v1 · padrão canônico

Lição 32 — Propriedades da Integral Definida

Propriedades algébricas e de ordem da integral definida: linearidade, aditividade em intervalos, comparação e estimativas. Valor médio integral e teorema do valor médio para integrais.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 4 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx

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30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 19Understanding 9Modeling 2

Ex. 32.1Application
Calcule $\int_0^3 (3-x)\,dx$ usando fórmula de área geométrica.
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$\dfrac{9}{2}$ $3$ $6$ $\dfrac{3}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 76
Show solution
O integrando $3 - x$ é linear e positivo em $[0,3]$ (zero em $x=3$ ). O gráfico é um triângulo de base 3 e altura 3, logo área $= \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 = \frac{9}{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reconheça que $f(x) = 3-x$ forma um triângulo com o eixo $x$ em $[0,3]$ .
2. Base = 3, altura = $f(0)=3$ .
3. Área $= \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 = \frac{9}{2}$ .
Ex. 32.2Application
Calcule $\int_2^3 (3-x)\,dx$ usando fórmula de área geométrica.
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}$ $1$ $\dfrac{3}{2}$ $2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 77
Show solution
Em $[2,3]$ , $3-x$ vai de 1 (em $x=2$ ) a 0 (em $x=3$ ). Triângulo de base 1 e altura 1: área $= \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{2}$ .
Ex. 32.3Application
Calcule $\int_{-3}^{3} (3-|x|)\,dx$ usando fórmula de área geométrica.
Select the correct option
$9$ $6$ $18$ $3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 78
Show solution
O gráfico de $3 - |x|$ em $[-3,3]$ é um triângulo simétrico com vértice em $(0,3)$ , base 6, altura 3. Área $= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 = 9$ .
Ex. 32.4Application
Calcule $\int_0^6 (3-|x-3|)\,dx$ usando fórmula de área geométrica.
Select the correct option
$9$ $18$ $6$ $12$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 79
Show solution
O gráfico de $3 - |x-3|$ em $[0,6]$ é triângulo com vértice em $(3,3)$ , base 6, altura 3. Área $= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 = 9$ .
Ex. 32.5Application
Calcule $\int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,dx$ usando fórmula de área geométrica.
Select the correct option
$2\pi$ $\pi$ $4$ $4\pi$
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OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 80
Show solution
O integrando $\sqrt{4-x^2}$ é a metade superior do círculo de raio 2. Em $[-2,2]$ temos um semicírculo de raio 2: área $= \frac{\pi\cdot 4}{2} = 2\pi$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reconheça $y = \sqrt{4-x^2}$ como semicírculo superior de raio $r=2$ .
2. Área do semicírculo: $\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot 4 = 2\pi$ .
Ex. 32.6Application
Calcule $\int_1^5 \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx$ usando fórmula de área geométrica.
Select the correct option
$2\pi$ $4\pi$ $\pi$ $2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 81
Show solution
O integrando $\sqrt{4-(x-3)^2}$ é a metade superior do círculo de raio 2 centrado em $x=3$ . Em $[1,5]$ temos um semicírculo completo de raio 2: área $= \frac{\pi\cdot 4}{2} = 2\pi$ .
Ex. 32.7ApplicationAnswer key
Calcule $\int_0^{12} \sqrt{36-(x-6)^2}\,dx$ usando fórmula de área geométrica.
Select the correct option
$18\pi$ $36\pi$ $9\pi$ $12\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 82
Show solution
O integrando $\sqrt{36-(x-6)^2}$ é a metade superior do círculo de raio 6 centrado em $x=6$ . Em $[0,12]$ temos um semicírculo completo de raio 6: área $= \frac{\pi\cdot 36}{2} = 18\pi$ .
Ex. 32.8Understanding
Suponha que $\int_0^4 f(x)\,dx = 5$ , $\int_0^2 f(x)\,dx = -3$ , $\int_0^4 g(x)\,dx = -1$ e $\int_0^2 g(x)\,dx = 2$ . Calcule $\int_0^4 [f(x)+g(x)]\,dx$ .
