v1 · padrão canônico

Lição 29 — Método de Newton-Raphson

Método iterativo de Newton-Raphson para aproximação de raízes de equações. Interpretação geométrica via reta tangente, análise de convergência quadrática e critérios de parada.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 3 · USP MAC0105 · ITA MA-011

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exemplos

Example· Newton para otimização: mínimo de f(x) = x⁴ − x

Minimizar equivale a encontrar zero de $f'$ . Aqui, $F(x) = x^4 - x$ , então:

F'(x) = 4x^3 - 1 = 0 implies x = sqrt[3]{1/4} approx 0{,}6300.

Newton para $f = F'$ : $f'(x) = F''(x) = 12x^2$ .

x_{n+1} = x_n - rac{4x_n^3-1}{12x_n^2} = x_n - rac{x_n}{3} + rac{1}{12x_n^2} = rac{2x_n}{3} + rac{1}{12x_n^2}.

Com $x_0 = 0{,}5$ : $x_1 approx 0{,}667$ , $x_2 approx 0{,}630$ , $x_3 approx 0{,}6300$ . $\checkmark$

Fonte: REAMAT §5.2; Active Calculus §3.8, Exercício 3.8.3

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 4Modeling 4Challenge 2

Ex. 29.1Application
Escreva a fórmula de Newton para resolver $f(x) = 0$ e analise a convergência quando $f(x) = x^2 + 1$ .
Select the correct option
$x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^2 + 1}{2x_n}$ $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^2 - 1}{2x_n}$ $x_{n+1} = x_n + \dfrac{x_n^2 + 1}{2x_n}$ Newton não converge para $f(x) = x^2 + 1$ pois $f$ não tem raízes reais
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 406
Show solution
A fórmula de Newton seria $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2+1}{2x_n}$ . No entanto, $f(x)=x^2+1$ não tem raízes reais (discriminante negativo), portanto o método não converge para nenhuma raiz real.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x) = 2x$ .
2. Fórmula de Newton: $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2+1}{2x_n}$ .
3. Discriminante de $x^2+1=0$ : $\Delta = -4 < 0$ . Sem raízes reais — Newton diverge.
Ex. 29.2Application
Escreva a fórmula de iteração de Newton para $f(x) = x^3 + 2x + 1$ .
Select the correct option
$x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 + 2x_n + 1}{3x_n^2 + 2}$ $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 + 2x_n + 1}{3x_n^2}$ $x_{n+1} = x_n + \dfrac{x_n^3 + 2x_n + 1}{3x_n^2 + 2}$ $x_{n+1} = x_n - \dfrac{3x_n^2 + 2}{x_n^3 + 2x_n + 1}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 407
Show solution
Para $f(x)=x^3+2x+1$ , temos $f'(x)=3x^2+2$ . A iteração de Newton é $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3+2x_n+1}{3x_n^2+2}$ .
Ex. 29.3Application
Escreva a fórmula de iteração de Newton para $f(x) = \sin x$ .
Select the correct option
$x_{n+1} = x_n - \tan(x_n)$ $x_{n+1} = x_n - \dfrac{\sin(x_n)}{\cos(x_n)}$ $x_{n+1} = x_n + \dfrac{\sin(x_n)}{\cos(x_n)}$ $x_{n+1} = x_n - \sin(x_n)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 408
Show solution
Para $f(x) = \sin x$ , temos $f'(x) = \cos x$ . Logo $x_{n+1} = x_n - \frac{\sin x_n}{\cos x_n} = x_n - \tan x_n$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $f(x) = \sin x$ e $f'(x) = \cos x$ .
2. Substitua: $x_{n+1} = x_n - \frac{\sin x_n}{\cos x_n}$ .
3. Simplifique: $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ . Resultado: $x_{n+1} = x_n - \tan x_n$ .
Ex. 29.4ApplicationAnswer key
Use o método de Newton para resolver $x^2 - 10 = 0$ com precisão de quatro casas decimais. Qual é o resultado?
