Lição 9 — Probabilidade e Integrais Impróprias

Variáveis aleatórias contínuas

Função densidade de probabilidade (fdp)

Uma função $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é uma fdp se:

1. $f(x) \geq 0$ para todo $x$.
2. $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1$.

A probabilidade de $X \in [a,b]$ é $P(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Medidas de localização e dispersão

$\mu = E[X] = \int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx \quad \text{(valor esperado)}$ $\sigma^2 = \text{Var}(X) = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 f(x)\,dx = E[X^2] - \mu^2$ $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} \quad \text{(desvio padrão)}$

Distribuições fundamentais

Exponencial com parâmetro $\lambda > 0$: $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \; x \geq 0. \quad \mu = 1/\lambda, \quad \sigma^2 = 1/\lambda^2.$

Normal (gaussiana) com parâmetros $\mu, \sigma^2$: $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}. \quad E[X] = \mu, \quad \text{Var}(X) = \sigma^2.$

Uniforme em $[a,b]$: $f(x) = \frac{1}{b-a}, \; a \leq x \leq b. \quad \mu = \frac{a+b}{2}, \quad \sigma^2 = \frac{(b-a)^2}{12}.$