v1 · padrão canônico

Lição 39 — Aplicações Físicas da Integral

Aplicações da integral definida em física e engenharia: trabalho de força variável, pressão hidrostática, centro de massa e centroides. Modelagem com somas de Riemann infinitesimais.

Used in: Cálculo 1 — Unidade 4 · USP MAC0105 · ITA MA-011

W = \int_a^b F(x)\,dx \qquad \bar{x} = \frac{\int_a^b x\,f(x)\,dx}{\int_a^b f(x)\,dx}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

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Exemplos

Exercícios

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 4Modeling 6Challenge 2

Ex. 39.1ApplicationAnswer key
Uma força constante $F = 12$ lb move uma cadeira de $x = 0{,}9$ a $x = 1{,}1$ ft. Qual é o trabalho realizado?
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$2{,}4$ J $1{,}2$ J $4{,}8$ J $0{,}6$ J
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 218
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A força constante $F = 12$ lb desloca o objeto de $x=0{,}9$ a $x=1{,}1$ ft: $W = 12 \times (1{,}1-0{,}9) = 12 \times 0{,}2 = 2{,}4$ ft·lb. Convertendo para Joules (1 ft·lb ≈ 1,356 J), mas em unidades de ft·lb o resultado é $2{,}4$ .
Ex. 39.2Application
Quanto trabalho é realizado quando uma pessoa ergue uma caixa de 50 lb sobre um caminhão que está a 3 ft do chão?
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$150$ ft·lb $50$ ft·lb $200$ ft·lb $75$ ft·lb
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 219
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Trabalho com força constante: $W = F \times d = 50 \times 3 = 150$ ft·lb.
Ex. 39.3Application
Qual é o trabalho realizado ao erguer uma criança de 20 kg do chão até uma altura de 2 m? (Considere que 1 kg pesa 9,8 N perto da superfície terrestre.)
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$392$ J $196$ J $784$ J $200$ J
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OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 220
Show solution
Uma massa de 1 kg pesa 9,8 N. Logo $F = 20 \times 9{,}8 = 196$ N. $W = F \times d = 196 \times 2 = 392$ J.
Show step-by-step (with the why)
1. Peso da criança: $F = 20 \times 9{,}8 = 196$ N.
2. Trabalho = força × distância: $W = 196 \times 2 = 392$ J.
Ex. 39.4Application
Encontre o trabalho realizado ao empurrar uma caixa pelo chão por 2 m, aplicando uma força constante de $F = 100$ N.
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$200$ J $100$ J $50$ J $400$ J
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 221
Show solution
$W = F \times d = 100 \times 2 = 200$ J.
Ex. 39.5Application
Calcule o trabalho realizado por uma força $F = 12/x^2$ N de $x = 1$ a $x = 2$ m.
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$6$ J $12$ J $3$ J $24$ J
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 222
Show solution
$W = \int_1^2 \frac{12}{x^2}\,dx = 12\left[-\frac{1}{x}\right]_1^2 = 12\left(-\tfrac{1}{2}+1\right) = 6$ J.
Show step-by-step (with the why)
1. A força variável é $F(x) = 12/x^2$ N.
2. $W = \int_1^2 \frac{12}{x^2}\,dx = 12\left[-x^{-1}\right]_1^2 = 12\left(-\tfrac{1}{2}+1\right) = 6$ J.
Ex. 39.6Application
Qual é o trabalho realizado ao mover uma partícula de $x = 0$ a $x = 1$ m se a força atuante é $F = 3x^2$ N?
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$1$ J $3$ J $4$ J $\dfrac{1}{2}$ J
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 223
Show solution
$W = \int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1$ J.
Ex. 39.7Application
Um fio tem comprimento 2 ft (partindo de $x = 0$ ) e função densidade $\rho(x) = x^2 + 2x$ lb/ft. Qual é sua massa?
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$\dfrac{20}{3}$ lb $8$ lb $\dfrac{16}{3}$ lb $12$ lb
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 224
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$M = \int_0^2 (x^2+2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2 = \frac{8}{3}+4 = \frac{20}{3}$ lb.
Ex. 39.8Application
Uma antena de rádio tem comprimento 3 ft (partindo de $x = 0$ ) e função densidade $\rho(x) = 3x + 2$ lb/ft. Qual é sua massa?
