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Lição 30 — Workshop: Aplicações da Derivada

Workshop integrador da Unidade 3: exercícios selecionados de aplicações da derivada cobrindo TVM, extremos, esboço de gráficos, otimização, L'Hôpital, Taylor e Newton-Raphson.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 3 · USP MAC0105 · ITA MA-011

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(c)}{2}(x-a)^2, \quad c \in (a,x)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 4Modeling 4Challenge 1

Ex. 30.1Understanding
Se $c$ é ponto crítico de $f(x)$ , em que situação não há máximo nem mínimo local em $c$ ?
Select the correct option
Quando $f'(c) = 0$ mas $f'$ não troca de sinal em $c$ Quando $c$ não pertence ao domínio de $f$ Quando $f''(c) = 0$ Quando $f$ é descontínua em $c$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 194
Show solution
Se $f'(c) = 0$ mas $f'$ não muda de sinal ao redor de $c$ (por exemplo, $f'(x) = x^3$ em $c = 0$ ), então $c$ é ponto crítico sem ser extremo local. O ponto pode ser de inflexão.
Ex. 30.2Understanding
Para a função $y = x^3$ , o ponto $x = 0$ é ponto de inflexão e/ou máximo/mínimo local?
Select the correct option
É ponto de inflexão, mas não é máximo nem mínimo localÉ máximo local, mas não ponto de inflexãoÉ mínimo local e ponto de inflexão simultaneamenteNão é nem ponto crítico nem ponto de inflexão
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 195
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Para $y = x^3$ em $x = 0$ : $y'' = 6x$ , portanto $y''(0) = 0$ e a concavidade muda de sinal — logo $x = 0$ é ponto de inflexão. Porém $y' = 3x^2 geq 0$ não muda de sinal, então não é extremo local.
Ex. 30.3Application
Encontre os números críticos de $y = 4x^3 - 3x$ no domínio da função.
Select the correct option
$x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $x = 0$ apenas $x = \pm 1$ Não há números críticos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 108
Show solution
Temos $y = 4x^3 - 3x$ , então $y' = 12x^2 - 3 = 3(4x^2 - 1)$ . Igualando a zero: $4x^2 = 1$ , logo $x = \pm 1/2$ . Espere — recalculando: $x^2 = 1/4$ , $x = \pm 1/2$ . A opção correta é $x = \pm 1/\sqrt{2}$ se $y = 4x^3 - 3x$ ... Na verdade $y' = 12x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1/2$ . (Resp: $x = \pm 1/2$ )
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 3x) = 12x^2 - 3$ .
2. Resolva $12x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$ .
3. Ambos pertencem ao domínio $\mathbb{R}$ ; são os números críticos.
Ex. 30.4ApplicationAnswer key
Encontre os números críticos de $y = 4x - x^2$ no domínio da função.
Select the correct option
$x = 2$ $x = 0$ $x = 4$ Não há números críticos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 109
Show solution
Temos $y' = 4 - 2x$ . Igualando a zero: $4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2$ . Como $y'$ está definida em todo $\mathbb{R}$ , o único número crítico é $x = 2$ . (Resp: $x = 2$ )
Ex. 30.5ApplicationAnswer key
Encontre os números críticos de $y = \dfrac{1}{x-1}$ no domínio da função.
Select the correct option
Não há números críticos $x = 0$ $x = 1$ $x = -1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 110
Show solution
Temos $y = \frac{1}{x-1}$ , com domínio $x \neq 1$ . Calculando: $y' = -\frac{1}{(x-1)^2}$ . Como $y' \neq 0$ para todo $x$ no domínio, e $x = 1$ não está no domínio, não há números críticos.
Ex. 30.6Application
Encontre os extremos locais e/ou absolutos de $f(x) = x^2 + 3$ sobre $[-1, 4]$ .
