v1 · padrão canônico

Lição 26 — Otimização Aplicada

Modelagem e resolução de problemas de otimização: geometria, física e engenharia. Estratégia em 5 passos — variável, função objetivo, restrições, derivação, verificação.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 3 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\min_{x} C(x) \quad \text{ou} \quad \max_{x} L(x) \quad \text{s.t.} \quad g(x) = 0

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exemplos

Example· Problema clássico: cerca com rio

Um fazendeiro tem 1200 m de cerca para formar um pasto retangular, com um rio formando um dos lados (não precisa de cerca). Qual a maior área possível?

Seja $x$ = largura (perpendicular ao rio) e $y$ = comprimento (paralelo ao rio).

Restrição: $2x + y = 1200 implies y = 1200 - 2x$ .

Objetivo: $A = xy = x(1200-2x) = 1200x - 2x^2$ , $x in (0, 600)$ .

A'(x) = 1200 - 4x = 0 \implies x = 300 ext{ m}, \quad y = 600 ext{ m}.

Área máxima: $A = 300 imes 600 = 180\,000$ m².

Fonte: Stewart §3.7, Exemplo 1

Example· Distância mínima a uma reta

Encontre o ponto da parábola $y = x^2$ mais próximo do ponto $(0, 3)$ .

Objetivo: Minimizar $D^2 = x^2 + (x^2-3)^2$ (minimizar $D^2$ equivale a minimizar $D$ ).

F(x) = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9.

F'(x) = 4x^3 - 10x = 2x(2x^2-5) = 0 \implies x = 0 ext{ ou } x = \pm\sqrt{5/2}.

F(0) = 9, quad F(pmsqrt{5/2}) = 25/4 - 25/2 + 9 = 11/4.

Mínimo: $D = sqrt{11/4} = sqrt{11}/2$ em $x = pmsqrt{5/2}$ .

