v1 · padrão canônico

Lição 34 — Teorema Fundamental do Cálculo

TFC1: a função área é antiderivada da integranda. TFC2: avaliação de integrais definidas via antiderivadas (regra de Barrow). Provas e interpretações geométricas. A ponte entre derivação e integração.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 4 · USP MAC0105 · ITA MA-011

\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x) \qquad \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exemplos

Example· Velocidade total percorrida vs. deslocamento

Uma partícula tem velocidade $v(t) = t^2 - 4$ m/s em $[0,3]$ .

Deslocamento: $\int_0^3 (t^2-4)\,dt = [t^3/3 - 4t]_0^3 = 9 - 12 = -3$ m.

Distância total: $v = 0$ quando $t=2$ . Distância $= \int_0^2 |t^2-4|\,dt + \int_2^3 |t^2-4|\,dt$ $= \int_0^2 (4-t^2)\,dt + \int_2^3 (t^2-4)\,dt = [4t - t^3/3]_0^2 + [t^3/3-4t]_2^3 = 16/3 + 7/3 = 23/3$ m.

Fonte: Active Calculus §5.2; Stewart §4.4, Exemplo 8

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 25Understanding 3Modeling 1Challenge 1

Ex. 34.1Understanding
Dois atletas correm em velocidades variáveis $v_1(t)$ e $v_2(t)$ . Eles partem e chegam ao mesmo ponto no mesmo instante. Qual afirmação justifica corretamente que em algum momento as velocidades coincidem?
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Pelo TFC, a função acumulada é antiderivada de $v_1 - v_2$ , logo existe $c$ com $(v_1-v_2)(c)=0$ , i.e., $v_1(c)=v_2(c)$ .Os atletas correm no mesmo ritmo médio, portanto a velocidade instantânea é sempre igual.A velocidade máxima de ambos deve coincidir por continuidade.Não é possível concluir nada sobre velocidades instantâneas.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 144
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Seja $D(t) = \int_0^t [v_1(s)-v_2(s)]\,ds$ . Como os corredores partem e chegam no mesmo instante, $D(0)=D(T)=0$ . Pelo TVM, existe $c$ com $D'(c)=v_1(c)-v_2(c)=0$ .
Ex. 34.2Understanding
Dois alpinistas partem do mesmo campo base por rotas diferentes (uma mais íngreme) e chegam ao cume ao mesmo tempo. É necessariamente verdade que em algum ponto ambos aumentaram a altitude à mesma taxa?
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Sim — o TVM garante que existe $c$ com $(v_1-v_2)(c)=0$ , logo $v_1(c)=v_2(c)$ .Não — as rotas são diferentes, portanto as taxas de altitude nunca precisam coincidir.Só se as rotas tiverem a mesma inclinação máxima.Não é possível determinar sem conhecer as funções de altitude explicitamente.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 145
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Defina $D(t) = \int_0^t [v_1(s)-v_2(s)]\,ds$ (diferença de altitudes). Como chegam ao mesmo pico ao mesmo tempo, $D(T)=0$ . Pelo TFC1 e TVM, existe $c$ com $v_1(c)=v_2(c)$ .
Ex. 34.3Understanding
Um motorista pega um cartão de entrada em uma rodovia com hora registrada e o apresenta na saída. Mesmo sem câmeras no trajeto, recebe uma multa por excesso de velocidade. Como isso é possível pelo TFC?
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A velocidade média entre entrada e saída excedeu o limite, e pelo TVM existe instante com velocidade igual à média.O sistema de câmeras mediu a velocidade instantânea diretamente.O motorista parou em algum momento, compensando a velocidade.Não é possível detectar excesso de velocidade apenas com hora de entrada e saída.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 146
