v1 · padrão canônico

Lição 6 — Estratégias de Integração

Guia de decisão para escolher a técnica de integração correta: substituição simples, partes, trigonométrica, frações parciais e tabelamento. Reconhecimento de padrões.

Usado em: Cálculo 2 — Unidade 1 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\int f(g(x))g'(x)\,dx \xrightarrow{u=g(x)} \int f(u)\,du

A substituição simples é sempre a primeira tentativa. Se não funcionar, avalie: partes para $f\cdot g$ , sub. trig. para radicais quadráticos, frações parciais para racionais.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Árvore de decisão

Fluxograma de escolha de técnica

Integrar ∫f(x)dx
│
├─ f(x) tem forma f(g(x))·g'(x)?
│   └─ SIM → Substituição u = g(x)
│
├─ f(x) = produto de dois tipos distintos?
│   └─ SIM → Integração por partes (LIATE)
│
├─ f(x) tem √(a²−x²), √(a²+x²) ou √(x²−a²)?
│   └─ SIM → Substituição trigonométrica
│
├─ f(x) = P(x)/Q(x) racional?
│   └─ SIM → Frações parciais
│
├─ f(x) = sin^m·cos^n ou tan^m·sec^n?
│   └─ SIM → Integrais trigonométricas (L02)
│
└─ Nenhum dos acima → tabela, substituição criativa ou combinação

Regra LIATE para integração por partes

Escolha $u$ na ordem: Logarítmica, Inversa trig., Algebraica, Trigonométrica, Exponencial.

Reconhecimento de formas padrão

Integrando	Técnica	Resultado
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$	Subst. $u=f(x)$	$\ln\lvert f(x)\rvert+C$
$\dfrac{1}{x^2+a^2}$	Fórmula direta	$\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$	Fórmula direta	$\arcsin\dfrac{x}{a}+C$
$e^{ax}\cos bx$	Partes (2×)	fórmula de redução
$\ln x$	Partes: $u=\ln x$	$x\ln x - x + C$

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Identificação de técnica

Bloco B — Técnicas combinadas

Bloco C — Nível ITA/USP

Para continuar

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §7.5 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §6 (visão geral) — LTC, 5ª ed.
OpenStax — Calculus II, §3.5 — CC-BY (openstax.org)
Active Calculus — Boelkins et al., §5.6 — CC-BY-SA
REAMAT — Cálculo Numérico, §6.4 — UFRGS (reamat.ufrgs.br)
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 1, §12.18 — Wiley, 2ª ed.