Select the correct option
Mínimo absoluto $f(-1) = 4$ e máximo absoluto $f(4) = 19$ Mínimo absoluto $f(0) = 3$ e máximo absoluto $f(4) = 19$ Mínimo absoluto $f(-1) = 4$ e máximo absoluto $f(0) = 3$ Mínimo absoluto $f(4) = 19$ e máximo absoluto $f(-1) = 4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 118
Show solution
Temos $f(x) = x^2 + 3$ , com $f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ . Avaliando os candidatos: $f(-1) = 4$ , $f(0) = 3$ , $f(4) = 19$ . Mínimo absoluto: $f(0) = 3$ ; máximo absoluto: $f(4) = 19$ .
Ex. 30.7Application
Encontre os extremos absolutos de $y = x^2 + 2x$ sobre $[1, 4]$ .
Select the correct option
Mínimo absoluto $y(1) = 3$ e máximo absoluto $y(4) = 24$ Mínimo absoluto $y(-1) = -1$ e máximo absoluto $y(4) = 24$ Mínimo absoluto $y(0) = 0$ e máximo absoluto $y(4) = 24$ Mínimo absoluto $y(1) = 3$ e máximo absoluto $y(1) = 3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 119
Show solution
Temos $y = x^2 + 2x$ em $[1, 4]$ . O ponto crítico $y' = 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$ está fora do intervalo. Avaliando as extremidades: $y(1) = 1 + 2 = 3$ e $y(4) = 16 + 8 = 24$ . Logo mínimo em $x = 1$ e máximo em $x = 4$ .
Ex. 30.8Application
Encontre os extremos absolutos de $y = (x - x^2)^2$ sobre $[-1, 1]$ .
Select the correct option
Máximo absoluto $y = \dfrac{1}{4}$ em $x = \dfrac{1}{2}$ e mínimo absoluto $y = 0$ em $x = 0$ e $x = 1$ Máximo absoluto $y = 1$ em $x = -1$ e mínimo absoluto $y = 0$ em $x = 0$ Máximo absoluto $y = 4$ em $x = -1$ e mínimo absoluto $y = 0$ Não há extremos no intervalo $[-1, 1]$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 120
Show solution
Temos $y = (x - x^2)^2$ . Pondo $u = x - x^2$ , $y' = 2u \cdot (1 - 2x) = 0$ . Zeros: $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 1/2$ . Avaliando: $y(0) = 0$ , $y(1) = 0$ , $y(1/2) = (1/2 - 1/4)^2 = 1/16$ . Nas extremidades: $y(-1) = (-1-1)^2 = 4$ . Máximo absoluto: $y(-1) = 4$ ; mínimo: $y = 0$ .
Ex. 30.9Application
Encontre os extremos absolutos de $y = \sqrt{9 - x}$ sobre $[1, 9]$ .
Select the correct option
Máximo absoluto $y(1) = 8$ e mínimo absoluto $y(9) = 0$ Máximo absoluto $y(0) = 9$ e mínimo absoluto $y(9) = 0$ Máximo absoluto $y(9) = 0$ e mínimo absoluto $y(1) = 8$ Não há extremos no intervalo $[1, 9]$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 122
Show solution
Temos $y = \sqrt{9 - x}$ em $[1, 9]$ . Derivada: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{9-x}} < 0$ em todo o intervalo — função estritamente decrescente. Logo máximo em $x = 1$ : $y(1) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ; mínimo em $x = 9$ : $y(9) = 0$ .
Ex. 30.10Application
Encontre os extremos locais e absolutos de $y = \sin x + \cos x$ sobre $[0, 2\pi]$ .
Select the correct option
Máximo absoluto $y = \sqrt{2}$ em $x = \pi/4$ e mínimo absoluto $y = -\sqrt{2}$ em $x = 5\pi/4$ Máximo absoluto $y = 1$ em $x = 0$ e mínimo absoluto $y = -1$ em $x = \pi$ Máximo absoluto $y = 2$ em $x = \pi/2$ e mínimo absoluto $y = -2$ em $x = 3\pi/2$ Não há extremos absolutos em $[0, 2\pi]$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 127
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Temos $y' = \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \pi/4,\; 5\pi/4$ . Valores: $y(\pi/4) = \sqrt{2}$ , $y(5\pi/4) = -\sqrt{2}$ . Extremidades: $y(0) = y(2\pi) = 1$ . Máximo: $\sqrt{2}$ ; mínimo: $-\sqrt{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $y' = \cos x - \sin x$ e resolva $y' = 0$ .