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$\sqrt{10} \approx 3{,}1623$ $\sqrt{10} \approx 3{,}1416$ $\sqrt{10} \approx 3{,}2000$ $\sqrt{10} \approx 3{,}0000$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 422
Show solution
Newton para $f(x)=x^2-10$ : $x_{n+1} = \frac{x_n + 10/x_n}{2}$ . Com $x_0=3$ : $x_1 = 3{,}1667$ , $x_2 \approx 3{,}1623$ , $x_3 \approx 3{,}16228$ . Resp: $\sqrt{10} \approx 3{,}1623$ .
Ex. 29.5Application
Use o método de Newton para resolver $x^4 - 100 = 0$ com precisão de quatro casas decimais. Qual é $\sqrt[4]{100}$ ?
Select the correct option
$\sqrt[4]{100} \approx 3{,}1623$ $\sqrt[4]{100} \approx 3{,}1416$ $\sqrt[4]{100} \approx 2{,}9000$ $\sqrt[4]{100} \approx 3{,}5000$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 423
Show solution
Newton para $f(x)=x^4-100$ : $f'(x)=4x^3$ , logo $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^4-100}{4x_n^3}$ . Com $x_0=3$ : converge para $100^{1/4}=10^{1/2}\approx 3{,}1623$ .
Ex. 29.6Application
Use o método de Newton para resolver $x^3 - x = 0$ com precisão de quatro casas decimais, partindo de $x_0 = 0{,}1$ . Quais são as raízes não nulas?
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$x \approx 0{,}0000$ e $x \approx 1{,}0000$ $x \approx -1{,}0000$ e $x \approx 1{,}0000$ $x \approx 0{,}5000$ $x \approx -2{,}0000$ e $x \approx 2{,}0000$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 425
Show solution
$f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$ , raízes em $x=0, 1, -1$ . Newton com $x_0=0{,}5$ converge para $x=0$ ; com $x_0=1{,}5$ converge para $x=1$ . As raízes não nulas são $x=\pm 1$ .
Ex. 29.7Application
Use o método de Newton para resolver $x + 5\cos(x) = 0$ com precisão de quatro casas decimais. Qual é a raiz?
Select the correct option
$x \approx -1{,}1721$ $x \approx -0{,}5000$ $x \approx -2{,}0000$ $x \approx 1{,}1721$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 426
Show solution
Newton para $f(x) = x + 5\cos x$ : $f'(x) = 1 - 5\sin x$ . Com $x_0 = -1$ : $x_1 \approx -1{,}1630$ , $x_2 \approx -1{,}1721$ . Resp: $x \approx -1{,}1721$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $f(x) = x + 5\cos x$ , $f'(x) = 1 - 5\sin x$ .
2. Iteração: $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n + 5\cos x_n}{1 - 5\sin x_n}$ .
3. Com $x_0 = -1$ : $x_1 \approx -1{,}163$ , $x_2 \approx -1{,}1721$ . Convergência rápida.
Ex. 29.8Application
Resolva $x + \tan(x) = 0$ com $x_0 \in (-\pi/2, \pi/2)$ usando o método de Newton com precisão de quatro casas decimais. Qual é a raiz?
Select the correct option
$x = 0$ é a única raiz real $x \approx 1{,}5708$ $x \approx -1{,}5708$ $x \approx 3{,}1416$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 427
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$f(x) = x + \tan x$ . Em $(-\pi/2, \pi/2)$ , $f(0)=0$ e $f'(x) = 1 + \sec^2 x \geq 2 > 0$ , portanto $f$ é estritamente crescente. A única raiz é $x=0$ .
Ex. 29.9ApplicationAnswer key
Use o método de Newton para encontrar o ponto fixo de $f(x) = \sin x$ (onde $f(x) = x$ ), arredondando para três casas decimais.