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$\dfrac{27}{2}$ lb $9$ lb $18$ lb $\dfrac{15}{2}$ lb
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 225
Show solution
$M = \int_0^3 (3x+2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2}+2x\right]_0^3 = \frac{27}{2}+6 = \frac{39}{2}$ ... Recalculando: $\frac{3\cdot9}{2}+6 = \frac{27}{2}+6 = \frac{39}{2}$ lb. (Resp: 39/2 lb.)
Ex. 39.9Application
Uma barra metálica tem comprimento 8 pol. (partindo de $x = 0$ ) e função densidade $\rho(x) = e^{x/2}$ lb/pol. Qual é sua massa?
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$2(e^4 - 1)$ lb $e^4 - 1$ lb $2e^4$ lb $e^4$ lb
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 226
Show solution
$M = \int_0^8 e^{x/2}\,dx = \left[2e^{x/2}\right]_0^8 = 2e^4 - 2 = 2(e^4-1)$ lb.
Show step-by-step (with the why)
1. Integrar $\rho(x)=e^{x/2}$ de 0 a 8 pol.
2. $M = \int_0^8 e^{x/2}\,dx$ . Substituição $u=x/2$ : $2\int_0^4 e^u\,du = 2[e^u]_0^4 = 2(e^4-1)$ .
Ex. 39.10Application
Um lápis tem comprimento 4 pol. (partindo de $x = 2$ ) e função densidade $\rho(x) = 5/x$ oz/pol. Qual é sua massa? (Resp: $5\ln 3$ oz.)
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$5\ln 3$ oz $5\ln 6$ oz $5(\ln 6 - \ln 2)$ oz $\dfrac{5}{2}\ln 3$ oz
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 227
Show solution
$M = \int_2^6 \frac{5}{x}\,dx = 5[\ln x]_2^6 = 5(\ln 6 - \ln 2) = 5\ln 3$ oz.
Ex. 39.11UnderstandingAnswer key
Por que é necessário usar uma integral para calcular a força hidrostática total sobre uma comporta vertical retangular submersa?
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A pressão aumenta linearmente com a profundidade, por isso a força total é uma integral de profundidade × largura.A força é constante em toda a placa vertical, bastando multiplicar pressão pela área.A força hidrostática independe da forma da placa.Apenas a profundidade máxima determina a força total.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 247
Show solution
A pressão a profundidade $h$ é $P = \rho g h$ , variando ao longo da placa vertical. A força total é $F = \rho g \int_a^b h\,w(h)\,dh$ , onde $w(h)$ é a largura na profundidade $h$ .
Ex. 39.12ApplicationAnswer key
Uma mola de comprimento natural 12 pol. é esticada até 15 pol. por uma força de 75 lb. Qual é a constante da mola?
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$25$ lb/ft $75$ lb/ft $12{,}5$ lb/ft $50$ lb/ft
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 234
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A extensão da mola é $x = 15-12 = 3$ pol. Pela Lei de Hooke: $F = kx \Rightarrow 75 = k\cdot 3 \Rightarrow k = 25$ lb/ft.
Show step-by-step (with the why)
1. Comprimento natural: 12 pol. Comprimento esticado: 15 pol. Extensão: $x = 3$ pol.
2. Lei de Hooke: $75 = k \cdot 3 \Rightarrow k = 25$ lb/ft.
Ex. 39.13Application
Uma mola tem comprimento natural de 10 cm. São necessários 2 J para esticá-la de 10 cm a 15 cm. Quanto trabalho é necessário para esticá-la de 15 cm a 20 cm?
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$6$ J $2$ J $4$ J $8$ J
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 235
Show solution
Com 2 J para esticar de 0 a 5 cm: $2 = \int_0^{0{,}05}kx\,dx = k(0{,}05)^2/2 \Rightarrow k = 1600$ N/m. Trabalho de 5 a 10 cm: $W = \int_{0{,}05}^{0{,}10}1600x\,dx = 800[x^2]_{0{,}05}^{0{,}10} = 800(0{,}01-0{,}0025) = 6$ J.
Ex. 39.14Application
Uma mola de comprimento natural 1 m requer 10 J para ser esticada de 1 m a 1,1 m. Quanto trabalho seria necessário para esticá-la de 1 m a 1,2 m? (Resp: 40 J total; trabalho adicional além dos 10 J iniciais = 30 J.)
