v1 · padrão canônico

Lição 1 — Integração por Partes

Fórmula ∫u dv = uv − ∫v du derivada da regra do produto; método LIATE para escolha de u; tabela de integração por partes; fórmulas de redução. Base para integrais de produtos de funções elementares.

Usado em: Cálculo 2 — Unidade 1 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\int u\,dv = uv - \int v\,du

A regra de integração por partes é a versão integral da regra do produto: $(uv)' = u'v + uv'$ integrada em ambos os lados. A escolha de $u$ e $dv$ determina a dificuldade da integral resultante.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Demonstração e método

Derivação da fórmula

Regra mnemônica LIATE — escolha $u$ na ordem de prioridade:

Prioridade	Tipo	Exemplos
1	Logarítmica	$\ln x$ , $\log_a x$
2	Inversa trigonométrica	$\arctan x$ , $\arcsin x$
3	Algebraica (polinômio)	$x^n$ , $x^2 + 1$
4	Trigonométrica	$\sin x$ , $\cos x$
5	Exponencial	$e^x$ , $a^x$

Escolha $u$ o tipo de maior prioridade; o restante é $dv$ .

Método tabular (integração em tabela): Para $\int x^n \cdot (\text{exp/trig})\,dx$ , organize derivadas sucessivas de $u$ e integrais sucessivas de $dv$ :

\begin{array}{r|l} \text{Derivadas de } u & \text{Integrais de }dv \\ \hline x^2 & e^x \\ 2x & e^x \\ 2 & e^x \\ 0 & e^x \end{array} \implies x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C.

Fórmula de redução: Para $\int x^n e^x\,dx$ : $\int x^n e^x\,dx = x^n e^x - n\int x^{n-1}e^x\,dx.$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 2· Ex. 2 — Método tabular com x²

Calcule $\int x^2 \sin x\,dx$ pelo método tabular.

Sinal	Derivadas de $u = x^2$	Integrais de $dv = \sin x\,dx$
$+$	$x^2$	$-\cos x$
$-$	$2x$	$-\sin x$
$+$	$2$	$\cos x$
	$0$

$\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.$

Exemplo— 4· Ex. 4 — Integral cíclica: eˣ cos x

Calcule $I = \int e^x \cos x\,dx$ .

1ª aplicação: $u = e^x$ , $dv = \cos x\,dx$ , $v = \sin x$ : $I = e^x\sin x - \int e^x \sin x\,dx.$

2ª aplicação: $u = e^x$ , $dv = \sin x\,dx$ , $v = -\cos x$ : $I = e^x\sin x - \left(-e^x\cos x + \int e^x\cos x\,dx\right) = e^x\sin x + e^x\cos x - I.$

Isolando $I$ : $2I = e^x(\sin x + \cos x)$ , portanto $I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C.$

Para continuar

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §7.1 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §6.1 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 1, §12.12–12.14 — Wiley, 2ª ed.
Active Calculus (Boelkins) — §5.4 — CC-BY-NC-SA (activecalculus.org)

Lição 1 — Integração por Partes

Demonstração e método

Derivação da fórmula

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Aplicação direta

Bloco B — Integrais cíclicas e redução

Bloco C — Nível ITA/USP

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