2. $\tan x = 1 \Rightarrow x = \pi/4$ e $x = 5\pi/4$ em $[0, 2\pi]$ .
3. Avalie nos candidatos e extremidades: máximo $\sqrt{2}$ , mínimo $-\sqrt{2}$ .
Ex. 30.11ApplicationAnswer key
Encontre os mínimos e máximos locais e absolutos de $y = x^2 + 4x + 5$ sobre $(-\infty, +\infty)$ .
Select the correct option
Mínimo local e absoluto em $x = -2$ , nenhum máximo absolutoMáximo local em $x = -2$ e mínimo em $x = 0$ Mínimo absoluto em $x = 0$ e máximo absoluto em $x = -2$ Não há extremos locais pois o domínio é $(-\infty, +\infty)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 129
Show solution
Temos $y' = 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$ . Como $y'' = 2 > 0$ , trata-se de mínimo local. $y(-2) = 4 - 8 + 5 = 1$ . Como $y \to +\infty$ quando $x \to \pm\infty$ , não há máximo absoluto.
Ex. 30.12ApplicationAnswer key
Encontre os mínimos e máximos locais e absolutos de $y = x^3 - 12x$ sobre $(-\infty, +\infty)$ .
Select the correct option
Máximo local em $x = -2$ ( $y = 16$ ) e mínimo local em $x = 2$ ( $y = -16$ )Mínimo local em $x = -2$ ( $y = -16$ ) e máximo local em $x = 2$ ( $y = 16$ )Sem extremos locais; a função é estritamente crescenteMáximo absoluto em $x = 2$ e mínimo absoluto em $x = -2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 130
Show solution
Temos $y' = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ . $y'' = 6x$ : $y''(-2) = -12 < 0$ (máximo local), $y''(2) = 12 > 0$ (mínimo local). $y(-2) = -8 + 24 = 16$ , $y(2) = 8 - 24 = -16$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $y' = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ .
2. Teste da 2ª derivada: $y'' = 6x$ . Em $x = -2$ : $y'' = -12 < 0$ → máximo. Em $x = 2$ : $y'' = 12 > 0$ → mínimo.
3. Valores: $y(-2) = 16$ , $y(2) = -16$ .
Ex. 30.13UnderstandingAnswer key
Uma função côncava para baixo necessariamente cruza $y = 0$ para algum valor de $x$ ?
Select the correct option
Não necessariamente; uma função côncava para baixo pode estar inteiramente acima do eixo $x$ Sim, pois uma função côncava para baixo sempre tem máximo e depois decresce para zeroNão, pois funções côncavas para baixo são sempre negativasSim, pois a curvatura negativa força a função a cruzar o eixo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 199
Show solution
Contraexemplo: $f(x) = -x^2 + 100$ é côncava para baixo ( $f'' = -2 < 0$ ) mas $f(0) = 100 > 0$ . A função atinge máximo em $x = 0$ e pode cruzar o eixo, mas se o domínio for restrito adequadamente, não precisa.
Ex. 30.14Understanding
Um polinômio de grau 2 pode ter ponto de inflexão?
Select the correct option
Não; polinômios de grau 2 têm $f''$ constante e nunca mudam de concavidadeSim; basta que o discriminante seja zeroSim; se $a = 0$ o polinômio tem ponto de inflexão em $x = -b/(2a)$ Depende; apenas polinômios com coeficiente líder negativo têm ponto de inflexão
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 200
Show solution
Para $p(x) = ax^2 + bx + c$ , temos $p'' = 2a$ = constante. Como $p''$ não muda de sinal, a concavidade é constante e não há ponto de inflexão.
Ex. 30.15Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 2$ .
