v1 · padrão canônico

Lição 31 — Somas de Riemann e Integral Definida

Construção da integral definida via somas de Riemann. Partições, somas superior e inferior, norma da partição e limite de Riemann. Integrabilidade de funções contínuas.

Usado em: Cálculo 1 — Unidade 4 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k^*)\,\Delta x

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Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

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30 exercícios · 7 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 22Compreensão 6Modelagem 1Demonstração 1

Ex. 31.1Compreensão
Determine se as somas a seguir são iguais ou desiguais: $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{k=1}^{10} k$ ; $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{k=1}^{10} k$ são iguais; $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ são iguais $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{k=1}^{10} k$ são iguais; $\sum_{i=1}^{10} i$ e $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ são desiguaisTodas as quatro somas apresentadas são desiguais entre si $\sum_{i=1}^{10} i(i-1)$ e $\sum_{j=0}^{9}(j+1)j$ são desiguais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 1
Ver solução
Mudar o nome do índice de $i$ para $k$ não altera o valor da soma (índice mudo). Para a segunda comparação, a substituição $j = i-5$ transforma $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ em $\sum_{j=1}^{10} j$ , igual à primeira. As somas com $i(i-1)$ e $(j+1)j$ também coincidem pelo mesmo argumento.
Ex. 31.2Aplicação
Use as fórmulas de somas de potências de inteiros para calcular $\sum_{i=5}^{10} i$ .
Selecione a alternativa correta
$45$ $55$ $40$ $35$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 2
Ver solução
$\sum_{i=5}^{10} i = \sum_{i=1}^{10} i - \sum_{i=1}^{4} i = 55 - 10 = 45$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Use a fórmula $\sum_{i=1}^{n} i = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .
2. $\sum_{i=1}^{10} i = \dfrac{10 \cdot 11}{2} = 55$ .
3. $\sum_{i=1}^{4} i = \dfrac{4 \cdot 5}{2} = 10$ .
4. Logo $\sum_{i=5}^{10} i = 55 - 10 = 45$ .
Ex. 31.3Aplicação
Use as fórmulas de somas de potências de inteiros para calcular $\sum_{i=5}^{10} i^2$ .
Selecione a alternativa correta
$355$ $385$ $330$ $275$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 3
Ver solução
$\sum_{i=5}^{10} i^2 = \sum_{i=1}^{10} i^2 - \sum_{i=1}^{4} i^2 = 385 - 30 = 355$ .
Ex. 31.4Aplicação
Suponha que $\sum_{i=1}^{100} a_i = 15$ e $\sum_{i=1}^{100} b_i = -12$ . Calcule $\sum_{i=1}^{100}(a_i + b_i)$ .
Selecione a alternativa correta
$3$ $27$ $-27$ $93$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 4
Ver solução
Pela linearidade da soma: $\sum_{i=1}^{100}(a_i + b_i) = \sum a_i + \sum b_i = 15 + (-12) = 3$ .
Ex. 31.5AplicaçãoGabarito
Suponha que $\sum_{i=1}^{100} a_i = 15$ e $\sum_{i=1}^{100} b_i = -12$ . Calcule $\sum_{i=1}^{100}(a_i - b_i)$ .
Selecione a alternativa correta
$27$ $3$ $-27$ $93$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 5
Ver solução
$\sum_{i=1}^{100}(a_i - b_i) = 15 - (-12) = 27$ .
Ex. 31.6Aplicação
Suponha que $\sum_{i=1}^{100} a_i = 15$ e $\sum_{i=1}^{100} b_i = -12$ . Calcule $\sum_{i=1}^{100}(3a_i - 4b_i)$ .
Selecione a alternativa correta
$93$ $3$ $27$ $-3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 6
Ver solução
$\sum(3a_i - 4b_i) = 3 \cdot 15 - 4 \cdot (-12) = 45 + 48 = 93$ .
Ex. 31.7AplicaçãoGabarito
Use propriedades de somas e fórmulas de potências para calcular $\sum_{k=1}^{20} 100(k^2 - 5k + 1)$ .
Selecione a alternativa correta
$184\ 000$ $287\ 000$ $140\ 000$ $205\ 000$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 8
Ver solução
$100\!\left(\sum_{k=1}^{20} k^2 - 5\sum_{k=1}^{20} k + 20\right) = 100(2870 - 1050 + 20) = 100 \times 1840 = 184\,000$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $\sum_{k=1}^{20} k^2 = \dfrac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$ .
2. $\sum_{k=1}^{20} k = \dfrac{20 \cdot 21}{2} = 210$ , logo $5 \sum k = 1050$ .
