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Lição 27 — Regra de L'Hôpital e Formas Indeterminadas

Regra de L'Hôpital para formas indeterminadas 0/0 e ∞/∞. Extensão às formas 0·∞, ∞−∞, 0⁰, 1^∞ e ∞⁰ via logaritmos e álgebra de limites.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 3 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \quad \left(\text{forma } \frac{0}{0} \text{ ou } \frac{\infty}{\infty}\right)

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Exemplos

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 3Challenge 1

Ex. 27.1Application
Calcule $\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x}$ .
Select the correct option
$+\infty$ $1$ $0$ $e$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 356
Show solution
Forma $\infty/\infty$ : aplique L'Hôpital repetidamente. $\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x}$ — derivando numerador e denominador: $\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{1}=+\infty$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Verifique a forma: $e^x\to\infty$ e $x\to\infty$ , forma $\infty/\infty$ . L'Hôpital se aplica.
2. Derive numerador e denominador: $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ , $\frac{d}{dx}x=1$ .
3. Novo limite: $\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{1}=+\infty$ .
Ex. 27.2Application
Para $k$ inteiro positivo fixo, calcule $\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^k}$ .
Select the correct option
$+\infty$ $0$ $k$ $1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 357
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . Aplicando L'Hôpital $k$ vezes consecutivas ao numerador $e^x$ e denominador $x^k$ : cada derivada de $e^x$ é $e^x$ e cada derivada de $x^k$ reduz o grau. Após $k$ aplicações obtemos $\lim_{x\to\infty}e^x/k!=+\infty$ .
Ex. 27.3Application
Para $k$ inteiro positivo fixo, calcule $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^k}$ .
Select the correct option
$0$ $1$ $k$ $+\infty$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 358
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . L'Hôpital: $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^k}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{kx^{k-1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{kx^k}=0$ . O logaritmo cresce mais devagar que qualquer potência positiva.
Ex. 27.4Application
Para $a\neq 0$ , calcule $\lim_{x\to a}\frac{x-a}{x^2-a^2}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{2a}$ $\dfrac{1}{a}$ $0$ $2a$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 359
Show solution
Forma $0/0$ pois numerador e denominador se anulam em $x=a$ . L'Hôpital: derivando numerador $1$ e denominador $2x$ , obtemos $\lim_{x\to a}\frac{1}{2x}=\frac{1}{2a}$ .
Ex. 27.5Application
Para $a\neq 0$ , calcule $\lim_{x\to a}\frac{x-a}{x^3-a^3}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{3a^2}$ $\dfrac{1}{2a}$ $\dfrac{1}{a^2}$ $0$
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 360
Show solution
Forma $0/0$ . L'Hôpital: $\lim_{x\to a}\frac{1}{3x^2}=\frac{1}{3a^2}$ . Alternativamente, fatore $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$ e cancele.
Ex. 27.6Application
Para $a\neq 0$ e $n$ inteiro positivo, calcule $\lim_{x\to a}\frac{x-a}{x^n-a^n}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{na^{n-1}}$ $\dfrac{1}{a^{n-1}}$ $na^{n-1}$ $0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 361
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Forma $0/0$ . L'Hôpital: deriva numerador em 1, denominador em $nx^{n-1}$ . Limite: $\frac{1}{na^{n-1}}$ . Confirme pela fatoração $x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+\cdots+a^{n-1})$ .
Ex. 27.7Understanding
É possível aplicar L'Hôpital diretamente a $\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x$ ? Explique e indique como reformular.
Select the correct option
Não — forma $0\cdot\infty$ , mas pode reescrever como $0/0$ ou $\infty/\infty$ Sim — é diretamente forma $0/0$ Sim — é diretamente forma $\infty/\infty$ Não — L'Hôpital nunca se aplica quando há logaritmo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 362
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$\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x$ é forma $0\cdot(-\infty)$ . L'Hôpital não se aplica diretamente. Reescreva: $x^2\ln x=\frac{\ln x}{1/x^2}$ , forma $-\infty/\infty$ . Agora L'Hôpital se aplica e o limite é 0.
Ex. 27.8Understanding
É possível aplicar L'Hôpital diretamente a $\lim_{x\to\infty}x^{1/x}$ ? Explique e indique como reformular.
Select the correct option
Não — forma $\infty^0$ ; tome logaritmo para reduzir a $0/0$ Sim — é diretamente $\infty/\infty$ Sim — é diretamente $0/0$ Não — L'Hôpital nunca se aplica a potências
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 363
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$\lim_{x\to\infty}x^{1/x}$ é forma $\infty^0$ . Tome logaritmo: $\ln(x^{1/x})=\frac{\ln x}{x}$ , que é $\infty/\infty$ . L'Hôpital: $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$ . Logo o limite original é $e^0=1$ .
Ex. 27.9Application
Calcule $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$ .
Select the correct option
$6$ $0$ $3$ $9$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 367
Show solution
Forma $0/0$ : numerador $x^2-9=(x-3)(x+3)\to 0$ e denominador $x-3\to 0$ . L'Hôpital ou fatoração: $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\to 6$ .
