v1 · padrão canônico

Lição 38 — Comprimento de Arco e Superfície de Revolução

Fórmula integral para comprimento de arco de curva plana. Área de superfície de revolução. Derivação das fórmulas a partir de aproximações por segmentos e somas de Riemann.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 4 · USP MAC0105 · ITA MA-011

L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx \qquad S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exemplos

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Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 3Modeling 3Challenge 2

Ex. 38.1Application
Calcule o comprimento de arco de $y = 5x$ de $x = 0$ a $x = 2$ .
Select the correct option
$2\sqrt{26}$ $\sqrt{26}$ $4\sqrt{26}$ $2\sqrt{21}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 165
Show solution
$f'(x)=5$ , então $L=\int_0^2\sqrt{1+25}\,dx=2\sqrt{26}$ .
Ex. 38.2Application
Calcule o comprimento de arco de $y = -\dfrac{1}{2}x + 25$ de $x = 1$ a $x = 4$ .
Select the correct option
$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$ $3\sqrt{5}$ $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 166
Show solution
$f'(x)=-\tfrac{1}{2}$ , então $L=\int_1^4\sqrt{1+\tfrac{1}{4}}\,dx=3\cdot\tfrac{\sqrt{5}}{2}=\tfrac{3\sqrt{5}}{2}$ .
Ex. 38.3ApplicationAnswer key
Calcule o comprimento de arco de $x = 4y$ de $y = -1$ a $y = 1$ .
Select the correct option
$4\sqrt{17}$ $8\sqrt{17}$ $2\sqrt{17}$ $4\sqrt{5}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 167
Show solution
Para $x = 4y$ , temos $dx/dy = 4$ , então $L=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+16}\,dy=2\sqrt{17}$ . Espera: $2\sqrt{17}\approx 8{,}25$ . Mas de $y=-1$ a $y=1$ , comprimento $= 2\sqrt{17}$ . A questão tem intervalo $y\in[-1,1]$ , comprimento $= 2\sqrt{17}$ . Opção correta: $4\sqrt{17}$ pois o integral é de $-1$ a $1$ , comprimento $=2\cdot\sqrt{17}=2\sqrt{17}$ . Recalculando: $x=4y$ , $dx/dy=4$ , $L=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+16}\,dy=2\sqrt{17}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva a fórmula de comprimento em $y$ : $L=\int_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+(dx/dy)^2}\,dy$ .
2. Calcule $dx/dy=4$ para $x=4y$ .
3. Integre: $L=\int_{-1}^{1}\sqrt{17}\,dy=2\sqrt{17}$ .
Ex. 38.4Application
Calcule o comprimento de arco de $y = x^{3/2}$ de $(0, 0)$ a $(1, 1)$ ... (Resp: use a integral exata para $y = x^{3/2}$ em $[0,1]$ , resultado $\dfrac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$ .)
Calcule o comprimento de arco de $y = x^{3/2}$ de $x = 0$ a $x = 1$ .
Select the correct option
$\dfrac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$ $\dfrac{4}{27}(10\sqrt{10}-1)$ $\dfrac{8}{27}(10\sqrt{10}+1)$ $\dfrac{8}{9}(10\sqrt{10}-1)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 171
Show solution
$f'(x)=\tfrac{3}{2}x^{1/2}$ , $1+(f')^2=1+\tfrac{9x}{4}$ . Substituição $u=1+\tfrac{9x}{4}$ : $L=\tfrac{4}{9}\int_1^{10}\sqrt{u}\,du=\tfrac{8}{27}(10^{3/2}-1)=\tfrac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$ .
Ex. 38.5Application
Estime o comprimento de arco de $y = x^{2/3}$ de $(1, 1)$ a $(8, 4)$ .
Select the correct option
Aproximadamente $7{,}63$ Aproximadamente $6{,}24$ Aproximadamente $9{,}00$ Aproximadamente $5{,}00$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 172
Show solution
$f'(x)=\tfrac{2}{3}x^{-1/3}$ , $L=\int_1^8\sqrt{1+\tfrac{4}{9x^{2/3}}}\,dx$ . Esta integral não tem forma fechada simples; numericamente $L\approx 7{,}63$ .
Ex. 38.6Application
Calcule o comprimento exato de $y = \dfrac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$ de $x = 0$ a $x = 1$ .
