Lição 29 — Método de Newton-Raphson

Escreva a fórmula de Newton para resolver $f(x) = 0$ e analise a convergência quando $f(x) = x^2 + 1$.

Escreva a fórmula de iteração de Newton para $f(x) = x^3 + 2x + 1$.

Escreva a fórmula de iteração de Newton para $f(x) = \sin x$.

Use o método de Newton para resolver $x^2 - 10 = 0$ com precisão de quatro casas decimais. Qual é o resultado?

Use o método de Newton para resolver $x^4 - 100 = 0$ com precisão de quatro casas decimais. Qual é $\sqrt[4]{100}$?

Use o método de Newton para resolver $x^3 - x = 0$ com precisão de quatro casas decimais, partindo de $x_0 = 0{,}1$. Quais são as raízes não nulas?

Use o método de Newton para resolver $x + 5\cos(x) = 0$ com precisão de quatro casas decimais. Qual é a raiz?

Resolva $x + \tan(x) = 0$ com $x_0 \in (-\pi/2, \pi/2)$ usando o método de Newton com precisão de quatro casas decimais. Qual é a raiz?

Use o método de Newton para encontrar o ponto fixo de $f(x) = \sin x$ (onde $f(x) = x$), arredondando para três casas decimais.

Use o método de Newton para encontrar o ponto fixo de $\tan(x)$ no intervalo $x \in (\pi/2,\, 3\pi/2)$, arredondando para três casas decimais.

Use o método de Newton para encontrar o ponto fixo de $f(x) = e^x - 2$, arredondando para três casas decimais.

O método de Newton pode ser usado para encontrar máximos e mínimos de funções, aplicando-o à derivada $f'(x) = 0$. Mostre que, para encontrar pontos críticos de $f(x)$, a iteração de Newton é:

Use o método de Newton aplicado a $f'(x)$ para encontrar o mínimo local de $f(x) = x^2 + 2x + 4$, arredondando para três casas decimais.

Use o método de Newton aplicado a $f'(x)$ para encontrar o mínimo local de $f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 16$, arredondando para três casas decimais.

Use o método de Newton aplicado a $f'(x)$ para encontrar o mínimo local de $f(x) = x^2 e^x$, arredondando para três casas decimais.

Use o método de Newton aplicado a $f'(x)$ para encontrar o máximo local de $f(x) = x + 1/x$, arredondando para três casas decimais.

Use o método de Newton para encontrar o mínimo local mais próximo de $x=0$ (não nulo) de $f(x) = x^2 \sin x$, arredondando para três casas decimais.

Use o método de Newton para encontrar o mínimo local de $f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + 12x + 6$, arredondando para três casas decimais.

Use o método de Newton para tentar resolver $x^2 + 2 = 0$. O que acontece e por quê?

Use o método de Newton para tentar resolver $0 = e^x$. O que acontece?

Use o método de Newton para resolver $0 = 1 + x^2$ partindo de $x_0 = 0$. O que ocorre?

Use o método da secante para encontrar uma raiz de $0 = x^2 - x - 3$ com precisão de três casas decimais.

Use o método da secante para encontrar uma raiz de $0 = \sin x + 3x$ com precisão de quatro casas decimais.

Use o método da secante para encontrar uma raiz de $0 = e^x - 2$ com precisão de quatro casas decimais.

Use tanto o método de Newton quanto o método da secante para calcular a raiz de $f(x) = x^2 + 2x + 1$ partindo de $x_0 = 1$. Qual método converge mais rápido para atingir três casas decimais de precisão?

Use tanto o método de Newton quanto o método da secante para calcular a raiz de $f(x) = x^2$ partindo de $x_0 = 1$. Quantas iterações cada método precisa para atingir precisão de três casas decimais?

Use tanto o método de Newton quanto o método da secante para calcular a raiz de $f(x) = \sin x$ partindo de $x_0 = 1$. Quantas iterações cada método precisa para atingir três casas decimais?

Considere a equação de Kepler para órbitas planetárias: $M = E - \varepsilon \sin(E)$, onde $M$ é a anomalia média, $E$ é a anomalia excêntrica e $\varepsilon$ mede a excentricidade. Use o método de Newton para calcular $E$ quando $M = \pi/3$ e $\varepsilon = 0{,}25$; arredonde para três casas decimais.

Considere a equação de Kepler $M = E - \varepsilon \sin(E)$. Use o método de Newton para calcular $E$ quando $M = 3\pi/2$ e $\varepsilon = 0{,}8$; arredonde para três casas decimais.

O custo total para imprimir $x$ livros é $C(x) = 1000 + 12x + \frac{1}{2}x^{2/3}$. Use o método de Newton para encontrar o ponto de equilíbrio (break-even) se cada livro é vendido por US\ $20. Qual é a aproximação?