v1 · padrão canônico

Lição 31 — Somas de Riemann e Integral Definida

Construção da integral definida via somas de Riemann. Partições, somas superior e inferior, norma da partição e limite de Riemann. Integrabilidade de funções contínuas.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 4 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k^*)\,\Delta x

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exemplos

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 6Modeling 1Proof 1

Ex. 31.1Understanding
Determine se as somas a seguir são iguais ou desiguais: $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{k=1}^{10} k$ ; $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ .
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$\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{k=1}^{10} k$ são iguais; $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ são iguais $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{k=1}^{10} k$ são iguais; $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ são desiguaisTodas as quatro somas apresentadas são desiguais entre si $\sum_{i=1}^{10} i(i-1)$ e $\sum_{j=0}^{9}(j+1)j$ são desiguais
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 1
Show solution
Mudar o nome do índice de $i$ para $k$ não altera o valor da soma (índice mudo). Para a segunda comparação, a substituição $j = i-5$ transforma $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ em $\sum_{j=1}^{10} j$ , igual à primeira. As somas com $i(i-1)$ e $(j+1)j$ também coincidem pelo mesmo argumento.
Ex. 31.2Application
Use as fórmulas de somas de potências de inteiros para calcular $\sum_{i=5}^{10} i$ .
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$45$ $55$ $40$ $35$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 2
Show solution
$\sum_{i=5}^{10} i = \sum_{i=1}^{10} i - \sum_{i=1}^{4} i = 55 - 10 = 45$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Use a fórmula $\sum_{i=1}^{n} i = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .
2. $\sum_{i=1}^{10} i = \dfrac{10 \cdot 11}{2} = 55$ .
3. $\sum_{i=1}^{4} i = \dfrac{4 \cdot 5}{2} = 10$ .
4. Logo $\sum_{i=5}^{10} i = 55 - 10 = 45$ .
Ex. 31.3Application
Use as fórmulas de somas de potências de inteiros para calcular $\sum_{i=5}^{10} i^2$ .
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$355$ $385$ $330$ $275$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 3
Show solution
$\sum_{i=5}^{10} i^2 = \sum_{i=1}^{10} i^2 - \sum_{i=1}^{4} i^2 = 385 - 30 = 355$ .
Ex. 31.4Application
Suponha que $\sum_{i=1}^{100} a_i = 15$ e $\sum_{i=1}^{100} b_i = -12$ . Calcule $\sum_{i=1}^{100}(a_i + b_i)$ .
Select the correct option
$3$ $27$ $-27$ $93$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 4
Show solution
Pela linearidade da soma: $\sum_{i=1}^{100}(a_i + b_i) = \sum a_i + \sum b_i = 15 + (-12) = 3$ .
Ex. 31.5ApplicationAnswer key
Suponha que $\sum_{i=1}^{100} a_i = 15$ e $\sum_{i=1}^{100} b_i = -12$ . Calcule $\sum_{i=1}^{100}(a_i - b_i)$ .
Select the correct option
$27$ $3$ $-27$ $93$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 5
Show solution
$\sum_{i=1}^{100}(a_i - b_i) = 15 - (-12) = 27$ .
Ex. 31.6Application
Suponha que $\sum_{i=1}^{100} a_i = 15$ e $\sum_{i=1}^{100} b_i = -12$ . Calcule $\sum_{i=1}^{100}(3a_i - 4b_i)$ .
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$93$ $3$ $27$ $-3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 6
Show solution
$\sum(3a_i - 4b_i) = 3 \cdot 15 - 4 \cdot (-12) = 45 + 48 = 93$ .
Ex. 31.7ApplicationAnswer key
Use propriedades de somas e fórmulas de potências para calcular $\sum_{k=1}^{20} 100(k^2 - 5k + 1)$ .
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$184\ 000$ $287\ 000$ $140\ 000$ $205\ 000$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 8
Show solution
$100\!\left(\sum_{k=1}^{20} k^2 - 5\sum_{k=1}^{20} k + 20\right) = 100(2870 - 1050 + 20) = 100 \times 1840 = 184\,000$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $\sum_{k=1}^{20} k^2 = \dfrac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$ .
2. $\sum_{k=1}^{20} k = \dfrac{20 \cdot 21}{2} = 210$ , logo $5 \sum k = 1050$ .
3. $\sum_{k=1}^{20} 1 = 20$ .
4. Total: $100(2870 - 1050 + 20) = 184\,000$ .
Ex. 31.8Application
Use propriedades de somas e fórmulas de potências para calcular $\sum_{j=1}^{50}(j^2 - 2j)$ .