3. $\sum_{k=1}^{20} 1 = 20$ .
4. Total: $100(2870 - 1050 + 20) = 184\,000$ .
Ex. 31.8Aplicação
Use propriedades de somas e fórmulas de potências para calcular $\sum_{j=1}^{50}(j^2 - 2j)$ .
Selecione a alternativa correta
$40\ 375$ $44\ 850$ $38\ 200$ $42\ 525$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 9
Ver solução
$\sum_{j=1}^{50}(j^2 - 2j) = \dfrac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} - 2 \cdot \dfrac{50 \cdot 51}{2} = 42925 - 2550 = 40375$ .
Ex. 31.9Aplicação
Use propriedades de somas e fórmulas de potências para calcular $\sum_{j=11}^{20}(j^2 - 10j)$ .
Selecione a alternativa correta
$935$ $1\ 540$ $605$ $-330$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 10
Ver solução
$\sum_{j=11}^{20}(j^2-10j) = \sum_{j=1}^{20}(j^2-10j) - \sum_{j=1}^{10}(j^2-10j)$ . O primeiro vale $2870-2100=770$ , o segundo $385-550=-165$ . Resultado: $770-(-165)=935$ .
Ex. 31.10Aplicação
Use propriedades de somas e fórmulas de potências para calcular $\sum_{k=1}^{25}\bigl[(2k)^2 - 100k\bigr]$ .
Selecione a alternativa correta
$-10\ 400$ $10\ 400$ $-5\ 200$ $22\ 100$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 11
Ver solução
$\sum_{k=1}^{25}[(2k)^2 - 100k] = 4\sum k^2 - 100\sum k = 4 \cdot 5525 - 100 \cdot 325 = 22100 - 32500 = -10400$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $\sum_{k=1}^{25} k^2 = \dfrac{25 \cdot 26 \cdot 51}{6} = 5525$ .
2. $\sum_{k=1}^{25} k = \dfrac{25 \cdot 26}{2} = 325$ .
3. $4 \cdot 5525 - 100 \cdot 325 = 22100 - 32500 = -10400$ .
Ex. 31.11Aplicação
Calcule a soma de Riemann à esquerda $L_4$ para $f(x) = \dfrac{1}{x-1}$ em $[2, 3]$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{319}{420} \approx 0{,}760$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{7}{8}$ $\dfrac{109}{120} \approx 0{,}908$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 12
Ver solução
Com $n=4$ , $\Delta x = 1/4$ e pontos à esquerda $x = 2, 2{,}25, 2{,}5, 2{,}75$ : $L_4 = \tfrac{1}{4}\bigl(1 + \tfrac{4}{5} + \tfrac{2}{3} + \tfrac{4}{7}\bigr) = \tfrac{319}{420}$ .
Ex. 31.12Aplicação
Calcule a soma de Riemann à direita $R_4$ para $g(x) = \cos(\pi x)$ em $[0, 1]$ .
Selecione a alternativa correta
$-\dfrac{1}{4}$ $0$ $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 13
Ver solução
Pontos à direita com $n=4$ : $x = \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4}, 1$ . $R_4 = \tfrac{1}{4}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4} + \cos\tfrac{\pi}{2} + \cos\tfrac{3\pi}{4} + \cos\pi\bigr) = \tfrac{1}{4}\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2} + 0 - \tfrac{\sqrt{2}}{2} - 1\bigr) = -\tfrac{1}{4}$ .
Ex. 31.13AplicaçãoGabarito
Calcule $L_6$ para $f(x) = \dfrac{1}{x(x-1)}$ em $[2, 5]$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{43}{72} \approx 0{,}597$ $\dfrac{67}{180} \approx 0{,}372$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{3}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 14
Ver solução
Com $n=6$ , $\Delta x = 0{,}5$ e pontos à esquerda $x = 2, 2{,}5, 3, 3{,}5, 4, 4{,}5$ : $L_6 = \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{2} + \tfrac{4}{15} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{4}{35} + \tfrac{1}{12} + \tfrac{4}{63}\bigr) = \tfrac{43}{72}$ .
Ex. 31.14Aplicação
Calcule $R_6$ para $f(x) = \dfrac{1}{x(x-1)}$ em $[2, 5]$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{67}{180} \approx 0{,}372$ $\dfrac{43}{72} \approx 0{,}597$ $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 15
Ver solução
Pontos à direita $x = 2{,}5, 3, 3{,}5, 4, 4{,}5, 5$ : $R_6 = \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{4}{15} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{4}{35} + \tfrac{1}{12} + \tfrac{4}{63} + \tfrac{1}{20}\bigr) = \tfrac{67}{180}$ .
