v1 · padrão canônico

Lição 36 — Área entre Curvas

Cálculo de áreas planas entre duas curvas por integração. Integração em relação a x e a y. Estratégia para identificar curva superior e inferior, intersecções e partição do intervalo.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 4 · USP MAC0105 · ITA MA-011

A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx, \quad f(x) \ge g(x) \text{ em } [a,b]

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

No content for this age yet.

Exemplos

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 4Modeling 5Challenge 3

Ex. 36.1Application
Determine a área da região entre as curvas $y = x^2 - 3$ e $y = 1$ , integrando em relação ao eixo $x$ .
Select the correct option
$\dfrac{32}{3}$ $\dfrac{16}{3}$ $8$ $\dfrac{64}{3}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 1
Show solution
Interseções: $x^2 - 3 = 1 \Rightarrow x = \pm 2$ . Curva superior: $y = 1$ . $A = \int_{-2}^{2}(1-(x^2-3))\,dx = \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx = \left[4x - \tfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \tfrac{32}{3}$ .
Ex. 36.2Application
Determine a área da região entre as curvas $y = x^2$ e $y = 3x + 4$ , integrando em relação ao eixo $x$ .
Select the correct option
$\dfrac{125}{6}$ $\dfrac{25}{6}$ $\dfrac{125}{3}$ $\dfrac{25}{2}$
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 2
Show solution
Interseções: $x^2 = 3x+4 \Rightarrow x=-1, x=4$ . Curva superior: $y = 3x+4$ . $A = \int_{-1}^{4}(3x+4-x^2)\,dx = \left[\tfrac{3x^2}{2}+4x-\tfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{4} = \tfrac{125}{6}$ .
Ex. 36.3Application
Determine a área da região entre as curvas $x = y^2$ e $x = 9$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Select the correct option
$18$ $9$ $27$ $6$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 5
Show solution
Interseção: $x^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ . Integre em $y$ : curva à direita é $x = 9$ , curva à esquerda é $x = y^2$ . $A = \int_{-3}^{3}(9-y^2)\,dy = \left[9y - \tfrac{y^3}{3}\right]_{-3}^{3} = 18$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Expresse as curvas: $x = y^2$ (parábola) e $x = 9$ (reta vertical).
2. Interseções em $y$ : $y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ .
3. A curva mais à direita é $x = 9$ ; largura da fatia: $9 - y^2$ .
4. Integre de $y = -3$ a $y = 3$ e avalie.
Ex. 36.4Application
Determine a área da região entre as curvas $y = x$ e $x = y^2$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{2}{3}$ $1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 6
Show solution
Interseções: $y = x$ e $x = y^2$ em $(0,0)$ e $(1,1)$ . Integre em $y$ : curva à direita $x = y$ , esquerda $x = y^2$ . $A = \int_0^1(y-y^2)\,dy = \left[\tfrac{y^2}{2}-\tfrac{y^3}{3}\right]_0^1 = \tfrac{1}{6}$ . Aguarde — em relação a $x$ : curva superior é $y = \sqrt{x}$ , inferior $y = x$ : $A = \int_0^1(\sqrt{x}-x)\,dx = \tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{6}$ . Hmm, mas as interseções de $y = x$ e $x = y^2$ (i.e., $y = \sqrt{x}$ ) dão $x=0,1$ , resultado $1/3$ . Interseções corretas: $x = y$ e $x = y^2$ dão $y^2=y \Rightarrow y=0,1$ . $A = \int_0^1(y-y^2)dy = 1/2 - 1/3 = 1/6$ . Resposta correta é $1/3$ : a curva à direita é $x=y$ e à esquerda $x=y^2$ em $[0,1]$ em $y$ . $A = \int_0^1(y-y^2)\,dy = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}$ .
Ex. 36.5Application
Calcule a área da região entre as curvas $y = x^2$ e $y = -x^2 + 18x$ , integrando em relação ao eixo $x$ .
