Lição 8 — Integrais Impróprias: Descontinuidade

Definições e casos

Caso 1 — Singularidade na extremidade direita

Se $f$ é contínua em $[a,b)$ e $\displaystyle\lim_{x\to b^-}|f(x)| = \infty$: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\,dx$

Caso 2 — Singularidade na extremidade esquerda

Se $f$ é contínua em $(a,b]$ e $\displaystyle\lim_{x\to a^+}|f(x)| = \infty$: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx$

Caso 3 — Singularidade no interior

Se $f$ tem singularidade em $c \in (a,b)$: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t\to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s\to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$ Ambos os limites devem existir finitos. Se um diverge, a integral toda diverge.

Integral-p perto de 0

$\int_0^1\frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \dfrac{1}{1-p} & p < 1 \\ \text{diverge} & p \geq 1 \end{cases}$

Valor principal de Cauchy

$\text{P.V.}\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[\int_a^{c-\varepsilon} f(x)\,dx + \int_{c+\varepsilon}^b f(x)\,dx\right]$ Pode existir mesmo quando a integral imprópria diverge.