty,\infty)$ . $y' = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ . $y''(x) = 6x$ : $y''(-2)=-12 < 0$ (máx. local), $y''(2)=12>0$ (mín. local). Sem extremos globais pois $y \to \pm\infty$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $y' = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2)$ .
2. Pontos críticos: $x = \pm 2$ .
3. Segunda derivada: $y'' = 6x$ . Em $x=-2$ : $y''=-12 < 0$ (máx. local). Em $x=2$ : $y''=12 > 0$ (mín. local).
4. Valores: $y(-2)=-8+24=16$ , $y(2)=8-24=-16$ .
5. Sem extremos globais: polinômio de grau ímpar, $y \to +\infty$ e $y \to -\infty$ .
Ex. 25.14Application
Encontre os extremos locais e globais de $y = 3x^4 + 8x^3 - 18x^2$ em $(-\infty, \infty)$ .
Select the correct option
$x = \pm\sqrt{2}$ (mínimos locais) e $x = 0$ (máximo local); sem extremos globais $x = 0$ (mínimo global) e $x = \pm 3$ (máximos locais)Mínimo global em $x = 0$ com $y = 0$ ; sem máximo global; mínimos locais em $x = \pm\sqrt{2}$ Mínimo global em $x = 0$ com $y = 0$ ; máximos locais em $x = \pm\sqrt{2}$ com $y < 0$ ; sem máximo global
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 131
Show solution
$y = 3x^4 + 8x^3 - 18x^2$ . $y' = 12x^3 + 24x^2 - 36x = 12x(x^2 + 2x - 3) = 12x(x+3)(x-1)$ . Pontos críticos: $x = 0, -3, 1$ . $y(0)=0$ , $y(-3)=243-216-162=-135$ , $y(1)=3+8-18=-7$ . Mínimo global: $y(-3)=-135$ em $x=-3$ .
Ex. 25.15Application
Encontre os pontos críticos de $y = \dfrac{1}{x-1}$ no domínio da função.
Select the correct option
$x = \pm 1$ (pontos críticos; nenhum extremo) $x = 0$ único ponto críticoNenhum ponto crítico no domínio $x = 1$ único ponto crítico
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 110
Show solution
$y = 1/(x-1)$ . $y' = -1/(x-1)^2$ : nunca zero. O ponto $x=1$ não está no domínio. Portanto, não há pontos críticos.
Ex. 25.16Application
Encontre os pontos críticos de $y = \ln(x-2)$ no domínio da função.
Select the correct option
Nenhum ponto crítico $x = 2$ é ponto crítico $x = e^2$ é ponto crítico $x = 0$ é ponto crítico
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 111
Show solution
$y = \ln(x-2)$ , domínio $x > 2$ . $y' = 1/(x-2)$ : nunca zero para $x > 2$ . Portanto, sem pontos críticos no domínio.
Ex. 25.17Application
Encontre os pontos críticos de $y = \tan x$ no domínio da função.
Select the correct option
$x = k\pi + \pi/2$ , $k \in \mathbb{Z}$ Nenhum ponto crítico (derivada nunca se anula no domínio) $x = k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ $x = \pi/4 + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 112
Show solution
$y = \tan x$ . $y' = \sec^2 x \geq 1 > 0$ no domínio. A derivada nunca se anula: sem pontos críticos. (Os pontos $x = \pi/2 + k\pi$ são descontinuidades, não pontos críticos.)
Ex. 25.18Application
Encontre os pontos críticos de $y = \sqrt{4 - x^2}$ no domínio $[-2, 2]$ .
Select the correct option
$x = 0$ (ponto crítico onde $y' = 0$ ) $x = \pm 2$ (pontos críticos onde $y$ não é diferenciável) $x = 0$ onde $y' = 0$ e $x = \pm 2$ onde $y'$ não existeSem pontos críticos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 113
Show solution
$y = \sqrt{4 - x^2}$ , domínio $[-2,2]$ . $y' = -x/\sqrt{4-x^2}$ : zero em $x=0$ ; indefinida em $x=\pm 2$ (extremos do domínio). Ponto crítico interior: $x=0$ ; pontos de fronteira: $x=\pm 2$ .