Ex. 27.10Application
Calcule $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x+3}$ .
Select the correct option
$0$ $6$ $-6$ $3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 368
Show solution
Para $x\to 3$ : numerador $x^2-9\to 0$ e denominador $x+3\to 6\neq 0$ . Limite por substituição direta: $0/6=0$ . Não é forma indeterminada; L'Hôpital não é necessário.
Ex. 27.11Application
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{-2}-1}{x}$ .
Select the correct option
$-2$ $0$ $-1$ $2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 369
Show solution
Forma $0/0$ . L'Hôpital: deriva numerador $-2(1+x)^{-3}$ , denominador $1$ . Em $x=0$ : $-2(1)^{-3}=-2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Verifique: $(1+0)^{-2}-1=0$ e denominador $0$ . Forma $0/0$ .
2. Deriva numerador: $\frac{d}{dx}(1+x)^{-2}=-2(1+x)^{-3}$ .
3. Deriva denominador: $\frac{d}{dx}x=1$ .
4. Limite: $-2(1+0)^{-3}=-2$ .
Ex. 27.12Application
Calcule $\lim_{x\to\pi/2}\frac{\cos x}{\pi/2-x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $\pi/2$ $-1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 370
Show solution
Forma $0/0$ : $\cos(\pi/2)=0$ e $\pi/2-\pi/2=0$ . L'Hôpital: $\frac{-\sin x}{-1}=\sin x\to\sin(\pi/2)=1$ .
Ex. 27.13ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x\to\pi}\frac{x-\pi}{\sin x}$ .
Select the correct option
$-1$ $0$ $1$ $\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 371
Show solution
Forma $0/0$ : $x-\pi\to 0$ e $\sin\pi=0$ . L'Hôpital: $\frac{1}{\cos x}\to\frac{1}{\cos\pi}=\frac{1}{-1}=-1$ .
Ex. 27.14ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^n-1}{x}$ para $n$ inteiro positivo.
Select the correct option
$n$ $0$ $1$ $n!$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 373
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Forma $0/0$ . L'Hôpital: deriva numerador $n(1+x)^{n-1}$ , denominador $1$ . Em $x=0$ : $n(1+0)^{n-1}=n$ . Isso confirma a fórmula da derivada de $(1+x)^n$ em 0.
Ex. 27.15Application
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^n-1-nx}{x^2}$ para $n$ inteiro positivo.
Select the correct option
$\dfrac{n(n-1)}{2}$ $n$ $n^2$ $0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 374
Show solution
Forma $0/0$ . 1ª L'Hôpital: $\frac{n(1+x)^{n-1}-n}{2x}$ , ainda $0/0$ . 2ª: $\frac{n(n-1)(1+x)^{n-2}}{2}\to\frac{n(n-1)}{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Verifique forma $0/0$ : numerador e denominador são 0 em $x=0$ .
2. 1ª L'Hôpital: numerador $\to n(1+x)^{n-1}-n$ , denominador $\to 2x$ . Ainda $0/0$ .
3. 2ª L'Hôpital: $\frac{n(n-1)(1+x)^{n-2}}{2}$ .
4. Em $x=0$ : $\frac{n(n-1)}{2}$ .
Ex. 27.16Application
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$ .
Select the correct option
$-\dfrac{1}{2}$ $0$ $\dfrac{1}{3}$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 375
Show solution
Forma $0/0$ . 1ª L'Hôpital: $\frac{\cos x-\sec^2 x}{3x^2}$ , ainda $0/0$ . 2ª: $\frac{-\sin x-2\sec^2 x\tan x}{6x}$ , ainda $0/0$ . 3ª: $\frac{-\cos x - \ldots}{6}\to\frac{-1}{6}-\frac{2}{6}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$ .
Ex. 27.17ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $\dfrac{1}{2}$ $2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 376
Show solution
Forma $0/0$ . L'Hôpital: deriva numerador $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ , denominador $1$ . Em $x=0$ : $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ .
Ex. 27.18ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-x-1}{x^2}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}$ $1$ $0$ $e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 377
Show solution
Forma $0/0$ . 1ª L'Hôpital: $\frac{e^x-1}{2x}$ , ainda $0/0$ . 2ª: $\frac{e^x}{2}\to\frac{1}{2}$ .
Ex. 27.19Application
Calcule $\lim_{x\to 0^+}\frac{\tan x}{x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $\tan 0 = 0$ $+\infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 378
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Limite fundamental: $\lim_{x\to 0^+}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\cdot 1=1$ . Alternativamente, L'Hôpital: $\frac{\sec^2 x}{1}\to 1$ .
Ex. 27.20Application
Calcule $\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{\ln x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $e$ $\ln 1 = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 379
Show solution
Forma $0/0$ : $x-1\to 0$ e $\ln x\to 0$ quando $x\to 1$ . L'Hôpital: $\frac{1}{1/x}=x\to 1$ .
