v1 · padrão canônico

Lição 3 — Substituição Trigonométrica

Remoção de radicais quadráticas por substituição trigonométrica: x = a sinθ para √(a²−x²), x = a tanθ para √(a²+x²), x = a secθ para √(x²−a²). Completa o quadrado quando necessário.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 1 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\sqrt{a^2-x^2}:\; x=a\sin\theta;\quad \sqrt{a^2+x^2}:\; x=a\tan\theta;\quad \sqrt{x^2-a^2}:\; x=a\sec\theta

Cada substituição transforma um radical em uma expressão trigonométrica usando as identidades $1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$ , $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ e $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

As três substituições

Tabela de substituições

Radical	Substituição	Identidade usada	Diferencial
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x = a\sin\theta$ , $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$	$a^2-a^2\sin^2\theta = a^2\cos^2\theta$	$dx = a\cos\theta\,d\theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x = a\tan\theta$ , $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$	$a^2+a^2\tan^2\theta = a^2\sec^2\theta$	$dx = a\sec^2\theta\,d\theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x = a\sec\theta$ , $\theta\in[0,\pi/2)\cup[\pi,3\pi/2)$	$a^2\sec^2\theta-a^2 = a^2\tan^2\theta$	$dx = a\sec\theta\tan\theta\,d\theta$

Retorno à variável original: use um triângulo retângulo para reexprimir as funções trigonométricas em termos de $x$ .

Completando o quadrado

Quando o radicando é $ax^2 + bx + c$ , complete o quadrado para reduzir à forma padrão: $ax^2+bx+c = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right].$

Exemplos resolvidos

Example— 1· Ex. 1 — √(4 − x²) no denominador

Calcule $\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx$ .

Com $x = 2\sin\theta$ , $dx = 2\cos\theta\,d\theta$ , $\sqrt{4-x^2} = 2\cos\theta$ : $\int\frac{4\sin^2\theta}{2\cos\theta}\cdot 2\cos\theta\,d\theta = 4\int\sin^2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\theta - \sin\theta\cos\theta}{2}+C = 2\theta - 2\sin\theta\cos\theta+C.$

Voltando: $\theta = \arcsin(x/2)$ , $\sin\theta = x/2$ , $\cos\theta = \sqrt{4-x^2}/2$ : $\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx = 2\arcsin\frac{x}{2} - \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C.$

Example— 2· Ex. 2 — √(x² + 9)

Calcule $\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}\,dx$ .

Com $x = 3\tan\theta$ , $dx = 3\sec^2\theta\,d\theta$ , $\sqrt{x^2+9} = 3\sec\theta$ : $\int\frac{9\tan^2\theta}{3\sec\theta}\cdot 3\sec^2\theta\,d\theta = 9\int\tan^2\theta\sec\theta\,d\theta = 9\int(\sec^2\theta-1)\sec\theta\,d\theta.$

Use $\int\sec^3\theta\,d\theta = \frac{\sec\theta\tan\theta}{2}+\frac{1}{2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$ : $= \frac{9}{2}\sec\theta\tan\theta - \frac{9}{2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C = \frac{x\sqrt{x^2+9}}{2} - \frac{9}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+9}+x}{3}\right|+C.$

Example— 3· Ex. 3 — Completando o quadrado

Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}}$ .

$x^2-6x+13 = (x-3)^2+4$ . Com $u = x-3$ : $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{u^2+4}}$ .

Agora $u = 2\tan\theta$ : $\displaystyle\int\frac{2\sec^2\theta\,d\theta}{2\sec\theta} = \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$ .

$= \ln\left|\frac{\sqrt{u^2+4}}{2}+\frac{u}{2}\right|+C = \ln\left|\sqrt{x^2-6x+13}+(x-3)\right|+C.$

To continue

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §7.3 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §6.3 — LTC, 5ª ed.
OpenStax — Calculus II, §3.3 — CC-BY (openstax.org)
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 1, §12.16 — Wiley, 2ª ed.

Lição 3 — Substituição Trigonométrica

As três substituições

Tabela de substituições

Completando o quadrado

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Substituições diretas

Bloco B — Completando o quadrado

Bloco C — Nível ITA/USP

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