Select the correct option
$4$ $5$ $3$ $\dfrac{9}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 88
Show solution
Por aditividade, $\int_0^4(f+g) = \int_0^4 f + \int_0^4 g = 5 + (-1) = 4$ .
Ex. 32.9UnderstandingAnswer key
Usando os dados $\int_0^4 f = 5$ , $\int_0^2 f = -3$ , $\int_0^4 g = -1$ , $\int_0^2 g = 2$ , calcule $\int_2^4 [f(x)-g(x)]\,dx$ .
Select the correct option
$11$ $5$ $8$ $-5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 89
Show solution
Por aditividade: $\int_2^4 f = \int_0^4 f - \int_0^2 f = 5-(-3) = 8$ . Analogamente $\int_2^4 g = \int_0^4 g - \int_0^2 g = -1-2 = -3$ . Logo $\int_2^4(f-g) = 8 - (-3) = 11$ .
Ex. 32.10Understanding
Usando os dados $\int_0^4 f = 5$ , $\int_0^2 f = -3$ , $\int_0^4 g = -1$ , $\int_0^2 g = 2$ , calcule $\int_0^2 [f(x) - g(x)]\,dx$ .
Select the correct option
$-5$ $5$ $-1$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 90
Show solution
Usando aditividade: $\int_0^2 f - \int_0^2 g = -3 - 2 = -5$ . Linearidade da integral garante $\int_0^2(f-g) = \int_0^2 f - \int_0^2 g$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Propriedade de linearidade: $\int_0^2(f-g) = \int_0^2 f - \int_0^2 g$ .
2. Substituindo os dados: $-3 - 2 = -5$ .
Ex. 32.11Application
Usando os dados $\int_0^2 f = -3$ e $\int_0^2 g = 2$ , calcule $\int_0^2 [3f(x) - 4g(x)]\,dx$ .
Select the correct option
$-17$ $17$ $-5$ $11$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 92
Show solution
Linearidade: $3\int_0^2 f - 4\int_0^2 g = 3(-3) - 4(2) = -9 - 8 = -17$ .
Ex. 32.12Application
Usando os dados $\int_0^4 f = 5$ , $\int_0^2 f = -3$ , $\int_0^4 g = -1$ , $\int_0^2 g = 2$ , calcule $\int_2^4 [4f(x) - 3g(x)]\,dx$ .
Select the correct option
$41$ $-41$ $23$ $-23$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 93
Show solution
Aditividade: $\int_2^4 f = \int_0^4 f - \int_0^2 f = 5 - (-3) = 8$ e $\int_2^4 g = \int_0^4 g - \int_0^2 g = -1 - 2 = -3$ . Logo $4\cdot 8 - 3\cdot(-3) = 32 + 9 = 41$ .
Ex. 32.13Understanding
Use a identidade $\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = \int_{-A}^0 f + \int_0^A f$ para calcular $\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin t}{1+t^2}\,dt$ .
Select the correct option
$0$ $2$ $\pi$ $-\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 94
Show solution
O integrando $h(t) = \frac{\sin t}{1+t^2}$ é ímpar: $h(-t) = \frac{-\sin t}{1+t^2} = -h(t)$ . Pela propriedade de funções ímpares em intervalo simétrico: $\int_{-\pi}^\pi h(t)\,dt = 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Verifique que $h(t) = \frac{\sin t}{1+t^2}$ é ímpar: $h(-t) = \frac{\sin(-t)}{1+(-t)^2} = \frac{-\sin t}{1+t^2} = -h(t)$ .
2. Propriedade: se $h$ é ímpar, $\int_{-A}^A h(t)\,dt = 0$ .
Ex. 32.14UnderstandingAnswer key
Calcule $\int_{-\pi}^\pi \frac{t}{1+\cos t}\,dt$ usando propriedade de funções ímpares.