Select the correct option
Côncava para cima em $(-\infty, 4/3)$ , côncava para baixo em $(4/3, +\infty)$ ; inflexão em $x = 4/3$ Côncava para baixo em $(-\infty, 0)$ , côncava para cima em $(0, +\infty)$ ; inflexão em $x = 0$ Côncava para cima em todo o domínio; sem ponto de inflexãoCôncava para baixo em $(-\infty, 4/3)$ , côncava para cima em $(4/3, +\infty)$ ; inflexão em $x = 4/3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 223
Show solution
Temos $f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 2$ . $f''(x) = 6x - 8$ . Inflexão: $6x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4/3$ . Para $x < 4/3$ : $f'' < 0$ (côncava para baixo); para $x > 4/3$ : $f'' > 0$ (côncava para cima).
Ex. 30.16Application
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^2 - 6x$ .
Select the correct option
Côncava para cima em todo o domínio; sem pontos de inflexãoCôncava para baixo em $(-\infty, 3)$ e para cima em $(3, +\infty)$ Ponto de inflexão em $x = 3$ Côncava para baixo em todo o domínio
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 224
Show solution
Temos $f(x) = x^2 - 6x$ . $f''(x) = 2 > 0$ sempre. Portanto a função é côncava para cima em todo o domínio e não tem pontos de inflexão.
Ex. 30.17Application
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 6x^2$ .
Select the correct option
Côncava para baixo em $(-\infty, 4)$ , côncava para cima em $(4, +\infty)$ ; inflexão em $x = 4$ Côncava para cima em $(-\infty, 4)$ , côncava para baixo em $(4, +\infty)$ ; inflexão em $x = 4$ Pontos de inflexão em $x = 0$ e $x = 4$ Côncava para cima em todo o domínio
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 225
Show solution
Temos $f(x) = x^3 - 6x^2$ . $f'(x) = 3x^2 - 12x$ , $f''(x) = 6x - 12$ . Inflexão: $6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$ . Para $x < 2$ : $f'' < 0$ ; para $x > 2$ : $f'' > 0$ . Inflexão em $x = 2$ .
Ex. 30.18Modeling
Uma empresa produtora de celulares tem função de custo $C = x^2 - 1200x + 36400$ , onde $C$ é o custo em dólares e $x$ é a quantidade produzida (em milhares). Quantas unidades (em milhares) minimizam o custo?
Select the correct option
600 mil unidades minimizam o custo400 mil unidades minimizam o custo1200 mil unidades minimizam o custoNão há mínimo; o custo cresce sem limite
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 140
Show solution
Temos $C(x) = x^2 - 1200x + 36400$ . $C'(x) = 2x - 1200 = 0 \Rightarrow x = 600$ . Como $C'' = 2 > 0$ , é mínimo. Produzir 600 mil unidades minimiza o custo. $C(600) = 360000 - 720000 + 36400 = -323600$ ... (em dólares por milhar).
Show step-by-step (with the why)
1. $C'(x) = 2x - 1200$ ; resolva $C'(x) = 0 \Rightarrow x = 600$ .
2. $C''(x) = 2 > 0$ , confirmando mínimo global.
3. Produzir 600 mil unidades minimiza o custo.
Ex. 30.19Modeling
Uma bola é lançada para o ar com posição $h(t) = -4{,}9t^2 + 60t + 5$ metros. Em que instante a bola para de subir? Qual é a altura máxima?
Select the correct option
$\approx 6{,}12$ s após o lançamento, altura máxima $\approx 188{,}8$ m $\approx 4{,}0$ s após o lançamento, altura máxima $\approx 125$ m $\approx 12$ s após o lançamento, altura máxima $\approx 360$ m $\approx 6{,}12$ s após o lançamento, altura máxima $\approx 200$ m
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 141
Show solution
Temos $h(t) = -4{,}9t^2 + 60t + 5$ . $h'(t) = -9{,}8t + 60 = 0 \Rightarrow t = 60/9{,}8 \approx 6{,}12$ s. Altura: $h(6{,}12) \approx -4{,}9 \cdot 37{,}45 + 367{,}2 + 5 \approx 188{,}5$ m.
Ex. 30.20Modeling
Você tem 400 pés de cerca para construir um curral retangular. Quais dimensões maximizam a área?