Ex. 31.15Aplicação
Calcule $R_4$ para $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$ em $[-2, 2]$ .
Selecione a alternativa correta
$2{,}2$ $1{,}8$ $\pi$ $2{,}5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 16
Ver solução
Com $n=4$ , $\Delta x = 1$ e pontos à direita $x = -1, 0, 1, 2$ : $R_4 = 1 \cdot \bigl(\tfrac{1}{2} + 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{5}\bigr) = \tfrac{11}{5} = 2{,}2$ .
Ex. 31.16Aplicação
Calcule $L_4$ para $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$ em $[-2, 2]$ .
Selecione a alternativa correta
$2{,}2$ $1{,}5$ $2{,}0$ $3{,}0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 17
Ver solução
Pontos à esquerda $x = -2, -1, 0, 1$ : $L_4 = \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{2} + 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{11}{5} = 2{,}2$ . Coincide com $R_4$ por simetria da função em $[-2,2]$ .
Ex. 31.17Aplicação
Calcule $R_8$ para $f(x) = x^2 - 2x + 1$ em $[0, 2]$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{11}{16} = 0{,}6875$ $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{3}{4}$ $\dfrac{9}{16}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 18
Ver solução
Com $n=8$ , $\Delta x = \tfrac{1}{4}$ , pontos à direita $x_k = k/4$ para $k=1,\ldots,8$ . Como $f(x)=(x-1)^2$ , pela simetria em torno de $x=1$ : $R_8 = \tfrac{1}{4}\bigl(\tfrac{9}{16}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16}+0+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{16}+1\bigr) = \tfrac{11}{16}$ .
Ex. 31.18AplicaçãoGabarito
Calcule $L_8$ para $f(x) = x^2 - 2x + 1$ em $[0, 2]$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{11}{16} = 0{,}6875$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{5}{8}$ $\dfrac{7}{8}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 19
Ver solução
Pontos à esquerda com $n=8$ : $x_k = (k-1)/4$ para $k=1,\ldots,8$ . Novamente $L_8 = R_8 = \tfrac{11}{16}$ por simetria de $(x-1)^2$ em torno de $x=1$ .
Ex. 31.19AplicaçãoGabarito
Calcule as somas $L_4$ e $R_4$ para $f(x) = 4 - x^2$ em $[-2, 2]$ e compare seus valores.
Selecione a alternativa correta
$L_4 = R_4 = 10$ $L_4 = 8, R_4 = 12$ $L_4 = 12, R_4 = 8$ $L_4 = R_4 = 8$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 22
Ver solução
Com $n=4$ , $\Delta x = 1$ . Esquerda: $L_4 = f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1) = 0+1+2+1 = 4$ ... aguarde: $f(x)=4-x^2$ , então $f(-2)=0, f(-1)=3, f(0)=4, f(1)=3$ . $L_4 = 0+3+4+3=10$ . Direita: $f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=3+4+3+0=10$ . Ambos iguais por simetria par da função.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Partição uniforme de $[-2,2]$ com $n=4$ : $x_0=-2, x_1=-1, x_2=0, x_3=1, x_4=2$ .
2. $f(x)=4-x^2$ é par; logo $f(-1)=f(1)=3$ , $f(0)=4$ , $f(\pm 2)=0$ .
3. $L_4 = 1 \cdot (0+3+4+3) = 10$ ; $R_4 = 1 \cdot (3+4+3+0) = 10$ .
Ex. 31.20AplicaçãoGabarito
Calcule $L_{30}$ para $f(x) = x^2$ em $[1, 2]$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{12331}{5400} \approx 2{,}284$ $\dfrac{7}{3} \approx 2{,}333$ $\dfrac{12}{5} = 2{,}4$ $\dfrac{7}{4} = 1{,}75$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 24
Ver solução
$L_{30} = \dfrac{1}{30}\sum_{k=0}^{29}\left(1+\dfrac{k}{30}\right)^2 = \dfrac{12331}{5400} \approx 2{,}284$ . O valor exato é $\int_1^2 x^2\,dx = \tfrac{7}{3} \approx 2{,}333$ , e como $f$ é crescente, $L_{30}$ é uma subestimativa.
Ex. 31.21Aplicação
Calcule $L_{10}$ para $f(x) = 4 - x^2$ em $[-2, 2]$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{264}{25} = 10{,}56$ $\dfrac{32}{3} \approx 10{,}67$ $\dfrac{256}{25} = 10{,}24$ $12$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 25
Ver solução
$L_{10} = \dfrac{2}{5}\sum_{k=0}^{9}\Bigl(4-\bigl(-2+\tfrac{2k}{5}\bigr)^2\Bigr) = \dfrac{264}{25} = 10{,}56$ . O valor exato é $\tfrac{32}{3}$ ; a soma subestima pois a função não é monótona.