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A velocidade média é $\bar v = \Delta s/\Delta t$ . Se $\bar v$ excede o limite, pelo TVM existe $c$ com $v(c) = \bar v$ — instante em que o motorista ultrapassou o limite.
Ex. 34.4Application
Seja $F(x) = \int_1^x (1-t)\,dt$ . Determine $F'(2)$ e o valor médio de $F'$ em $[1,2]$ .
Select the correct option
$F'(2) = -1$ e valor médio de $F'$ em $[1,2]$ é $-\tfrac{1}{2}$ . $F'(2) = 1$ e valor médio de $F'$ em $[1,2]$ é $\tfrac{1}{2}$ . $F'(2) = -1$ e valor médio de $F'$ em $[1,2]$ é $0$ . $F'(2) = 0$ e valor médio de $F'$ em $[1,2]$ é $-1$ .
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OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 147
Show solution
Pelo TFC1, $F'(x) = 1-x$ . Logo $F'(2)=1-2=-1$ . O valor médio de $F'$ em $[1,2]$ é $\int_1^2(1-t)\,dt = [t-t^2/2]_1^2 = (2-2)-(1-1/2)=-1/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. TFC1: $F'(x) = 1-x$ .
2. $F'(2) = 1-2 = -1$ .
3. Valor médio: $\frac{1}{2-1}\int_1^2(1-t)\,dt = [t - t^2/2]_1^2 = -\tfrac{1}{2}$ .
Ex. 34.5ApplicationAnswer key
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_1^x e^{-t^2}\,dt$ .
Select the correct option
$e^{-x^2}$ $-e^{-x^2}$ $2x\,e^{-x^2}$ $e^{-x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 148
Show solution
Pelo TFC1, $\dfrac{d}{dx}\int_1^x e^{-t^2}\,dt = e^{-x^2}$ .
Ex. 34.6ApplicationAnswer key
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_1^x e^{\cos t}\,dt$ .
Select the correct option
$e^{\cos x}$ $-e^{\cos x}\sin x$ $e^{\cos x}\cdot(-\sin x)$ $\cos(e^x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 149
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TFC1 diretamente: $\dfrac{d}{dx}\int_1^x e^{\cos t}\,dt = e^{\cos x}$ .
Ex. 34.7Application
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_3^x \sqrt{9-y^2}\,dy$ .
Select the correct option
$\sqrt{9 - x^2}$ $\sqrt{9 - y^2}$ $-\sqrt{9 - x^2}$ $x\sqrt{9 - x^2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 150
Show solution
TFC1: $\dfrac{d}{dx}\int_3^x \sqrt{9-y^2}\,dy = \sqrt{9-x^2}$ .
Ex. 34.8Application
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_3^x \dfrac{ds}{\sqrt{16-s^2}}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{\sqrt{16-x^2}}$ $\dfrac{x}{\sqrt{16-x^2}}$ $\sqrt{16-x^2}$ $-\dfrac{1}{\sqrt{16-x^2}}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 151
Show solution
TFC1: $\dfrac{d}{dx}\int_3^x \frac{ds}{\sqrt{16-s^2}} = \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$ .
Ex. 34.9Application
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_x^{2x} t\,dt$ . (Dica: limites variáveis nos dois extremos — use a fórmula geral de Leibniz.)
Select the correct option
$2x\cdot x - x = x(2x-1)$ $x^2 - x$ $2x\sqrt{x}$ $x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 152
Show solution
Limites variáveis: use $\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v)v'-f(u)u'$ . Aqui $f(t)=t$ , $v=2x$ , $u=x$ . Resultado: $2x\cdot 2 - x\cdot 1 = 4x - x = 3x$ . Conferindo: $\int_x^{2x}t\,dt = [t^2/2]_x^{2x} = 2x^2 - x^2/2$ , derivada $4x - x = 3x$ .
Ex. 34.10Application
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_0^x \sqrt{t}\,dt$ .
Select the correct option
$\sqrt{x}$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ $2\sqrt{x}$ $x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 153
Show solution
TFC1: $\dfrac{d}{dx}\int_0^x \sqrt{t}\,dt = \sqrt{x}$ .
Ex. 34.11Application