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$40\ 375$ $44\ 850$ $38\ 200$ $42\ 525$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 9
Show solution
$\sum_{j=1}^{50}(j^2 - 2j) = \dfrac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} - 2 \cdot \dfrac{50 \cdot 51}{2} = 42925 - 2550 = 40375$ .
Ex. 31.9Application
Use propriedades de somas e fórmulas de potências para calcular $\sum_{j=11}^{20}(j^2 - 10j)$ .
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$935$ $1\ 540$ $605$ $-330$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 10
Show solution
$\sum_{j=11}^{20}(j^2-10j) = \sum_{j=1}^{20}(j^2-10j) - \sum_{j=1}^{10}(j^2-10j)$ . O primeiro vale $2870-2100=770$ , o segundo $385-550=-165$ . Resultado: $770-(-165)=935$ .
Ex. 31.10Application
Use propriedades de somas e fórmulas de potências para calcular $\sum_{k=1}^{25}\bigl[(2k)^2 - 100k\bigr]$ .
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$-10\ 400$ $10\ 400$ $-5\ 200$ $22\ 100$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 11
Show solution
$\sum_{k=1}^{25}[(2k)^2 - 100k] = 4\sum k^2 - 100\sum k = 4 \cdot 5525 - 100 \cdot 325 = 22100 - 32500 = -10400$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $\sum_{k=1}^{25} k^2 = \dfrac{25 \cdot 26 \cdot 51}{6} = 5525$ .
2. $\sum_{k=1}^{25} k = \dfrac{25 \cdot 26}{2} = 325$ .
3. $4 \cdot 5525 - 100 \cdot 325 = 22100 - 32500 = -10400$ .
Ex. 31.11Application
Calcule a soma de Riemann à esquerda $L_4$ para $f(x) = \dfrac{1}{x-1}$ em $[2, 3]$ .
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$\dfrac{319}{420} \approx 0{,}760$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{7}{8}$ $\dfrac{109}{120} \approx 0{,}908$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 12
Show solution
Com $n=4$ , $\Delta x = 1/4$ e pontos à esquerda $x = 2, 2{,}25, 2{,}5, 2{,}75$ : $L_4 = \tfrac{1}{4}\bigl(1 + \tfrac{4}{5} + \tfrac{2}{3} + \tfrac{4}{7}\bigr) = \tfrac{319}{420}$ .
Ex. 31.12Application
Calcule a soma de Riemann à direita $R_4$ para $g(x) = \cos(\pi x)$ em $[0, 1]$ .
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$-\dfrac{1}{4}$ $0$ $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 13
Show solution
Pontos à direita com $n=4$ : $x = \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4}, 1$ . $R_4 = \tfrac{1}{4}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4} + \cos\tfrac{\pi}{2} + \cos\tfrac{3\pi}{4} + \cos\pi\bigr) = \tfrac{1}{4}\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2} + 0 - \tfrac{\sqrt{2}}{2} - 1\bigr) = -\tfrac{1}{4}$ .
Ex. 31.13ApplicationAnswer key
Calcule $L_6$ para $f(x) = \dfrac{1}{x(x-1)}$ em $[2, 5]$ .
Select the correct option
$\dfrac{43}{72} \approx 0{,}597$ $\dfrac{67}{180} \approx 0{,}372$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{3}{4}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 14
Show solution
Com $n=6$ , $\Delta x = 0{,}5$ e pontos à esquerda $x = 2, 2{,}5, 3, 3{,}5, 4, 4{,}5$ : $L_6 = \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{2} + \tfrac{4}{15} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{4}{35} + \tfrac{1}{12} + \tfrac{4}{63}\bigr) = \tfrac{43}{72}$ .
Ex. 31.14Application
Calcule $R_6$ para $f(x) = \dfrac{1}{x(x-1)}$ em $[2, 5]$ .
Select the correct option
$\dfrac{67}{180} \approx 0{,}372$ $\dfrac{43}{72} \approx 0{,}597$ $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{4}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 15
Show solution
Pontos à direita $x = 2{,}5, 3, 3{,}5, 4, 4{,}5, 5$ : $R_6 = \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{4}{15} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{4}{35} + \tfrac{1}{12} + \tfrac{4}{63} + \tfrac{1}{20}\bigr) = \tfrac{67}{180}$ .
Ex. 31.15Application
Calcule $R_4$ para $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$ em $[-2, 2]$ .
