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Lição 4 — Frações Parciais

Decomposição de funções racionais em frações parciais: fatores lineares, quadráticos e repetidos. Método para integrar qualquer função racional explícita.

Usado em: Cálculo 2 — Unidade 1 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-r_1}+\cdots+\frac{A_k}{x-r_k}+\frac{B_1x+C_1}{x^2+p_1x+q_1}+\cdots

Toda função racional própria se decompõe em frações parciais com fatores lineares $\frac{A}{x-r}$ e/ou quadráticos irredutíveis $\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$ .

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Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Teoria das frações parciais

Classificação e procedimento

Passo 0 — Divisão: Se $\deg P \geq \deg Q$ , divida $P$ por $Q$ para obter $P/Q = S(x) + R(x)/Q(x)$ com $\deg R < \deg Q$ .

Passo 1 — Fatoração de $Q(x)$ em fatores lineares $(x-r)^m$ e quadráticos irredutíveis $(x^2+px+q)^n$ (discriminante $p^2-4q<0$ ).

Passo 2 — Forma das frações parciais:

Fator de $Q$	Contribuição
$(x-r)^1$	$\dfrac{A}{x-r}$
$(x-r)^m$ , $m\geq 2$	$\dfrac{A_1}{x-r}+\dfrac{A_2}{(x-r)^2}+\cdots+\dfrac{A_m}{(x-r)^m}$
$(x^2+px+q)^1$	$\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$
$(x^2+px+q)^n$	$\dfrac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\cdots+\dfrac{B_nx+C_n}{(x^2+px+q)^n}$

Passo 3 — Determinação dos coeficientes: Iguale numeradores e compare coeficientes (ou substitua $x = r$ para fatores lineares).

Passo 4 — Integração de cada fração: $\int\frac{A}{x-r}\,dx = A\ln|x-r|+C$ $\int\frac{Bx+C}{x^2+px+q}\,dx = \frac{B}{2}\ln(x^2+px+q)+\frac{2C-Bp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Ex. 1 — Dois fatores lineares simples

Calcule $\displaystyle\int\frac{x+5}{(x-1)(x+3)}\,dx$ .

Decomposição: $\dfrac{x+5}{(x-1)(x+3)} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}$ .

Multiplicando: $x+5 = A(x+3)+B(x-1)$ .

$x=1$ : $6 = 4A \Rightarrow A = 3/2$ .
$x=-3$ : $2 = -4B \Rightarrow B = -1/2$ .

$\int\frac{x+5}{(x-1)(x+3)}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+3| + C = \frac{1}{2}\ln\frac{(x-1)^3}{|x+3|}+C.$

Exemplo— 2· Ex. 2 — Fator linear repetido

Calcule $\displaystyle\int\frac{x^2+2x-1}{(x-1)^2(x+1)}\,dx$ .

Decomposição: $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x+1}$ .

Multiplicando por $(x-1)^2(x+1)$ : $x^2+2x-1 = A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^2$ .

$x=1$ : $2 = 2B \Rightarrow B=1$ .
$x=-1$ : $-2 = 4C \Rightarrow C=-1/2$ .
Coef. de $x^2$ : $1 = A+C \Rightarrow A = 3/2$ .

$\int = \frac{3}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2}\ln|x+1|+C.$

Exemplo— 3· Ex. 3 — Fator quadrático irredutível

Calcule $\displaystyle\int\frac{2x^2-x+4}{(x+1)(x^2+4)}\,dx$ .

Decomposição: $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4}$ .

Multiplicando: $2x^2-x+4 = A(x^2+4)+(Bx+C)(x+1)$ .

$x=-1$ : $7 = 5A \Rightarrow A = 7/5$ .
Coef. $x^2$ : $2 = A+B \Rightarrow B = 3/5$ .
Coef. $x^0$ : $4 = 4A+C \Rightarrow C = 4-28/5 = -8/5$ .

$\int = \frac{7}{5}\ln|x+1|+\frac{3}{10}\ln(x^2+4)-\frac{4}{5}\arctan\frac{x}{2}+C.$

Para continuar

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §7.4 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §6.4 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 1, §12.15 — Wiley, 2ª ed.
OpenStax — Calculus II, §3.4 — CC-BY (openstax.org)
Active Calculus — Boelkins et al., §5.5 — CC-BY-SA (activecalculus.org)
Demidovich, B. — Problemas e Exercícios de Análise Matemática, §4.6 — Mir

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Classificação e procedimento

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Fatores lineares

Bloco B — Fatores quadráticos

Bloco C — Nível ITA/USP

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