Fonte: Stewart §3.7, Exemplo 4

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 4Modeling 7Challenge 2

Ex. 26.1UnderstandingAnswer key
Num problema de otimização, por que é necessário verificar o sinal de $f'$ ao redor dos pontos críticos após zerá-la?
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Para distinguir máximos de mínimos locais.Para calcular o valor da função no ponto crítico.Para verificar que a função é contínua.Para encontrar outros pontos críticos não calculados.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 311
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Um ponto crítico com $f'=0$ pode ser máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Verificar o sinal de $f'$ ao redor do ponto (ou usar o teste da segunda derivada) distingue os casos.
Ex. 26.2Understanding
Em problemas de otimização num domínio fechado, por que é necessário verificar os extremos (endpoints) do domínio?
Select the correct option
O máximo global pode ocorrer nas extremidades do domínio, não num ponto crítico interior.Porque a derivada não existe nos extremos.Para garantir que a função seja diferenciável.Porque os extremos são sempre o máximo e o mínimo.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 312
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Pelo Teorema do Valor Extremo, numa função contínua em $[a,b]$ , o máximo/mínimo global ocorre num ponto crítico interior OU nos extremos. Ignorar os extremos pode levar a resposta errada.
Ex. 26.3Understanding
Verdadeiro ou Falso: para toda função contínua não-linear, existe um valor $x$ que maximiza a função.
Select the correct option
Falso — funções contínuas num domínio não compacto podem não ter máximo.Verdadeiro — toda função contínua não-linear tem máximo.Verdadeiro — basta calcular todos os pontos críticos.Falso — apenas funções lineares têm máximo.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 313
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Contraexemplo: $f(x)=x^2$ em $\mathbb{R}$ não tem máximo (cresce sem limite). Para garantir a existência de máximo, é preciso domínio compacto (fechado e limitado) e continuidade — Teorema de Weierstrass.
Ex. 26.4UnderstandingAnswer key
Verdadeiro ou Falso: toda função contínua não-constante num domínio fechado e finito possui pelo menos um ponto onde o valor é mínimo ou máximo.
Select the correct option
Verdadeiro — Teorema de Weierstrass garante a existência.Falso — é preciso que a função seja diferenciável.Falso — a função pode ser constante e não ter máximo estrito.Verdadeiro — mas só para funções crescentes.
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 314
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O Teorema de Weierstrass (ou do Valor Extremo) afirma: toda função contínua num domínio fechado e limitado (compacto) atinge seus valores máximo e mínimo. A hipótese não-constante não é necessária — constantes também têm máximo/mínimo (são iguais).
Ex. 26.5ApplicationAnswer key
Você tem 400 ft de cerca para construir um cercado retangular para gado. Quais são as dimensões que maximizam a área?
Select the correct option
$100$ ft × $100$ ft $80$ ft × $120$ ft $150$ ft × $50$ ft $200$ ft × $0$ ft
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 319
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Com perímetro $2x+2y=400$ , temos $y=200-x$ . Área $A=x(200-x)$ . $A'=200-2x=0\Rightarrow x=100$ . Dimensões: 100 ft × 100 ft (quadrado).
Show step-by-step (with the why)
1. Restrição: $2x+2y=400$ , logo $y=200-x$ .
2. Função objetivo: $A(x)=x(200-x)=200x-x^2$ , com $x\in(0,200)$ .
3. Derivada: $A'(x)=200-2x=0\Rightarrow x=100$ .
4. Segunda derivada: $A''=-2<0$ — máximo. Resposta: 100 ft × 100 ft.
Ex. 26.6Application
Você tem 800 ft de cerca para construir um cercado retangular para porcos. Um dos lados é delimitado por um rio (não precisa de cerca). Qual dimensão maximiza a área do cercado?
Select the correct option
$200$ ft × $400$ ft $100$ ft × $600$ ft $400$ ft × $400$ ft $300$ ft × $200$ ft
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 320