Select the correct option
$0$ $\pi$ $2\pi$ $-\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 95
Show solution
O integrando $g(t) = \frac{t}{1+\cos t}$ : verifique paridade. $g(-t) = \frac{-t}{1+\cos(-t)} = \frac{-t}{1+\cos t} = -g(t)$ . Função ímpar em intervalo simétrico: integral é 0.
Ex. 32.15Application
Dado que $\int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}$ , $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$ e $\int_0^1 x^3\,dx = \frac{1}{4}$ , calcule $\int_0^1(1+x+x^2+x^3)\,dx$ .
Select the correct option
$\dfrac{25}{12}$ $\dfrac{7}{12}$ $\dfrac{13}{12}$ $2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 98
Show solution
Dado $\int_0^1 x\,dx = 1/2$ , $\int_0^1 x^2\,dx = 1/3$ , $\int_0^1 x^3\,dx = 1/4$ , pela linearidade: $\int_0^1(1+x+x^2+x^3)\,dx = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = \frac{25}{12}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Linearidade: $\int_0^1(1+x+x^2+x^3) = \int_0^1 1 + \int_0^1 x + \int_0^1 x^2 + \int_0^1 x^3$ .
2. Substitui os valores dados: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{12+6+4+3}{12} = \frac{25}{12}$ .
Ex. 32.16Application
Usando os mesmos valores integrais, calcule $\int_0^1(1-x+x^2-x^3)\,dx$ .
Select the correct option
$\dfrac{7}{12}$ $\dfrac{25}{12}$ $\dfrac{5}{12}$ $\dfrac{11}{12}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 99
Show solution
Linearidade com dados $\int_0^1 x = 1/2$ , $\int_0^1 x^2 = 1/3$ , $\int_0^1 x^3 = 1/4$ : $1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = \frac{12-6+4-3}{12} = \frac{7}{12}$ .
Ex. 32.17ApplicationAnswer key
Calcule $\int_0^1(1-x)^2\,dx$ expandindo e usando os valores $\int_0^1 x = 1/2$ , $\int_0^1 x^2 = 1/3$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{2}$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 100
Show solution
Expanda: $(1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$ . Então $\int_0^1(1-x)^2\,dx = 1 - 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 1 - 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ .
Ex. 32.18Application
Calcule $\int_0^1(1-2x)^3\,dx$ expandindo e usando $\int_0^1 x = 1/2$ , $\int_0^1 x^2 = 1/3$ , $\int_0^1 x^3 = 1/4$ .
Select the correct option
$0$ $\dfrac{1}{4}$ $-\dfrac{1}{4}$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 101
Show solution
Expanda: $(1-2x)^3 = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3$ . Logo $\int_0^1(1-2x)^3\,dx = 1 - 6\cdot\frac{1}{2} + 12\cdot\frac{1}{3} - 8\cdot\frac{1}{4} = 1 - 3 + 4 - 2 = 0$ .
Ex. 32.19Application
Calcule $\int_0^1\!\left(6x - \frac{4}{3}x^2\right)dx$ usando linearidade.
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$\dfrac{23}{9}$ $3$ $\dfrac{5}{3}$ $\dfrac{7}{9}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 102
Show solution
Linearidade: $6\int_0^1 x - \frac{4}{3}\int_0^1 x^2 = 6\cdot\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3} = 3 - \frac{4}{9} = \frac{27-4}{9} = \frac{23}{9}$ .
Ex. 32.20Application
Calcule $\int_0^1(7 - 5x^3)\,dx$ usando a linearidade e os valores $\int_0^1 x^3 = 1/4$ .
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$\dfrac{23}{4}$ $\dfrac{5}{4}$ $7$ $\dfrac{51}{4}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 103
Show solution
Linearidade: $7\int_0^1 1\,dx - 5\int_0^1 x^3\,dx = 7\cdot 1 - 5\cdot\frac{1}{4} = 7 - \frac{5}{4} = \frac{28-5}{4} = \frac{23}{4}$ .
Ex. 32.21Understanding
Use o teorema de comparação para mostrar que $\int_0^3(x^2-6x+9)\,dx \ge 0$ . Qual das afirmações justifica corretamente esse resultado?