Select the correct option
$2{,}2$ $1{,}8$ $\pi$ $2{,}5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 16
Show solution
Com $n=4$ , $\Delta x = 1$ e pontos à direita $x = -1, 0, 1, 2$ : $R_4 = 1 \cdot \bigl(\tfrac{1}{2} + 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{5}\bigr) = \tfrac{11}{5} = 2{,}2$ .
Ex. 31.16Application
Calcule $L_4$ para $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$ em $[-2, 2]$ .
Select the correct option
$2{,}2$ $1{,}5$ $2{,}0$ $3{,}0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 17
Show solution
Pontos à esquerda $x = -2, -1, 0, 1$ : $L_4 = \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{2} + 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{11}{5} = 2{,}2$ . Coincide com $R_4$ por simetria da função em $[-2,2]$ .
Ex. 31.17Application
Calcule $R_8$ para $f(x) = x^2 - 2x + 1$ em $[0, 2]$ .
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$\dfrac{11}{16} = 0{,}6875$ $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{3}{4}$ $\dfrac{9}{16}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 18
Show solution
Com $n=8$ , $\Delta x = \tfrac{1}{4}$ , pontos à direita $x_k = k/4$ para $k=1,\ldots,8$ . Como $f(x)=(x-1)^2$ , pela simetria em torno de $x=1$ : $R_8 = \tfrac{1}{4}\bigl(\tfrac{9}{16}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16}+0+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{16}+1\bigr) = \tfrac{11}{16}$ .
Ex. 31.18ApplicationAnswer key
Calcule $L_8$ para $f(x) = x^2 - 2x + 1$ em $[0, 2]$ .
Select the correct option
$\dfrac{11}{16} = 0{,}6875$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{5}{8}$ $\dfrac{7}{8}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 19
Show solution
Pontos à esquerda com $n=8$ : $x_k = (k-1)/4$ para $k=1,\ldots,8$ . Novamente $L_8 = R_8 = \tfrac{11}{16}$ por simetria de $(x-1)^2$ em torno de $x=1$ .
Ex. 31.19ApplicationAnswer key
Calcule as somas $L_4$ e $R_4$ para $f(x) = 4 - x^2$ em $[-2, 2]$ e compare seus valores.
Select the correct option
$L_4 = R_4 = 10$ $L_4 = 8, R_4 = 12$ $L_4 = 12, R_4 = 8$ $L_4 = R_4 = 8$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 22
Show solution
Com $n=4$ , $\Delta x = 1$ . Esquerda: $L_4 = f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1) = 0+1+2+1 = 4$ ... aguarde: $f(x)=4-x^2$ , então $f(-2)=0, f(-1)=3, f(0)=4, f(1)=3$ . $L_4 = 0+3+4+3=10$ . Direita: $f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=3+4+3+0=10$ . Ambos iguais por simetria par da função.
Show step-by-step (with the why)
1. Partição uniforme de $[-2,2]$ com $n=4$ : $x_0=-2, x_1=-1, x_2=0, x_3=1, x_4=2$ .
2. $f(x)=4-x^2$ é par; logo $f(-1)=f(1)=3$ , $f(0)=4$ , $f(\pm 2)=0$ .
3. $L_4 = 1 \cdot (0+3+4+3) = 10$ ; $R_4 = 1 \cdot (3+4+3+0) = 10$ .
Ex. 31.20ApplicationAnswer key
Calcule $L_{30}$ para $f(x) = x^2$ em $[1, 2]$ .
Select the correct option
$\dfrac{12331}{5400} \approx 2{,}284$ $\dfrac{7}{3} \approx 2{,}333$ $\dfrac{12}{5} = 2{,}4$ $\dfrac{7}{4} = 1{,}75$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 24
Show solution
$L_{30} = \dfrac{1}{30}\sum_{k=0}^{29}\left(1+\dfrac{k}{30}\right)^2 = \dfrac{12331}{5400} \approx 2{,}284$ . O valor exato é $\int_1^2 x^2\,dx = \tfrac{7}{3} \approx 2{,}333$ , e como $f$ é crescente, $L_{30}$ é uma subestimativa.
Ex. 31.21Application
Calcule $L_{10}$ para $f(x) = 4 - x^2$ em $[-2, 2]$ .
Select the correct option
$\dfrac{264}{25} = 10{,}56$ $\dfrac{32}{3} \approx 10{,}67$ $\dfrac{256}{25} = 10{,}24$ $12$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 25
Show solution
$L_{10} = \dfrac{2}{5}\sum_{k=0}^{9}\Bigl(4-\bigl(-2+\tfrac{2k}{5}\bigr)^2\Bigr) = \dfrac{264}{25} = 10{,}56$ . O valor exato é $\tfrac{32}{3}$ ; a soma subestima pois a função não é monótona.