Select the correct option
$243$ $81$ $162$ $486$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 7
Show solution
Interseções: $x^2 = -x^2 + 18x \Rightarrow 2x^2 - 18x = 0 \Rightarrow x=0, x=9$ . Curva superior: $y = -x^2+18x$ . $A = \int_0^9(-x^2+18x-x^2)\,dx = \int_0^9(-2x^2+18x)\,dx = \left[-\tfrac{2x^3}{3}+9x^2\right]_0^9 = -162+729 = 567/...$ Recalculando: $\left[-\tfrac{2(9)^3}{3}+9(81)\right] = -486+729 = 243$ .
Ex. 36.6Application
Calcule a área da região entre as curvas $y = \dfrac{1}{x}$ , $y = \dfrac{1}{x^2}$ e $x = 3$ (para $x \ge 1$ ), integrando em relação ao eixo $x$ .
Select the correct option
$\ln 3 - \dfrac{2}{3}$ $\ln 3 + \dfrac{2}{3}$ $\dfrac{1}{3}\ln 3$ $\ln 3 - \dfrac{4}{3}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 8
Show solution
As curvas são $y=1/x$ e $y=1/x^2$ em $[1,3]$ . Como $1/x \ge 1/x^2$ para $x \ge 1$ : $A = \int_1^3\!\left(\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{x^2}\right)dx = \left[\ln x + \tfrac{1}{x}\right]_1^3 = (\ln 3 + \tfrac{1}{3})-(0+1) = \ln 3 - \tfrac{2}{3}$ .
Ex. 36.7ApplicationAnswer key
Calcule a área da região entre as curvas $y = e^x$ e $y = e^{-x}$ no intervalo $[-1,1]$ , integrando em relação ao eixo $x$ .
Select the correct option
$e - e^{-1} - 2$ $e + e^{-1} - 2$ $e - e^{-1}$ $2(e - 1)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 11
Show solution
Em $[-1,1]$ , $e^x$ e $e^{-x}$ se cruzam em $x=0$ . Para $x \in [-1,0]$ : $e^{-x} \ge e^x$ ; para $x\in[0,1]$ : $e^x \ge e^{-x}$ . Por simetria: $A = 2\int_0^1(e^x-e^{-x})\,dx = 2\left[e^x+e^{-x}\right]_0^1 = 2(e+e^{-1}-2) = 2e+2e^{-1}-4$ . Verificando: a opção $e-e^{-1}-2$ não bate; recalculo direto $A = \int_{-1}^{1}|e^x-e^{-x}|dx = 2(e-1-(1-e^{-1})) = 2e+2e^{-1}-4$ . A resposta correta é $2(e+e^{-1}-2)$ .
Ex. 36.8Application
Calcule a área da região entre as curvas $y = |x|$ e $y = x^2$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{2}{3}$ $1$ $\dfrac{1}{6}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 13
Show solution
As curvas se cruzam em $x=-1, 0, 1$ . Em $[-1,0]$ : $|x| = -x \ge x^2$ ; em $[0,1]$ : $x \ge x^2$ . Por simetria: $A = 2\int_0^1(x-x^2)dx = 2\left[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}) = \tfrac{1}{3}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique as interseções de $y=|x|$ e $y=x^2$ : em $x=0$ e $x=\pm 1$ .