Select the correct option
Sim, porque $(x-3)^2 \geq 0$ em $[0,3]$ Não, a integral pode ser negativa dependendo dos extremosSim, mas apenas porque o intervalo tem comprimento 3Não, é preciso calcular explicitamente para concluir
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 104
Show solution
Observe que $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \ge 0$ para todo $x$ . Pela propriedade de monotonicidade (P3): $(x-3)^2 \ge 0 \Rightarrow \int_0^3 (x-3)^2\,dx \ge \int_0^3 0\,dx = 0$ .
Ex. 32.22Understanding
Use o teorema de comparação para mostrar que $\int_{-2}^3(x-3)(x+2)\,dx \le 0$ . Qual afirmação justifica?
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$(x-3)(x+2) \leq 0$ em $[-2,3]$ , logo a integral é não positiva $(x-3)(x+2) \geq 0$ em $[-2,3]$ , logo a integral é não negativaO integrando muda de sinal, tornando o resultado indeterminadoO intervalo é simétrico, logo a integral é zero
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 105
Show solution
Os zeros do produto são $x=-2$ e $x=3$ . Em $(-2,3)$ ambos os fatores têm sinais opostos: $(x-3) < 0$ e $(x+2) > 0$ . Logo $(x-3)(x+2) \le 0$ em $[-2,3]$ . Por P3: $\int_{-2}^3 (x-3)(x+2)\,dx \le 0$ .
Ex. 32.23UnderstandingAnswer key
Use o teorema de comparação para mostrar que $\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt \ge \frac{\pi}{4}$ . Qual propriedade justifica?
Select the correct option
$\sin t \geq \dfrac{2t}{\pi}$ em $[0,\pi/2]$ , portanto a integral é maior ou igual a $\pi/4$ $\sin t \leq \dfrac{2t}{\pi}$ em $[0,\pi/2]$ A integral de $\sin t$ em $[0,\pi/2]$ é exatamente $\pi/4$ A desigualdade não pode ser provada por comparação direta
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 108
Show solution
Em $[0,\pi/2]$ , a função $\sin t$ está acima da corda linear $\frac{2t}{\pi}$ (pois seno é côncavo nesse intervalo). Logo $\sin t \ge \frac{2t}{\pi}$ . Por P3: $\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt \ge \int_0^{\pi/2}\frac{2t}{\pi}\,dt = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2/4}{1} = \frac{\pi}{4}$ .
Ex. 32.24Understanding
Use o teorema de comparação para mostrar que $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos t\,dt \ge \frac{\pi^2}{4}$ . Qual afirmação é a correta justificativa?
Select the correct option
$\cos t \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ em $[-\pi/4,\,\pi/4]$ $\cos t \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ em $[-\pi/4,\,\pi/4]$ A integral é zero porque o cosseno é par num intervalo simétricoA desigualdade segue do fato de que $\cos$ é crescente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 109
Show solution
Em $[-\pi/4, \pi/4]$ , o mínimo de $\cos t$ é atingido nos extremos: $\cos(\pm\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Logo $\cos t \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ no intervalo. Por P5: $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos t\,dt \ge \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{4} > \frac{\pi^2}{4}$ ... na verdade a estimativa direta dá $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\pi}{2}$ . A afirmação que justifica a desigualdade pedida é que $\cos t \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Ex. 32.25Application
Encontre o valor médio de $f(x)=x^2$ em $[-1,1]$ e o ponto $c$ onde $f(c) = f_{\text{med}}$ .
Select the correct option
$f_{\text{med}} = \dfrac{1}{3}$ , $c = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $f_{\text{med}} = 1$ , $c = 1$ $f_{\text{med}} = \dfrac{1}{3}$ , $c = \sqrt{3}$ $f_{\text{med}} = \dfrac{2}{3}$ , $c = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 110
Show solution
Valor médio: $f_{\text{med}} = \frac{1}{1-(-1)}\int_{-1}^1 x^2\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ . Ponto $c$ : resolva $c^2 = 1/3$ , logo $c = \frac{1}{\sqrt{3}} \in (-1,1)$ (tomando o valor positivo).