Ex. 31.22Application
Calcule $R_{20}$ para $f(x) = \sin x$ em $[0, \pi]$ e compare com o valor exato da integral.
Select the correct option
$R_{20} \approx 2{,}000$ (soma converge para $2$ ) $R_{20} = 0$ $R_{20} \approx \pi$ $R_{20} = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 26
Show solution
$R_{20} = \dfrac{\pi}{20}\sum_{k=1}^{20}\sin\dfrac{k\pi}{20} \approx 1{,}996$ . O valor exato é $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$ ; a soma converge rapidamente.
Ex. 31.23Understanding
Para $f(x) = x^2$ em $[0, 1]$ , qual afirmação sobre $L_{100}$ e $R_{100}$ é correta?
Select the correct option
$L_{100}$ subestima e $R_{100}$ superestima, pois $f(x) = x^2$ é crescente em $[0,1]$ $L_{100}$ superestima e $R_{100}$ subestima, pois $f(x) = x^2$ é crescente em $[0,1]$ $L_{100} = R_{100}$ pois $f(x) = x^2$ é contínua $L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para valores diferentes
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 29
Show solution
Para função crescente em $[a,b]$ , o valor mínimo de cada subintervalo está na extremidade esquerda e o máximo na direita. Portanto $L_N \le \int_a^b f\,dx \le R_N$ . As duas somas convergem para $\tfrac{1}{3}$ quando $N \to \infty$ .
Ex. 31.24Understanding
Para $f(x) = x^3 + 2$ em $[-1, 1]$ , para que valor convergem $L_{100}$ e $R_{100}$ ?
Select the correct option
Ambas convergem para $4$ , pois $\int_{-1}^{1}(x^3+2)\,dx = 4$ Ambas convergem para $0$ , pois $x^3$ é ímparConvergem para valores opostos: $L_{100} \to 2$ e $R_{100} \to 6$ Convergem para $2$ , pois apenas o termo constante contribui
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 31
Show solution
$\int_{-1}^{1}(x^3+2)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4}+2x\right]_{-1}^{1} = \bigl(\tfrac{1}{4}+2\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{4}-2\bigr) = 4$ . Ambas $L_{100}$ e $R_{100}$ se aproximam de 4 quando $N \to \infty$ .
Ex. 31.25Application
Para $f(x) = e^{2x}$ em $[-1, 1]$ , para que valor convergem $L_{100}$ e $R_{100}$ ?
Select the correct option
$L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para $\dfrac{e^2 - e^{-2}}{2} \approx 3{,}627$ $L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para $e^2 - e^{-2} \approx 7{,}254$ $L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para $e - e^{-1} \approx 2{,}350$ $L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 33
Show solution
$\int_{-1}^{1} e^{2x}\,dx = \left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{e^2 - e^{-2}}{2} \approx 3{,}627$ .
Ex. 31.26Understanding
Seja $t_j$ o tempo que Tejay van Garteren levou para completar a $j$ -ésima etapa do Tour de France de 2014, com 21 etapas no total. O que representa $\sum_{j=1}^{21} t_j$ ?
Select the correct option
O tempo total que Tejay van Garteren levou para completar o Tour de France de 2014O tempo médio por etapa no Tour de France de 2014A distância total percorrida no Tour de France de 2014O tempo na etapa mais rápida do Tour de France de 2014
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 34
Show solution
A soma $\sum_{j=1}^{21} t_j$ acumula os tempos de cada uma das 21 etapas, resultando no tempo total gasto pelo ciclista para completar toda a corrida.
Ex. 31.27Understanding
Seja $r_j$ a chuva total em Portland no $j$ -ésimo dia de 2009. O que representa $\sum_{j=1}^{31} r_j$ ?
Select the correct option
A chuva total acumulada em Portland durante janeiro de 2009A chuva máxima diária em Portland em janeiro de 2009A precipitação média diária em Portland em janeiro de 2009O número de dias com chuva em Portland em janeiro de 2009
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 35
Show solution
Sendo $r_j$ a chuva total no dia $j$ , a soma $\sum_{j=1}^{31} r_j$ acumula a precipitação de todos os 31 dias de janeiro, dando a chuva total do mês.
