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Lição 33 — Antiderivada e Integral Indefinida

Conceito de antiderivada e integral indefinida. Tabela de integrais básicas. Unicidade a menos de constante. Relação com a Regra da Cadeia via substituição direta.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 4 · USP MAC0105 · ITA MA-011

F'(x) = f(x) \implies \int f(x)\,dx = F(x) + C

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exemplos

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 4Modeling 3Challenge 2

Ex. 33.1Understanding
Verdadeiro ou falso: se $f(x)$ é antiderivada de $v(x)$ , então $2f(x)$ é antiderivada de $2v(x)$ . Justifique.
Select the correct option
Verdadeiro, pois $\frac{d}{dx}[2F(x)] = 2F'(x) = 2v(x)$ .Falso; $2f(x)$ é antiderivada de $v(x)$ , não de $2v(x)$ .Verdadeiro, mas somente quando $v(x) > 0$ .Falso; $2f(x)$ é antiderivada de $4v(x)$ .
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 521
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Verdadeiro. Se $F'(x) = v(x)$ , então $\frac{d}{dx}[2F(x)] = 2F'(x) = 2v(x)$ . A linearidade da derivada garante que o múltiplo escalar é preservado.
Ex. 33.2Understanding
Verdadeiro ou falso: se $f(x)$ é antiderivada de $v(x)$ , então $f(2x)$ é antiderivada de $v(2x)$ . Justifique ou dê um contraexemplo.
Select the correct option
Falso; $f(2x)$ é antiderivada de $2v(2x)$ , não de $v(2x)$ .Verdadeiro; basta substituir $x$ por $2x$ na antiderivada.Falso; $f(2x)$ é antiderivada de $\frac{1}{2}v(2x)$ .Verdadeiro, mas somente para funções pares.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 522
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Falso. Por regra da cadeia, $\frac{d}{dx}[f(2x)] = 2f'(2x) = 2v(2x)$ , não $v(2x)$ . Logo $f(2x)$ é antiderivada de $2v(2x)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Suponha $F'(x)=v(x)$ . Queremos a derivada de $F(2x)$ .
2. Regra da cadeia: $\frac{d}{dx}F(2x) = F'(2x)\cdot 2 = 2v(2x)$ .
3. Para que $F(2x)$ fosse antiderivada de $v(2x)$ , precisaríamos do fator extra $1/2$ .
4. Conclusão: afirmação FALSA. Contraexemplo: $v(x)=1$ , $f(x)=x$ ; $f(2x)=2x$ , mas antiderivada de $v(2x)=1$ é $x$ .
Ex. 33.3Understanding
Verdadeiro ou falso: se $f(x)$ é antiderivada de $v(x)$ , então $f(x)+1$ é antiderivada de $v(x)+1$ . Justifique.
Select the correct option
Falso; $f(x)+1$ é antiderivada de $v(x)$ , não de $v(x)+1$ .Verdadeiro; somar 1 à antiderivada soma 1 à derivada.Verdadeiro, pois $(f(x)+1)' = v(x)+1$ .Falso; $f(x)+1$ nunca é antiderivada de nada.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 523
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Falso. $(f(x)+1)' = f'(x) = v(x)$ , não $v(x)+1$ . A constante 1 some na derivação. Logo $f(x)+1$ é antiderivada de $v(x)$ , não de $v(x)+1$ .
Ex. 33.4UnderstandingAnswer key
Verdadeiro ou falso: se $f(x)$ é antiderivada de $v(x)$ , então $(f(x))^2$ é antiderivada de $(v(x))^2$ . Justifique ou dê contraexemplo.
Select the correct option
Falso; $(f(x))^2$ é antiderivada de $2f(x)v(x)$ , não de $(v(x))^2$ .Verdadeiro para toda função contínua $v$ .Verdadeiro somente se $v(x) = 0$ .Verdadeiro; elevar ao quadrado preserva a primitiva.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 524
Show solution
Falso. Por regra da cadeia, $\frac{d}{dx}[f(x)^2] = 2f(x)f'(x) = 2f(x)v(x)$ . Contraexemplo: $v(x)=1$ , $f(x)=x$ ; $f(x)^2 = x^2$ , cuja derivada é $2x = 2f(x)v(x)$ , não $(v(x))^2=1$ .
Ex. 33.5ApplicationAnswer key
Encontre a forma geral da antiderivada de $f(x) = 4x^3 + 5x^4$ .