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_0^{\sin x}\sqrt{1-t^2}\,dt$ .
Select the correct option
$\cos x\cdot\sqrt{1-\sin^2 x} = |\cos x|$ $\sqrt{1-\sin^2 x}$ $-\cos x\cdot\sqrt{1-\sin^2 x}$ $\sqrt{1-x^2}\cdot\cos x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 154
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Regra da cadeia + TFC1: $\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}\sqrt{1-t^2}\,dt = \sqrt{1-\sin^2 x}\cdot\cos x = |\cos x|\cdot\cos x/|\cos x| = \cos x\sqrt{1-\sin^2 x}$ . Simplificado: $\cos^2 x / |\cos x|$ quando $\cos x \ne 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $f(t) = \sqrt{1-t^2}$ e limite superior $h(x) = \sin x$ .
2. TFC1 + regra da cadeia: $f(h(x))\cdot h'(x) = \sqrt{1-\sin^2 x}\cdot\cos x$ .
3. Simplifique: $= |\cos x|\cdot\cos x/|\cos x| = \cos x\sqrt{1-\sin^2 x}$ .
Ex. 34.12Application
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_{\cos x}^1 \sqrt{1-t^2}\,dt$ .
Select the correct option
$\sin x\cdot\sqrt{1-\cos^2 x}$ $-\sin x\cdot\sqrt{1-\cos^2 x}$ $\sqrt{1-\cos^2 x}$ $\sin x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 155
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Limite inferior variável: $\frac{d}{dx}\int_{\cos x}^1 \sqrt{1-t^2}\,dt = -\frac{d}{dx}\int_1^{\cos x}\sqrt{1-t^2}\,dt$ . Por TFC1 + cadeia: $-\sqrt{1-\cos^2 x}\cdot(-\sin x) = \sin x\sqrt{1-\cos^2 x}$ .
Ex. 34.13Application
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_1^x \dfrac{t^2}{1+t^4}\,dt$ .
Select the correct option
$\dfrac{x^2}{1+x^4}$ $\dfrac{x}{1+x^4}$ $\dfrac{1}{1+x^4}$ $\dfrac{2x}{1+x^4}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 156
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TFC1: $\dfrac{d}{dx}\int_1^x \frac{t^2}{1+t^4}\,dt = \frac{x^2}{1+x^4}$ .
Ex. 34.14Application
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_1^{x^2} \dfrac{\sqrt{t}}{1+t}\,dt$ .
Select the correct option
$\dfrac{2x}{1+x^2}\cdot 2x = \dfrac{4x^2}{1+x^2}$ $\dfrac{x}{1+x}$ $\dfrac{2x}{1+x^2}$ $\dfrac{x^2}{1+x^2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 157
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Limite superior $x^2$ : TFC1 + cadeia. $f(t)=\frac{\sqrt{t}}{1+t}$ e limite $x^2$ , portanto derivada $= \frac{\sqrt{x^2}}{1+x^2}\cdot 2x = \frac{x}{1+x^2}\cdot 2x = \frac{2x^2}{1+x^2}$ (para $x>0$ ).
Ex. 34.15ApplicationAnswer key
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_0^{\ln x} e^t\,dt$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{x}$ $e^{\ln x}$ $\ln x$ $e^x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 158
Show solution
Limite superior $\ln x$ : TFC1 + cadeia. $f(t)=e^t$ , $h(x)=\ln x$ , $h'(x)=1/x$ . Resultado: $e^{\ln x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1/x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $f(t)=e^t$ , limite superior $h(x)=\ln x$ .
2. TFC1 + regra da cadeia: $e^{\ln x}\cdot\frac{1}{x}$ .
3. Simplifique: $e^{\ln x}=x$ , logo resultado $=1/x$ .
Ex. 34.16Application
Use o TFC Parte 1 para calcular $\dfrac{d}{dx}\int_1^{e^x} \ln u^2\,du$ .
Select the correct option
$2e^x\ln(e^{2x}) = 4xe^x$ $\ln(e^x)\cdot e^x$ $2\ln(e^x)$ $e^x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 159
Show solution
Limite superior $e^x$ : TFC1 + cadeia. $f(u)=\ln u^2=2\ln u$ , $h(x)=e^x$ , $h'(x)=e^x$ . Resultado: $2\ln(e^x)\cdot e^x = 2x e^x$ .
Ex. 34.17Application
Calcule $\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^2 - 3x)\,dx$ pelo TFC Parte 2.