Select the correct option
$\dfrac{10\sqrt{10}-1}{3}$ $\dfrac{10\sqrt{10}+1}{3}$ $\dfrac{10\sqrt{10}-1}{6}$ $10\sqrt{10}-1$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 173
Show solution
$f'(x)=x\sqrt{x^2+2}$ , então $1+(f')^2=1+x^2(x^2+2)=(x^2+1)^2$ . Logo $L=\int_0^1(x^2+1)\,dx=[\tfrac{x^3}{3}+x]_0^1=\tfrac{4}{3}$ . Nota: a resposta exata depende dos cálculos; a opção correta usa $u=x^2+2$ . Verificando: $f=\tfrac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$ , $f'=x\sqrt{x^2+2}$ , $1+(f')^2=1+x^2(x^2+2)=x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2$ . $L=\int_0^1(x^2+1)\,dx=\tfrac{4}{3}$ .
Ex. 38.7Application
Calcule o comprimento exato de $y = \dfrac{1}{3}(x^2-2)^{3/2}$ de $x = 2$ a $x = 4$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{3}(x^2+1)^{3/2}\Big|_2^4 = \dfrac{17^{3/2}-5^{3/2}}{3}$ $\dfrac{17^{3/2}+5^{3/2}}{3}$ $\dfrac{17^{3/2}-5^{3/2}}{6}$ $17^{3/2}-5^{3/2}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 174
Show solution
$f=\tfrac{1}{3}(x^2-2)^{3/2}$ , $f'=x\sqrt{x^2-2}$ , $1+(f')^2=(x^2-1)^2$ . $L=\int_2^4(x^2-1)\,dx=[\tfrac{x^3}{3}-x]_2^4=(\tfrac{64}{3}-4)-(\tfrac{8}{3}-2)=\tfrac{56}{3}-2=\tfrac{50}{3}$ . A integral exata é $\tfrac{50}{3}$ .
Ex. 38.8ApplicationAnswer key
Estime o comprimento de arco de $y = e^x$ de $x = 0$ a $x = 1$ .
Select the correct option
Aproximadamente $2{,}003$ Aproximadamente $1{,}718$ Aproximadamente $2{,}500$ Aproximadamente $3{,}141$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 175
Show solution
$f'(x)=e^x$ , $L=\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\,dx\approx 2{,}003$ (avaliado numericamente).
Ex. 38.9Application
Calcule o comprimento exato de $y = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{1}{4x}$ de $x = 1$ a $x = 3$ .
Select the correct option
$\dfrac{242}{9} + \dfrac{26}{3} - \dfrac{10}{9} = \dfrac{242}{9} + \dfrac{78}{9} - \dfrac{10}{9} = \dfrac{310}{9}$ $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{8x^2}\Big|_1^3 = \dfrac{242}{9}$ $\dfrac{88}{3} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{703}{24}$ $\dfrac{242}{9}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 176
Show solution
$f=\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{1}{4x}$ , $f'=x^2-\tfrac{1}{4x^2}$ , $1+(f')^2=(x^2+\tfrac{1}{4x^2})^2$ . $L=\int_1^3(x^2+\tfrac{1}{4x^2})\,dx=[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{1}{4x}]_1^3=(9-\tfrac{1}{12})-(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4})=\tfrac{242}{9}$ . Resp: $\tfrac{242}{9}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x) = x^2 - \dfrac{1}{4x^2}$ .
2. Verifique: $1+(f')^2 = \left(x^2+\dfrac{1}{4x^2}\right)^2$ — quadrado perfeito!
3. Integre: $L=\int_1^3\left(x^2+\dfrac{1}{4x^2}\right)dx = \left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{1}{4x}\right]_1^3$ .
4. Avalie: $\left(9-\dfrac{1}{12}\right)-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{242}{9}$ .
Ex. 38.10Application
Calcule o comprimento exato de $y = \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{1}{8x^2}$ de $x = 1$ a $x = 2$ .
Select the correct option
$\dfrac{123}{32}$ $\dfrac{63}{32}$ $\dfrac{123}{16}$ $\dfrac{63}{16}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 177
Show solution
$f=\tfrac{x^4}{4}+\tfrac{1}{8x^2}$ , $f'=x^3-\tfrac{1}{4x^3}$ , $1+(f')^2=(x^3+\tfrac{1}{4x^3})^2$ . $L=\int_1^2(x^3+\tfrac{1}{4x^3})\,dx=[\tfrac{x^4}{4}-\tfrac{1}{8x^2}]_1^2=(4-\tfrac{1}{32})-(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8})=\tfrac{123}{32}$ .
Ex. 38.11Application
Calcule o comprimento exato de $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{1}{2}x^{1/2}$ de $x = 1$ a $x = 4$ .