Ex. 25.19ApplicationAnswer key
Encontre o ponto crítico interior de $y = x^{3/2} - 3x^{5/2}$ no domínio $[0, \infty)$ .
Select the correct option
$x = 1/5$ $x = 1/3$ $x = 0$ e $x = 1$ Sem pontos críticos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 114
Show solution
$y = x^{3/2} - 3x^{5/2}$ . $y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{15}{2}x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2}(1 - 5x)$ . Zero: $x=0$ (extremo do domínio) e $x=1/5$ . Ponto crítico interior: $x = 1/5$ .
Ex. 25.20Application
Encontre os pontos críticos e classifique os extremos de $y = x + \dfrac{1}{x}$ no domínio.
Select the correct option
$x = 0$ (mínimo global); sem máximo $x = \pm 1$ (mínimos globais) com $f = 2$ ; sem máximo global $x = 0$ (máximo global) com $f = 0$ ; sem mínimoMínimo em $x = 1$ ; máximo em $x = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 117
Show solution
$y = x + 1/x$ , $x \neq 0$ . $y' = 1 - 1/x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ . $y(1) = 2$ (mínimo local para $x>0$ ); $y(-1) = -2$ (máximo local para $x < 0$ ). Sem extremos globais em $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ .
Ex. 25.21Application
Encontre o máximo e o mínimo absolutos de $f(x) = x - 5\ln x$ sobre $\left[\dfrac{1}{5}, 10\right]$ .
Select the correct option
$x = 2$ (mínimo global) com $f(2) = \ln(4) - 2$ $x = -1$ (máximo global); $x = 1$ (mínimo global)Mínimo global em $x = 5/2$ com $f = 5/2 - 5\ln 5$ Mínimo global em $x = 5$ com $f(5) = 5 - 5\ln 5$ ; máximo global em $x = 1/5$ com $f = 1/5 - 5\ln(1/5)$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 6
Show solution
$f(x) = x - 5\ln x$ , $[1/5, 10]$ . $f'(x) = 1 - 5/x = 0 \Rightarrow x = 5$ . Valores: $f(1/5) = 1/5 + 5\ln 5 \approx 8{,}25$ , $f(5) = 5 - 5\ln 5 \approx -3{,}05$ , $f(10) = 10 - 5\ln 10 \approx -1{,}51$ . Mínimo: $x=5$ ; máximo: $x=1/5$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $f'(x) = 1 - 5/x$ .
2. Ponto crítico: $f'(x)=0 \Rightarrow x = 5 \in [1/5, 10]$ .
3. Avalie nos candidatos: $f(1/5) = 1/5 - 5\ln(1/5) = 1/5 + 5\ln 5$ , $f(5)= 5 - 5\ln 5$ , $f(10)=10-5\ln 10$ .
4. Mínimo global em $x=5$ ; máximo global em $x=1/5$ .
Ex. 25.22Application
Encontre o máximo e o mínimo globais de $g(x) = 5x - x^2 - 6$ no domínio $\mathbb{R}$ .
Select the correct option
Mínimo global em $x = 5/2$ ; máximo em $x = 1$ Mínimo global em $x = 1$ com $f(1) = 1$ ; sem máximo globalMáximo global em $x = 5/2$ com $g = 25/4 - 6 = 1/4$ ; sem mínimo globalMáximo global em $x = 5/2$ ; mínimo em $x = 0$ com $g = -6$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 1
Show solution
$g(x) = 5x - x^2 - 6$ , domínio $\mathbb{R}$ . $g'(x) = 5 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5/2$ . $g''(5/2) = -2 < 0$ : máximo. $g(5/2) = 25/2 - 25/4 - 6 = 1/4$ . Parábola para baixo: sem mínimo global.
Ex. 25.23Application
Encontre o máximo e o mínimo globais de $g(t) = 5te^{-t}$ para $t > 0$ .