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$30$ J $10$ J $20$ J $40$ J
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 236
Show solution
Com 10 J para esticar de 0 a 0,1 m: $10 = k(0{,}1)^2/2 \Rightarrow k = 2000$ N/m. Trabalho de 0 a 0,2 m: $W = \int_0^{0{,}2}2000x\,dx = 1000 \times 0{,}04 = 40$ J. Trabalho adicional de 0,1 a 0,2 m: $40-10 = 30$ J.
Ex. 39.15Modeling
Uma mola requer 5 J para ser esticada de 8 cm a 12 cm e mais 4 J para ir de 12 cm a 14 cm. Qual é o comprimento natural da mola?
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$36$ J $28$ J $20$ J $44$ J
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 237
Show solution
Seja $L$ o comprimento natural. $5 = k\int_{(0{,}08-L)}^{(0{,}12-L)}x\,dx$ e $4 = k\int_{(0{,}12-L)}^{(0{,}14-L)}x\,dx$ . Resolvendo: $k = 500$ N/m e $L = 0{,}06$ m. Trabalho total de 0 a 12 cm: $W = \int_0^{0{,}06}500x\,dx = 9$ J. (A resposta correta do livro para o comprimento natural é 6 cm.)
Ex. 39.16Application
Uma força $F = 20x - x^3$ N estica uma mola não-linear em $x$ metros. Que trabalho é necessário para esticá-la de $x = 0$ a $x = 2$ m?
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$36$ J $24$ J $48$ J $18$ J
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 239
Show solution
$W = \int_0^2 (20x - x^3)\,dx = \left[10x^2 - \frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 40 - 4 = 36$ J.
Show step-by-step (with the why)
1. Integrar a força não-linear: $W = \int_0^2 (20x-x^3)\,dx$ .
2. $= \left[10x^2 - x^4/4\right]_0^2 = 10(4) - 16/4 = 40-4 = 36$ J.
Ex. 39.17ApplicationAnswer key
Encontre o trabalho realizado ao enrolar um cabo pendurado de comprimento 100 ft e densidade de peso 5 lb/ft.
Select the correct option
$25{.}000$ ft·lb $12{.}500$ ft·lb $50{.}000$ ft·lb $5{.}000$ ft·lb
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 240
Show solution
Cabo de 100 ft, 5 lb/ft. Uma seção a altura $x$ do chão precisa ser elevada $x$ ft. $W = \int_0^{100} 5x\,dx = 5 \cdot \frac{100^2}{2} = 25{.}000$ ft·lb.
Ex. 39.18Understanding
Qual é o princípio físico que justifica o uso de uma integral (e não simplesmente força × distância) ao calcular o trabalho para içar um cabo pendurado de densidade uniforme?
Select the correct option
O trabalho para içar cada trecho de cabo varia com sua posição, pois a distância de elevação muda ao longo do cabo.O trabalho é constante para cada segmento do cabo, pois a densidade é uniforme.O trabalho para içar um cabo pendurado é simplesmente massa total × distância média.O cabo mais próximo do topo requer mais trabalho pois é içado por último.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 241
Show solution
Cada elemento $dx$ do cabo a altura $x$ do chão tem peso $\mu\,dx$ e deve ser elevado $x$ ft até o topo. Logo $dW = \mu x\,dx$ e a integral acumula esses trabalhos variáveis.
Ex. 39.19Modeling
A força gravitacional sobre massa $m$ é $F = GMm/x^2$ N. Para um foguete de $m = 1000$ kg, calcule o trabalho para elevá-lo de $x = 6400$ a $x = 6500$ km. (Use $G = 6{,}67\times 10^{-11}$ N·m²/kg² e $M = 6\times10^{24}$ kg.)
Select the correct option
$\approx 9{,}56 \times 10^8$ J $\approx 4{,}78 \times 10^8$ J $\approx 1{,}91 \times 10^9$ J $\approx 2{,}39 \times 10^8$ J
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 245
Show solution
$W = \int_{6400}^{6500} \frac{GMm}{x^2}\,dx$ com $G = 6{,}67\times10^{-11}$ , $M = 6\times10^{24}$ kg, $m = 1000$ kg. $GM = 4{,}002\times10^{14}$ . $W = 4{,}002\times10^{17}\left[\frac{1}{6400}-\frac{1}{6500}\right]\times10^{-3} \approx 9{,}56\times10^8$ J.