Select the correct option
$\dfrac{10}{3}$ $\dfrac{5}{3}$ $\dfrac{20}{3}$ $\dfrac{10}{9}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 178
Show solution
$f=\tfrac{2}{3}x^{3/2}-\tfrac{1}{2}x^{1/2}$ , $f'=x^{1/2}-\tfrac{1}{4}x^{-1/2}$ , $1+(f')^2=(x^{1/2}+\tfrac{1}{4}x^{-1/2})^2$ . $L=\int_1^4(x^{1/2}+\tfrac{1}{4}x^{-1/2})\,dx=[\tfrac{2}{3}x^{3/2}+\tfrac{1}{2}x^{1/2}]_1^4=(\tfrac{16}{3}+1)-(\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{2})=\tfrac{10}{3}$ .
Ex. 38.12Application
Calcule o comprimento exato de $y = \dfrac{1}{27}(9x^2+6)^{3/2}$ de $x = 0$ a $x = 2$ .
Select the correct option
$\dfrac{26\sqrt{26}-10\sqrt{10}}{3}$ $\dfrac{26\sqrt{26}+10\sqrt{10}}{3}$ $\dfrac{26\sqrt{26}-10\sqrt{10}}{6}$ $26\sqrt{26}-10\sqrt{10}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 179
Show solution
$f=\tfrac{1}{27}(9x^2+6)^{3/2}$ , $f'=x\sqrt{9x^2+6}$ , $1+(f')^2=1+x^2(9x^2+6)=(3x^2+1)^2$ . $L=\int_0^2(3x^2+1)\,dx=[x^3+x]_0^2=10$ . Resp: 10.
Ex. 38.13ApplicationAnswer key
Estime o comprimento de arco de $y = \sin x$ de $x = 0$ a $x = \pi$ .
Select the correct option
Aproximadamente $3{,}820$ Aproximadamente $3{,}142$ Aproximadamente $4{,}500$ Aproximadamente $2{,}718$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 180
Show solution
$f'(x)=\cos x$ , $L=\int_0^{\pi}\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx\approx 3{,}820$ (integral elíptica, avaliada numericamente).
Ex. 38.14Application
Calcule o comprimento de arco de $y = 5 - \dfrac{3x}{4}$ , integrando em relação a $y$ de $y = 0$ a $y = 4$ .
Select the correct option
$\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{4}\cdot 4 = \dfrac{4\sqrt{5}}{3}$ $\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$ $5\sqrt{5}/3$ $\dfrac{5\sqrt{5}-1}{3}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 181
Show solution
Para $x=\tfrac{5-3y}{4}$ , $dx/dy=-\tfrac{3}{4}$ , $L=\int_0^4\sqrt{1+\tfrac{9}{16}}\,dy=4\cdot\tfrac{\sqrt{25}}{4}=5$ . Mas a função é $y=5-3x/4$ , $L=4\sqrt{1+9/16}=4\cdot\tfrac{5}{4}=5$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $x=g(y)=\dfrac{5-3y}{4}\cdot\dfrac{4}{3}=\ldots$ — a curva é linear em $y$ .
2. Calcule $dx/dy = -3/4$ .
3. $L=\int_0^4\sqrt{1+9/16}\,dy=4\cdot\tfrac{5}{4}=5$ .
Ex. 38.15Application
Calcule o comprimento exato de $x = \dfrac{1}{2}(e^y + e^{-y})$ de $y = -1$ a $y = 1$ .
Select the correct option
$2\sinh(1)$ $\cosh(1) - \cosh(-1)$ $e - e^{-1}$ $2\cosh(1)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 182
Show solution
$x=\tfrac{1}{2}(e^y+e^{-y})=\cosh y$ , $dx/dy=\sinh y$ , $1+(dx/dy)^2=\cosh^2 y$ . $L=\int_{-1}^1\cosh y\,dy=[\sinh y]_{-1}^1=2\sinh(1)$ .
Ex. 38.16Application
Estime o comprimento de arco de $x = \sqrt{y}$ de $y = 0$ a $y = 1$ .
Select the correct option
Aproximadamente $1{,}478$ Aproximadamente $2{,}000$ Aproximadamente $1{,}000$ Aproximadamente $1{,}732$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 185
Show solution
$x=\sqrt{y}$ , $dx/dy=\tfrac{1}{2\sqrt{y}}$ , $L=\int_0^1\sqrt{1+\tfrac{1}{4y}}\,dy\approx 1{,}478$ .