Select the correct option
Máximo global em $t = 1$ com $g(1) = 5/e$ ; sem mínimo globalMínimo global em $t = 0$ ; máximo em $t = 1$ Máximo global em $t = 0$ ; mínimo em $t = 1$ Máximo global em $t = e$ ; sem mínimo
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 2
Show solution
$g(t) = 5te^{-t}$ , $t > 0$ . $g'(t) = 5e^{-t}(1-t) = 0 \Rightarrow t = 1$ . $g(1) = 5/e$ . Como $g \to 0$ quando $t \to 0^+$ e $t \to +\infty$ , e $g(1) = 5/e > 0$ : máximo global. Não há mínimo global (ínfimo é 0, não atingido).
Ex. 25.24Modeling
Uma empresa produz celulares com função de custo $C(x) = x^2 - 1200x + 36400$ (em dólares), onde $x$ é o número de celulares produzidos (em milhares). Quantas unidades minimizam o custo?
Select the correct option
600 mil celulares400 mil celulares1200 mil celulares300 mil celulares
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 140
Show solution
$C(x) = x^2 - 1200x + 36400$ . $C'(x) = 2x - 1200 = 0 \Rightarrow x = 600$ . $C''(600)=2>0$ : mínimo global. A empresa deve produzir 600 mil unidades.
Show step-by-step (with the why)
1. A função custo é $C(x) = x^2 - 1200x + 36400$ .
2. Derive: $C'(x) = 2x - 1200$ .
3. Iguale a zero: $x = 600$ (milhares de unidades).
4. Segunda derivada: $C''(600) = 2 > 0$ : mínimo global.
5. Custo mínimo: $C(600) = 360000 - 720000 + 36400 = -323600$ — verificar sinal; a questão pede o número de unidades, não o custo.
Ex. 25.25Modeling
Uma bola é lançada para cima e sua posição é $h(t) = -4{,}9t^2 + 60t + 5$ metros. Encontre a altura máxima e o instante em que ocorre.
Select the correct option
Altura máxima de $185{,}5$ m, atingida em $t \approx 6{,}12$ sAltura máxima de $183{,}4$ m, atingida em $t = 5$ sAltura máxima de $60$ m, atingida em $t = 12$ sAltura máxima de $5$ m, atingida em $t = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 141
Show solution
$h(t) = -4{,}9t^2 + 60t + 5$ . $h'(t) = -9{,}8t + 60 = 0 \Rightarrow t = 60/9{,}8 \approx 6{,}12$ s. $h(6{,}12) = -4{,}9(6{,}12)^2 + 60(6{,}12) + 5 \approx 185{,}5$ m.
Ex. 25.26Modeling
A produção de ouro durante a Corrida do Ouro californiana é modelada por $G(t) = \dfrac{25t}{t^2 + 16}$ (milhões de onças), $0 \leq t \leq 40$ . Encontre o ano de produção máxima e a quantidade produzida.
Select the correct option
Produção máxima em $t = 4$ anos, com $G(4) = 100/32 = 3{,}125$ milhões de onçasProdução máxima em $t = 16$ anosProdução máxima em $t = 8$ anosProdução máxima em $t = 40$ anos
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 142
Show solution
$G(t) = 25t/(t^2+16)$ , $0 \leq t \leq 40$ . $G'(t) = 25(16-t^2)/(t^2+16)^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ . $G(4) = 100/32 = 25/8$ milhões de onças. Extremos: $G(0)=0$ , $G(40)=1000/1616 \approx 0{,}62$ . Máximo global em $t=4$ .
Ex. 25.27Modeling
A mudança de temperatura corporal $T$ causada por uma dose $D$ de um medicamento é dada por $T = \left(\dfrac{C}{2} - \dfrac{D}{3}\right)D^2$ , onde $C > 0$ é uma constante. Qual dose maximiza a mudança de temperatura? A sensibilidade do corpo ao medicamento é $dT/dD$ . Qual dose maximiza a sensibilidade?
Select the correct option
$D = C$ maximiza a mudança de temperatura; $D = 2C/3$ maximiza a sensibilidade $D = C$ maximiza ambas $D = 2C/3$ maximiza a mudança de temperatura; $D = C$ maximiza a sensibilidade $D = C/3$ maximiza a mudança; $D = C/2$ maximiza a sensibilidade
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 3
Show solution
Mudança de temperatura: $T = (C/2 - D/3)D^2$ . $dT/dD = CD - D^2 = D(C-D) = 0 \Rightarrow D = C$ ou $D = 0$ . Máximo em $D = 2C/3$ (verificar: $T'=CD - D^2$ , máx em $D=C/2 \cdot \ldots$ ). Sensibilidade: $S = dT/dD = CD - D^2$ ; $dS/dD = C - 2D = 0 \Rightarrow D = C/2$ .
