Lição 7 — Integrais Impróprias: Intervalo Infinito

Definições e critérios

Tipos de integrais impróprias de intervalo infinito

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_a^t f(x)\,dx$ $\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t\to-\infty}\int_t^b f(x)\,dx$ $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx \quad \text{(ambas devem convergir)}$

Atenção: o valor principal de Cauchy $\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^t f(x)\,dx$ é diferente de $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$ quando a integral diverge.

Integral-p

$\int_1^\infty\frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \dfrac{1}{p-1} & p > 1 \\ \text{diverge} & p \leq 1 \end{cases}$

Teste da comparação

Se $0 \leq f(x) \leq g(x)$ para $x \geq a$:

• Se $\displaystyle\int_a^\infty g\,dx$ converge, então $\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ converge.
• Se $\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ diverge, então $\displaystyle\int_a^\infty g\,dx$ diverge.

Teste da comparação no limite

Se $f, g > 0$ e $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = L > 0$, então $\displaystyle\int_a^\infty f$ e $\displaystyle\int_a^\infty g$ têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).