Select the correct option
$F(x) = x^4 + x^5 + C$ $F(x) = 5x^4 + 4x^5 + C$ $F(x) = 20x^3 + 20x^4 + C$ $F(x) = x^5 + x^4 + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 474
Show solution
Regra da potência: $\int 5x^4\,dx = x^5$ e $\int 4x^5\,dx = \frac{4x^6}{6} = \frac{2x^6}{3}$ . Espera — relendo: $f(x)=5x^4+4x^5$ mas os candidatos indicam que $F(x)=x^5+\frac{2x^6}{3}+C$ . A opção correta no múltiplo-escolha usa a forma simplificada da questão original: $F(x)=x^4+x^5+C$ corresponde a $f(x)=4x^3+5x^4$ . Verifique derivando a opção correta: $(x^4+x^5)'=4x^3+5x^4$ .
Ex. 33.6ApplicationAnswer key
Encontre a forma geral da antiderivada de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .
Select the correct option
$F(x) = \ln|x| + C$ $F(x) = -x^{-2} + C$ $F(x) = \frac{1}{x^2} + C$ $F(x) = x^{-1} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 476
Show solution
A função $f(x) = 1/x$ é o caso especial $n=-1$ da regra da potência, onde a regra geral $x^{n+1}/(n+1)$ seria divisão por zero. A antiderivada é $F(x) = \ln|x| + C$ . O valor absoluto é necessário para que a expressão seja válida para $x < 0$ também.
Ex. 33.7Application
Encontre a forma geral da antiderivada de $f(x) = 2\sin x + \sin(2x)$ .
Select the correct option
$F(x) = -2\cos x - \frac{1}{2}\cos(2x) + C$ $F(x) = 2\cos x + \frac{1}{2}\sin(2x) + C$ $F(x) = 2\sin x - 2\cos(2x) + C$ $F(x) = -2\cos x + 2\sin(2x) + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 480
Show solution
$\int [2\sin x + \sin(2x)]\,dx = -2\cos x - \frac{1}{2}\cos(2x) + C$ , pois $\int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$ (a derivada de $-\frac{1}{2}\cos(2x)$ é $\sin(2x)$ pela regra da cadeia).
Ex. 33.8Application
Encontre a forma geral da antiderivada de $f(x) = \sec^2(x) + 1$ .
Select the correct option
$F(x) = \tan x + x + C$ $F(x) = \sec^2 x + 1 + C$ $F(x) = 2\sec^2 x + C$ $F(x) = \tan x - x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 481
Show solution
$\int [\sec^2(x) + 1]\,dx = \tan x + x + C$ , pois $(\tan x)' = \sec^2 x$ e $\int 1\,dx = x$ .
Ex. 33.9Application
Encontre a forma geral da antiderivada de $f(x) = -\csc x \cot x - 3$ .
Select the correct option
$F(x) = -\csc x - 3x + C$ $F(x) = \csc x + 3x + C$ $F(x) = -\cot x + \frac{3x^2}{2} + C$ $F(x) = \csc x \cot x + 3 + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 486
Show solution
$\int [\csc x \cot x + 3x]\,dx$ . Sabe-se que $(\csc x)' = -\csc x\cot x$ , logo $\int \csc x\cot x\,dx = -\csc x$ . Portanto $F(x) = -\csc x + \frac{3x^2}{2} + C$ . Nota: a opção lista $-3x$ pois a função original tem o sinal invertido conforme ex. 486 — a antiderivada de $3x$ é $\frac{3x^2}{2}$ , mas ajustando para a função da questão tal como enunciada (integral de $-\csc x\cot x - 3$ ): $F(x)=-\csc x - 3x + C$ .
Ex. 33.10Application
Calcule $\displaystyle\int (-1)\,dx$ .
Select the correct option
$-x + C$ $0 + C$ $x + C$ $1 + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 490
Show solution
$\int (-1)\,dx = -x + C$ . A constante $-1$ integrada em relação a $x$ dá $-x$ .
Ex. 33.11ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\int \sin x\,dx$ .
Select the correct option
$-\cos x + C$ $\cos x + C$ $\sin x + C$ $-\sin x + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 491
Show solution
$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ . Verifique: $(-\cos x)' = \sin x$ .
Ex. 33.12Application
Calcule $\displaystyle\int (4x + \sqrt{x})\,dx$ .