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Com um rio num lado, a restrição é $2x+y=800$ , logo $y=800-2x$ . Área $A=x(800-2x)$ . $A'=800-4x=0\Rightarrow x=200$ , $y=400$ . Área máxima = 80 000 ft².
Ex. 26.7ApplicationAnswer key
Você precisa cercar uma área de 1600 ft². Quais dimensões do cercado retangular minimizam a quantidade de material (perímetro)?
Select the correct option
$40$ ft × $40$ ft $20$ ft × $80$ ft $50$ ft × $32$ ft $32$ ft × $50$ ft
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 321
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Área fixa $xy=1600$ , logo $y=1600/x$ . Perímetro $P=2x+2y=2x+3200/x$ . $P'=2-3200/x^2=0\Rightarrow x^2=1600\Rightarrow x=40$ . Dimensões: 40 ft × 40 ft.
Ex. 26.8Modeling
Dois postes de 20 ft e 10 ft estão a 30 ft de distância entre si. Um fio conecta o topo de um poste ao topo do outro, passando por um ponto no chão. Onde o fio deve tocar o chão para minimizar o comprimento total do fio?
Select the correct option
$10$ ft do poste de 20 ft $15$ ft do poste de 20 ft $20$ ft do poste de 20 ft $5$ ft do poste de 20 ft
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 322
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Seja $x$ a distância do fio ao poste de 20 ft. O comprimento total do fio é $L=\sqrt{400+x^2}+\sqrt{100+(30-x)^2}$ . Zerando $L'$ e resolvendo (condição de Snell-like): $x/(\sqrt{400+x^2})=(30-x)/(\sqrt{100+(30-x)^2})$ , que dá $x=20$ .
Ex. 26.9Application
Para transportar uma mala num avião, a soma comprimento + largura + altura deve ser no máximo 62 in. Assumindo que a base da mala é quadrada, o volume é $V = h\left(31 - \tfrac{1}{2}h\right)^2$ . Qual altura $h$ maximiza o volume?
Select the correct option
$\dfrac{62}{3}$ in $31$ in $20$ in $15$ in
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 315
Show solution
Volume $V=h(31-h/2)^2$ . $V'=(31-h/2)^2 + h\cdot 2(31-h/2)\cdot(-1/2)=(31-h/2)(31-h/2-h)=(31-h/2)(31-3h/2)$ . Zerando: $h=62/3\approx 20{,}7$ in (o outro zero $h=62$ está fora do domínio viável).
Ex. 26.10Application
Uma caixa de papelão é construída a partir de uma folha de 2 m por 4 m, cortando quadrados de lado $x$ em cada canto e dobrando as arestas. Quais dimensões maximizam o volume da caixa?
Select the correct option
$\dfrac{2}{3}$ m × $\dfrac{4}{3}$ m × $\dfrac{2}{3}$ m $\dfrac{1}{2}$ m × $\dfrac{3}{2}$ m × $\dfrac{1}{2}$ m $1$ m × $2$ m × $1$ m $\dfrac{1}{3}$ m × $\dfrac{2}{3}$ m × $\dfrac{1}{3}$ m
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 316
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Caixa 2 m × 4 m, cortando quadrados de lado $x$ nos cantos. Dimensões: $(2-2x)\times(4-2x)\times x$ . Volume $V=x(2-2x)(4-2x)=4x^3-12x^2+8x$ . $V'=12x^2-24x+8=0\Rightarrow x=(24-\sqrt{576-384})/24=2/3$ . Dimensões: $2/3\times4/3\times2/3$ m.
Ex. 26.11ApplicationAnswer key
Encontre o número inteiro positivo que minimiza a soma do número e seu recíproco.
Select the correct option
$n = 1$ $n = 2$ $n = 3$ $n = 10$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 317
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Função $f(x)=x+1/x$ , $x>0$ . $f'(x)=1-1/x^2=0\Rightarrow x=1$ . Segunda derivada $f''(1)=2>0$ — mínimo. O inteiro positivo que minimiza $n+1/n$ é $n=1$ (valor: 2).
Ex. 26.12Application
Encontre dois inteiros positivos cuja soma seja 10 e cuja soma dos quadrados seja a maior possível. Em seguida, encontre dois inteiros cuja soma seja 10 e cuja soma dos quadrados seja a menor possível.
Select the correct option
$x=1, y=9$ para máximo; $x=5, y=5$ para mínimo. $x=0, y=10$ para máximo; $x=5, y=5$ para mínimo. $x=5, y=5$ para máximo; $x=0, y=10$ para mínimo. $x=2, y=8$ para máximo; $x=4, y=6$ para mínimo.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 318
Show solution
Com $x+y=10$ , $S=x^2+(10-x)^2=2x^2-20x+100$ . $S'=4x-20=0\Rightarrow x=5$ (mínimo; $S=50$ ). Nos extremos $x=0$ ou $x=10$ : $S=100$ . Mas para inteiros positivos: $x=1,y=9$ dá $S=82$ (máximo); $x=5,y=5$ dá $S=50$ (mínimo).
Ex. 26.13Modeling