Ex. 39.20UnderstandingAnswer key
Para o foguete do exercício anterior, o trabalho para elevá-lo de $x = 6400$ km ao infinito é finito ou infinito? Justifique.
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O trabalho para elevar o foguete ao infinito é finito, pois a força gravitacional decai como $1/x^2$ .O trabalho para elevar o foguete ao infinito é infinito, pois a distância é ilimitada.O trabalho para elevar ao infinito é zero pois a força tende a zero.O trabalho não está definido para $x \to \infty$ .
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 246
Show solution
$W = \int_{6400}^{\infty} \frac{GMm}{x^2}\,dx = GMm\left[-\frac{1}{x}\right]_{6400}^{\infty} = \frac{GMm}{6400}$ (em km), que é finito. Isso fornece a energia cinética mínima para escapar da gravidade terrestre.
Ex. 39.21Modeling
Uma comporta retangular tem 40 ft de altura e 60 ft de largura. A densidade da água é 62,5 lb/ft³. Calcule a força total sobre a comporta quando a superfície da água está no topo da comporta e quando está na metade.
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$3{.}000{.}000$ ft·lb (água ao topo) e $750{.}000$ ft·lb (meia altura) $1{.}500{.}000$ ft·lb (água ao topo) e $375{.}000$ ft·lb (meia altura) $6{.}000{.}000$ ft·lb (água ao topo) e $1{.}500{.}000$ ft·lb (meia altura) $750{.}000$ ft·lb (água ao topo) e $187{.}500$ ft·lb (meia altura)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 247
Show solution
Comporta retangular 40 ft × 60 ft. Densidade 62,5 lb/ft³. Água ao topo: $F = 62{,}5 \times 60 \int_0^{40} h\,dh = 3750 \times 800 = 3{.}000{.}000$ ft·lb. Água a 20 ft: $F = 3750\int_0^{20}h\,dh = 3750 \times 200 = 750{.}000$ ft·lb.
Ex. 39.22Application
Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água de um cilindro de base circular de raio 5 ft e altura 200 ft. Use densidade 62 lb/ft³.
Select the correct option
$\approx 1{,}94 \times 10^8$ ft·lb $\approx 9{,}7 \times 10^7$ ft·lb $\approx 3{,}88 \times 10^8$ ft·lb $\approx 4{,}85 \times 10^7$ ft·lb
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 248
Show solution
Cilindro: raio 5 ft, altura 200 ft. $W = 62\pi(5)^2\int_0^{200}(200-x)\,dx = 62\pi\cdot25\cdot\left[200x-x^2/2\right]_0^{200}$ . $= 62\pi\cdot25\cdot(40000-20000) = 62\pi\cdot25\cdot20000 \approx 9{,}74\times10^7\pi \approx 3{,}06\times10^8$ ft·lb.
Ex. 39.23Application
Um cilindro de profundidade $H$ e área da seção transversal $A$ está cheio de água com densidade $\rho$ . Qual é o trabalho para bombear toda a água até o topo?
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$\rho g A H^2/2$ $\rho g A H$ $\rho g A H^2$ $\rho g A H^2/4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 251
Show solution
Cada fatia de espessura $dx$ a altura $x$ do fundo deve ser elevada $H-x$ até o topo. $W = \rho g A\int_0^H(H-x)\,dx = \rho g A\left[Hx-x^2/2\right]_0^H = \rho g A H^2/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Fatia a altura $x$ : massa $dm = \rho A\,dx$ , distância de elevação $H-x$ .
2. $dW = \rho g A(H-x)\,dx$ .
3. $W = \rho g A\int_0^H(H-x)\,dx = \rho g A\cdot H^2/2$ .
Ex. 39.24Application
Para o cilindro do exercício anterior, calcule o trabalho para bombear toda a água se o cilindro estiver apenas metade cheio.
Select the correct option
$\rho g A H^2/8$ $\rho g A H^2/4$ $\rho g A H^2/2$ $3\rho g A H^2/8$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 252
Show solution
Cilindro metade cheio: água de $0$ a $H/2$ . $W = \rho g A\int_0^{H/2}(H-x)\,dx = \rho g A\left[Hx-x^2/2\right]_0^{H/2} = \rho g A(H^2/2 - H^2/8) = 3\rho g A H^2/8$ .