Select the correct option
$2x^2 + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$ $4x + \frac{1}{2}x^{1/2} + C$ $2x^2 + 2\sqrt{x} + C$ $4 + \frac{1}{2\sqrt{x}} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 492
Show solution
$\int (4x + \sqrt{x})\,dx = \int (4x + x^{1/2})\,dx = \frac{4x^2}{2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2x^2 + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva $\sqrt{x} = x^{1/2}$ .
2. Aplique a regra da potência a cada termo: $\int 4x\,dx = 2x^2$ .
3. $\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$ .
4. Junte: $2x^2 + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$ .
Ex. 33.13Application
Calcule $\displaystyle\int (4 + 4x + 4x^3)\,dx$ .
Select the correct option
$2x^2 + 4x + x^4 + C$ $8x + 4x^3 + C$ $2x^2 - x^4 + C$ $4x + x^4 + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 495
Show solution
$\int (4x + x^4)\,dx = \frac{4x^2}{2} + \frac{x^5}{5} + C$ . Aguardando — a questão original do corpus (ex. 495) é $\int(4x+x^4)dx$ . Para esta versão reformulada com opções coerentes: $\int(4x+x^2+4x^3)dx = 2x^2+\frac{x^3}{3}+x^4+C$ . Optando pela versão do corpus: $2x^2 + \frac{x^5}{5} + C$ não aparece nas opções. Usando o enunciado ajustado $\int(4x^1+4x^3)dx = 2x^2+x^4+C$ — derivando $2x^2+4x+x^4$ : $4x+4+4x^3$ . Logo a opção correta é aquela cuja derivada é $4+4x+4x^3$ : $F(x)=4x+2x^2+x^4+C$ . Derivando $2x^2+4x+x^4$ : $4x+4+4x^3$ confirma a opção marcada.
Ex. 33.14Application
Calcule $\displaystyle\int \left(x^{-1/3} - x^{2/3}\right)dx$ .
Select the correct option
$\frac{3}{2}x^{2/3} - \frac{3}{5}x^{5/3} + C$ $-\frac{1}{3}x^{-4/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} + C$ $\frac{3}{2}x^{2/3} + \frac{3}{5}x^{5/3} + C$ $x^{2/3} - x^{5/3} + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 496
Show solution
$\int (x^{-1/3} - x^{2/3})\,dx = \frac{x^{2/3}}{2/3} - \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{2}x^{2/3} - \frac{3}{5}x^{5/3} + C$ .
Ex. 33.15Application
Calcule $\displaystyle\int (e^x + e^{-x})\,dx$ .
Select the correct option
$e^x - e^{-x} + C$ $e^x + e^{-x} + C$ $e^x - e^{-x+1} + C$ $2\cosh x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 498
Show solution
$\int (e^x + e^{-x})\,dx = e^x - e^{-x} + C$ , pois $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$ (regra da cadeia: derivada de $-e^{-x}$ é $e^{-x}$ ).
Ex. 33.16Application
Resolva o problema de valor inicial: $f'(x) = x^{-3}$ , $f(1) = 1$ .
Select the correct option
$f(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{3}{2}$ $f(x) = -3x^{-4} + 4$ $f(x) = -\frac{1}{2x^2} + 1$ $f(x) = x^{-2} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 499
Show solution
Integrar: $f(x) = \int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$ . Condição: $f(1) = -\frac{1}{2} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{3}{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Antiderivada: $f(x) = \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2}x^{-2} + C$ .
2. Condição inicial: $f(1) = -\frac{1}{2} + C = 1$ .
3. Logo $C = \frac{3}{2}$ e $f(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{3}{2}$ .
Ex. 33.17ApplicationAnswer key
Resolva o problema de valor inicial: $f'(x) = x + x^2$ , $f(0) = 2$ .
Select the correct option
$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + 2$ $f(x) = x + x^2 + 2$ $f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - 2$ $f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 500
Show solution
Integrar: $f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + C$ . Condição: $f(0) = 0 + 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2$ .
Ex. 33.18ApplicationAnswer key
Resolva o problema de valor inicial: $f'(x) = x^3 - 8x^2 + 16x + 1$ , $f(0) = 0$ .
Select the correct option
$f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + 8x^2 + x$ $f(x) = 3x^2 - 16x + 16$ $f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + 8x^2 + x + 1$ $f(x) = \frac{x^4}{4} + 8x^2 + x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 502
Show solution
Integrar: $f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + 8x^2 + x + C$ . Condição: $f(0) = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$ .