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Ponto fixo de $\sin x$ em $x \approx 0{,}000$ Ponto fixo de $\sin x$ em $x \approx 0{,}739$ Ponto fixo de $\sin x$ em $x \approx 1{,}000$ Ponto fixo de $\sin x$ em $x \approx \pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 432
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Para encontrar o ponto fixo de $\sin x$ , resolvemos $g(x) = \sin x - x = 0$ via Newton: $g'(x) = \cos x - 1$ . A única solução real é $x=0$ , pois $|\sin x| \leq |x|$ com igualdade somente em $x=0$ .
Ex. 29.10ApplicationAnswer key
Use o método de Newton para encontrar o ponto fixo de $\tan(x)$ no intervalo $x \in (\pi/2,\, 3\pi/2)$ , arredondando para três casas decimais.
Select the correct option
Ponto fixo de $\tan x$ em $(\pi/2, 3\pi/2)$ : $x \approx 4{,}493$ Ponto fixo de $\tan x$ em $(\pi/2, 3\pi/2)$ : $x \approx \pi \approx 3{,}142$ Ponto fixo de $\tan x$ em $(\pi/2, 3\pi/2)$ : $x \approx 2{,}000$ Não existe ponto fixo de $\tan x$ nesse intervalo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 433
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Ponto fixo: $\tan x = x$ , ou seja, $g(x) = \tan x - x = 0$ . Newton: $x_{n+1} = x_n - \frac{\tan x_n - x_n}{\sec^2 x_n - 1}$ . Com $x_0 = 4{,}5$ , converge para $x \approx 4{,}493$ .
Ex. 29.11Application
Use o método de Newton para encontrar o ponto fixo de $f(x) = e^x - 2$ , arredondando para três casas decimais.
Select the correct option
Ponto fixo de $e^x - 2$ em $x \approx 1{,}146$ Ponto fixo de $e^x - 2$ em $x \approx 0{,}693$ Ponto fixo de $e^x - 2$ em $x \approx 2{,}000$ Ponto fixo de $e^x - 2$ em $x \approx 0{,}500$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 434
Show solution
Queremos $e^x - 2 = x$ , ou seja, $g(x) = e^x - 2 - x = 0$ . Newton: $x_{n+1} = x_n - \frac{e^{x_n}-2-x_n}{e^{x_n}-1}$ . Com $x_0=1$ , converge para $x \approx 1{,}146$ .
Ex. 29.12Understanding
O método de Newton pode ser usado para encontrar máximos e mínimos de funções, aplicando-o à derivada $f'(x) = 0$ . Mostre que, para encontrar pontos críticos de $f(x)$ , a iteração de Newton é:
Select the correct option
$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$ $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ $x_{n+1} = x_n + \dfrac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$ $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f''(x_n)}{f'(x_n)}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 436
Show solution
Para encontrar pontos críticos de $f$ , aplicamos Newton à equação $f'(x)=0$ . Tratando $f'$ como a "função", sua derivada é $f''$ . A iteração de Newton fica $x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Queremos os zeros de $f'(x)$ .
2. Aplique Newton a $h(x)=f'(x)$ : $x_{n+1} = x_n - \frac{h(x_n)}{h'(x_n)}$ .
3. Como $h'(x)=f''(x)$ , o resultado é $x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$ .
Ex. 29.13Application
Use o método de Newton aplicado a $f'(x)$ para encontrar o mínimo local de $f(x) = x^2 + 2x + 4$ , arredondando para três casas decimais.
Select the correct option
Mínimo de $f(x) = x^2 + 2x + 4$ em $x = -1$ Mínimo de $f(x) = x^2 + 2x + 4$ em $x = 0$ Mínimo de $f(x) = x^2 + 2x + 4$ em $x = -2$ Mínimo de $f(x) = x^2 + 2x + 4$ em $x = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 438
Show solution
Newton em $f'(x) = 2x + 2$ : $f''(x)=2$ . Iteração: $x_{n+1} = x_n - \frac{2x_n+2}{2} = x_n - x_n - 1 = -1$ . O mínimo está em $x=-1$ (em uma iteração, pois $f'$ é linear).
