Lição 2 — Integrais Trigonométricas

Estratégias sistemáticas

Caso 1: $m$ ou $n$ ímpar

Se $n = 2k+1$ (ímpar), separe $\cos^{2k+1}x = \cos^{2k}x\cdot\cos x = (1-\sin^2 x)^k\cos x$ e substitua $u = \sin x$.

Se $m = 2k+1$ (ímpar), separe $\sin^{2k+1}x = (1-\cos^2 x)^k\sin x$ e substitua $u = \cos x$.

Caso 2: $m$ e $n$ ambos pares

Use as identidades de ângulo duplo: $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}.$

Integrais de $\tan^n x$ e $\sec^m x$

Identidade fundamental: $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.

• $\sec^m x \tan^n x$ com $m$ par: $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$.
• $\sec^m x \tan^n x$ com $n$ ímpar: $u = \sec x$, $du = \sec x\tan x\,dx$.
• $\int \tan^n x\,dx$: use $\tan^n x = \tan^{n-2}x(\sec^2 x - 1)$ (fórmula de redução).
• $\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ (resultado especial).

Identidades produto-soma

$\sin A\cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)], \quad \cos A\cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)].$

Úteis para $\int \sin(mx)\cos(nx)\,dx$.