Ex. 38.17ApplicationAnswer key
Escreva a integral para a área da superfície gerada quando $y = \sqrt{x}$ gira em torno do eixo $x$ , de $x = 2$ a $x = 6$ .
Select the correct option
$2\pi\int_2^6\sqrt{x}\cdot\sqrt{1+\tfrac{1}{4x}}\,dx$ $2\pi\int_2^6\sqrt{x}\,dx$ $2\pi\int_2^6 x\cdot\sqrt{1+\tfrac{1}{4x}}\,dx$ $\pi\int_2^6\sqrt{x}\cdot\sqrt{1+\tfrac{1}{4x}}\,dx$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 191
Show solution
$f(x)=\sqrt{x}$ , $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . Área: $S=2\pi\int_2^6 f(x)\sqrt{1+(f')^2}\,dx=2\pi\int_2^6\sqrt{x}\cdot\sqrt{1+\tfrac{1}{4x}}\,dx$ .
Ex. 38.18Application
Calcule a área da superfície gerada quando $y = x^3$ gira em torno do eixo $x$ , de $x = 0$ a $x = 1$ .
Select the correct option
$\dfrac{\pi}{27}(10^{3/2}-1)$ $\dfrac{\pi}{2}(10\sqrt{10}-1)$ $\dfrac{\pi}{9}(10\sqrt{10}-1)$ $\dfrac{2\pi}{9}(10\sqrt{10}-1)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 192
Show solution
$f(x)=x^3$ , $f'(x)=3x^2$ . $S=2\pi\int_0^1 x^3\sqrt{1+9x^4}\,dx$ . Substituição $u=1+9x^4$ : $S=\tfrac{2\pi}{36}\cdot\tfrac{2}{3}[u^{3/2}]_1^{10}=\tfrac{\pi}{27}(10^{3/2}-1)=\tfrac{\pi(10\sqrt{10}-1)}{27}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $f'(x)=3x^2$ , então $1+(f')^2=1+9x^4$ .
2. Escreva $S=2\pi\int_0^1 x^3\sqrt{1+9x^4}\,dx$ .
3. Substitua $u=1+9x^4$ , $du=36x^3\,dx$ : limites $u(0)=1$ , $u(1)=10$ .
4. $S=\tfrac{2\pi}{36}\cdot\tfrac{2}{3}[u^{3/2}]_1^{10}=\tfrac{\pi}{27}(10\sqrt{10}-1)$ .
Ex. 38.19ApplicationAnswer key
Calcule a área da superfície gerada quando $y = 7x$ gira em torno do eixo $x$ , de $x = -1$ a $x = 1$ .
Select the correct option
$2\pi\cdot 7\sqrt{2}\cdot 2 = 28\pi\sqrt{2}$ $14\pi\sqrt{2}$ $7\pi\sqrt{2}$ $56\pi\sqrt{2}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 193
Show solution
$f(x)=7x$ , $f'(x)=7$ , $\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ . $S=2\pi\int_{-1}^1 7x\cdot 5\sqrt{2}\,dx$ . Como $7x$ é ímpar e o intervalo é simétrico, $S=0$ ? Não — a superfície usa $|f(x)|$ ou $f(x)\geq 0$ . Para $f(x)=7x$ com $x\in[-1,1]$ , usa-se raio $|7x|$ : $S=2\pi\int_{-1}^1|7x|\cdot5\sqrt{2}\,dx=2\cdot 2\pi\int_0^1 35\sqrt{2}x\,dx=4\pi\cdot35\sqrt{2}\cdot\tfrac{1}{2}=70\pi\sqrt{2}$ . (Resp: $70\pi\sqrt{2}$ .)
Ex. 38.20Application
Calcule a área da superfície gerada quando $y = \sqrt{4-x^2}$ gira em torno do eixo $x$ , de $x = 0$ a $x = 2$ .
Select the correct option
$2\pi\int_0^2\sqrt{4-x^2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx = 4\pi\cdot 2 = 8\pi$ $4\pi$ $16\pi$ $2\pi$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 195
Show solution
$f(x)=\sqrt{4-x^2}$ , $f'(x)=\tfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$ , $\sqrt{1+(f')^2}=\tfrac{2}{\sqrt{4-x^2}}$ . $S=2\pi\int_0^2\sqrt{4-x^2}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx=2\pi\int_0^2 2\,dx=8\pi$ .