Ex. 29.14Application
Use o método de Newton aplicado a $f'(x)$ para encontrar o mínimo local de $f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 16$ , arredondando para três casas decimais.
Select the correct option
Mínimo de $f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 16$ em $x \approx -0{,}444$ Mínimo de $f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 16$ em $x = 0$ Mínimo de $f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 16$ em $x \approx -1{,}000$ Não há mínimo local pois a função é cúbica
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 439
Show solution
$f'(x) = 9x^2 + 4x$ , $f''(x) = 18x + 4$ . Newton: $x_{n+1} = x_n - \frac{9x_n^2+4x_n}{18x_n+4}$ . Com $x_0 = -0{,}5$ : converge para $x \approx -0{,}444$ (raiz negativa de $f'$ ).
Ex. 29.15ApplicationAnswer key
Use o método de Newton aplicado a $f'(x)$ para encontrar o mínimo local de $f(x) = x^2 e^x$ , arredondando para três casas decimais.
Select the correct option
Mínimo de $f(x) = x^2 e^x$ em $x = -2$ Mínimo de $f(x) = x^2 e^x$ em $x = 0$ Mínimo de $f(x) = x^2 e^x$ em $x = -1$ Mínimo de $f(x) = x^2 e^x$ em $x = 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 440
Show solution
$f'(x) = e^x(x^2 + 2x) = xe^x(x+2)$ . Pontos críticos: $x=0$ (mínimo local, $f(0)=0$ ) e $x=-2$ (mínimo local, $f(-2)=4e^{-2}\approx 0{,}541$ ). Newton em $f'$ com $x_0=-2{,}5$ converge para $x=-2$ .
Ex. 29.16Application
Use o método de Newton aplicado a $f'(x)$ para encontrar o máximo local de $f(x) = x + 1/x$ , arredondando para três casas decimais.
Select the correct option
Máximo de $f(x) = x + 1/x$ em $x = -1$ Máximo de $f(x) = x + 1/x$ em $x = 1$ Máximo de $f(x) = x + 1/x$ em $x = 0{,}5$ Não há máximo local pois $f$ é contínua em $\mathbb{R} \setminus \{0\}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 441
Show solution
$f'(x) = 1 - 1/x^2$ . Raízes: $x = \pm 1$ . $f''(x) = 2/x^3$ : em $x=1$ , $f''>0$ (mínimo); em $x=-1$ , $f''<0$ (máximo). Newton com $x_0=-1{,}5$ converge para $x=-1$ .
Ex. 29.17Application
Use o método de Newton para encontrar o mínimo local mais próximo de $x=0$ (não nulo) de $f(x) = x^2 \sin x$ , arredondando para três casas decimais.
Select the correct option
Mínimo de $f(x) = x^2\sin x$ mais próximo de $x=0$ : $x \approx -2{,}029$ Mínimo de $f(x) = x^2\sin x$ mais próximo de $x=0$ : $x \approx 0{,}000$ Mínimo de $f(x) = x^2\sin x$ mais próximo de $x=0$ : $x \approx -\pi$ Mínimo de $f(x) = x^2\sin x$ mais próximo de $x=0$ : $x \approx -1{,}000$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 444
Show solution
$f'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$ . Newton em $f'$ com $x_0 \approx -2$ : o mínimo não nulo mais próximo é em $x \approx -2{,}029$ .
Ex. 29.18Application
Use o método de Newton para encontrar o mínimo local de $f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + 12x + 6$ , arredondando para três casas decimais.