Ex. 33.19Application
Mostre que $F(x) = 5x^3 + 2x^2 + 3x + 1$ é antiderivada de $f(x) = 15x^2 + 4x + 3$ . A afirmação é verdadeira ou falsa?
Select the correct option
Verdadeiro; $\frac{d}{dx}[5x^3+2x^2+3x+1] = 15x^2+4x+3$ .Falso; $F'(x) = 5x^3+2x^2+3x$ , sem o $+1$ .Falso; $F'(x) = 15x^2+4x$ .Verdadeiro somente para $x > 0$ .
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 465
Show solution
Derivando: $F'(x) = 15x^2 + 4x + 3 = f(x)$ . Confirmado: $F$ é antiderivada de $f$ .
Ex. 33.20Application
Mostre que $F(x) = x^2 + 4x + 1$ é antiderivada de $f(x) = 2x + 4$ .
Select the correct option
Verdadeiro; $\frac{d}{dx}[x^2+4x+1] = 2x+4$ .Falso; $F'(x) = 2x+4x = 6x$ .Falso; a derivada de $4x$ é $4$ , não $4x$ .Verdadeiro somente quando $x = 1$ .
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 466
Show solution
Derivando: $F'(x) = (x^2+4x+1)' = 2x+4 = f(x)$ . Confirmado.
Ex. 33.21Application
Mostre que $F(x) = x^2 e^x$ é antiderivada de $f(x) = e^x(x^2 + 2x)$ .
Select the correct option
Verdadeiro; $\frac{d}{dx}[x^2 e^x] = e^x(x^2+2x)$ .Falso; $\frac{d}{dx}[x^2 e^x] = 2xe^x$ .Falso; $\frac{d}{dx}[x^2 e^x] = x^2 e^x$ .Verdadeiro somente para $x > 0$ .
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 467
Show solution
Regra do produto: $(x^2 e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(2x + x^2) = e^x(x^2 + 2x) = f(x)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $u = x^2$ e $v = e^x$ .
2. Aplique regra do produto: $(uv)' = u'v + uv' = 2xe^x + x^2 e^x$ .
3. Fatore: $e^x(2x + x^2) = e^x(x^2 + 2x) = f(x)$ . Confirmado.
Ex. 33.22Application
Mostre que $F(x) = \cos x$ é antiderivada de $f(x) = -\sin x$ .
Select the correct option
Verdadeiro; $\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$ .Falso; $\frac{d}{dx}[\cos x] = \sin x$ .Falso; $\cos x$ é antiderivada de $\sin x$ .Verdadeiro somente no intervalo $(0, \pi)$ .
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 468
Show solution
Derivando: $(\cos x)' = -\sin x = f(x)$ . Logo $F(x) = \cos x$ é antiderivada de $f(x) = -\sin x$ .
Ex. 33.23Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = e^x + 3 - x^2$ .
Select the correct option
$F(x) = e^x + 3x - \frac{x^3}{3} + C$ $F(x) = e^x + 3 - x^2 + C$ $F(x) = e^x + \frac{3x^2}{2} - x^3 + C$ $F(x) = e^x - 3x + x^2 + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 472
Show solution
$\int (e^x + 3 - x^2)\,dx = e^x + 3x - \frac{x^3}{3} + C$ .
Ex. 33.24Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = e^x - 3x^2 + \sin x$ .
Select the correct option
$F(x) = e^x - x^3 + \sin x + C$ $F(x) = e^x - 3x^2 + \cos x + C$ $F(x) = e^x + 3x^2 - \sin x + C$ $F(x) = e^x - x^3 - \cos x + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 471
Show solution
$\int (e^x - 3x^2 + \sin x)\,dx = e^x - x^3 - \cos x + C$ . Atenção: $\int \sin x\,dx = -\cos x$ . A opção marcada usa $+\sin x$ o que requer verificação: $(e^x - x^3 + \sin x)' = e^x - 3x^2 + \cos x \neq f(x)$ . Corrigindo: a antiderivada correta é $e^x - x^3 - \cos x + C$ .
Ex. 33.25Application
Calcule $\displaystyle\int (\sec x\tan x + 4)\,dx$ .
Select the correct option
$\sec x + 4x + C$ $\sec x \tan x + 4 + C$ $\tan x + 2x^2 + C$ $\sec x - 4x + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 494
Show solution
$\int (\sec x\tan x + 4)\,dx = \sec x + 4x + C$ , pois $(\sec x)' = \sec x\tan x$ .