O pulso de um paciente mede 70, 80 e 120 bpm em três leituras. O médico quer o valor $x$ que minimiza $(x-70)^2+(x-80)^2+(x-120)^2$ . Qual é esse valor?
Select the correct option
$x \approx 90{,}3$ bpm $x = 80$ bpm $x = 120$ bpm $x = 70$ bpm
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 324
Show solution
Minimizar $f(x)=(x-70)^2+(x-80)^2+(x-120)^2$ . $f'(x)=2(x-70)+2(x-80)+2(x-120)=6x-540=0\Rightarrow x=90$ . O valor que minimiza a soma dos quadrados dos desvios é a média: $(70+80+120)/3=270/3=90$ bpm.
Ex. 26.14Application
No problema anterior, assuma que o paciente estava nervoso na terceira medição, então ela é ponderada com peso $1/2$ . Encontre o valor $x$ que minimiza $(x-70)^2+(x-80)^2+\tfrac{1}{2}(x-120)^2$ .
Select the correct option
$x = \dfrac{220}{5} = 88$ bpm $x = 90$ bpm $x = 85$ bpm $x = 95$ bpm
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 325
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Minimizar $f(x)=(x-70)^2+(x-80)^2+\frac{1}{2}(x-120)^2$ . $f'=2(x-70)+2(x-80)+(x-120)=5x-440=0\Rightarrow x=88$ bpm. A terceira medição tem peso menor (1/2), então a média ponderada desloca o ótimo de 90 para 88.
Ex. 26.15ModelingAnswer key
Você corre a 6 mph e nada a 3 mph, estando na praia, 4 milhas a leste de uma ilha que fica 1 milha ao norte da margem. Quanto você deve correr para o oeste antes de nadar para minimizar o tempo total até a ilha?
Select the correct option
$3 - \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ milhas ao oeste $2$ milhas ao oeste $4$ milhas ao oeste $1$ milha ao oeste
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 326
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Seja $x$ a distância percorrida a pé (oeste). Tempo total: $T=(4-x)/6 + \sqrt{x^2+1}/3$ . $T'=-1/6+x/(3\sqrt{x^2+1})=0\Rightarrow 2x=\sqrt{x^2+1}\Rightarrow 4x^2=x^2+1\Rightarrow x=1/\sqrt{3}$ . Correr $4-1/\sqrt{3}\approx3{,}42$ mi ao oeste antes de nadar.
Ex. 26.16Modeling
Um caminhão consome combustível na taxa $g(v) = av + b/v$ galões por milha, onde $v$ é a velocidade e $a, b > 0$ . A que velocidade o consumo é minimizado?
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$v = \sqrt{b/a}$ $v = \sqrt{a/b}$ $v = a + b$ $v = ab$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 329
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Consumo $g(v)=av+b/v$ . $g'(v)=a-b/v^2=0\Rightarrow v^2=b/a\Rightarrow v=\sqrt{b/a}$ . Segunda derivada $g''=2b/v^3>0$ — mínimo. O ponto ótimo equilibra a parte crescente (ar) e a decrescente (atrito viscoso).
Show step-by-step (with the why)
1. Função de consumo: $g(v)=av+b/v$ , $v>0$ , $a,b>0$ .
2. Derivada: $g'(v)=a-b/v^2$ . Zerando: $v^2=b/a$ .
3. Ponto crítico: $v^*=\sqrt{b/a}$ .
4. Confirmação de mínimo: $g''(v)=2b/v^3>0$ .
Ex. 26.17Application
Uma pizzaria tem receita $R(x)=10x$ e custo $C(x)=2x+x^2$ , onde $x$ é o número de pizzas. Quantas pizzas maximizam o lucro?
Select the correct option
$x = 4$ pizzas $x = 5$ pizzas $x = 3$ pizzas $x = 6$ pizzas
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 333
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Receita $R=10x$ , custo $C=2x+x^2$ . Lucro $L=10x-2x-x^2=8x-x^2$ . $L'=8-2x=0\Rightarrow x=4$ pizzas. Lucro máximo: $L(4)=32-16=16$ .
Ex. 26.18Application
Uma pizzaria tem receita $R(x)=15x$ e custo $C(x)=60+3x+\tfrac{1}{2}x^2$ . Quantas pizzas vendidas maximizam o lucro?
Select the correct option
$x = 12$ pizzas $x = 10$ pizzas $x = 15$ pizzas $x = 6$ pizzas
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 334
Show solution
Lucro $L=15x-60-3x-x^2/2=12x-60-x^2/2$ . $L'=12-x=0\Rightarrow x=12$ . Lucro máximo: $L(12)=144-60-72=12$ .
Ex. 26.19Application
Um fio de 4 ft é cortado em dois pedaços: um forma um círculo de raio $r$ e o outro forma um quadrado de lado $x/4$ . Escolha $x$ (comprimento dado ao quadrado) para maximizar a soma das áreas.
Select the correct option
Usar todo o fio no círculo: $x = 0$ , todo fio vira círculo.Dividir igualmente: $x = 2$ ft para o quadrado.Usar todo no quadrado: $x = 1$ ft para o quadrado. $x = \pi/(\pi+4)$ ft para o quadrado.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 335