Select the correct option
Mínimo de $f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + 12x + 6$ em $x \approx -1{,}658$ Mínimo de $f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + 12x + 6$ em $x \approx 0{,}000$ Mínimo de $f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + 12x + 6$ em $x \approx -3{,}000$ Mínimo de $f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + 12x + 6$ em $x \approx 1{,}000$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 445
Show solution
$f'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 6x + 12$ . Newton em $f'$ com $x_0 = -1{,}5$ : converge para $x \approx -1{,}658$ . Verifique: $f''(-1{,}658) > 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $f'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 6x + 12$ , $f''(x) = 12x^2 + 6x + 6$ .
2. Iteração: $x_{n+1} = x_n - \frac{4x_n^3+3x_n^2+6x_n+12}{12x_n^2+6x_n+6}$ .
3. Com $x_0 = -1{,}5$ : $x_1 \approx -1{,}654$ , $x_2 \approx -1{,}658$ .
Ex. 29.19Understanding
Use o método de Newton para tentar resolver $x^2 + 2 = 0$ . O que acontece e por quê?
Select the correct option
Newton não funciona pois $f(x) = x^2 + 2$ não tem raízes reaisNewton converge para $x \approx 1{,}414$ Newton converge para $x = 0$ Newton diverge mas por outro motivo: $f'(x_n) = 0$ em algum passo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 446
Show solution
$f(x) = x^2 + 2 > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . Sem raízes reais, Newton gera iterados $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2+2}{2x_n}$ que divergem (a sequência cresce sem cota).
Ex. 29.20Understanding
Use o método de Newton para tentar resolver $0 = e^x$ . O que acontece?
Select the correct option
Newton não funciona pois $e^x > 0$ para todo $x$ , logo $e^x = 0$ não tem solução realNewton converge para $x \to -\infty$ Newton converge para $x = 0$ Newton converge para $x \approx -10$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 447
Show solution
$e^x > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . A equação $0 = e^x$ não tem solução real. Newton produz $x_{n+1} = x_n - \frac{e^{x_n}}{e^{x_n}} = x_n - 1$ , uma sequência que vai para $-\infty$ sem convergir.
Ex. 29.21UnderstandingAnswer key
Use o método de Newton para resolver $0 = 1 + x^2$ partindo de $x_0 = 0$ . O que ocorre?
Select the correct option
Newton não converge: partindo de $x_0=0$ , temos $f'(0)=0$ e a iteração é indefinidaNewton converge para $x \approx 1{,}414$ em poucos passosNewton converge para $x = 0$ pois $f(0) = 1$ Newton converge para $x = -1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 448
Show solution
Para $f(x) = 1 + x^2$ , temos $f'(x) = 2x$ . Com $x_0 = 0$ , $f'(x_0) = 0$ : divisão por zero na fórmula de Newton. Além disso, $f$ não tem raízes reais.
Ex. 29.22Application
Use o método da secante para encontrar uma raiz de $0 = x^2 - x - 3$ com precisão de três casas decimais.
Select the correct option
$x \approx 1{,}303$ (raiz de $x^2 - x - 3 = 0$ ) $x \approx -1{,}303$ $x \approx 2{,}303$ $x \approx 0{,}000$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 450
Show solution
Método da secante para $f(x) = x^2 - x - 3$ . Com $x_0 = 2, x_1 = 1{,}5$ : $x_2 = x_1 - f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)} \approx 1{,}308$ , convergindo para $x \approx 1{,}303$ . (Raiz positiva: fórmula quadrática dá $(1+\sqrt{13})/2 \approx 2{,}303$ ; a raiz negativa é $(1-\sqrt{13})/2 \approx -1{,}303$ ; verifique o sinal de $f$ no intervalo de busca.)
Ex. 29.23Application
Use o método da secante para encontrar uma raiz de $0 = \sin x + 3x$ com precisão de quatro casas decimais.
Select the correct option
$x = 0$ (única raiz de $\sin x + 3x = 0$ na reta real) $x \approx 1{,}047$ $x \approx 0{,}785$ $x \approx -0{,}785$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 451
Show solution
$f(x) = \sin x + 3x$ . Note que $f'(x) = \cos x + 3 \geq 2 > 0$ para todo $x$ , logo $f$ é estritamente crescente e $x=0$ é a única raiz.