Ex. 25.28ModelingAnswer key
Encontre o máximo e o mínimo absolutos de $f(x) = 9x + \dfrac{10}{x}$ para $x > 0$ .
Select the correct option
Mínimo global em $x = \sqrt{10/9}$ com valor $2\sqrt{90}$ ; sem máximo globalMínimo global em $x = 1$ com $f = 19$ ; sem máximoMáximo global em $x = \sqrt{10/9}$ ; sem mínimoMínimo global em $x = 10/9$ ; máximo em $x = 0$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 4
Show solution
$f(x) = 9x + 10/x$ , $x > 0$ . $f'(x) = 9 - 10/x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 10/9 \Rightarrow x = \sqrt{10/9} = \sqrt{10}/3$ . $f(\sqrt{10}/3) = 9 \cdot \sqrt{10}/3 + 10/(\sqrt{10}/3) = 3\sqrt{10} + 3\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$ . Mínimo global; sem máximo.
Ex. 25.29Understanding
Se uma função contínua $f$ é definida sobre um intervalo aberto $(a, b)$ , com $a$ e $b$ finitos, é possível não existir máximo ou mínimo absoluto? Justifique com um exemplo.
Select the correct option
Sim, sempre tem extremo global em qualquer domínio finitoNão — em intervalo aberto $(a,b)$ pode não existir máximo nem mínimo absolutoSim, se $f$ é contínua em $(a,b)$ então sempre tem extremos globaisSomente o máximo pode faltar; o mínimo sempre existe
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 92
Show solution
Em intervalo aberto $(a,b)$ , é possível não existir extremo absoluto. Exemplo: $f(x) = x$ em $(0,1)$ não tem máximo nem mínimo absoluto — os valores se aproximam de 0 e 1 mas nunca os atingem. O Teorema de Weierstrass exige domínio fechado e limitado.
Ex. 25.30UnderstandingAnswer key
Ao procurar pontos críticos, por que é necessário incluir pontos onde $f'(x)$ não existe, e não apenas onde $f'(x) = 0$ ?
Select the correct option
Não, pois derivada nula implica extremoSim — pontos onde $f'$ não existe também podem ser extremos (ex.: cúspides, ângulos)Não é necessário — apenas zeros de $f'$ bastamSomente quando o domínio é não compacto
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 93
Show solution
Pontos onde $f'$ não existe também podem ser extremos locais (e globais). Exemplo: $f(x) = |x|$ tem mínimo global em $x=0$ , mas $f'(0)$ não existe. Ignorar esses pontos pode levar a erros na busca de extremos.
Ex. 25.31Understanding
Para $y = ax^2 + bx + c$ com $a > 0$ , encontre o ponto crítico e classifique-o como mínimo ou máximo (local e global).
Select the correct option
Qualquer $ax^2 + bx + c$ com $a > 0$ tem mínimo global em $x = -b/(2a)$ ; a parábola abre para cimaSó tem mínimo se $b = 0$ Tem tanto mínimo quanto máximo globaisTem mínimo global somente em $x = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 146
Show solution
Para $y = ax^2 + bx + c$ com $a > 0$ : $y' = 2ax + b = 0 \Rightarrow x = -b/(2a)$ . $y'' = 2a > 0$ : mínimo local. Como $y \to +\infty$ para $|x| \to \infty$ , é mínimo global. Sem máximo global.
Ex. 25.32ChallengeAnswer key
Para $y = (x-1)^a$ com $a > 1$ inteiro, classifique o ponto crítico $x = 1$ : é mínimo, máximo, ou nem um nem outro? Analise os casos $a$ par e $a$ ímpar.