Select the correct option
Dimensões $200\,\text{ft} \times 200\,\text{ft}$ , área máxima $40000\,\text{ft}^2$ Dimensões $100\,\text{ft} \times 300\,\text{ft}$ , área máxima $30000\,\text{ft}^2$ Dimensões $150\,\text{ft} \times 250\,\text{ft}$ , área máxima $37500\,\text{ft}^2$ Dimensões $400\,\text{ft} \times 0\,\text{ft}$ , área máxima $0\,\text{ft}^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 319
Show solution
Seja $2l + 2w = 400$ , então $w = 200 - l$ . Área: $A = l(200 - l) = 200l - l^2$ . $A' = 200 - 2l = 0 \Rightarrow l = 100$ . Dimensões: $100 \times 300$ ? Não — se $l = w$ (quadrado) dá $2l + 2l = 400 \Rightarrow l = 100$ . Área = $100 \times 100 = 10000$ ... Corrigindo: $l = 100$ , $w = 200 - 100 = 100$ . Logo curral quadrado $100 \times 100$ , área = $10000\,\text{ft}^2$ . A opção correta é a quadrada.
Show step-by-step (with the why)
1. Restrição: $2l + 2w = 400 \Rightarrow w = 200 - l$ .
2. Maximize $A(l) = l(200 - l)$ : $A' = 200 - 2l = 0 \Rightarrow l = 100$ .
3. Dimensões ótimas: $100\,\text{ft} \times 100\,\text{ft}$ , área = $10000\,\text{ft}^2$ .
Ex. 30.21ModelingAnswer key
Você tem 800 pés de cerca para um curral retangular de porcos. Um lado é formado pelo rio (sem cerca). Qual a dimensão que maximiza a área?
Select the correct option
Largura $400\,\text{ft}$ e comprimento $200\,\text{ft}$ (paralelo ao rio), área $80000\,\text{ft}^2$ Largura $266\,\text{ft}$ e comprimento $266\,\text{ft}$ , área $70756\,\text{ft}^2$ Largura $200\,\text{ft}$ e comprimento $400\,\text{ft}$ , área $80000\,\text{ft}^2$ Largura $100\,\text{ft}$ e comprimento $600\,\text{ft}$ , área $60000\,\text{ft}^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 320
Show solution
Com rio em um lado, a cerca usa apenas três lados: $2w + l = 800$ , logo $l = 800 - 2w$ . Área: $A = wl = w(800 - 2w) = 800w - 2w^2$ . $A' = 800 - 4w = 0 \Rightarrow w = 200$ . $l = 800 - 400 = 400$ . Área = $200 \times 400 = 80000\,\text{ft}^2$ .
Ex. 30.22Application
Você precisa cercar uma área retangular de $1600\,\text{ft}^2$ . Quais dimensões minimizam a quantidade de cerca necessária?
Select the correct option
Quadrado de lado $40\,\text{ft}$ , usando $160\,\text{ft}$ de cercaRetângulo $20\,\text{ft} \times 80\,\text{ft}$ , usando $200\,\text{ft}$ de cercaRetângulo $30\,\text{ft} \times 53\,\text{ft}$ , usando $166\,\text{ft}$ de cercaRetângulo $10\,\text{ft} \times 160\,\text{ft}$ , usando $340\,\text{ft}$ de cerca
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 321
Show solution
Minimize o perímetro $P = 2l + 2w$ sujeito a $lw = 1600$ . Substitua $w = 1600/l$ : $P(l) = 2l + 3200/l$ . $P'(l) = 2 - 3200/l^2 = 0 \Rightarrow l^2 = 1600 \Rightarrow l = 40$ . Logo $w = 40$ : quadrado de lado 40 ft.
Show step-by-step (with the why)
1. Restrição: $A = lw = 1600$ .
2. Minimize $P = 2l + 2w = 2l + 3200/l$ .
3. $P'(l) = 2 - 3200/l^2 = 0 \Rightarrow l = 40$ , $w = 40$ .
Ex. 30.23Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x}{x}$ .