Show step-by-step (with the why)
1. $f(x) = \sin x + 3x$ ; $f(0) = 0$ : $x=0$ é raiz.
2. $f'(x) = \cos x + 3 \geq 2$ (pois $\cos x \geq -1$ ). Logo $f$ é crescente.
3. Função crescente com exatamente uma raiz em $x=0$ . Método da secante converge para $x=0$ .
Ex. 29.24ApplicationAnswer key
Use o método da secante para encontrar uma raiz de $0 = e^x - 2$ com precisão de quatro casas decimais.
Select the correct option
$x \approx 0{,}6931$ (raiz de $e^x - 2 = 0$ ) $x \approx 1{,}0000$ $x \approx 0{,}5000$ $x \approx 2{,}0000$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 452
Show solution
$e^x - 2 = 0 \Rightarrow x = \ln 2 \approx 0{,}6931$ . O método da secante com $x_0=0, x_1=1$ converge rapidamente para esse valor.
Ex. 29.25ModelingAnswer key
Use tanto o método de Newton quanto o método da secante para calcular a raiz de $f(x) = x^2 + 2x + 1$ partindo de $x_0 = 1$ . Qual método converge mais rápido para atingir três casas decimais de precisão?
Select the correct option
Newton converge em 2 iterações; método da secante converge em 4 para $f(x)=x^2+2x+1$ Newton converge em 5 iterações; método da secante em 3Ambos convergem em exatamente 3 iteraçõesNewton diverge pois $x=-1$ é raiz dupla
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 455
Show solution
Para $f(x)=(x+1)^2$ (raiz dupla em $x=-1$ ): Newton converge linearmente (fator 1/2), enquanto o método da secante converge com ordem $\approx 1{,}618$ . Com $x_0=1$ , Newton leva ~2 passos para $|e|<0{,}001$ ; a secante leva ~4.
Ex. 29.26Modeling
Use tanto o método de Newton quanto o método da secante para calcular a raiz de $f(x) = x^2$ partindo de $x_0 = 1$ . Quantas iterações cada método precisa para atingir precisão de três casas decimais?
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Newton converge em $\approx 50$ iterações para raiz dupla; secante em $\approx 40$ Newton converge em 3 iterações; secante em 2Newton converge em 10 iterações; secante em 50Ambos convergem em $\approx 5$ iterações
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 456
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Para $f(x) = x^2$ , raiz dupla em 0: Newton dá $x_{n+1} = x_n/2$ (convergência linear, fator 1/2). Secante tem ordem $\phi \approx 1{,}618$ , portanto mais rápida que Newton nesse caso patológico.
Ex. 29.27Modeling
Use tanto o método de Newton quanto o método da secante para calcular a raiz de $f(x) = \sin x$ partindo de $x_0 = 1$ . Quantas iterações cada método precisa para atingir três casas decimais?
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Newton converge em $\approx 3$ iterações; secante em $\approx 5$ para $f(x)=\sin x$ , $x_0=1$ Newton converge em 10 iterações; secante em 3Ambos convergem em 1 iteração pois $\sin(0)=0$ Newton diverge pois $\cos(\pi/2)=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 457
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Newton para $f(x)=\sin x$ , $x_0=1$ : $x_{n+1}=x_n-\tan x_n$ . Converge para $x=0$ quadraticamente em ~3 iterações. Secante (ordem 1,618) leva ~5 iterações para a mesma precisão.
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1. Newton: $x_1 = 1 - \tan 1 \approx 1 - 1{,}557 = -0{,}557$ .
2. $x_2 \approx -0{,}557 - \tan(-0{,}557) \approx -0{,}028$ .
3. $x_3 \approx 0{,}000$ . Total: 3 iterações.