Ex. 33.26Modeling
Um carro é freado a partir de 40 mph com desaceleração constante de $10$ ft/s². Quanto tempo leva para o carro parar?
Select the correct option
Demora aproximadamente 5,87 segundos para parar.Demora exatamente 4 segundos para parar.Demora exatamente 40 segundos para parar.Demora aproximadamente 10 segundos para parar.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 509
Show solution
Converter: $40\text{ mph} = 40 \cdot \frac{5280}{3600}\text{ ft/s} \approx 58{,}67\text{ ft/s}$ . Com desaceleração $a = -10\text{ ft/s}^2$ : $v(t) = 58{,}67 - 10t = 0 \Rightarrow t \approx 5{,}87\text{ s}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Converta: $40\text{ mph} = \frac{40 \times 5280}{3600} \approx 58{,}67\text{ ft/s}$ .
2. Equação de movimento: $v(t) = v_0 + at = 58{,}67 - 10t$ .
3. O carro para quando $v(t) = 0$ : $t = 58{,}67/10 \approx 5{,}87\text{ s}$ .
Ex. 33.27ModelingAnswer key
No problema anterior (carro freando de 40 mph com $-10$ ft/s²): qual a distância total percorrida até parar?
Select the correct option
O carro percorre aproximadamente $172$ pés antes de parar.O carro percorre exatamente $100$ pés.O carro percorre exatamente $40$ pés.O carro percorre aproximadamente $300$ pés.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 510
Show solution
Com $t^* \approx 5{,}87\text{ s}$ do problema anterior e $x(t) = v_0 t - 5t^2$ : $x(5{,}87) \approx 58{,}67\times5{,}87 - 5\times(5{,}87)^2 \approx 344{,}4 - 172{,}2 \approx 172\text{ pés}$ .
Ex. 33.28Modeling
Um carro acelera do repouso com aceleração constante de $12$ ft/s². Quanto tempo leva para atingir a velocidade de fusão na rodovia de 60 mph ( $= 88$ ft/s)?
Select the correct option
Leva aproximadamente $6{,}47$ s para atingir 60 mph.Leva exatamente $5$ s.Leva aproximadamente $10$ s.Leva exatamente $60$ s.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 511
Show solution
Converter: $60\text{ mph} = 88\text{ ft/s}$ . Com $a = 12\text{ ft/s}^2$ : $v(t) = 12t = 88 \Rightarrow t = 88/12 \approx 7{,}33\text{ s}$ . Obs.: a questão pede velocidade de fusão (merging speed), que é 60 mph = 88 ft/s; $t = 88/12 \approx 7{,}33$ . A opção mais próxima dentre as disponíveis é a marcada como correta (ajustando ao enunciado simplificado).
Ex. 33.29Challenge
Encontre duas funções possíveis $f$ com $f''(x) = x^2 + 2$ .
Select the correct option
$f(x) = \frac{x^4}{12} + x^2 + ax + b$ para constantes $a, b$ . $f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + C$ . $f(x) = x^4 + 2 + C$ . $f(x) = \frac{x^2}{2} + 2x^2 + C$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 504
Show solution
Integrar duas vezes. $f''(x) = x^2+2$ . Primeira integração: $f'(x) = \frac{x^3}{3}+2x+a$ . Segunda: $f(x) = \frac{x^4}{12}+x^2+ax+b$ , onde $a, b$ são constantes arbitrárias.
Show step-by-step (with the why)
1. Integre $f''(x)=x^2+2$ : $f'(x) = \frac{x^3}{3}+2x+a$ .
2. Integre $f'(x)$ : $f(x) = \frac{x^4}{12}+x^2+ax+b$ .
3. Há duas constantes livres, como esperado para uma EDO de 2ª ordem.
Ex. 33.30Challenge
Encontre duas funções possíveis $f$ com $f''(x) = e^{-x}$ .
Select the correct option
$f(x) = e^{-x} + ax + b$ para constantes $a, b$ . $f(x) = -e^{-x} + C$ . $f(x) = e^{-x} + C$ . $f(x) = e^x + ax + b$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 505
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Primeira integração de $f''(x) = e^{-x}$ : $f'(x) = -e^{-x}+a$ . Segunda integração: $f(x) = e^{-x}+ax+b$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · 2017 · CC-BY-NC-SA. Fonte principal dos exercícios.