Select the correct option
Se $a$ é par: $x = 1$ é mínimo local. Se $a$ é ímpar: $x = 1$ não é extremoSempre é mínimo globalSempre é ponto de inflexão, independente de $a$ É máximo local para todo $a > 1$ inteiro
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 147
Show solution
$y = (x-1)^a$ , $a > 1$ inteiro. $y' = a(x-1)^{a-1}$ : zero em $x=1$ . Se $a$ par: $(x-1)^{a-1}$ muda de sinal — não! $a-1$ ímpar: muda sinal de negativo para positivo, logo mínimo local. Se $a$ ímpar: $a-1$ par, não muda sinal: ponto de inflexão.
Ex. 25.33Challenge
Determine o máximo e o mínimo absolutos de $p(x) = x^3 - a^2 x$ no intervalo $[0, a]$ , com $a > 0$ .
Select the correct option
Mínimo absoluto em $x = 1$ com $f(1) = 2x^3$ ; máximo absoluto em $x = a$ Mínimo absoluto em $x = 0$ com $p(0) = 0$ ; máximo em $x = a$ com $p(a) = 0$ Mínimo absoluto em $x = a/\sqrt{3}$ ; máximo absoluto em $x = 0$ com $p(0) = 0$ Mínimo absoluto em $x = a/\sqrt{3}$ com $p = -\frac{2a^3}{3\sqrt{3}}$ ; máximo em extremos $x=0$ e $x=a$ com $p=0$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 8
Show solution
$p(x) = x^3 - a^2 x$ , $[0,a]$ . $p'(x) = 3x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x = a/\sqrt{3}$ . Valores: $p(0)=0$ , $p(a)=0$ , $p(a/\sqrt{3}) = a^3/3\sqrt{3} - a^3/\sqrt{3} = -2a^3/(3\sqrt{3})$ . Mínimo: $x=a/\sqrt{3}$ ; máximo: 0 nos extremos.
Ex. 25.34Challenge
Encontre o máximo e o mínimo absolutos de $s(t) = 3\sin\!\left(2\!\left(t - \dfrac{\pi}{6}\right)\right) + 5$ sobre $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}\right]$ .
Select the correct option
Máximo absoluto: 8 em $t = \pi/6$ ; mínimo absoluto: 2 em $t = 2\pi/3$ Máximo absoluto: 5 em $t = 0$ ; mínimo absoluto: 2 em $t = \pi/2$ Máximo em $t = \pi/3$ ; mínimo em $t = 7\pi/6$ Máximo: 8; mínimo: 5 (sem ponto crítico no intervalo)
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 10
Show solution
$s(t) = 3\sin(2(t-\pi/6)) + 5$ em $[\pi/6, 7\pi/6]$ . O máximo de $\sin$ é 1 (quando argumento $= \pi/2$ , i.e., $t = \pi/6 + \pi/4 = 5\pi/12$ ): $s = 8$ . O mínimo de $\sin$ é $-1$ (quando argumento $= 3\pi/2$ , i.e., $t = \pi/6 + 3\pi/4 = 11\pi/12$ ): $s = 2$ . Verifique extremos.
Ex. 25.35Challenge
A pré-cálculo ensina que o vértice de $y = ax^2 + bx + c$ está em $h = -b/(2a)$ . Prove essa fórmula usando cálculo diferencial, identificando se o ponto é mínimo ou máximo em função do sinal de $a$ .
Select the correct option
A fórmula é $h = -b/(2a)$ ; provada pois $y' = 2ax + b = 0$ dá exatamente esse $x$ , e $y'' = 2a > 0$ (mínimo) ou $< 0$ (máximo)A fórmula é $h = b/(2a)$ pois $y' = 0$ dá $x = b/(2a)$ A fórmula não pode ser provada por cálculo; requer completar quadrado apenasA fórmula é $h = -b/a$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 90
Show solution
Para $y = ax^2 + bx + c$ : $y' = 2ax + b$ . Igualando a zero: $x = -b/(2a)$ . Este é o vértice. $y'' = 2a$ : se $a > 0$ , mínimo; se $a < 0$ , máximo. A fórmula $h = -b/(2a)$ está provada.

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — §4.3 Maxima and Minima — Strang & Herman · CC-BY-NC-SA.
Active Calculus — §3.5 Optimization — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.