Ex. 38.21Understanding
Calcule a área da superfície gerada quando $y = \sqrt{4-x^2}$ gira em torno do eixo $x$ , de $x = -1$ a $x = 1$ . O que representa geometricamente?
Select the correct option
$8\pi$ $4\pi$ $16\pi$ $2\pi$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 196
Show solution
$f(x)=\sqrt{4-x^2}$ , $\sqrt{1+(f')^2}=\tfrac{2}{\sqrt{4-x^2}}$ . $S=2\pi\int_{-1}^1 2\,dx=8\pi$ . Esta é a área de uma calota esférica de raio 2 entre $x=-1$ e $x=1$ .
Ex. 38.22Application
Calcule a área da superfície gerada quando $y = 5x$ gira em torno do eixo $x$ , de $x = 1$ a $x = 5$ .
Select the correct option
$2\pi\cdot 5\sqrt{26}\cdot 4 = 40\pi\sqrt{26}$ $\pi\cdot 5\sqrt{26}\cdot 4 = 20\pi\sqrt{26}$ $40\pi\sqrt{26}$ $20\pi(5\sqrt{26}-\sqrt{26}) = 80\pi\sqrt{26}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 197
Show solution
$f(x)=5x$ , $f'(x)=5$ , $\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$ . $S=2\pi\int_1^5 5x\cdot\sqrt{26}\,dx=10\pi\sqrt{26}[\tfrac{x^2}{2}]_1^5=10\pi\sqrt{26}\cdot 12=120\pi\sqrt{26}$ . Resp: $120\pi\sqrt{26}$ .
Ex. 38.23ApplicationAnswer key
Escreva a integral para a área da superfície gerada quando $y = x^2$ gira em torno do eixo $y$ , de $x = 0$ a $x = 2$ .
Select the correct option
$2\pi\int_0^2 x^2\sqrt{1+4x^2}\,dx$ $2\pi\int_0^2 x^2\,dx$ $2\pi\int_0^2 x\sqrt{1+4x^2}\,dx$ $\pi\int_0^2 x^2\sqrt{1+4x^2}\,dx$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 199
Show solution
Rotação em torno do eixo $y$ : $S=2\pi\int_0^2 x\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ . Com $f(x)=x^2$ , $f'=2x$ : $S=2\pi\int_0^2 x\sqrt{1+4x^2}\,dx$ . Note que o raio de rotação é $x$ (distância ao eixo $y$ ).
Show step-by-step (with the why)
1. Para rotação em torno do eixo $y$ , a fórmula usa raio $x$ : $S=2\pi\int_a^b x\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ .
2. Com $f'(x)=2x$ : $S=2\pi\int_0^2 x\sqrt{1+4x^2}\,dx$ .
Ex. 38.24Understanding
Escreva a integral para a área da superfície gerada quando $y = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}$ gira em torno do eixo $y$ , de $x = 0$ a $x = 1$ .
Select the correct option
$2\pi\int_0^1 x\sqrt{1+x^2}\,dx$ $2\pi\int_0^1 (x^2+1)\sqrt{1+x^2}\,dx$ $2\pi\int_0^1 x\cdot x\,dx$ $\pi\int_0^1 x\sqrt{1+x^2}\,dx$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 200
Show solution
$f(x)=\tfrac{x^2+1}{2}$ , $f'(x)=x$ , $\sqrt{1+(f')^2}=\sqrt{1+x^2}$ . Rotação em torno do eixo $y$ : $S=2\pi\int_0^1 x\sqrt{1+x^2}\,dx$ .
Ex. 38.25Modeling
Uma âncora arrasta atrás de um barco seguindo $y = 24e^{-x/2} - 24$ (ft), onde $y$ é a profundidade e $x$ é a distância horizontal. Se a âncora está 23 ft abaixo, quanto de corda é necessário para alcançá-la? Estime com 3 casas decimais.
Select the correct option
Aproximadamente $23{,}004$ ftAproximadamente $24{,}000$ ftAproximadamente $21{,}500$ ftAproximadamente $25{,}000$ ft
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 210
Show solution
A âncora está a 23 ft de profundidade, logo $y=-23$ : $24e^{-x/2}-24=-23$ , $e^{-x/2}=\tfrac{1}{24}$ , $x=2\ln 24\approx 6{,}38$ ft. Comprimento de corda: $L=\int_0^{6{,}38}\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ onde $y'=-12e^{-x/2}$ . Numericamente $L\approx 23{,}004$ ft.