Select the correct option
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = 1$ $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = 0$ $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 356
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . Aplicando L'Hôpital: $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1} = +\infty$ . O exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência de $x$ .
Ex. 30.24Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .
Select the correct option
$6$ $0$ $\dfrac{1}{6}$ $-6$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 367
Show solution
Forma $0/0$ em $x = 3$ . Aplicando L'Hôpital: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{2x}{1} = 6$ . Alternativamente, fatorando: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \to 6$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Forme indeterminada $0/0$ em $x = 3$ .
2. L'Hôpital: $\frac{d}{dx}(x^2 - 9) = 2x$ , $\frac{d}{dx}(x - 3) = 1$ .
3. Limite: $\lim_{x \to 3} 2x = 6$ .
Ex. 30.25ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to \pi/2} \dfrac{\cos x}{\pi/2 - x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $\infty$ $-1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 370
Show solution
Forma $0/0$ em $x = \pi/2$ . Aplicando L'Hôpital: $\lim_{x \to \pi/2} \frac{\cos x}{\pi/2 - x} = \lim_{x \to \pi/2} \frac{-\sin x}{-1} = \sin(\pi/2) = 1$ .
Ex. 30.26Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to \pi} \dfrac{x - \pi}{\sin x}$ .
Select the correct option
$-1$ $0$ $1$ $\infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 371
Show solution
Forma $0/0$ em $x = \pi$ . Aplicando L'Hôpital: $\lim_{x \to \pi} \frac{x - \pi}{\sin x} = \lim_{x \to \pi} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos \pi} = \frac{1}{-1} = -1$ .
Ex. 30.27Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - \tan x}{x^3}$ .
Select the correct option
$-\dfrac{1}{2}$ $0$ $\dfrac{1}{2}$ $-1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 375
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Forma $0/0$ . Aplicando L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$ . Derivando numerador e denominador até sair da forma indeterminada (ou por expansão de Taylor): $\sin x - \tan x \approx -x^3/2$ , logo o limite é $-1/2$ .
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1. Expanda: $\sin x \approx x - x^3/6$ , $\tan x \approx x + x^3/3$ .
2. $\sin x - \tan x \approx -x^3/2$ .
3. Limite: $\frac{-x^3/2}{x^3} = -\frac{1}{2}$ .
Ex. 30.28Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x^2}$ .
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$\dfrac{1}{2}$ $0$ $1$ $\dfrac{1}{4}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 377
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Forma $0/0$ . Aplicando L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$ .
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1. Primeira aplicação: numerador $\to e^x - 1$ , denominador $\to 2x$ . Ainda $0/0$ .
2. Segunda aplicação: $\frac{e^x}{2} \to \frac{1}{2}$ .
Ex. 30.29Application
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$ .
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$e$ $1$ $0$ $\infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 380
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Forma $1^\infty$ . Tome logaritmo: $L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ (forma $0/0$ ). Por L'Hôpital: $L = \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1$ . Logo o limite original é $e^L = e^1 = e$ .
Ex. 30.30Challenge
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln(x^4)$ .
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$0$ $+\infty$ $1$ $-\infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 385
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Forma $\infty \cdot 0$ . Reescreva: $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x^4) = 4 \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 4 \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$ . Forma $-\infty/+\infty$ . Por L'Hôpital: $= 4 \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = 4 \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$ .
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1. Reescreva: $x \ln(x^4) = 4x \ln x = 4 \cdot \frac{\ln x}{1/x}$ .
2. Forma $-\infty/+\infty$ ; aplique L'Hôpital: numerador $1/x$ , denominador $-1/x^2$ .
3. Resultado: $4 \cdot (-x) \to 0$ quando $x \to 0^+$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · 2016 · CC-BY-NC-SA. Fonte primária.
- §4.3 Maxima and Minima: openstax.org/.../4-3-maxima-and-minima
- §4.5 Derivatives and the Shape of a Graph: openstax.org/.../4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph
- §4.7 Applied Optimization Problems: openstax.org/.../4-7-applied-optimization-problems
- §4.8 L'Hôpital's Rule: openstax.org/.../4-8-lhopitals-rule