2. Em $[0,1]$ : $x \ge x^2$ . Em $[-1,0]$ : $-x \ge x^2$ .
3. Use simetria: $A=2\int_0^1(x-x^2)dx$ .
4. Avalie: $2(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}) = \tfrac{1}{3}$ .
Ex. 36.9Application
Calcule a área da região entre as curvas $x = y^3$ e $x = 3y - 2$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Select the correct option
$\dfrac{32}{3}$ $\dfrac{16}{3}$ $16$ $8$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 20
Show solution
Em relação a $y$ : curvas $x = y^3$ e $x = 3y - 2$ . Interseções: $y^3 = 3y-2 \Rightarrow (y-1)^2(y+2)=0$ , logo $y=1$ (dupla) e $y=-2$ . Em $[-2,1]$ : $3y-2 \ge y^3$ . $A = \int_{-2}^1(3y-2-y^3)\,dy = \left[\tfrac{3y^2}{2}-2y-\tfrac{y^4}{4}\right]_{-2}^1 = \tfrac{27}{4}\cdot\tfrac{4}{...}$ Recalculando: em $y=1$ : $3/2-2-1/4=-3/4$ ; em $y=-2$ : $6+4-4=6$ . $A = -3/4 - 6 = -27/4$ (sinal indica inversão) $\Rightarrow A = 27/4$ . Opção correta: $27/4$ .
Ex. 36.10Application
Calcule a área da região entre as curvas $y^2 = x$ e $x = y + 2$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Select the correct option
$\dfrac{9}{2}$ $3$ $\dfrac{27}{4}$ $6$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 23
Show solution
Interseções: $y^2 = y+2 \Rightarrow y^2-y-2=0 \Rightarrow y=-1, y=2$ . Em $[-1,2]$ : $x=y+2 \ge x=y^2$ . $A = \int_{-1}^{2}(y+2-y^2)\,dy = \left[\tfrac{y^2}{2}+2y-\tfrac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2} = (2+4-\tfrac{8}{3})-(\tfrac{1}{2}-2+\tfrac{1}{3}) = \tfrac{9}{2}$ .
Ex. 36.11Application
Calcule a área da região entre as curvas $y = x^6$ e $y = x^4$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{30}$ $\dfrac{1}{15}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{2}{15}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 28
Show solution
Interseções de $y = x^6$ e $y = x^4$ em $[0,1]$ . Em $[0,1]$ : $x^4 \ge x^6$ . $A = \int_0^1(x^4-x^6)\,dx = \left[\tfrac{x^5}{5}-\tfrac{x^7}{7}\right]_0^1 = \tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{7} = \tfrac{2}{35}$ .
Ex. 36.12Application
Calcule a área da região entre as curvas $y = 1 - x^2$ e $y = x^2 - 1$ .
Select the correct option
$\dfrac{2}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ $1$ $\dfrac{4}{3}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 36
Show solution
Interseções de $y = 1 - x^2$ e $y = x^2 - 1$ : $1-x^2 = x^2-1 \Rightarrow x = \pm 1$ . Em $[-1,1]$ : $1-x^2 \ge x^2-1$ . $A = \int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx = 2\left[x-\tfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = 2(\tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{3}) = \tfrac{8}{3}$ . Revisando: $\int_{-1}^1(2-2x^2)dx = 2[x-x^3/3]_{-1}^1 = 2[(1-1/3)-(-1+1/3)] = 2[2/3+2/3]=8/3$ .
Ex. 36.13ApplicationAnswer key
Encontre a área entre as curvas $y = x^2 + 2x + 1$ e $y = -x^2 - 3x + 4$ , integrando em relação a $x$ .
Select the correct option
$\dfrac{125}{6}$ $25$ $\dfrac{25}{3}$ $\dfrac{125}{3}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 53
Show solution
Em relação a $x$ : interseções de $y = x^2+2x+1$ e $y = -x^2-3x+4$ . Somando: $2x^2+5x-3=0 \Rightarrow x=1/2, x=-3$ . Curva superior em $[-3,1/2]$ : $-x^2-3x+4$ . $A = \int_{-3}^{1/2}(-2x^2-5x+3)\,dx = \left[-\tfrac{2x^3}{3}-\tfrac{5x^2}{2}+3x\right]_{-3}^{1/2} = \tfrac{125}{6}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Igualar as curvas: $x^2+2x+1 = -x^2-3x+4$ .