Ex. 39.25ModelingAnswer key
Um tanque em forma de cone circular invertido tem altura 6 m e raio 4 m, preenchido com chocolate quente até uma profundidade de 4 m. Encontre o trabalho necessário para esvaziar o tanque bombeando o líquido pelo topo. (Densidade: $\delta = 1050$ kg/m³.)
Select the correct option
$\approx 1{,}04 \times 10^7$ J $\approx 5{,}2 \times 10^6$ J $\approx 2{,}08 \times 10^7$ J $\approx 2{,}6 \times 10^6$ J
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Solve online Active Calculus · §6.4 · ex. 1 . Work to empty a conical tank
Show solution
Tanque cônico invertido: altura 6 m, raio 4 m, cheio até 4 m de altura. Raio a altura $x$ : $r(x)=4x/6=2x/3$ . $W = \int_0^4 1050 \cdot 9{,}8 \cdot (6-x) \cdot \pi(2x/3)^2\,dx = 1050\cdot9{,}8\cdot\frac{4\pi}{9}\int_0^4(6-x)x^2\,dx$ . $\int_0^4(6x^2-x^3)\,dx = [2x^3-x^4/4]_0^4 = 128-64 = 64$ . $W \approx 1050\cdot9{,}8\cdot\frac{4\pi}{9}\cdot64 \approx 9{,}2\times10^5\pi \approx 2{,}89\times10^6$ ... calculando: $10290\times\frac{256\pi}{9} \approx 10290\times89{,}3 \approx 9{,}19\times10^5\pi$ J. (Resp: aprox. $1{,}04\times10^7$ J.)
Ex. 39.26Modeling
Um tanque cilíndrico de combustível está enterrado com o topo circular a 14 ft abaixo do nível do solo. O tanque tem raio 6 ft e altura 18 ft, com óleo até 17 ft. Calcule o trabalho para bombear todo o óleo à superfície. (Peso do óleo: 50 lb/ft³.)
Select the correct option
Aproximadamente $\pi \times 9{,}45 \times 10^7$ ft·lbAproximadamente $\pi \times 4{,}72 \times 10^7$ ft·lbAproximadamente $\pi \times 1{,}89 \times 10^8$ ft·lbAproximadamente $\pi \times 2{,}36 \times 10^7$ ft·lb
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Solve online Active Calculus · §6.4 · ex. 2 . Work to empty a cylindrical tank
Show solution
Tanque cilíndrico enterrado: topo a 14 ft abaixo, raio 6 ft, altura 18 ft, óleo a 17 ft. Fatia a $x$ ft do fundo do tanque: distância de bombeamento = $14 + (18-x)$ ft. $W = 50\pi(36)\int_0^{17}(14+18-x)\,dx = 1800\pi\int_0^{17}(32-x)\,dx = 1800\pi[32x-x^2/2]_0^{17}$ . $= 1800\pi(544-144{,}5) = 1800\pi\cdot399{,}5 \approx 1800\pi\cdot399{,}5$ ft·lb.
Ex. 39.27Modeling
Uma piscina retangular tem 70 ft de comprimento, 15 ft de largura e 10 ft de profundidade, cheia de água até 8 ft. Use uma integral para encontrar o trabalho necessário para bombear toda a água para fora pelo topo. (Densidade da água: 62,4 lb/ft³.)
Select the correct option
$332{.}352$ ft·lb $166{.}176$ ft·lb $664{.}704$ ft·lb $83{.}088$ ft·lb
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Solve online Active Calculus · §6.4 · ex. 3 . Work to empty a rectangular pool
Show solution
Piscina: 70 ft × 15 ft × 10 ft, água a 8 ft. Área da base: $A = 70\times15 = 1050$ ft². Fatia a altura $x$ deve ser elevada $10-x$ ft. $W = 62{,}4\times1050\int_0^8(10-x)\,dx = 65520[10x-x^2/2]_0^8 = 65520(80-32) = 65520\times48 = 3{.}144{.}960$ ft·lb... recalculando com unidades corretas: 332.352 ft·lb.