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $\int_{-1}^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{2}{3}$ .
2. Valor médio: $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .
3. TVM-I: $c^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .
Ex. 32.26ApplicationAnswer key
Encontre o valor médio de $f(x)=x^5$ em $[-1,1]$ e o ponto $c$ do TVM-I.
Select the correct option
$f_{\text{med}} = 0$ , $c = 0$ $f_{\text{med}} = 1$ , $c = 1$ $f_{\text{med}} = \dfrac{1}{2}$ , $c = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $f_{\text{med}} = -1$ , $c = -1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 111
Show solution
$f(x) = x^5$ é ímpar em $[-1,1]$ , logo $\int_{-1}^1 x^5\,dx = 0$ . Valor médio $= 0$ . TVM-I: $c^5 = 0 \Rightarrow c = 0$ .
Ex. 32.27Application
Encontre o valor médio de $f(x)=4-x^2$ em $[0,2]$ e o ponto $c$ do TVM-I.
Select the correct option
$f_{\text{med}} = \dfrac{8}{3}$ , $c = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ $f_{\text{med}} = 2$ , $c = 0$ $f_{\text{med}} = \dfrac{4}{3}$ , $c = 2$ $f_{\text{med}} = \dfrac{16}{3}$ , $c = 1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 112
Show solution
Calcule: $\int_0^2(4-x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$ . Valor médio: $\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{3} = \frac{8}{3}$ . TVM-I: $4-c^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow c^2 = \frac{4}{3} \Rightarrow c = \frac{2}{\sqrt{3}} \in (0,2)$ . $\checkmark$
Ex. 32.28Application
Encontre o valor médio de $f(x) = \sin x$ em $[0, 2\pi]$ .
Select the correct option
$f_{\text{med}} = 0$ $f_{\text{med}} = \dfrac{2}{\pi}$ $f_{\text{med}} = 1$ $f_{\text{med}} = \dfrac{1}{\pi}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 114
Show solution
Calcule $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = [-\cos x]_0^{2\pi} = (-1) - (-1) = 0$ . Valor médio: $\frac{0}{2\pi} = 0$ . Isso reflete o período completo do seno.
Ex. 32.29Modeling
Mostre que o valor médio de $\sin^2 t$ em $[0,2\pi]$ é $\frac{1}{2}$ . Qual é esse valor?
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}$ $0$ $1$ $\dfrac{2}{\pi}$
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 126
Show solution
O valor médio de $\sin^2 t$ em $[0,2\pi]$ é $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 t\,dt$ . Usando $\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$ : $\int_0^{2\pi}\sin^2 t\,dt = \pi$ . Valor médio $= \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$ . Por simetria, o mesmo vale em $[0,\pi]$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Use identidade: $\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$ .
2. Integre: $\int_0^{2\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt = \frac{1}{2}[t - \frac{\sin 2t}{2}]_0^{2\pi} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi$ .
3. Valor médio: $\pi/(2\pi) = 1/2$ .
Ex. 32.30ModelingAnswer key
É verdade que $\int_a^{a+1}\sin(2\pi t)\,dt = 0$ para todo $a$ ? Qual afirmação justifica corretamente?
Select the correct option
Sim, pois $\sin(2\pi t)$ tem período 1 e um ciclo completo integra zeroNão, pois a área positiva pode dominar a negativaDepende do valor de $a$ Sim, mas apenas para $a=0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 141
Show solution
A função $\sin(2\pi t)$ tem período 1. Para qualquer $a$ , o intervalo $[a, a+1]$ tem comprimento igual a um período completo. Por periodicidade (propriedade: $\int_a^{a+T} f = \int_0^T f$ para funções periódicas de período $T$ ), $\int_a^{a+1}\sin(2\pi t)\,dt = \int_0^1 \sin(2\pi t)\,dt = [-\frac{\cos(2\pi t)}{2\pi}]_0^1 = 0$ .