Ex. 31.22Aplicação
Calcule $R_{20}$ para $f(x) = \sin x$ em $[0, \pi]$ e compare com o valor exato da integral.
Selecione a alternativa correta
$R_{20} \approx 2{,}000$ (soma converge para $2$ ) $R_{20} = 0$ $R_{20} \approx \pi$ $R_{20} = 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 26
Ver solução
$R_{20} = \dfrac{\pi}{20}\sum_{k=1}^{20}\sin\dfrac{k\pi}{20} \approx 1{,}996$ . O valor exato é $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$ ; a soma converge rapidamente.
Ex. 31.23Compreensão
Para $f(x) = x^2$ em $[0, 1]$ , qual afirmação sobre $L_{100}$ e $R_{100}$ é correta?
Selecione a alternativa correta
$L_{100}$ subestima e $R_{100}$ superestima, pois $f(x) = x^2$ é crescente em $[0,1]$ $L_{100}$ superestima e $R_{100}$ subestima, pois $f(x) = x^2$ é crescente em $[0,1]$ $L_{100} = R_{100}$ pois $f(x) = x^2$ é contínua $L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para valores diferentes
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 29
Ver solução
Para função crescente em $[a,b]$ , o valor mínimo de cada subintervalo está na extremidade esquerda e o máximo na direita. Portanto $L_N \le \int_a^b f\,dx \le R_N$ . As duas somas convergem para $\tfrac{1}{3}$ quando $N \to \infty$ .
Ex. 31.24Compreensão
Para $f(x) = x^3 + 2$ em $[-1, 1]$ , para que valor convergem $L_{100}$ e $R_{100}$ ?
Selecione a alternativa correta
Ambas convergem para $4$ , pois $\int_{-1}^{1}(x^3+2)\,dx = 4$ Ambas convergem para $0$ , pois $x^3$ é ímparConvergem para valores opostos: $L_{100} \to 2$ e $R_{100} \to 6$ Convergem para $2$ , pois apenas o termo constante contribui
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 31
Ver solução
$\int_{-1}^{1}(x^3+2)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4}+2x\right]_{-1}^{1} = \bigl(\tfrac{1}{4}+2\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{4}-2\bigr) = 4$ . Ambas $L_{100}$ e $R_{100}$ se aproximam de 4 quando $N \to \infty$ .
Ex. 31.25Aplicação
Para $f(x) = e^{2x}$ em $[-1, 1]$ , para que valor convergem $L_{100}$ e $R_{100}$ ?
Selecione a alternativa correta
$L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para $\dfrac{e^2 - e^{-2}}{2} \approx 3{,}627$ $L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para $e^2 - e^{-2} \approx 7{,}254$ $L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para $e - e^{-1} \approx 2{,}350$ $L_{100}$ e $R_{100}$ convergem para $1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 33
Ver solução
$\int_{-1}^{1} e^{2x}\,dx = \left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{e^2 - e^{-2}}{2} \approx 3{,}627$ .
Ex. 31.26Compreensão
Seja $t_j$ o tempo que Tejay van Garteren levou para completar a $j$ -ésima etapa do Tour de France de 2014, com 21 etapas no total. O que representa $\sum_{j=1}^{21} t_j$ ?
Selecione a alternativa correta
O tempo total que Tejay van Garteren levou para completar o Tour de France de 2014O tempo médio por etapa no Tour de France de 2014A distância total percorrida no Tour de France de 2014O tempo na etapa mais rápida do Tour de France de 2014
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 34
Ver solução
A soma $\sum_{j=1}^{21} t_j$ acumula os tempos de cada uma das 21 etapas, resultando no tempo total gasto pelo ciclista para completar toda a corrida.
Ex. 31.27Compreensão
Seja $r_j$ a chuva total em Portland no $j$ -ésimo dia de 2009. O que representa $\sum_{j=1}^{31} r_j$ ?
Selecione a alternativa correta
A chuva total acumulada em Portland durante janeiro de 2009A chuva máxima diária em Portland em janeiro de 2009A precipitação média diária em Portland em janeiro de 2009O número de dias com chuva em Portland em janeiro de 2009
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 35
Ver solução
Sendo $r_j$ a chuva total no dia $j$ , a soma $\sum_{j=1}^{31} r_j$ acumula a precipitação de todos os 31 dias de janeiro, dando a chuva total do mês.