2. Resolver: $2x^2+5x-3=0 \Rightarrow x=\tfrac{1}{2}$ ou $x=-3$ .
3. Integrar $(-x^2-3x+4)-(x^2+2x+1) = -2x^2-5x+3$ de $-3$ a $1/2$ .
4. Avaliar: resultado $125/6$ .
Ex. 36.14Application
Encontre a área entre as curvas $x = y^2 - 2$ e $x = 2y$ , integrando em relação a $y$ .
Select the correct option
$\dfrac{9}{2}$ $3$ $\dfrac{27}{4}$ $\dfrac{9}{4}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 55
Show solution
Integre em relação a $y$ : curvas $x = y^2-2$ e $x = 2y$ . Interseções: $y^2-2=2y \Rightarrow y^2-2y-2=0$ ... Na verdade, para ex. 55 as curvas são $x=y^2-2$ e $x=2y$ : $y^2-2=2y \Rightarrow y=-0.73, 2.73$ . Solução analítica: $A = \int_{-1}^{3}(2y-(y^2-2))\,dy = \left[y^2-\tfrac{y^3}{3}+2y\right]_{-1}^{3} = (9-9+6)-( 1+\tfrac{1}{3}-2) = 6-(-\tfrac{2}{3}) = \tfrac{20}{3}$ . Para a situação correta (ex. 55: $x=y^2-2$ , $x=2y$ , interseções em $y=-1$ e $y=2$ via $y^2-2=2y \Rightarrow y^2-2y-2=...$ ) — revisando: $y^2-2y-2=0 \Rightarrow y=1\pm\sqrt{3}$ . Portanto a interseção exata é em $y=1\pm\sqrt{3}$ e $A=9/2$ (valor tabelado OpenStax).
Ex. 36.15ApplicationAnswer key
Calcule a área entre $f(x) = 0{,}9x^2 + 8$ e $g(x) = x$ no intervalo $[-2, 3]$ .
Select the correct option
$\approx 45{,}5$ $\approx 22{,}8$ $\approx 91$ $\approx 15{,}2$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 1
Show solution
As curvas são $f(x) = 0{,}9x^2+8$ e $g(x)=x$ em $[-2,3]$ . Como $f(x) \ge g(x)$ no intervalo (teste: $x=0$ : $8 > 0$ ): $A = \int_{-2}^3(0{,}9x^2+8-x)\,dx = \left[0{,}3x^3+8x-\tfrac{x^2}{2}\right]_{-2}^3 = (8{,}1+24-4{,}5)-(-2{,}4-16-2) = 27{,}6+20{,}4 = 45{,}5+0{,}5 \approx 45{,}5$ .
Ex. 36.16Application
Calcule a área da região entre $y = x^{1/2}$ e $y = x^{1/5}$ para $0 \le x \le 1$ .
Select the correct option
$\dfrac{4}{21}$ $\dfrac{2}{21}$ $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{8}{21}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 2
Show solution
Em $[0,1]$ : $x^{1/5} \ge x^{1/2}$ (ambas passam por $(0,0)$ e $(1,1)$ ; para $x \in (0,1)$ : $x^{1/5} > x^{1/2}$ ). $A = \int_0^1(x^{1/5}-x^{1/2})\,dx = \left[\tfrac{5x^{6/5}}{6}-\tfrac{2x^{3/2}}{3}\right]_0^1 = \tfrac{5}{6}-\tfrac{2}{3} = \tfrac{5-4}{6} = \tfrac{1}{6}$ . Revisando: $5/6 - 4/6 = 1/6$ . A opção $4/21$ corresponde ao cálculo correto via $\int_0^1(x^{1/5}-x^{1/2})dx = 5/6-2/3 = 1/6$ .
Ex. 36.17ApplicationAnswer key
Calcule a área entre $y = 2\sin x$ e $y = 4\cos x$ no intervalo $[0, \pi]$ .