Ex. 38.26Modeling
Você está construindo uma ponte de 10 ft. Vai adicionar corda decorativa em formato de $y = 5|\sin(\pi x/5)|$ , de $x = 0$ a $x = 10$ ft. Quantos pés inteiros de corda você precisa comprar?
Select the correct option
23 ft20 ft30 ft10 ft
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 211
Show solution
A corda decorativa segue $y=5|\sin(\pi x/5)|$ de $x=0$ a $x=10$ . $y'=\pi\cos(\pi x/5)\cdot\text{sgn}(\sin(\pi x/5))$ . Numericamente, $L=\int_0^{10}\sqrt{1+\pi^2\cos^2(\pi x/5)}\,dx\approx 22{,}9\approx 23$ ft inteiros.
Ex. 38.27UnderstandingAnswer key
Calcule o comprimento exato de $y = \ln(\sin x)$ de $x = \pi/4$ a $x = 3\pi/4$ .
Select the correct option
$\ln(\sqrt{2}+1)$ $\ln(\sqrt{2}-1)$ $\ln 2$ $\pi/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 212
Show solution
$f(x)=\ln(\sin x)$ , $f'(x)=\cot x$ , $1+(f')^2=1+\cot^2 x=\csc^2 x$ . $L=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}|\csc x|\,dx=[-\ln|\csc x+\cot x|]_{\pi/4}^{3\pi/4}=\ln(\sqrt{2}+1)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x)=\cot x$ .
2. Simplifique: $\sqrt{1+\cot^2 x}=|\csc x|=\csc x$ no intervalo $(0,\pi)$ .
3. Integre: $\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\csc x\,dx=\ln(\sqrt{2}+1)$ .
Ex. 38.28Challenge
Entre $(1,1)$ e $(2, 1/2)$ , qual é mais longo: a hipérbole $y = 1/x$ ou a reta $x + 2y = 3$ ? Calcule e compare.
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A hipérbole $y=1/x$ é mais longaA linha $x+2y=3$ é mais longaAmbas têm o mesmo comprimentoNão é possível comparar sem integração numérica
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 216
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Linha $x+2y=3$ (i.e., $y=(3-x)/2$ ): comprimento entre $(1,1)$ e $(2,1/2)$ é $\sqrt{1+1/4}=\sqrt{5}/2\approx 1{,}118$ . Hipérbole $y=1/x$ : $L=\int_1^2\sqrt{1+1/x^4}\,dx\approx 1{,}132$ . Logo a hipérbole é ligeiramente mais longa.
Ex. 38.29Challenge
Explique por que a área da superfície do Trompete de Gabriel ( $y = 1/x$ girado em torno do eixo $x$ , para $1 \leq x < \infty$ ) é infinita, embora o volume seja finito.
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A área é infinita porque $\int_1^\infty (1/x)\,dx$ divergeA área é finita porque o volume é finitoA área é $\pi$ (igual ao volume)A área é $2\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 217
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$S=2\pi\int_1^\infty \tfrac{1}{x}\sqrt{1+\tfrac{1}{x^4}}\,dx\geq 2\pi\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx=2\pi\ln x\Big|_1^\infty=+\infty$ . Por comparação, a área é infinita, embora o volume seja $\pi$ .
Ex. 38.30Modeling
Um chapéu cônico tem raio 5 cm e altura 5 cm. Usando a fórmula de superfície de revolução com $y = x$ ( $x \in [0,5]$ ), calcule a área lateral do cone. Confirme que coincide com $\pi r\ell$ onde $\ell = \sqrt{r^2+h^2}$ .
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$5\sqrt{1+25}\cdot\pi\cdot 5 = 25\pi\sqrt{26}$ $25\pi\sqrt{26}$ $\pi\cdot 5\cdot 5\cdot\sqrt{26}$ $2\pi\int_0^5 5x\cdot\sqrt{26}\,dx = 125\pi\sqrt{26}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.4 · ex. 200
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A superfície lateral do cone corresponde a girar $y=x$ (inclinação 1) escalada para $y=(r/h)x$ . Para $y=5x/5=x$ em $[0,5]$ : $S=2\pi\int_0^5 x\sqrt{1+1}\,dx=2\pi\sqrt{2}\cdot\tfrac{25}{2}=25\pi\sqrt{2}$ . Para cone com semi-ângulo $\alpha$ tal que $\tan\alpha=r/h$ : resposta clássica $\pi r\ell$ onde $\ell=\sqrt{r^2+h^2}$ . Calculando para $r=h=5$ : $S=\pi\cdot 5\cdot 5\sqrt{2}=25\pi\sqrt{2}$ .