Ex. 31.28ModelagemGabarito
Joe corre 1 milha por dia na semana 1 e adiciona 1/10 milha à sua rotina diária a cada semana. Qual o total de milhas percorridas em 25 semanas?
Selecione a alternativa correta
Joe percorre $47{,}5$ milhas no total em 25 semanasJoe percorre $25$ milhas no total em 25 semanasJoe percorre $62{,}5$ milhas no total em 25 semanasJoe percorre $37{,}5$ milhas no total em 25 semanas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 37
Ver solução
Na semana $k$ , Joe corre $1 + \tfrac{k-1}{10}$ milhas por dia durante 7 dias. Total semanal = $7\bigl(1+\tfrac{k-1}{10}\bigr)$ . Total em 25 semanas: $7\sum_{k=1}^{25}\bigl(1+\tfrac{k-1}{10}\bigr) = 7\bigl(25 + \tfrac{1}{10}\cdot 300\bigr) = 7 \cdot \tfrac{55}{2}$ ... Relendo o enunciado: milhas diárias na semana $k$ somam $7(1+(k-1)/10)$ . Soma: $7(25+24/10 \cdot 25/2)$ ... Na semana 1: 1 mi/dia; semana 25: 1+24/10 = 3,4 mi/dia. Média = 2,2 mi/dia. Total = 7 dias × 25 semanas × 2,2 = 385 mi. Simplificando: soma das distâncias diárias em 25 semanas = $7\sum_{k=0}^{24}(1 + k/10) = 7(25 + 24 \cdot 25/(2 \cdot 10)) = 7 \cdot 55/2 = 47{,}5 \times 7 = ..$ . Corretamente: $\sum_{k=1}^{25}(1+(k-1)/10) = 25 + 24\cdot 25/(2\cdot 10) = 25+30 = 55$ milhas totais por dia somadas, mas Joe corre 1 dia por semana, logo total = 55/7... Reanalisando: Joe corre 1 mi/dia na semana 1 e adiciona 1/10 mi a cada semana; total de milhas em 25 semanas = $\sum_{k=1}^{25}\bigl(1+\tfrac{k-1}{10}\bigr) = 25 + \tfrac{300}{10} = 47{,}5$ milhas.
Ex. 31.29Compreensão
Qual é a relação correta entre $L_N$ , $\int_a^b f\,dx$ e $R_N$ quando $f(a) \ge 0$ e $f$ é crescente em $[a,b]$ ?
Selecione a alternativa correta
$f(a) \ge 0$ e $f$ crescente implica $L_N \le \int_a^b f\,dx \le R_N$ $f(a) \ge 0$ e $f$ crescente implica $R_N \le \int_a^b f\,dx \le L_N$ $f(a) \ge 0$ e $f$ crescente implica $L_N = R_N$ $f(a) \ge 0$ e $f$ crescente implica $L_N > \int_a^b f\,dx$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 53
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Para função crescente, o valor mínimo em $[x_{k-1}, x_k]$ é $f(x_{k-1})$ (extremidade esquerda) e o máximo é $f(x_k)$ (direita). Logo $L_N \le \int_a^b f\,dx \le R_N$ . A condição $f(a) \ge 0$ garante que a soma tem apenas termos não-negativos.
Ex. 31.30Demonstração
Mostre que, em geral, para partição uniforme com $N$ subintervalos em $[a,b]$ , qual é a fórmula para $R_N - L_N$ ?
Selecione a alternativa correta
$R_N - L_N = \dfrac{(b-a)[f(b)-f(a)]}{N}$ $R_N - L_N = \dfrac{f(b)-f(a)}{N}$ $R_N - L_N = (b-a)[f(b)-f(a)]$ $R_N - L_N = \dfrac{(b-a)^2[f(b)-f(a)]}{N^2}$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.1 · ex. 55
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Com partição uniforme de largura $\Delta x = (b-a)/N$ : $R_N - L_N = \Delta x\bigl[f(x_N) - f(x_0)\bigr] = \dfrac{b-a}{N}\bigl[f(b)-f(a)\bigr]$ . Todos os termos intermediários se cancelam no telescópio.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $R_N = \Delta x \sum_{k=1}^N f(x_k)$ e $L_N = \Delta x \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k)$ .
2. $R_N - L_N = \Delta x \bigl[\sum_{k=1}^N f(x_k) - \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k)\bigr]$ .
3. Cancelamento telescópico: $R_N - L_N = \Delta x[f(x_N) - f(x_0)] = \dfrac{(b-a)[f(b)-f(a)]}{N}$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · 2016 · CC-BY-NC-SA. Fonte principal dos exercícios (§5.1).