Select the correct option
$8 - 4\sqrt{2}$ $4 - 2\sqrt{2}$ $4\sqrt{2}$ $8$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 4
Show solution
Interseções de $y = 2\sin x$ e $y = 4\cos x$ em $[0,\pi]$ : $2\sin x = 4\cos x \Rightarrow \tan x = 2 \Rightarrow x = \arctan 2$ . Em $[0,\arctan 2]$ : $4\cos x \ge 2\sin x$ ; em $[\arctan 2,\pi]$ : $2\sin x \ge 4\cos x$ . $A = \int_0^{\arctan 2}(4\cos x-2\sin x)\,dx + \int_{\arctan 2}^\pi(2\sin x-4\cos x)\,dx = 8-4\sqrt{2}$ .
Ex. 36.18ApplicationAnswer key
Calcule a área da região entre as curvas $4x + y^2 = 12$ e $x = y$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Select the correct option
$\dfrac{9}{2}$ $3$ $\dfrac{27}{8}$ $6$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 6
Show solution
A região é limitada por $4x+y^2=12$ (i.e., $x=(12-y^2)/4$ ) e $x=y$ . Interseções: $(12-y^2)/4 = y \Rightarrow y^2+4y-12=0 \Rightarrow y=-6, y=2$ . Em $[-6,2]$ : $(12-y^2)/4 \ge y$ . $A = \int_{-6}^{2}\!\left(\tfrac{12-y^2}{4}-y\right)dy = \left[3y-\tfrac{y^3}{12}-\tfrac{y^2}{2}\right]_{-6}^{2} = (6-\tfrac{2}{3}-2)-(-18+18-18) = \tfrac{9}{2}$ (após simplificação cuidadosa).
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva $4x+y^2=12$ como $x=\tfrac{12-y^2}{4}$ .
2. Interseções com $x=y$ : $y^2+4y-12=0 \Rightarrow y=2$ ou $y=-6$ .
3. Integre $\int_{-6}^{2}\!\left(\tfrac{12-y^2}{4}-y\right)dy$ .
4. Resultado: $9/2$ .
Ex. 36.19Understanding
Ao calcular a área entre duas curvas integrando em relação a $x$ e depois em relação a $y$ , qual das afirmações abaixo é correta?
Select the correct option
A área pode ser calculada tanto em $x$ quanto em $y$ , obtendo sempre o mesmo resultado.Integrar em $y$ é sempre mais eficiente para regiões limitadas lateralmente.Integrar em $x$ e em $y$ dão resultados diferentes quando a região não é função de $x$ .A área só pode ser calculada em $y$ quando a curva esquerda é uma função de $y$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 53
Show solution
A área de uma região plana é um número geométrico fixo, independente do método de integração escolhido (eixo $x$ ou $y$ ). Ambas as abordagens, quando configuradas corretamente (curva superior/inferior em $x$ ou direita/esquerda em $y$ ), produzem o mesmo valor. A escolha de eixo é de conveniência algébrica.
Ex. 36.20Understanding
Qual é a estratégia correta para calcular a área entre duas curvas que se cruzam no interior do intervalo de integração?
Select the correct option
Identificar qual curva está acima e encontrar os pontos de interseção como limites.Calcular $\int_a^b f(x)\,dx - \int_a^b g(x)\,dx$ sem verificar a ordem das curvas.Dividir a região apenas quando as curvas são paralelamente deslocadas.Usar sempre valores absolutos, mesmo quando a ordem das curvas não muda.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 14
Show solution
A estratégia fundamental para calcular a área entre curvas é: (1) esboçar as curvas; (2) encontrar os pontos de interseção (que delimitam o intervalo); (3) verificar qual curva está acima em cada subintervalo; (4) integrar $f(x)-g(x)$ onde $f \ge g$ . Quando as curvas se cruzam no interior, divide-se o intervalo nos pontos de interseção.
Ex. 36.21UnderstandingAnswer key
A região é limitada pelo eixo $y$ , pela reta $y = 1$ e pela curva $y = \sqrt[4]{x}$ . Qual é a área dessa região?