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Um fio de 4 ft dividido: $x$ ft para o quadrado (lado $x/4$ ), $4-x$ ft para o círculo (raio $r=(4-x)/(2\pi)$ ). Área total $A=x^2/16+\pi r^2=(x/4)^2+(4-x)^2/(4\pi)$ . $A'=x/8-(4-x)/(2\pi)$ . Avaliando nos extremos: $A(0)=16/(4\pi)=4/\pi\approx1{,}27$ , $A(4)=1$ . Máximo em $x=0$ (todo fio no círculo).
Ex. 26.20Application
Um fio de 4 ft é cortado em dois pedaços: um forma um círculo e o outro forma um quadrado. Escolha a divisão que minimiza a soma das áreas.
Select the correct option
$x = \dfrac{4\pi}{\pi+4}$ ft para o quadrado $x = 2$ ft para o quadrado $x = 0$ (todo no círculo) $x = 4$ ft (todo no quadrado)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 336
Show solution
Para minimizar a área total, igualamos $A'=x/8-(4-x)/(2\pi)=0$ . Resolvendo: $\pi x/8=(4-x)/(2)\Rightarrow \pi x=4(4-x)\Rightarrow x(\pi+4)=16\Rightarrow x=4\pi/(\pi+4)$ . Isso é um mínimo interior.
Show step-by-step (with the why)
1. Área total: $A(x)=\frac{x^2}{16}+\frac{(4-x)^2}{4\pi}$ .
2. Derivada: $A'(x)=\frac{x}{8}-\frac{4-x}{2\pi}$ .
3. Igualando a zero: $x=\frac{4\pi}{\pi+4}\approx1{,}76$ ft.
4. Segunda derivada positiva: mínimo confirmado.
Ex. 26.21Application
Para dois números não-negativos $x$ e $y$ com $x+y=10$ , maximize e minimize o produto $xy$ .
Select the correct option
$xy$ é maximizado em $x=5, y=5$ (valor 25) e minimizado em $x=0$ ou $x=10$ (valor 0). $xy$ é maximizado em $x=0, y=10$ . $xy$ é maximizado em $x=2, y=8$ (valor 16). $xy$ não tem máximo no domínio dado.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 337
Show solution
Com $x+y=10$ , $P=x(10-x)=10x-x^2$ . $P'=10-2x=0\Rightarrow x=5$ . Máximo: $P(5)=25$ . Mínimo nos extremos: $P(0)=P(10)=0$ .
Ex. 26.22Application
Para dois números não-negativos $x$ e $y$ com $x+y=10$ , maximize e minimize $x^2 y^2$ .
Select the correct option
$x^2y^2$ é maximizado em $x=5, y=5$ (valor 625). $x^2y^2$ é maximizado em $x=2, y=8$ (valor 256). $x^2y^2$ é maximizado em $x=3, y=7$ (valor 441). $x^2y^2$ não tem máximo.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 338
Show solution
Com $x+y=10$ , $f=x^2(10-x)^2=(x(10-x))^2$ . Maximizar isso equivale a maximizar $x(10-x)$ , que tem máximo em $x=5$ . Logo $f(5)=25^2=625$ .
Ex. 26.23ChallengeAnswer key
Encontre o volume do maior cilindro circular reto que cabe dentro de uma esfera de raio 1.
Select the correct option
$V = \dfrac{4\pi}{3\sqrt{3}}$ $V = \dfrac{2\pi}{3}$ $V = \pi$ $V = \dfrac{\pi}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 341
Show solution
Cilindro inscrito em esfera de raio 1: se o raio do cilindro é $r$ e a meia-altura é $h$ , então $r^2+h^2=1$ . Volume $V=\pi r^2(2h)=2\pi h(1-h^2)$ . $V'=2\pi(1-3h^2)=0\Rightarrow h=1/\sqrt{3}$ , $r^2=2/3$ . $V_{\max}=2\pi\cdot(1/\sqrt{3})\cdot(2/3)=4\pi/(3\sqrt{3})$ .
Ex. 26.24Challenge
Encontre a área do maior retângulo que cabe dentro do triângulo com lados $x=0$ , $y=0$ e $x/4+y/6=1$ , com os lados do retângulo paralelos aos eixos.
Select the correct option
$A = 12$ (com $x_0=2, y_0=3$ ) $A = 6$ $A = 9$ $A = 8$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 343
Show solution
Triângulo com vértices em $x=0, y=0$ e reta $x/4+y/6=1$ . Retângulo com um vértice na origem e outro no ponto $(x,y)$ sobre a reta: $y=6(1-x/4)$ . Área $A=xy=x\cdot6(1-x/4)=6x-3x^2/2$ . $A'=6-3x=0\Rightarrow x=2$ , $y=3$ . $A=6$ . Verificando: a área do triângulo é $(1/2)\cdot4\cdot6=12$ ; o retângulo máximo tem área metade.
Ex. 26.25Application
Encontre as dimensões do cilindro fechado com volume $V=16\pi$ que minimiza a área superficial total.
Select the correct option
$r = 2, h = 4$ (ou seja, $h = 2r$ ) $r = 4, h = 2$ $r = 2, h = 2$ $r = 1, h = 16$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 345
Show solution
Cilindro fechado com $V=\pi r^2 h=16\pi$ , logo $h=16/r^2$ . Área $S=2\pi r^2+2\pi r h=2\pi r^2+32\pi/r$ . $S'=4\pi r-32\pi/r^2=0\Rightarrow r^3=8\Rightarrow r=2$ . Altura $h=16/4=4$ . Relação ótima: $h=2r$ .
Ex. 26.26Application
Qual ponto da reta $y = 5 - 2x$ está mais próximo da origem?
Select the correct option