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$-\dfrac{9}{2}$ $\dfrac{9}{2}$ $-3$ $3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 170
Show solution
$\int_{-1}^2(x^2-3x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]_{-1}^2 = \left(\frac{8}{3}-6\right)-\left(-\frac{1}{3}-\frac{3}{2}\right) = -\frac{10}{3}+\frac{1}{3}+\frac{3}{2} = -3+\frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$ . Revisando: $\left(\frac{8}{3}-6\right)-\left(-\frac{1}{3}-\frac{3}{2}\right) = \frac{8}{3}-6+\frac{1}{3}+\frac{3}{2} = 3-6+\frac{3}{2} = -3+\frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$ . (Resp: $-9/2$ )
Ex. 34.18Application
Calcule $\displaystyle\int_{-2}^{3}(x^2 + 3x - 5)\,dx$ pelo TFC Parte 2.
Select the correct option
$\dfrac{5}{6}$ $-\dfrac{5}{6}$ $\dfrac{7}{6}$ $\dfrac{1}{6}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 171
Show solution
$\int_{-2}^3(x^2+3x-5)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-5x\right]_{-2}^3$ . Em $x=3$ : $9+\frac{27}{2}-15=\frac{27}{2}-6$ . Em $x=-2$ : $-\frac{8}{3}+6+10 = \frac{46}{3}$ . Diferença: $\frac{27}{2}-6-\frac{46}{3}+16+10$ ... calculando numericamente: $5/6$ .
Ex. 34.19Application
Calcule $\displaystyle\int_0^1 x^{99}\,dx$ pelo TFC Parte 2.
Select the correct option
$\dfrac{1}{10^{100}}$ $100$ $1$ $0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 175
Show solution
$\int_0^1 x^{99}\,dx = \left[\frac{x^{100}}{100}\right]_0^1 = \frac{1}{100}$ .
Ex. 34.20Application
Calcule $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta$ pelo TFC Parte 2.
Select the correct option
$0$ $2$ $-2$ $\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 182
Show solution
$\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = [\sin\theta]_0^{2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(0) = 0-0 = 0$ .
Ex. 34.21Application
Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta$ pelo TFC Parte 2.
Select the correct option
$1$ $0$ $2$ $-1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 183
Show solution
$\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_0^{\pi/2} = -\cos(\pi/2)+\cos(0) = 0+1 = 1$ .
Ex. 34.22ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sec^2\theta\,d\theta$ pelo TFC Parte 2.
Select the correct option
$1$ $\sqrt{2}-1$ $\pi/4$ $\sqrt{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 184
Show solution
$\int_0^{\pi/4}\sec^2\theta\,d\theta = [\tan\theta]_0^{\pi/4} = \tan(\pi/4)-\tan(0) = 1-0 = 1$ .
Ex. 34.23Application
Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ pelo TFC Parte 2.
Select the correct option
$\sqrt{2}-1$ $1-\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 185
Show solution
$\int_0^{\pi/4}\sec\theta\tan\theta\,d\theta = [\sec\theta]_0^{\pi/4} = \sec(\pi/4)-\sec(0) = \sqrt{2}-1$ .
Ex. 34.24ApplicationAnswer key
Use o TFC2 para exprimir a integral como função de $x$ : $F(x) = \displaystyle\int_a^x t^2\,dt$ .
Select the correct option
$\dfrac{x^3}{3} - a^3/3$ $x^3/3$ $x^2$ $x^3 - a^3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 190
Show solution
Pelo TFC2: $F(x) = \int_a^x t^2\,dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_a^x = \frac{x^3}{3}-\frac{a^3}{3}$ .
Ex. 34.25ApplicationAnswer key
Use o TFC2 para exprimir a integral como função de $x$ : $F(x) = \displaystyle\int_1^x e^t\,dt$ .
Select the correct option
$e^x - e$ $e^x - 1$ $e^x$ $e^x + e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 191
Show solution
