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Lição 5 — Funções Hiperbólicas

Definições, identidades e integrais das funções hiperbólicas sinh, cosh, tanh e inversas. Conexão com substituição trigonométrica hiperbólica.

Usado em: Cálculo 2 — Unidade 1 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2},\quad \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

As funções hiperbólicas parametrizam a hipérbole $x^2 - y^2 = 1$ , análogo a como $\sin, \cos$ parametrizam o círculo unitário.

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Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definições e identidades completas

Definições

$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$ $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}, \quad \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}, \quad \text{sech}\,x = \frac{1}{\cosh x}, \quad \text{csch}\,x = \frac{1}{\sinh x}$

Identidades fundamentais

Identidade	Análogo circular
$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$	$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$
$1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x$	$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$\sinh(x\pm y) = \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y$	$\sin(\alpha\pm\beta)$
$\cosh(x\pm y) = \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y$	$\cos(\alpha\pm\beta)$
$\sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x$	$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$
$\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1$	$\cos 2\theta$

Derivadas e integrais

Função	Derivada	Integral
$\sinh x$	$\cosh x$	$\cosh x + C$
$\cosh x$	$\sinh x$	$\sinh x + C$
$\tanh x$	$\text{sech}^2 x$	$\ln\cosh x + C$
$\text{sech}\,x$	$-\text{sech}\,x\tanh x$	$\arctan(\sinh x)+C$
$\text{csch}\,x$	$-\text{csch}\,x\coth x$	$\ln\lvert \tanh(x/2)\rvert+C$

Inversas hiperbólicas

$\sinh^{-1}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1}), \quad \cosh^{-1}x = \ln(x+\sqrt{x^2-1}), \; x\geq 1$ $\tanh^{-1}x = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}, \; |x|<1$

Derivadas das inversas

$\frac{d}{dx}\sinh^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \quad \frac{d}{dx}\cosh^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \quad \frac{d}{dx}\tanh^{-1}x = \frac{1}{1-x^2}$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 2· Ex. 2 — Integral com substituição hiperbólica

Calcule $\displaystyle\int\sqrt{x^2+4}\,dx$ .

Com $x = 2\sinh t$ , $dx = 2\cosh t\,dt$ , $\sqrt{x^2+4} = 2\cosh t$ : $\int 2\cosh t \cdot 2\cosh t\,dt = 4\int\cosh^2 t\,dt = 4\int\frac{1+\cosh 2t}{2}\,dt = 2t + \sinh 2t + C.$

Como $\sinh 2t = 2\sinh t\cosh t$ e $t = \sinh^{-1}(x/2) = \ln(x/2+\sqrt{x^2/4+1})$ , $\cosh t = \sqrt{x^2/4+1}$ : $= 2\sinh^{-1}\frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{x^2+4}}{2}+C = x\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+2\ln\left(x+\sqrt{x^2+4}\right)+C.$

Para continuar

Stewart, J. — Cálculo, vol. 1, §6.7 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §6.5 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 1, §6.19 — Wiley, 2ª ed.
OpenStax — Calculus II, §3.3 — CC-BY (openstax.org)
Active Calculus — Boelkins et al., §5.8 — CC-BY-SA