Ex. 27.21Application
Calcule $\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}$ .
Select the correct option
$e$ $1$ $0$ $+\infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 380
Show solution
Forma $1^\infty$ . Tome logaritmo: $L=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$ . L'Hôpital: $\frac{1/(1+x)}{1}\to 1$ . Logo o limite original é $e^1=e$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique forma $1^\infty$ : base $1+x\to 1$ , expoente $1/x\to\infty$ .
2. Tome $y=(1+x)^{1/x}$ e calcule $\lim_{x\to 0}\ln y=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$ .
3. L'Hôpital: $\frac{1/(1+x)}{1}\to 1$ .
4. Logo $\lim y=e^1=e$ .
Ex. 27.22ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x\to 1}\frac{x-x^3}{x-1}$ .
Select the correct option
$-2$ $0$ $1$ $2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 381
Show solution
Forma $0/0$ . L'Hôpital: $\frac{1-3x^2}{1}\to 1-3=1-3$ . Em $x=1$ : $1-3(1)^2=1-3=-2$ .
Ex. 27.23Application
Calcule $\lim_{x\to 0^+}x^{2x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $+\infty$ $e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 382
Show solution
Forma $0^0$ . Tome logaritmo: $\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/(2x)}=\lim_{x\to 0^+}2x\ln x=2\cdot 0=0$ . Confirmando pelo limite fundamental $\lim x\ln x=0$ . Logo o limite original é $e^0=1$ .
Ex. 27.24ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x\to\infty}x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $\sin 0 = 0$ $+\infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 383
Show solution
Limite fundamental clássico. Faça $t=1/x\to 0$ quando $x\to\infty$ : $x\sin(1/x)=\frac{\sin t}{t}\to 1$ .
Ex. 27.25Application
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^2}$ .
Select the correct option
$0$ $-1$ $1$ $-\dfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 384
Show solution
Forma $0/0$ . 1ª L'Hôpital: $\frac{\cos x-1}{2x}$ , ainda $0/0$ . 2ª: $\frac{-\sin x}{2}\to 0$ .
Ex. 27.26Application
Calcule $\lim_{x\to 0^+}x\ln(x^4)$ .
Select the correct option
$0$ $-\infty$ $4\ln 4$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 385
Show solution
Forma $0\cdot(-\infty)$ . Reescreva: $x\ln(x^4)=\frac{4\ln x}{1/x}$ , forma $-\infty/\infty$ . L'Hôpital: $\frac{4/x}{-1/x^2}=-4x\to 0$ .
Ex. 27.27ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x\to\infty}x^2 e^{-x}$ .
Select the correct option
$0$ $-\infty$ $+\infty$ $e$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 387
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . Reescreva: $x^2e^{-x}=x^2/e^x$ . L'Hôpital duas vezes: $x^2/e^x\to 2x/e^x\to 2/e^x\to 0$ .
Ex. 27.28Application
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{3^x-2^x}{x}$ .
Select the correct option
$\ln 3 - \ln 2$ $0$ $1$ $\ln(3/2)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 388
Show solution
Forma $0/0$ : $3^0-2^0=0$ . L'Hôpital: $\frac{3^x\ln 3-2^x\ln 2}{1}\to\ln 3-\ln 2=\ln(3/2)$ . As duas opções corretas são equivalentes: $\ln 3-\ln 2=\ln(3/2)$ .
Ex. 27.29Understanding
L'Hôpital se aplica diretamente a $\lim_{x\to 0}\frac{1+1/x}{1-1/x}$ ? Calcule o limite.
Select the correct option
Não — L'Hôpital não se aplica; limite é $-1$ Sim — forma $\infty/\infty$ e resultado é 0Sim — forma $0/0$ e resultado é 1Não — o limite não existe
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 389
Show solution
$\lim_{x\to 0}\frac{1+1/x}{1-1/x}=\lim_{x\to 0}\frac{x+1}{x-1}$ (após multiplicar por $x/x$ ). Substituição: $\frac{0+1}{0-1}=-1$ . Não é forma indeterminada — L'Hôpital não é necessário.
Ex. 27.30Challenge
Calcule $\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ .
Select the correct option
$e^{-1}$ $e$ $0$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 395
Show solution
Forma $1^\infty$ . Tome logaritmo: $L=\lim_{x\to\infty}x\ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right)$ . Faça $t=1/x\to 0^+$ : $L=\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1-t)}{t}$ . L'Hôpital: $\frac{-1/(1-t)}{1}\to -1$ . Logo o limite é $e^{-1}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique forma $1^\infty$ : base $(1-1/x)\to 1$ , expoente $x\to\infty$ .
2. Tome logaritmo: $\ln y=x\ln(1-1/x)$ .
3. Substitua $t=1/x$ : $\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1-t)}{t}$ , forma $0/0$ .
4. L'Hôpital: $\frac{-1/(1-t)}{1}\to -1$ .
5. Logo $\lim y=e^{-1}=1/e$ .