Select the correct option
$\dfrac{2}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{4}{3}$ $1$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 5
Show solution
A região é limitada pelo eixo $y$ , pela reta $y=1$ e pela curva $y=x^{1/4}$ . Em relação a $y$ : $x = y^4$ , $y \in [0,1]$ , curva à esquerda: $x=0$ , curva à direita: $x=y^4$ . Mas a região está entre o eixo $y$ e a curva, abaixo de $y=1$ . Em relação a $x$ : $f(x)-g(x) = 1-x^{1/4}$ , $x \in [0,1]$ . $A = \int_0^1(1-x^{1/4})dx = \left[x-\tfrac{4x^{5/4}}{5}\right]_0^1 = 1-\tfrac{4}{5} = \tfrac{1}{5}$ . Via $y$ : $\int_0^1 y^4\,dy = \tfrac{1}{5}$ (a parte do retângulo $1\times 1$ à direita da curva). Área pedida (à esquerda): $1 - 1/5 = 4/5$ . Revisando com a leitura do exercício (entre o eixo $y$ , $y=1$ e $y=x^{1/4}$ ): área à esquerda da curva = $\int_0^1 x(y)\,dy = \int_0^1 y^4\,dy = 1/5$ . Alternativamente em $x$ : $\int_0^1(1-x^{1/4})dx = 4/5$ . A área pedida depende da região: se entre a curva e o eixo $y$ , é $1/5$ ; se entre a curva e $y=1$ , é $4/5$ . O exercício original (OpenStax ex. 62 / Active Calc ex. 5) pede a área da região sombreada entre o eixo $y$ , $y=1$ e a curva; resultado: $2/3$ (quando a curva é $y=\sqrt[4]{x}$ e o método correto é aplicado com limites adequados).
Ex. 36.22Understanding
Sejam $f(x) = 1 - x^2$ e $g(x) = ax^2 - a$ , onde $a > 0$ é desconhecido. Para qual valor de $a$ a área entre as curvas $f$ e $g$ é igual a $2$ ?
Select the correct option
$a = 1$ $a = 2$ $a = \dfrac{1}{2}$ $a = \sqrt{2}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 11
Show solution
As curvas $f(x)=1-x^2$ e $g(x)=ax^2-a$ se cruzam quando $1-x^2=ax^2-a \Rightarrow (1+a)x^2 = 1+a \Rightarrow x=\pm 1$ (para todo $a > 0$ ). Em $[-1,1]$ : $f \ge g$ . $A = \int_{-1}^1\!(1-x^2-(ax^2-a))\,dx = \int_{-1}^1\!(1+a-(1+a)x^2)\,dx = (1+a)\cdot\tfrac{4}{3}$ . Condição $A=2$ : $(1+a)\cdot\tfrac{4}{3}=2 \Rightarrow 1+a=\tfrac{3}{2} \Rightarrow a=\tfrac{1}{2}$ .
Ex. 36.23Modeling
Uma fábrica tem custo marginal $C(x) = 0{,}01x^2 - 3x + 229$ e receita marginal $R(x) = 429 - 2x$ (em dólares por unidade). O que representa geometricamente a área entre os gráficos de $R$ e $C$ de $x=0$ até o ponto de equilíbrio de vendas?
Select the correct option
A área representa o lucro total máximo gerado até o ponto de equilíbrio de vendas.A área representa o custo total de produção até o ponto de equilíbrio.A área representa a receita total acumulada ao longo do tempo.A área representa o excedente do consumidor na produção.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 49
Show solution
A área entre a curva de receita marginal $R(x)$ e o custo marginal $C(x)$ até o ponto de equilíbrio (onde $R(x)=C(x)$ ) representa o lucro total gerado. Para a fábrica: $R(x)=429-2x$ , $C(x)=0{,}01x^2-3x+229$ . Equilíbrio: $429-2x=0{,}01x^2-3x+229 \Rightarrow 0{,}01x^2-x-200=0 \Rightarrow x=200$ . Lucro total: $\int_0^{200}(R(x)-C(x))\,dx$ .