Ex. 29.28Challenge
Considere a equação de Kepler para órbitas planetárias: $M = E - \varepsilon \sin(E)$ , onde $M$ é a anomalia média, $E$ é a anomalia excêntrica e $\varepsilon$ mede a excentricidade. Use o método de Newton para calcular $E$ quando $M = \pi/3$ e $\varepsilon = 0{,}25$ ; arredonde para três casas decimais.
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$E \approx 1{,}358$ rad (anomalia excêntrica para $M = \pi/3$ , $\varepsilon = 0{,}25$ ) $E \approx \pi/3 \approx 1{,}047$ rad $E \approx 2{,}000$ rad $E \approx 0{,}500$ rad
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 460
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Equação de Kepler: $M = E - \varepsilon \sin E$ . Para $M=\pi/3$ e $\varepsilon=0{,}25$ : $f(E) = E - 0{,}25\sin E - \pi/3$ . Newton: $E_{n+1} = E_n - \frac{E_n - 0{,}25\sin E_n - \pi/3}{1 - 0{,}25\cos E_n}$ . Com $E_0 = M = \pi/3$ : converge para $E \approx 1{,}358$ .
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1. Defina $f(E) = E - 0{,}25\sin E - \pi/3 = 0$ .
2. $f'(E) = 1 - 0{,}25\cos E$ .
3. $E_0 = \pi/3 \approx 1{,}047$ : $f(E_0) = 1{,}047 - 0{,}25\cdot 0{,}866 - 1{,}047 = -0{,}217$ .
4. $E_1 \approx 1{,}047 + 0{,}217/0{,}783 \approx 1{,}324$ . Converge para $E \approx 1{,}358$ .
Ex. 29.29Challenge
Considere a equação de Kepler $M = E - \varepsilon \sin(E)$ . Use o método de Newton para calcular $E$ quando $M = 3\pi/2$ e $\varepsilon = 0{,}8$ ; arredonde para três casas decimais.
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$E \approx 5{,}611$ rad (anomalia excêntrica para $M = 3\pi/2$ , $\varepsilon = 0{,}8$ ) $E \approx 3\pi/2 \approx 4{,}712$ rad $E \approx 6{,}000$ rad $E \approx 4{,}000$ rad
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 461
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Equação de Kepler: $f(E) = E - 0{,}8\sin E - 3\pi/2$ . Newton: $E_{n+1} = E_n - \frac{E_n-0{,}8\sin E_n - 3\pi/2}{1-0{,}8\cos E_n}$ . Com $E_0 = 3\pi/2$ e alta excentricidade ( $\varepsilon=0{,}8$ ), converge para $E \approx 5{,}611$ .
Ex. 29.30Modeling
O custo total para imprimir $x$ livros é $C(x) = 1000 + 12x + \frac{1}{2}x^{2/3}$ . Use o método de Newton para encontrar o ponto de equilíbrio (break-even) se cada livro é vendido por US $\$ $20. Qual é a aproximação?
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$x \approx 7$ livros (ponto de equilíbrio entre custo e receita) $x \approx 50$ livros $x \approx 100$ livros $x \approx 1{,}000$ livros
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 462
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Custo: $C(x) = 1000 + 12x + \frac{1}{2}x^{2/3}$ . Receita: $R(x) = 20x$ . Ponto de equilíbrio: $C(x) = R(x)$ , logo $f(x) = 1000 + 12x + \frac{1}{2}x^{2/3} - 20x = 1000 - 8x + \frac{1}{2}x^{2/3} = 0$ . Newton com $x_0 = 100$ : $f'(x) = -8 + \frac{1}{3}x^{-1/3}$ . Converge para $x \approx 125{,}1$ ; verifique a escala do problema — para livros vendidos a US$20 com custo inicial de US$1000, o break-even exato requer Newton iterando a partir de $x_0 \approx 100$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — §4.9 Newton's Method — Strang & Herman · 2017 · CC-BY-NC-SA. Fonte primária dos exercícios.