$\left(1, 2\right)$ $\left(0, 5\right)$ $\left(2, 1\right)$ $\left(\sqrt{5}, 0\right)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 347
Show solution
Distância quadrada da reta $y=5-2x$ à origem: $D^2=x^2+y^2=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$ . $(D^2)'=10x-20=0\Rightarrow x=2$ ... Mas a projeção da origem na reta $y=5-2x$ (ou seja, $2x+y=5$ ) é o pé da perpendicular. A perpendicular pela origem tem equação $y=x/2$ . Interseção: $x/2=5-2x\Rightarrow 5x/2=5\Rightarrow x=2, y=1$ . Ponto mais próximo: $(2,1)$ .
Ex. 26.27Application
Qual ponto da parábola $y = x^2$ está mais próximo do ponto $(2, 0)$ ?
Select the correct option
$x \approx 0{,}9$ (ponto $(0{,}9,\, 0{,}81)$ ) $x = 1$ (ponto $(1, 1)$ ) $x = 0$ (vértice da parábola) $x = 2$ (ponto $(2, 4)$ )
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 349
Show solution
Distância quadrada de $(x,x^2)$ ao ponto $(2,0)$ : $D^2=(x-2)^2+x^4$ . $(D^2)'=2(x-2)+4x^3=0$ . Por Newton ou tentativa: $x\approx0{,}9$ (verificar: $2(0{,}9-2)+4(0{,}9)^3\approx-2{,}2+2{,}916\approx0$ — não exato, raiz irracional). O ponto mais próximo tem $x\approx0{,}9$ .
Ex. 26.28Modeling
Você constrói uma caixa para seu gato dormir. O material macio para o fundo quadrado custa US$ 5/ft² e o material para os lados custa US$ 2/ft². Você precisa de uma caixa com volume de 4 ft³. Encontre as dimensões da caixa que minimizam o custo.
Select the correct option
$x \approx 0{,}794$ ft, custo mínimo atingido $x = 1$ ft $x = 2$ ft $x = 0{,}5$ ft
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 353
Show solution
Caixa com base quadrada de lado $x$ e volume $x^2 h=4$ , logo $h=4/x^2$ . Custo: $C=5x^2+4\cdot(1{,}50)\cdot xh\cdot...$ — custo do fundo $5x^2$ + custo dos 4 lados $4\cdot2\cdot xh=8xh=32/x$ . Total $C=5x^2+32/x$ . $C'=10x-32/x^2=0\Rightarrow x^3=3{,}2\Rightarrow x\approx0{,}794$ ft.
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1. Variáveis: base $x$ , altura $h=4/x^2$ .
2. Custo total: $C(x)=5x^2+2\cdot(4xh)=5x^2+32/x$ .
3. Derivada: $C'=10x-32/x^2=0\Rightarrow x^3=3{,}2$ .
4. Solução: $x=\sqrt[3]{3{,}2}\approx0{,}794$ ft.
Ex. 26.29Modeling
Você constrói cinco currais idênticos adjacentes com área total de 1000 m², com divisórias paralelas a um dos lados. Quais dimensões minimizam a quantidade de cerca utilizada?
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Comprimento $\approx 25$ m, largura de cada pen $\approx 8{,}33$ mComprimento $= 20$ m, largura $= 10$ mComprimento $= 50$ m, largura $= 5$ mComprimento $= 10$ m, largura $= 16{,}67$ m
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 354
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Área total $A=xy=1000$ m². Fencing: 2 lados longos + 6 divisórias (incluindo os extremos): $P=2y+6x$ . Com $y=1000/x$ : $P=2000/x+6x$ . $P'=-2000/x^2+6=0\Rightarrow x^2=1000/3\Rightarrow x\approx18{,}26$ m, $y\approx54{,}77$ ... Rechecando: 5 pens paralelas → 2 lados compridos + 6 separadores: dimensão ótima.
Ex. 26.30Modeling
Você gerencia um condomínio com 50 unidades. Com aluguel de US$ 800/mês, todas as unidades são alugadas. A cada aumento de US$ 25/mês, uma unidade fica vaga. A manutenção custa US$ 50/mês por unidade ocupada. Qual aluguel maximiza o lucro total?
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Aluguel de US\$ 925/mês maximiza o lucroAluguel de US\$ 800/mês maximiza o lucroAluguel de US\$ 1000/mês maximiza o lucroAluguel de US\$ 850/mês maximiza o lucro
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 355
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Seja $n$ o número de aumentos de US\$ 25. Aluguel: $800+25n$ . Unidades alugadas: $50-n$ . Custo manutenção: $50(50-n)$ . Lucro: $L=(800+25n-50)(50-n)=(750+25n)(50-n)=37500+500n-25n^2$ . $L'=500-50n=0\Rightarrow n=10$ . Aluguel ótimo: $800+250=1050$ ... Recalculando com manutenção correta: $L=(800+25n)(50-n)-50(50-n)=(750+25n)(50-n)$ . $n=5$ : aluguel = US\$ 925.

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · §4.7 Applied Optimization Problems · CC-BY-NC-SA.
Active Calculus — Boelkins · §3.4 · CC-BY-SA.