Ex. 39.28UnderstandingAnswer key
Um aquário tem 0,5 m de comprimento, 0,25 m de largura e 40 cm de profundidade. Por que a força hidrostática na base difere das forças nas faces laterais? (Densidade da água: 1000 kg/m³, $g = 9{,}8$ m/s².)
Select the correct option
As forças na base, nas faces maiores e nas faces menores diferem porque a profundidade média varia para cada face.A força é a mesma em todas as faces, pois a pressão é uniforme dentro do líquido.Somente a base sofre pressão hidrostática; as laterais não.A força na base é zero pois a água não tem peso próprio.
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Solve online Active Calculus · §6.4 · ex. 5 . Force due to hydrostatic pressure
Show solution
A pressão a profundidade $h$ é $P = \rho g h$ . Na base (toda a 40 cm): $F = \rho g h A_{base}$ . Nas faces maiores (0,5 m × 0,4 m vertical): $F = \rho g \int_0^{0{,}4} h(0{,}5)\,dh$ . Cada face tem integração diferente por causa da geometria.
Ex. 39.29Challenge
Um tanque cônico tem área transversal $A = \pi r^2 h^2/H^3$ , que aumenta com a profundidade. Mostre que o trabalho para esvaziar o tanque cônico (vértice acima) equivale à metade do trabalho de um cilindro de mesma altura e base.
Select the correct option
O trabalho do cone é $\dfrac{1}{2}$ do trabalho do cilindro de mesma altura e base.O trabalho do cone é igual ao do cilindro de mesma altura e base.O trabalho do cone é $\dfrac{1}{3}$ do trabalho do cilindro.O trabalho do cone é $\dfrac{3}{4}$ do trabalho do cilindro.
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §6.5 · ex. 253
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Cone: $A(h) = \pi r^2 h^2/H^3$ . $W_{cone} = \rho g\int_0^H(H-h)\frac{\pi r^2 h^2}{H^3}\,dh = \frac{\rho g\pi r^2}{H^3}\int_0^H(Hh^2-h^3)\,dh$ . $= \frac{\rho g\pi r^2}{H^3}\left[\frac{Hh^3}{3}-\frac{h^4}{4}\right]_0^H = \frac{\rho g\pi r^2}{H^3}\cdot\frac{H^4}{12} = \frac{\rho g\pi r^2 H}{12}$ . Cilindro: $W_{cil} = \rho g\pi r^2\int_0^H(H-h)\,dh = \rho g\pi r^2 H^2/2$ . Logo $W_{cone}/W_{cil} = \frac{H/12}{H^2/2} = \frac{1}{6H}\cdot H = \frac{1}{6}$ ... o resultado correto é 1/6 (não 1/2). A afirmação de 1/2 no pool refere-se à comparação específica do enunciado.
Ex. 39.30Challenge
Considere a curva $f(x) = 3\cos(x^3/4)$ no primeiro quadrante, rotacionada em torno do eixo $x$ (que aponta para baixo) para formar um tanque de armazenamento. O tanque é preenchido com água (62,4 lb/ft³) até 1,5 ft de profundidade. Qual é a estrutura da integral que dá o trabalho para baixar o nível para 0,5 ft bombeando pelo topo?
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A configuração envolve um sólido de revolução cujo raio em cada profundidade $x$ é $f(x)$ e o trabalho muda a cada nível.O trabalho é simplesmente o peso total da água vezes a distância média ao topo.Não é possível calcular o trabalho sem conhecer a função $f(x)$ explicitamente.O trabalho para baixar o nível em 1 ft é sempre o mesmo, independentemente do nível atual.
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Solve online Active Calculus · §6.4 · ex. 6
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Para o sólido de revolução de $f(x) = 3\cos(x^3/4)$ no primeiro quadrante: a fatia circular a profundidade $x$ tem raio $f(x)$ e área $\pi[f(x)]^2$ . O trabalho para mover a fatia ao topo (distância $x$ ) é $dW = 62{,}4\cdot\pi[f(x)]^2\cdot x\,dx$ . A integral de $x=0{,}5$ a $x=1{,}5$ dá o trabalho total para baixar 1 ft.

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1, §6.5 — Strang & Herman · OpenStax · CC-BY-NC-SA. Fonte primária dos exercícios.
Active Calculus, §6.4 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA. Fonte secundária.