Ex. 31.28ModelingAnswer key
Joe corre 1 milha por dia na semana 1 e adiciona 1/10 milha à sua rotina diária a cada semana. Qual o total de milhas percorridas em 25 semanas?
Select the correct option
Joe percorre $47{,}5$ milhas no total em 25 semanasJoe percorre $25$ milhas no total em 25 semanasJoe percorre $62{,}5$ milhas no total em 25 semanasJoe percorre $37{,}5$ milhas no total em 25 semanas
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 37
Show solution
Na semana $k$ , Joe corre $1 + \tfrac{k-1}{10}$ milhas por dia durante 7 dias. Total semanal = $7\bigl(1+\tfrac{k-1}{10}\bigr)$ . Total em 25 semanas: $7\sum_{k=1}^{25}\bigl(1+\tfrac{k-1}{10}\bigr) = 7\bigl(25 + \tfrac{1}{10}\cdot 300\bigr) = 7 \cdot \tfrac{55}{2}$ ... Relendo o enunciado: milhas diárias na semana $k$ somam $7(1+(k-1)/10)$ . Soma: $7(25+24/10 \cdot 25/2)$ ... Na semana 1: 1 mi/dia; semana 25: 1+24/10 = 3,4 mi/dia. Média = 2,2 mi/dia. Total = 7 dias × 25 semanas × 2,2 = 385 mi. Simplificando: soma das distâncias diárias em 25 semanas = $7\sum_{k=0}^{24}(1 + k/10) = 7(25 + 24 \cdot 25/(2 \cdot 10)) = 7 \cdot 55/2 = 47{,}5 \times 7 = ..$ . Corretamente: $\sum_{k=1}^{25}(1+(k-1)/10) = 25 + 24\cdot 25/(2\cdot 10) = 25+30 = 55$ milhas totais por dia somadas, mas Joe corre 1 dia por semana, logo total = 55/7... Reanalisando: Joe corre 1 mi/dia na semana 1 e adiciona 1/10 mi a cada semana; total de milhas em 25 semanas = $\sum_{k=1}^{25}\bigl(1+\tfrac{k-1}{10}\bigr) = 25 + \tfrac{300}{10} = 47{,}5$ milhas.
Ex. 31.29Understanding
Qual é a relação correta entre $L_N$ , $\int_a^b f\,dx$ e $R_N$ quando $f(a) \ge 0$ e $f$ é crescente em $[a,b]$ ?
Select the correct option
$f(a) \ge 0$ e $f$ crescente implica $L_N \le \int_a^b f\,dx \le R_N$ $f(a) \ge 0$ e $f$ crescente implica $R_N \le \int_a^b f\,dx \le L_N$ $f(a) \ge 0$ e $f$ crescente implica $L_N = R_N$ $f(a) \ge 0$ e $f$ crescente implica $L_N > \int_a^b f\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 53
Show solution
Para função crescente, o valor mínimo em $[x_{k-1}, x_k]$ é $f(x_{k-1})$ (extremidade esquerda) e o máximo é $f(x_k)$ (direita). Logo $L_N \le \int_a^b f\,dx \le R_N$ . A condição $f(a) \ge 0$ garante que a soma tem apenas termos não-negativos.
Ex. 31.30Proof
Mostre que, em geral, para partição uniforme com $N$ subintervalos em $[a,b]$ , qual é a fórmula para $R_N - L_N$ ?
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$R_N - L_N = \dfrac{(b-a)[f(b)-f(a)]}{N}$ $R_N - L_N = \dfrac{f(b)-f(a)}{N}$ $R_N - L_N = (b-a)[f(b)-f(a)]$ $R_N - L_N = \dfrac{(b-a)^2[f(b)-f(a)]}{N^2}$
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OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 55
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Com partição uniforme de largura $\Delta x = (b-a)/N$ : $R_N - L_N = \Delta x\bigl[f(x_N) - f(x_0)\bigr] = \dfrac{b-a}{N}\bigl[f(b)-f(a)\bigr]$ . Todos os termos intermediários se cancelam no telescópio.
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1. $R_N = \Delta x \sum_{k=1}^N f(x_k)$ e $L_N = \Delta x \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k)$ .
2. $R_N - L_N = \Delta x \bigl[\sum_{k=1}^N f(x_k) - \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k)\bigr]$ .
3. Cancelamento telescópico: $R_N - L_N = \Delta x[f(x_N) - f(x_0)] = \dfrac{(b-a)[f(b)-f(a)]}{N}$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · 2016 · CC-BY-NC-SA. Fonte principal dos exercícios (§5.1).