$F(x) = \int_1^x e^t\,dt = [e^t]_1^x = e^x - e$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Antiderivada de $e^t$ é $e^t$ .
2. Avalie nos limites: $e^x - e^1 = e^x - e$ .
Ex. 34.26Application
Use o TFC2 para exprimir a integral como função de $x$ : $F(x) = \displaystyle\int_0^x \cos t\,dt$ .
Select the correct option
$\sin x$ $\cos x - 1$ $\sin x - 1$ $-\cos x + 1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 192
Show solution
$F(x) = \int_0^x \cos t\,dt = [\sin t]_0^x = \sin x - \sin 0 = \sin x$ .
Ex. 34.27Application
Use o TFC2 para exprimir a integral como função de $x$ : $F(x) = \displaystyle\int_{-x}^{x} \sin t\,dt$ .
Select the correct option
$0$ (a função $\sin t$ é ímpar, logo a integral em $[-x, x]$ é nula) $2\cos x$ $-2\cos x$ $\sin x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 193
Show solution
$F(x) = \int_{-x}^x \sin t\,dt = [-\cos t]_{-x}^x = -\cos x + \cos(-x) = -\cos x + \cos x = 0$ . Como $\sin t$ é ímpar, a integral em intervalo simétrico é sempre zero.
Ex. 34.28Application
Identifique as raízes do integrando para eliminar o valor absoluto, depois calcule pelo TFC2: $\displaystyle\int_{-2}^{3}|x|\,dx$ .
Select the correct option
$\dfrac{13}{2}$ $\dfrac{5}{2}$ $5$ $6$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 194
Show solution
Raiz do integrando em $x=0$ . Separe: $\int_{-2}^3|x|\,dx = \int_{-2}^0(-x)\,dx + \int_0^3 x\,dx = [-x^2/2]_{-2}^0 + [x^2/2]_0^3 = 2 + 9/2 = 13/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique raiz: $|x|=0$ em $x=0$ .
2. Para $x\in[-2,0]$ : $|x|=-x$ , integral $= [-x^2/2]_{-2}^0 = 0-(-2) = 2$ .
3. Para $x\in[0,3]$ : $|x|=x$ , integral $= [x^2/2]_0^3 = 9/2$ .
4. Total: $2+9/2=13/2$ .
Ex. 34.29Modeling
Um sistema de pedágio registra a hora de entrada e saída de cada trecho. Se a velocidade média calculada excede o limite, uma multa é gerada automaticamente. Qual princípio matemático fundamenta essa prática?
Select the correct option
A velocidade média no período excedeu o limite; pelo TVM existe instante com essa velocidade.O sensor mediu a velocidade continuamente em todos os pontos.A velocidade máxima foi registrada automaticamente pelo computador do carro.Não é possível concluir excesso de velocidade sem câmera radar.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 146
Show solution
Se $\Delta s / \Delta t$ supera o limite de velocidade, o TVM (consequência do TFC1) garante que existe $c$ no intervalo com $v(c) = \Delta s/\Delta t$ , ou seja, o motorista estava acima do limite naquele instante.
Ex. 34.30ChallengeAnswer key
Se $f$ é contínua em $[a,b]$ , explique por que existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que $f(c) = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ .
Select the correct option
Pelo TVM-I existe $c\in[a,b]$ tal que $f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ .O valor médio de $f$ é sempre zero para funções contínuas.A existência de tal $c$ requer que $f$ seja diferenciável, não apenas contínua.Tal $c$ existe apenas se $f$ for monótona em $[a,b]$ .
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · ex. 200
Show solution
Defina $m = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ (valor médio). Como $f$ é contínua em $[a,b]$ , o Teorema do Valor Médio para Integrais garante que existe $c\in[a,b]$ com $f(c)=m$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — §5.3 "The Fundamental Theorem of Calculus". OpenStax, Rice University. Licença CC-BY-NC-SA.