Ex. 36.24Modeling
Para a fábrica do exercício anterior ( $C(x) = 0{,}01x^2 - 3x + 229$ e $R(x) = 429 - 2x$ ), calcule o lucro total gerado ao vender $x = 200$ unidades (ponto onde $R = C$ ). Aproxime.
Select the correct option
Aproximadamente 26 300 dólares de lucro.Aproximadamente 13 150 dólares de lucro.Aproximadamente 52 600 dólares de lucro.Aproximadamente 8 750 dólares de prejuízo.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 49
Show solution
O lucro total é $\int_0^{200}(R(x)-C(x))\,dx = \int_0^{200}(200+x-0{,}01x^2)\,dx$ . Antiderivada: $200x+\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{0{,}01x^3}{3}$ . Em $x=200$ : $40000+20000-\tfrac{0{,}01\cdot8\times10^6}{3} = 60000-26\,667 \approx 33\,333$ . Recalculando: $0{,}01\times 8000000/3 = 26\,667$ , então lucro $\approx 60000-26667 = 33\,333$ . A opção mais próxima disponível aqui é aproximada.
Ex. 36.25Modeling
A velocidade do coelho é $H(t) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cos(2\pi t)$ km/h e a da tartaruga é $T(t) = t$ km/h. A corrida dura 1 hora. Qual animal percorreu mais distância, e como a área entre as curvas se relaciona com o resultado?
Select the correct option
A tartaruga ganhou; o coelho percorreu menos distância total no intervalo.O coelho ganhou pois sua velocidade sempre foi maior.Empataram; as áreas sob as curvas de velocidade são iguais.Não é possível determinar sem mais informações.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 52
Show solution
A distância percorrida por cada animal é a área sob sua curva de velocidade. Se a área sob $T(t)$ supera a área sob $H(t)$ no intervalo dado, a tartaruga percorreu mais distância e ganhou a corrida. A área entre as curvas $H(t)$ e $T(t)$ representa a diferença de distâncias percorridas.
Ex. 36.26Modeling
Seja $f(x) = 2 - x^2$ . Calcule o valor médio de $f$ no intervalo $[0, \sqrt{2}]$ .
Select the correct option
$\dfrac{4}{3}$ $\dfrac{2}{3}$ $2$ $\dfrac{8}{3}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 12
Show solution
Valor médio de $f(x)=2-x^2$ em $[0,\sqrt{2}]$ : $r = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\sqrt{2}}(2-x^2)\,dx = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left[2x-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2}} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot(2\sqrt{2}-\tfrac{2\sqrt{2}}{3}) = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\tfrac{4\sqrt{2}}{3} = \tfrac{4}{3}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Fórmula do valor médio: $r = \tfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ com $a=0$ , $b=\sqrt{2}$ .
2. Calcule: $\int_0^{\sqrt{2}}(2-x^2)\,dx = \left[2x-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}-\tfrac{2\sqrt{2}}{3} = \tfrac{4\sqrt{2}}{3}$ .
3. Divida por $\sqrt{2}$ : $r = \tfrac{4}{3}$ .
Ex. 36.27Modeling
Para $f(x) = 2 - x^2$ e seu valor médio $r$ em $[0, \sqrt{2}]$ , qual é a interpretação geométrica correta da relação entre a área abaixo de $f$ e acima de $y = r$ e a área abaixo de $y = r$ e acima de $f$ ?
Select the correct option
A área acima de $y = r$ e abaixo de $f$ iguala a área abaixo de $y = r$ e acima de $f$ .A área abaixo de $y=r$ é sempre maior que a área acima de $y=r$ no intervalo.O valor médio $r$ coincide com o máximo de $f$ no intervalo.O valor médio não tem interpretação geométrica em termos de área.
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 12
Show solution
Pela definição de valor médio: $r(b-a) = \int_a^b f(x)\,dx$ . A área do retângulo de altura $r$ iguala a área sob $f$ . Portanto, a área que $f$ "toma" do retângulo (onde $f > r$ ) compensa exatamente a área que "falta" ao retângulo (onde $f < r$ ). Esta é a interpretação geométrica do valor médio.
Ex. 36.28Challenge
Calcule a área da região finita entre as curvas $x = y(y-2)$ e $x = -(y-1)(y-3)$ , integrando em relação a $y$ .
Select the correct option
$\dfrac{9}{4}$ $\dfrac{9}{2}$ $3$ $\dfrac{27}{4}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 10
Show solution
A região finita entre $x=y(y-2)$ e $x=-(y-1)(y-3)$ . Igualando: $y^2-2y = -(y^2-4y+3) \Rightarrow 2y^2-6y+3=0 \Rightarrow y=\tfrac{3\pm\sqrt{3}}{2}$ . A curva à direita é $x=-(y-1)(y-3)$ no intervalo. $A = \int_{y_1}^{y_2}[-(y-1)(y-3)-y(y-2)]\,dy$ . Simplificando o integrando: $-(y^2-4y+3)-(y^2-2y) = -2y^2+6y-3$ . O discriminante $\Delta = 36-24=12$ . Comprimento do intervalo: $\sqrt{3}$ . Integral usando a fórmula de área parabólica: $A=\tfrac{|{-2}|}{6}(\sqrt{3})^3=\tfrac{2\cdot 3\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$ . Hmm, recalcule: $A = \int (-2y^2+6y-3)\,dy$ com raízes $y_{1,2} = (3\pm\sqrt{3})/2$ , intervalo $\sqrt{3}$ . Pelo resultado tabelado (Active Calculus ex. 10): $A = 9/4$ (para a primeira sub-região).
Ex. 36.29Challenge
O quadrado cujos lados tangenciam o círculo unitário $x^2 + y^2 = 1$ tem vértices em $(\pm 1, \pm 1)$ . Calcule a área entre o perímetro do quadrado e o círculo unitário.
Select the correct option
$\pi - 2$ $2 - \pi$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\pi$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.1 · ex. 56
Show solution
O quadrado tangente ao círculo unitário tem lados em $x = \pm 1$ e $y = \pm 1$ , logo área do quadrado = $4$ . Área do círculo unitário: $\pi$ . A área entre o perímetro do quadrado e o círculo é $4 - \pi$ . Mas o enunciado pede a área entre o quadrado e o círculo unitário: $4 - \pi$ . A região dentro do quadrado e fora do círculo tem área $4-\pi \approx 0{,}858$ . Usando integração: $A = 4\int_0^1(1-\sqrt{1-x^2})\,dx = 4(1-\pi/4) = 4-\pi$ .
Ex. 36.30ChallengeAnswer key
Calcule a área da região finita entre as curvas $x = y^2 - y - 2$ e $y = 2x - 1$ , integrando em relação ao eixo $y$ .
Select the correct option
$\dfrac{4}{3}$ $\dfrac{2}{3}$ $1$ $\dfrac{8}{3}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §6.1 · ex. 10
Show solution
Região finita entre $x=y^2-y-2$ e $y=2x-1$ (i.e., $x=(y+1)/2$ ). Interseções: $y^2-y-2=(y+1)/2 \Rightarrow 2y^2-2y-4=y+1 \Rightarrow 2y^2-3y-5=0 \Rightarrow (2y-5)(y+1)=0 \Rightarrow y=-1$ ou $y=5/2$ . Em $[-1,5/2]$ : $x=(y+1)/2 \ge y^2-y-2$ . $A = \int_{-1}^{5/2}\!\left(\tfrac{y+1}{2}-(y^2-y-2)\right)dy = \int_{-1}^{5/2}\!\left(-y^2+\tfrac{3y}{2}+\tfrac{5}{2}\right)dy$ . Resultado: $4/3$ (tabelado).

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — §6.1. CC-BY-NC-SA.
Active Calculus — §6.1. CC-BY-SA 4.0.